3. Fraccións alxébricas. Valor
numérico O valor numérico de calquera
expresión alxébrica obtense ao
Unha expresión alxébrica non é substituír as “letras”
máis que unha combinación de (indeterminadas en linguaxe
números e letras ligados polos matemática) por valores
símbolos de operacións numéricos e efectuar as
matemáticas, como: operacións indicadas, e esta é
unha operación corrente en
matemáticas:
Cálculo da superficie
do círculo de radio 1
Solución de
x2+ 2x -3=0
Expresión
Valores das indeterminadas
Valor numérico final
4. FRACCIÓNS ALXÉBRICAS Como para calquera expresión
alxébrica, o valor numérico
Unha fracción alxébrica é un dunha expresión alxébrica é o
cociente de polinomios número que se obtén cando se
substitúe cada unha das
EXEMPLO indeterminadas por un valor
S: numérico, e se efectúan as
operacións.
Expresión
Valor da
indeterminada
Valor
numérico
os tipos de fraccións alxébricas final
están ligados aos tipos de
polinomios: nos non imos estudar Exemplo 2
máis que os cocientes de
polinomios enteiros, e
preferentemente cunha soa
indeterminada.
5. EXEMPLO 3:
Expresión
Valor da indeterminada
Valor numérico final
Debe lembrarse que o valor
numérico dunha expresión
cambiará se cambiamos os
valores asignados ás x
indeterminadas. -5 -0,3125
-4 -0,44444444
Tomemos por exemplo -3 -0,75
cambiemos os valores -2 -2
asignados ás “letras” e -1 #¡DIV/0!
0 0
calculemos valores numéricos.
1 0,25
En ocasións non é posible 2 0,22222222
calcular este valor 3 0,1875
4 0,16
5 0,13888889
Non pode calcularse o
resultado dunha fracción de SUXESTIÓN: Comproba os resultados
denominador nulo! da táboa utilizando unha calculadora.
6. EXPRESIÓNS INDETERMINADAS. Unha raíz de índice par e radicando
negativo como:
Dise dunha expresión que é
indeterminada cando o seu cálculo
non é posible. Contrariamente ao que puidese
pensarse, non é unha
Os matemáticos decidiron que expresión indeterminada.
as seguintes expresións son A raíz citada si pode calcularse.
expresións indeterminadas: De feito, o problema de cálculo
das raíces cadradas de
números negativos deu orixe a
unha nova clase de números,
os números complexos, cos
cales é posible calcular a raíz
de calquera índice de calquera
número.
A indeterminación 0/0 é en Os números complexos,
realidade un caso particular da intuídos xa por Herón de
primeira (k/0) e é a única coa que Alexandría no século I antes de
habemos de tratar aquí. Cristo, e popularizados por
Gauss no XVIII, orixinaron unha
rama especial das matemáticas
coñecida como análise
complexa.
7. Fraccións alxébricas
equivalentes
A definición corrente de faccións
numéricas equivalentes establece En xeral os valores coinciden,
que o son aquelas cuxo valor con todo, existen valores que
coincide. ofrecen discrepancias, xa que
non se pode calcular o valor
No caso de fraccións alxébricas numérico da fracción nese caso.
iso significaría que o seu valor
numérico debe ser o mesmo, para
calquera valor polo que se
substitúa a indeterminada.
Consideremos as fraccións: x
-5 -0,3125 -0,3125
-4 -0,44444444 -0,44444444
-3 -0,75 -0,75
-2 -2 -2
-1 #¡DIV/0! #¡DIV/0!
0 0 #¡DIV/0!
1 0,25 0,25
Se consideramos os valores 2 0,22222222 0,22222222
numéricos destas fraccións en 3 0,1875 0,1875
distintos casos observamos 4 0,16 0,16
5 0,13888889 0,13888889
8. Para evitar este problema Obtención de fraccións equivalentes
defínese a equivalencia de
fraccións alxébricas como O procedemento para obter fraccións
alxébricas equivalentes é similar ao
procedemento para obter fraccións
numéricas equivalentes: se
multiplicamos ou dividimos
Entón: numerador e denominador dunha
fracción alxébrica por un mesmo
polinomio, obteremos unha fracción
alxébrica equivalente:
Multiplicando en cruz en:
UN EXEMPLO SINXELO
Obtense: Para obter unha fracción
equivalente a:
Comprobándose que efectivamente Simplemente multiplicamos
son equivalentes numerador e denominador
polo mesmo polinomio
9. Ao efectuar as operacións
SOLUCIÓN:
indicadas obtemos:
Factorizamos numerador e
denominador polo procedemento
que o faga máis simple:
a) Resolvendo a ecuación:
Fraccións
equivalentes
Simplificación de fraccións
alxébricas
b) Utilizando a factorización de
A simplificación de fraccións
polinomios
consiste no contrario: factorizar as
expresións complexas, e suprimir os
factores comúns a numerador e
denominador
EXEMPLO:
Simplifiquemos a fracción:
10. Facemos o mesmo co
denominador:
Factores METODO 1 METODO II
de
1 5 6
X+3 -3 -3 -
6
1 2 0
X+2 - -2
2
1 0
Obtemos:
Evidentemente non é necesario
factorizar empregando ambos
métodos: cun é suficiente.
En ocasións poderemos
Fraccións equivalentes factorizar de forma aínda máis
sinxela, se podemos utilizar
Fracción simplificada
igualdades notables
11. Suma e diferenza de fraccións
alxébricas
SUMA 1.- Factorizamos denominadores:
Para efectuar unha suma de
fraccións alxébricas procederemos
basicamente do mesmo xeito que
para efectuar unha suma de
fraccións correntes
1.- Factorizamos denominadores:
2.- Mínimo común múltiplo dos
denominadores:
3.- Transformamos a expresión.
4.- Efectuamos a suma
Exemplo:
12. 2.- Mínimo común múltiplo dos
denominadores:
Mínimo=(x-1)(x+2)(x+3)
Factores non comúns
Factores comúns elevados ao
maior expoñente
3.- Transformamos a expresión. 4.- Efectuamos a suma
13. DIFERENZA (RESTA)
Dado que a diferenza non é senón a 1.- Factorizamos
suma do oposto, o procedemento denominadores:
para efectuar unha resta é o mesmo 2.- Mínimo común múltiplo dos
que para efectuar unha suma, igual denominadores:
que ocorría coas fraccións 3.- Transformamos a
numéricas. expresión.
4.- Efectuamos a resta
EXEMPLO:
1
2
4 3
14. Produto e cociente
A regra para multiplicar
fraccións alxébricas é a mesma
que a regra do produto fraccións
numéricas. Multiplícanse os
numeradores, que formarán o
novo numerador, e por outra
banda o denominador será o
produto dos denominadores.
Analogamente ao caso anterior,
a división de fraccións
alxébricas é tamén idéntica á
división de fraccións numéricas.
Multiplícanse os dous extremos
para obter o novo numerador, e
o produto dos medios daranos o
denominador.
17. Unha expresión radical é unha Como podemos apreciar, esta
expresión que inclúe unha raíz. A definición é formalmente idéntica a
raíz pode englobar varios termos ou todas as definicións de valor
pode atoparse no medio da numérico, con todo no caso das
expresión. raíces, presenta unha
ambigüidade, xa que as raíces de
índice par, cun valor numérico do
radicando positivo ofrecerán dous
Valor numérico dunha expresión
resultados: un positivo e outro
radical é o que se obtén cando se
negativo.
substitúen as indeterminadas por
valores numéricos.
Valor numérico Cando se nos pida o valor
cando x=1 e numérico dunha raíz indicaremos
y=2. o valor positivo, salvo petición
explícita.
Substituímos as indeterminadas
Exemplo:
polos seus valores, efectuamos as
Valor numérico cando x=2 e
operacións e obtemos:
y=3.
x=1 y=2.
18. Obtención de expresións
RADICAIS EQUIVALENTES radicais equivalentes.
A obtención de expresións
A equivalencia de radicais radicais equivalentes réxese polo
vincúlase ao valor numérico: mesmo procedemento que a
poderiamos dicir que dúas obtención a obtención de radicais
expresións radicais son numéricos
equivalentes se ambas teñen o
mesmo valor numérico Exemplo:
Esta definición presenta a
Igualmente válida para expresións
ambigüidade anteriormente citada
radicais.
con respecto aos valores que se
Debe terse en conta que ao dicir
obteñen en raíces de índice par e
expoñente do radicando referímonos
impar. Abordaremos a continuación
a este no seu conxunto.
o problema de determinar a
equivalencia de expresións
radicais e ver en que casos se
presenta esta ambigüidade e como
se resolve.
No caso de radicais
complexos:
19. Valor numérico e equivalencia Con isto en conta podemos
definir as expresións radicais
Formalmente: equivalentes como:
Ambas son raíces equivalentes,
como explicamos. Con todo a raíz
de índice par sempre nos ofrecerá
dous valores como resultado,
mentres que a de índice impar
soamente nos ha dar un. Malia isto,
mantemos a definición de
equivalencia, xa que un dos
resultados da raíz par sempre
coincide co resultado do índice
impar:
21. Simplificación e redución de radicais
A simplificación e redución son
procedementos para obter radicais
equivalentes máis simples
Se se multiplican ou dividen o
Baséanse na propiedade: índice e o expoñente do
radicando dunha expresión
Que pode escribirse radical por un mesmo número
igualmente: obtéñense radicais
equivalentes.
EXEMPLOS:
Radicais equivalentes a
A obtención de radicais Simplificar radicais é obter unha
equivalentes pode facerse das expresión radical equivalente de
dúas maneiras: multiplicando menor índice.
obtemos unha máis complexa,
dividindo unha máis simple.
22. SIMPLIFICACIÓN DE RADICAIS
Exemplo:
A simplificación de radicais consiste
en reducir ao máximo mediante este
procedemento os expoñentes do
radicando e o índice da raíz, MCD (12,6,8,2)=2
dividindo todos estes entre o seu
máximo común divisor, da mesma
forma que se fai con números.
REDUCIÓN A ÍNDICE COMÚN realízase tomando como índice
común o mínimo común múltiplo
é un procedemento previo a
dos índices considerados, este
operacións como a suma ou a
divídese entre o índice de cada
diferenza, ou á aplicación de
raíz e o resultado é o expoñente do
propiedades que permiten a
radicando
realización de operacións como o
produto ou o cociente.
23. Introducir factores nunha expresión Explicaremos simplemente
radical o procedemento sen
xustificalo:
No exemplo Para facelo debemos
queremos introducir elevar o factor ao índice
x2 dentro da raíz da raíz
Operamos as
potencias
24. Extraer factores dunha expresión Explicaremos simplemente
radical o procedemento sen
xustificalo:
So se poden extraer factores
elevados a expoñentes maiores que
o índice da raíz
Se dividimos o expoñente interior entre Poderemos Non
o radicando, o cociente daranos o extraer podemos
expoñente que sae fora da raíz, e o factores x e y extraer
resto o que queda no interior porque 5 e 7 factores z:
son >3 2<3
5 3 7 3
2 1 1 2
Que escribiremos
realmente
26. As operacións aritméticas con
expresións radicais son
1
formalmente idénticas ás
operacións numéricas: as regras
que estudamos para os números O produto das raíces é a raíz do
seguen sendo válidas para as produto
operacións con expresións
alxébricas. 2
Recordemos estas regras: O cociente das raíces é a raíz do
cociente
Estudarémolas con máis detalle
e veremos algúns casos 3
particulares
A potencia dunha raíz é igual á
raíz da potencia
4
A raíz dunha raíz é igual á raíz de
índice igual ao produto dos
índices
27. 1 O resultado obtido debe
expresarse extraendo todos
O produto das raíces é a raíz do os factores que se poida:
produto
Exemplo:
En ocasións presentarásenos
o produto de radicais de
neste a=x3y b=xy2 distinto índice
caso:
Aplicando: Nestes casos haberemos
de reducir a índice común
(n=2, ambos radicais para
que se efectuar daquela o produto
omite)
Reordenand
o
28. 2
O cociente de expresións radicais
O cociente das raíces é a raíz do realízase da mesma forma que o
cociente cociente de expresións numéricas
EXEMPLO:
O resultado obtido
debe expresarse
extraendo todos os
factores que se
Tamén aquí pode darse o poida, se é
caso de cociente de necesario debe
radicais con diferente racionalizarse a
índice, Procederemos da expresión
mesma forma:
reduciremos a índice
común e simplificaremos,
se é posible, a expresión
resultante:
29. 3
Elevar unha expresión radical a
A potencia dunha raíz é igual á unha potencia é o mesmo que
raíz da potencia elevar o radicando ao mesmo
expoñente
EXEMPLO: aplicamos
Unha vez introducida a
potencia no radicando
operamos seguindo as regras
das potencias
e simplificamos a expresión
radical extraendo todos os
factores posibles:
30. 4 Igual que nos casos anteriores, é
suficiente con aplicar a regra e
A raíz dunha raíz é igual á raíz de simplificar a expresión resultante
índice igual ao produto dos sempre que sexa posible.
índices Aplicamos:
EXEMPL
O:
Estes cálculos Nestes casos
poden complicarse habemos de ir
si os radicandos introducindo todos os Para introducir
non son elementos factores na
raíz deben
consecutivos, intermedios baixo o elevarse ao
último radical, para índice: a sete
neste caso
obter finalmente o
índice resultante:
32. A racionalización en expresións
radicais realízase da mesma forma Se no
que nas expresións numéricas. O denominador
seu obxecto é facilitar o cálculo hai unha suma
dos valores numéricos das ou unha resta
expresións radicais que inclúan
cocientes
Para eliminar raíces cadradas Multiplícase numerador e
denominador polo binomio
Se no conxugado do denominador :
denominador
está presente
unha única
raíz: Operando:
Multiplícase numerador e
denominador por esa raíz:
Chámase binomio conxugado ao ligado pola
operación oposta:
Conxugado de a+b a-b
de a-b a+b
Operamos: Conxugado de
33. Raíces non cadradas (de índice superior a dous)
Multiplícase o denominador pola
raíz do mesmo índice có
radicando elevado ás unidades
que falten á potencia do
radicando para eliminar a raíz:
Para chegar a Para
53 necesito chegar a z3
multiplicar por necesito
52 multiplicar Operando
por z
En consecuencia, multiplico
e divido por
