Tema1 NúMeros Re Ai S

Números Reais

NÚMEROS REAIS(R) NÚMEROS RACIONAIS Nº I RRAC I ONA I S Nº ENTEIROS(Z ) Nº FRACCIONARIOS NATURAIS(N) ENTEIROS NEGATIVOS DECIMAIS LIMITADOS ILIMITADOS PERIÓDICOS PERIÓDICOS PUROS PERIÓDICOS MIXTOS

Es t e conxunto está composto polos seguintes elementos:

Conxunto de números reais R = Q  I , ademáis N  Z  Q . inicio Z={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...} Q={ p : q / p,q є Z e q ≠ 0 } N ={1,2,3,4, 5,6,7,8, ...}

Números Naturais( N )

Un número natural é calquera dos números 0, 1, 2, 3... que se poden usar para contar os elementos dun conxunto finito.

Denominaremos N ao conxunto de tódolos números naturais.

O conxunto dos nº naturais é un conxunto ordenado e polo tanto pode representarse sobre unha recta

Operacións de números naturais

A suma de dous números naturais é sempre outro nº natural

O produto de dous nº naturais é sempre outro nº natural

A resta non sempre é posible entre números naturais.

a-b é natural só se b  a

Números enteiros negativos

A cada número natural b distinto de cero asignouselle como correspondente un número negativo –b , chamado o oposto de b , que ten a propiedade

b + (-b) = 0

Números enteiros

Ao conxunto dos números enteiros represéntase co símbolo Z, aos enteiros negativos con Z - e aos enteiros positivos con Z + .

Os nº enteiros pódense sumar, restar e multiplicar. O seu resultado sempre será un enteiro.

Número Enteiros ( Z )

Aos números naturais e os seus opostos chámaselle NUMEROS ENTEIROS

Representación na recta real

Números enteiros VALOR ABSOLUTO DUN Nº ENTEIRO Se X é un número enteiro, o seu valor absoluto represéntase por e defínese así: X se X é positivo -X se X é negativo =

Propiedades do valor absoluto

Números fraccionarios

Se a unha unidade a fraccionamos en n partes iguais, cada parte é a n–ésima parte da unidade e simbolízase por

Se tomamos m das n-ésimas partes, decimos que esa cantidade é

e representa unha proporción da unidade

A estos números denomínaselles fraccionarios

En xeral, se r é un número enteiro distinto de cero

representan a mesma cantidade

* Pode ser multiplicación ou división

díse que estas fraccións son equivalentes e

Ao conxunto formado por tódolos enteiros e tódolos fraccionarios denomínase números racionais

a é o numerador e b o denominador

Números racionais( Q ) e e

Expresión decimal dos números racionais

Para escribir un número fraccionario en decimal basta con dividir o numerador polo denominador

Expresión decimal limitada (exacta)

Ex: 7/4 = 1,75. Ao facer a división o resto é cero

Expresión decimal ilimitada periódica pura

Ex: 8/3 = 2,666…=

No cociente aparece ,inmediatamente despois da coma , unha cifra ou grupo de cifras ( 6 )que se repite indefinidamente ( período )

Expresión decimal ilimitada periódica mixta

EX: 23/6 = 3,8333…=

No cociente aparece unha cifra ou grupo de cifras( 3 ) que se repite indefinidamente, pero entre a coma e o período hai outra cifra ou cifras( 8 ) chamada anteperíodo

Expresión decimal ilimitada non periódica = nº irracional

Ex Л = 3,141592… ;

Tipos de expresións decimais

É unha fracción que ten por numerador o nº sen a coma, e por denominador a unidade seguida de tantos ceros como cifras decimais ten o nºdecimal

Simplificamos a fracción obtida

Demostración:

X = 2,25.

100 X = 225

Expresión fraccionaria dun nº decimal limitado

Expresión fraccionaria dun nº decimal ilimitado periódico puro

É unha fracción que ten por numerador a parte enteira seguida da parte periódica menos a parte enteira, e por denominador tantos noves como cifras teña o período

Demostración:

X = 2,43 43 43….

100 X = 243,43 43 43…. ( multiplicamos pola unidade seguida dos ceros necesarios para pasar o período para a parte enteira)

Restamos membro a membro para eliminar a parte decimal

100 X = 243,43 43 43….

X = 2,43 43 43….

99 X = 243-2 X =

Se podemos simplificamos

Expresión fraccionaria dun nº decimal ilimitado periódico mixto

É unha fracción que ten por numerador a parte enteira seguida do anteperíodo e da parte periódica menos, a parte enteira seguida do anteperíodo, e por denominador tantos noves como cifras teña o período seguidos de tantos ceros como cifras teña a anteperíodo.

Demostración:

X = 2,4 56 56 56….

10 X = 24,56 56 56…. ( multiplicamos pola unidade seguida dos ceros necesarios para pasar a periódica pura)

Multiplicamos a expresión anterior pola unidade seguida dos ceros necesarios para pasar o período para a parte enteira

1000 X = 2456,56 56 56….

10X = 24, 56 56 56…

990 X =2456-24

Se podemos simplificamos

Os números irracionais son aqueles equivalentes a unha expresión decimal ilimitada non periódica

Non se poden escribir en forma de fracción

Para traballar cos nº irracionais hai que aproximar

Redondeo:

Se a primeira cifra eliminada é menor ca 5 deixamos a anterior tal como está

Se a primeira cifra eliminada é maior ou igual ca 5 engadimos unha unidade a anterior

Ex: = 1,7320508…

Redondeo ás décimas 1,7 (3 é menor ca 5)

Redondeo ás dez milésimas: 1,7321(A primeira eliminada é 5)

Números Irracionais( I )

Determinación de nº irracionais por intervalos encaixados

Ex: = 1,25992105…

1,25 < < 1,26 1,24 3 =1,907 1,25 3 =1,953 1,26 3 =2,0004 centesimal 1,2 < <1,3 1,1 3 =1,331 1,2 3 =1,728 1,3 3 =2,197 Decimal 1 < <2 1 3 =1; 2 3 =8 Enteira INTERVALO POTENCIAS APROXIMACIÓN

Determinación de intervalos encaixados 1 2 1.2 1.3 1 2 .1 .2 .9 .3 .8 .4 .7 .6 .5

Obtemos unha sucesión de intervalos que cumple:

Cada intervalo está contido no anterior

A diferenza entre os extremos tende a 0

“ Toda sucesión de intervalos encaixados determina un único nº real”

Determinación de nº irracionais por intervalos encaixados(Cont)

Ordenación dos nº Reais

Os n ú mero reai s pode n ser positivos, negativos ou igual a cero. Ademáis están ordenados a través de ser “ menor que/ca ” denotada por < ; e definida a continuación :

Para dous n ú meros reais a e b,

a<b b-a>0

Propiedades asociadas a relación de orde

1 ) Se a<b, entonces

a+c<b+c

a-c<b-c

2) Se a<b e c>0 entonces ac<bc

3) Se a<b e c<0 entonces ac>bc

inicio “ Ao multiplicar ou dividir aos dous membros dunha desigualdade por un nº negativo cambia o seu sentido”

Cada punto da recta correspóndese cun número real.

Para representar os números enteiros necesitamos fixar o cero e a lonxitude da unidade.

0 1 -2 -1 3 2

Despois basta con levar a unidade de lonxitude tantas veces como queiramos cara a dereita do cero para os positivos,

e cara a esquerda para os negativos.

Representación dos nº reais na recta real

Racionais comprendidos entre 0 e 1 Nos números racionais comprendidos entre 0 e 1 o denominador é maior co numerador. Representaremos:

Partindo de cero trazamos unha recta inclinada cara a dereita.

0 -1 2 1

Divídese en tantas partes iguais como indica o denominador.

5 3

Trazamos unha recta dende o 1 ata a última división.

Debúxase unha paralela a esta última recta pola división que sinale o numerador.

O número que queremos representar é o punto de corte desta recta coa recta real.

Para fixar ben este procedemento, que se basa no teorema de Thales , vexamos outro exemplo: Racionais comprendidos entre 0 e 1. Representaremos: 0 -1 2 1 11 4

Debuxamos unha líña dende o cero con inclinación dereita.

Dividímola en 11 partes.

Unimos a última división co punto 1.

Trazamos unha paralela a esta última recta pola división 4.

Racionais maiores co 1 Nos números racionais maiores co 1 o denominador é menor co numerador. Representamos:

Efectuamos a división enteira (sen decimales).

25 7 3 21 4

Representamos

3 2 5 4 7 4 a partir de 3.

Faise todo igual que para os positivos, pero cara a esquerda. Racionais negativos

Efectuamos a división enteira (sen decimais).

25 7 3 21 4

Representamos

-3 -2 -5 -4 7 4 a partir de Representamos:

Irracionais co teorema de Pitágoras 1

Trátase de representar números radicais do tipo:

a b c Debemos encontrar dous números tales que a suma dos seus cadrados sexa 13. No noso caso son 2 e 3. 0 3 2

Debúxase a recta real.

Márcase un dos números (3) e trazamos unha perpendicular, marcamos o outro número (2) sobre esta última recta .

O número que estamos buscando é a hipotenusa do triángulo rectángulo

Coa axuda dun compás trasladamos este número á recta .

a

Neste caso debemos encontrar dous números cuxa diferenza de cadrados sexa o número que estamos buscando.

Por ejemplo: Usando o teorema de Pitágoras 2 a b c 0 2 5

Prestade atención á construción do debuxo

c a

Intervalos Intervalo aberto de extremos a e b é o conxunto de números reais comprendidos entre a e b.

A este conxunto non pertenecen os extremos.

Intervalo cerrado de extremos a e b é o conxunto de números reais comprendidos entre a e b.

A este conxunto si pertenecen os extremos.

Intervalos semiabertos ou semicerrados. Aberto pola esquerda Aberto pola dereita

Entornos Entorno de centro c e raio r é o intervalo aberto É o conxunto de números reais cuxa distancia ao centro é menor co raio. Exemplo: Escribe de varias formas e representa o entorno E(3,5) -2 0 8 3

Fin