1. §17.9 氢原子和角动量
1. 算符的引进
)()()(
2
2
2
rErrV
m
vvvh
ψψ =⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+∇−
)(
2
2
2
rV
m
Hˆ vh
+∇−=能量算符
∇−= h
v
ipˆ动量算符
)( ∇−×= h
vv
irLˆ角动量算符
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2. 球坐标系
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−= 2
2
2
22
sin
1
)(sin
sin
1
ϕθθ
θ
θθ
hLˆ
ϕ∂
∂
−= hiLˆ
z
算符 作用在任意波函数 上时，其结果不一定是同一个
波函数 乘以一个常量，往往是另外一个函数。
Fˆ Ψ
Ψ
只有在特殊的状态下，表示力学量 的算符 作用在波
函数 上时，才满足
F Fˆ
nΨ
nnnFˆ ψλψ =
返回 退出

3. nnnFˆ ψλψ =
(力学量F 的)算符 的本征值方程Fˆ
波函数 ψn 称为算符 的本征函数或本征态Fˆ
λn 称为算符 的本征值Fˆ
量子力学认为，凡是满足上述本征值方程的任何一个
λn 值，都可认为就是力学量F 的一个可能取值。
由力学量算符的本征值方程解出的全部本征值，就是
相应力学量的可能取值。
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4. 如果用测量仪器测量这个力学量的取值，则只能测得
其本征值。
如果属于本征值 λn 的本征态不是一个，而是 个。nf
)21( nnnn f,,,Fˆ L== αψλψ αα
本征值λn 是 重简并的nf
nf 简并度
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5. 利用定态薛定谔方程求解能量和定态波函数实际上是
一个能量算符的本征值问题。
)()( rErHˆ rr
ΨΨ = 能量算符 的本征值方程Hˆ
能量算符的本征函数（本征态）)(r
r
Ψ
E 能量算符的本征值
为了使波函数单值、连续、有限，能量的取值受到了限制
同理，通过求解动量算符、角动量算符…的本征值方程可
得到相应算符的本征函数和本征值。
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6. 2. 氢原子和角动量
氢原子中的电子在原子核的库仑电场中运动
r
e
rV
0
2
4
)(
πε
−= )( ϕθ ,,rP
θ r
ϕ
x
y
z
O
)()()](
2
[ 2
2
rErrV
m
vvvh
ψψ =+∇−
球坐标
2
2
222
2
2
2
sin
1
)(sin
sin
1
)(
1
ϕθθ
θ
θθ ∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=∇
rrr
r
rr
退出返回

7. ψψ
πε
ψ
ϕθθ
θ
θθ
E
r
e
r
r
rmr
=−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−
0
2
2
2
2
2
2
2
4sin
1
)(sin
sin
1
)(
2
h
)()()( ϕθϕθψ ,YrR,,r ll m,ll,nm,l,n =
)( ϕθ ,,rP
θ r
ϕ
x
y
z
O
)(rR l,n 拉盖尔函数
)( ϕθ ,Y lm,l 球谐函数
…= 321 ，，，n 主量子数
)1(210 −…= nl ，，，， 角量子数
lml ±±±= 210 ，，，， L 轨道磁量子数
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8. )()()( ϕθϕθψ ,YrR,,r ll m,ll,nm,l,n =
)( ϕθ ,Y lm,l 球谐函数
)( ϕθ ,,rP
θ r
ϕ
x
y
z
O
π
ϕθ
4
1
)(00 =,Y ,
θ
π
ϕθ cos
4
3
)(01 =,Y ,
ϕ
θ
π
ϕθ i
, e,Y sin
8
3
)(11 =
ϕ
θ
π
ϕθ i
, e,Y −
− = sin
8
3
)(11
……
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9. )()()( ϕθϕθψ ,YrR,,r ll m,ll,nm,l,n =
)( ϕθ ,,rP
θ r
ϕ
x
y
z
O
)(rR l,n 拉盖尔函数
0
2)
1
()( 23
0
01
a
r
/
, e
a
rR
−
=
02
0
23
0
02 )2()
2
1
()( a
r
/
, e
a
r
a
rR
−
−=
02
0
23
0
12
3
)
2
1
()( a
r
/
, e
a
r
a
rR
−
=
……
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10. )( ϕθ ,,rP
θ r
ϕ
x
y
z
O
)()()( ϕθϕθψ ,YrR,,r ll m,ll,nm,l,n =
这个波函数是归一化的
∫∞
= 1d)(
2
V,,rlm,l,n ϕθψ
ϕθθ ddsindd 2
rrV =
∫∞
∗
= 1ddsind)()( 2
ϕθθϕθψϕθψ rr,,r,,r ll m,l,nm,l,n
∫ ∫ =∗
π π
ϕθθϕθϕθ
0
2
0
1dd)sin()( ,Y,Y ll m,lm,l
ϕθθΩ ddsind =
∫
∞
∗
=
0
2
1d)()( rrrRrR l,nl,n
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11. ϕθθϕθϕθψ dddsin)()(d)( 2
22
rr,YrRV,,r ll m,ll,nm,l,n =
在空间一点 附近体积元
内找到量子态为 (n、l、ml) 的电子的概率
)( ϕθ ,,r ϕθθ dddsind 2
rrV =
rrrR l,n d)( 22
在 r 到 r + dr 壳层内发现电子的概率
ϕθθϕθΩϕθ ddsin)(d)(
22
,Y,Y ll m,lm,l =
在 附近的立体角 内发现电子的概率ϕθθΩ ddsind =)( ϕθ,
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12. 氢原子的电子云
001 === lmln ，，
002 === lmln ，， 返回 退出

13. 012 === lmln ，，
112 −=== lmln ，， 退出返回

14. 003 === lmln ，，
123 === lmln ，， 退出返回

15. 023 === lmln ，，
113 === lmln ，， 退出返回

16. ϕθθϕθϕθψ dddsin)()(d)( 2
22
rr,YrRV,,r ll m,ll,nm,l,n =
在各种 值的量子态中，概率密度分布与 角
无关，所以它们是绕 z 轴旋转对称的。
lmln 、、 ϕ
)( ϕθ ,,rP
θ r
ϕ
x
y
z
O
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17. (1)氢原子的能量本征值
)321(
1
2)4( 222
0
4
…=−= ，，，n
n
me
En
hπε
主量子数n能量是量子化的
当 时， 连续值∞→n →nE
与玻尔的氢原子理论得到的能级公式相同
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18. (2)电子轨道角动量的量子化
)13210( −= n,,,,,l Lh)1( += llL
s, p, d, f, …
角量子数l
注意：玻尔理论 hnL =
(3)电子轨道角动量空间取向的量子化
)210( l,,,,mmL llz ±±±== Lh
轨道磁量子数lm
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19. 角动量空间取向量子化是指角动量在空间一个确定方
向（例如 z 方向）上的投影是量子化的，它适合于所
有角动量。
0
h2
h
h－
h2－
Bz
r
2=l
hh 6)12(2 =+=L
hlz
mL =
210 ±±= ，，l
m
塞曼效应证明了角动量空间取向的量子化
塞曼效应的发现和研究获1902年诺贝尔物理学奖
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20. 1896年，荷兰物理学家塞曼(P. Zeeman)
和他的学生发现磁场中的原子发光时光
谱线将发生分裂。
这种现象后人称为塞曼效应
当镉放在强磁场中时就分裂成三条谱线
镉灯不受磁场作用时发射一条 643.847nm 谱线 P. Zeeman
例如：
一条和原谱线相同，另一条频率增大，第三条频率减小，
增大和减小的量值相等，且与外磁场的 有关。B
r
强磁场引起的这种谱线一分为三的现象 正常塞曼效应
在强磁场作用下一条谱线分裂成三条谱线以上的分裂现象
反常塞曼效应 退出返回

21. 返回 退出
BME
rr
⋅−= BMz−=
m
eB
π
νν
4
−=−
m
eB
π
νν
4
+=+
−ν +νν
B
r
加
0=lm
1=lm
1−=lm
ν
12 == l,n
01 == l,n
L
m
e
M
rr
2
−=
B
m
e
h
2
B
m
e
h
2
−
0=
1=lm
zz L
m
e
M
2
−=
BL
m
e
z
2
= 0=lm
1=l 1−=lm
)10( ±== ,mmL llz h

22. ϕ∂
∂
−= hiLˆ
z
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−= 2
2
2
22
sin
1
)(sin
sin
1
ϕθθ
θ
θθ
hLˆ
球坐标系
角动量算符的本征值问题
)()1()( 22 ϕθϕθ ,Yll,YLˆ
lm,llm,l
h+= 22 )1( h+= llL
h)1( += llLL210 ,,,l =
)()( ϕθϕθ ,Ym,YLˆ
lm,lllm,lz
h= hlz
mL =
l,,,,ml
±±±= 210 L
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23. 主量子数 n …= 321 ，，，n
角量子数 l )1(210 −…= nl ，，，，
轨道磁量子数 ml lml ±±±= 210 ，，，， L
对于确定的主量子数n , l 可取n个值
对于确定的角量子数l , ml 可取(2l+1)个值
一个能级对应一个以上的波函数 简并
属于任一能级 的量子态 的数目nE )( ϕθψ ,,rlm,l,n
∑
−
=
=+=
1
0
2
)12(
n
l
n nlf 氢原子能级的简并度
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