Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

NUMEROS REAIS

1,672 views

Published on

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

NUMEROS REAIS

  1. 1. Números Reais
  2. 2. NÚMEROS REAIS(R) NÚMEROS RACIONAIS Nº I RRAC I ONA I S Nº ENTEIROS(Z ) Nº FRACCIONARIOS NATURAIS(N) ENTEIROS NEGATIVOS DECIMAIS LIMITADOS ILIMITADOS PERIÓDICOS PERIÓDICOS PUROS PERIÓDICOS MIXTOS
  3. 3. <ul><li>Es t e conxunto está composto polos seguintes elementos: </li></ul>Conxunto de números reais R = Q  I , ademáis N  Z  Q . inicio Nº racional é o conxunto de fraccións equivalentes a unha dada Z={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...} Q={ p : q / p,q є Z e q ≠ 0 } N ={1,2,3,4, 5,6,7,8, ...}
  4. 4. Números Naturais( N ) <ul><li>Un número natural é calquera dos números 0, 1, 2, 3... que se poden usar para contar os elementos dun conxunto finito. </li></ul><ul><li>Denominaremos N ao conxunto de tódolos números naturais. </li></ul><ul><li>O conxunto dos nº naturais é un conxunto ordenado e polo tanto pode representarse sobre unha recta </li></ul>
  5. 5. Operacións de números naturais <ul><li>A suma de dous números naturais é sempre outro nº natural </li></ul><ul><li>O produto de dous nº naturais é sempre outro nº natural </li></ul><ul><li>A resta non sempre é posible entre números naturais. </li></ul>a-b é natural só se b  a
  6. 6. Números enteiros negativos <ul><li>A cada número natural b distinto de cero asignouselle como correspondente un número negativo –b , chamado o oposto de b , que ten a propiedade </li></ul><ul><li>b + (-b) = 0 </li></ul>
  7. 7. Números enteiros <ul><li>Ao conxunto dos números enteiros represéntase co símbolo Z, aos enteiros negativos con Z - e aos enteiros positivos con Z + . </li></ul>Os nº enteiros pódense sumar, restar e multiplicar. O seu resultado sempre será un enteiro.
  8. 8. Número Enteiros ( Z ) <ul><li>Aos números naturais e os seus opostos chámaselle NUMEROS ENTEIROS </li></ul><ul><li>Representación na recta real </li></ul>
  9. 9. Números enteiros VALOR ABSOLUTO DUN Nº ENTEIRO Se X é un número enteiro, o seu valor absoluto represéntase por e defínese así: X se X é positivo -X se X é negativo =
  10. 10. Números fraccionarios <ul><li>Se a unha unidade a fraccionamos en n partes iguais, cada parte é a n–ésima parte da unidade e simbolízase por </li></ul><ul><li>Se tomamos m das n-ésimas partes, decimos que esa cantidade é </li></ul><ul><li>e representa unha proporción da unidade </li></ul>
  11. 11. TÉRMOS DUNHA FRACCIÓN NUMERADOR DENOMINADOR EXEMPLO: TRES QUINTOS Numerador Denominador
  12. 12. ¿Qué indica o denominador? Indica as partes iguais en que se dividiu a unidade. Por exemplo. A unidade dividiuse en 5 partes iguais ;cada parte é1/5 ¿Que indica o numerador? Indica o número de partes que se toman ou consideran da unidade dividida. Por exemplo Se da unidade dividida se toma 3 partes entonces a fracción será 3/5 3/5
  13. 13. Números fraccionarios <ul><li>Se se multiplica ou divide numerador e denominador dunha fracción por un mesmo nº(r) distinto de cero, a fracción non varía </li></ul>
  14. 14. Fraccións equivalentes <ul><li>Dúas fraccións e son equivalentes </li></ul><ul><li>ou iguais se se cumple: </li></ul>=
  15. 15. Suma e resta de fraccións con igual denominador <ul><li>Súmanse ou réstanse os numeradores e ponse o mesmo denominador </li></ul><ul><li>Ex: </li></ul>NON SE ELIMINAN DENOMINADORES
  16. 16. Suma e resta de fraccións con distinto denominador <ul><li>Substitúense por fraccións equivalentes que teñan o mesmo denominador </li></ul><ul><li>Para elo. </li></ul><ul><li>calculamos o m.c.m dos denominadores </li></ul><ul><ul><li>O novo denominador común de todas será o m.c.m </li></ul></ul><ul><ul><li>Dividimos o m.c.m entre o denominador de cada unha e multiplicamos ese cociente polos numeradores </li></ul></ul><ul><li>Sumamos e restamos numeradores e poñemos o mesmo denominador </li></ul>
  17. 17. Suma e resta de fraccións con distinto denominador <ul><li>Ex: </li></ul>4=2 2 ; 12 = 2 2 .3 ; 8 =2 3 . m.c.m(4,12,8) = 2 3 .3 =24 SIMPLIFICAMOS O RESULTADO SEMPRE QUE SE POIDA
  18. 18. Produto de dúas fraccións <ul><li>Multiplícanse os numeradores e os denominadores </li></ul><ul><li>Ex: </li></ul>PARA MULTIPLICAR E DIVIDIR NON SE CALCULA O m.c.m SIMPLIFICAMOS O RESULTADO SEMPRE QUE SE POIDA
  19. 19. División de dúas fraccións <ul><li>Multiplícase a primeira pola inversa da segunda </li></ul><ul><li>Ex: </li></ul>PARA MULTIPLICAR E DIVIDIR NON SE CALCULA O m.c.m SIMPLIFICAMOS O RESULTADO SEMPRE QUE SE POIDA
  20. 20. Operacións combinadas de fraccións <ul><li>Se só hai sumas e restas entre parénteses ou corchetes </li></ul><ul><ul><ul><li>Quitamos os parénteses, corchetes, etc aplicando as regras dos signos </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Sumamos ou restamos as fraccións resultantes </li></ul></ul></ul><ul><li>Ex: </li></ul>
  21. 21. Operacións combinadas de fraccións <ul><li>Se hai produtos e/ou divisións entre parénteses: </li></ul><ul><li>SEGUIMOS A XERARQUÍA DE OPERACIÓNS: </li></ul><ul><ul><ul><li>Parénteses </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Produtos e divisións(de esquerda a dereita) </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Sumas e restas (de esquerda a dereita) </li></ul></ul></ul>
  22. 22. Operacións combinadas de fraccións <ul><li>Ex: </li></ul>1
  23. 23. Ejercicios
  24. 24. <ul><li>Cada punto da recta correspóndese cun número real. </li></ul><ul><li>Para representar os números enteiros necesitamos fixar o cero e a lonxitude da unidade. </li></ul>0 1 -2 -1 3 2 <ul><li>Despois basta con levar a unidade de lonxitude tantas veces como queiramos cara a dereita do cero para os positivos, </li></ul><ul><li>e cara a esquerda para os negativos. </li></ul>Representación dos nº reais na recta real
  25. 25. Racionais comprendidos entre 0 e 1 Nos números racionais comprendidos entre 0 e 1 o denominador é maior co numerador. Representaremos: <ul><li>Partindo de cero trazamos unha recta inclinada cara a dereita. </li></ul>0 -1 2 1 <ul><li>Divídese en tantas partes iguais como indica o denominador. </li></ul>5 3 <ul><li>Trazamos unha recta dende o 1 ata a última división. </li></ul><ul><li>Debúxase unha paralela a esta última recta pola división que sinale o numerador. </li></ul><ul><li>O número que queremos representar é o punto de corte desta recta coa recta real. </li></ul>
  26. 26. Para fixar ben este procedemento, que se basa no teorema de Thales , vexamos outro exemplo: Racionais comprendidos entre 0 e 1. Representaremos: 0 -1 2 1 11 4 <ul><li>Debuxamos unha líña dende o cero con inclinación dereita. </li></ul><ul><li>Dividímola en 11 partes. </li></ul><ul><li>Unimos a última división co punto 1. </li></ul><ul><li>Trazamos unha paralela a esta última recta pola división 4. </li></ul>
  27. 27. Racionais maiores co 1 Nos números racionais maiores co 1 o denominador é menor co numerador. Representamos: <ul><li>Efectuamos a división enteira (sen decimales). </li></ul>25 7 3 21 4 <ul><li>Representamos </li></ul>3 2 5 4 7 4 a partir de 3.
  28. 28. Faise todo igual que para os positivos, pero cara a esquerda. Racionais negativos <ul><li>Efectuamos a división enteira (sen decimais). </li></ul>25 7 3 21 4 <ul><li>Representamos </li></ul>-3 -2 -5 -4 7 4 a partir de Representamos:
  29. 29. Irracionais co teorema de Pitágoras 1 <ul><li>Trátase de representar números radicais do tipo: </li></ul>a b c Debemos encontrar dous números tales que a suma dos seus cadrados sexa 13. No noso caso son 2 e 3. 0 3 2 <ul><li>Debúxase a recta real. </li></ul><ul><li>Márcase un dos números (3) e trazamos unha perpendicular, marcamos o outro número (2) sobre esta última recta . </li></ul><ul><li>O número que estamos buscando é a hipotenusa do triángulo rectángulo </li></ul><ul><li>Coa axuda dun compás trasladamos este número á recta . </li></ul>
  30. 30. a <ul><li>Neste caso debemos encontrar dous números cuxa diferenza de cadrados sexa o número que estamos buscando. </li></ul>Por ejemplo: Usando o teorema de Pitágoras 2 a b c 0 2 5 <ul><li>Prestade atención á construción do debuxo </li></ul>c a
  31. 31. Intervalos Intervalo aberto de extremos a e b é o conxunto de números reais comprendidos entre a e b. <ul><li>A este conxunto non pertenecen os extremos. </li></ul>Intervalo cerrado de extremos a e b é o conxunto de números reais comprendidos entre a e b. <ul><li>A este conxunto si pertenecen os extremos. </li></ul>Intervalos semiabertos ou semicerrados. Aberto pola esquerda Aberto pola dereita
  32. 32. Semirrectas Nunha semirrecta atópanse tódolos números menores ou maiores ca un nº dado Un dos extremos do intervalo é sempre + ∞ ou - ∞ c Semirrecta pechada positiva Semirrecta pechada negativa c Semirrecta aberta positiva c c Semirrecta aberta negativa
  33. 33. <ul><li>Ao conxunto formado por tódolos enteiros e tódolos fraccionarios denomínase números racionais </li></ul><ul><li>a é o numerador e b o denominador </li></ul>Números racionais( Q ) e e
  34. 34. Expresión decimal dos números racionais <ul><li>Para escribir un número fraccionario en decimal basta con dividir o numerador polo denominador </li></ul>
  35. 35. <ul><ul><ul><li>Expresión decimal limitada (exacta) </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Ex: 7/4 = 1,75. Ao facer a división o resto é cero </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Expresión decimal ilimitada periódica pura </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Ex: 8/3 = 2,666…= </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>No cociente aparece ,inmediatamente despois da coma , unha cifra ou grupo de cifras ( 6 )que se repite indefinidamente ( período ) </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Expresión decimal ilimitada periódica mixta </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>EX: 23/6 = 3,8333…= </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>No cociente aparece unha cifra ou grupo de cifras( 3 ) que se repite indefinidamente, pero entre a coma e o período hai outra cifra ou cifras( 8 ) chamada anteperíodo </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Expresión decimal ilimitada non periódica = nº irracional </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Ex Л = 3,141592… ; </li></ul></ul></ul>Tipos de expresións decimais
  36. 36. ¿Cómo saber o tipo de expresión decimal sen dividir? <ul><li>Factorizamos os denominadores </li></ul><ul><ul><ul><li>Se o denominador contén só os factores 2,5 , ou ambos , é decimal limitada. </li></ul></ul></ul><ul><li>Ex: 2/25 ; 13/4 ; 324/500 </li></ul><ul><ul><ul><li>Se o denominador non contén os factores nin 2 nin 5, é periódica pura </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Ex: 2/3 ;2/21 </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Se o denominador contén os factores 2 e 5 ademáis doutros factores, é periódica mixta </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>E: 2/30 ; 7/ 110 </li></ul></ul></ul>
  37. 37. <ul><li>É unha fracción que ten por numerador o nº sen a coma, e por denominador a unidade seguida de tantos ceros como cifras decimais ten o nºdecimal </li></ul><ul><li>Simplificamos a fracción obtida </li></ul><ul><li>Demostración: </li></ul><ul><li>X = 2,25. </li></ul><ul><li>100 X = 225 </li></ul>Expresión fraccionaria dun nº decimal limitado
  38. 38. Expresión fraccionaria dun nº decimal ilimitado periódico puro <ul><li>É unha fracción que ten por numerador a parte enteira seguida da parte periódica menos a parte enteira, e por denominador tantos noves como cifras teña o período </li></ul><ul><li>Demostración: </li></ul><ul><li>X = 2,43 43 43…. </li></ul><ul><li>100 X = 243,43 43 43…. ( multiplicamos pola unidade seguida dos ceros necesarios para pasar o período para a parte enteira) </li></ul><ul><li>Restamos membro a membro para eliminar a parte decimal </li></ul><ul><li>100 X = 243,43 43 43…. </li></ul><ul><li>X = 2,43 43 43…. </li></ul><ul><li>99 X = 243-2 </li></ul>Se podemos simplificamos X =
  39. 39. Expresión fraccionaria dun nº decimal ilimitado periódico mixto <ul><li>É unha fracción que ten por numerador a parte enteira seguida do anteperíodo e da parte periódica menos, a parte enteira seguida do anteperíodo, e por denominador tantos noves como cifras teña o período seguidos de tantos ceros como cifras teña a anteperíodo. </li></ul><ul><li>Demostración: </li></ul><ul><li>X = 2,4 56 56 56…. </li></ul><ul><li>10 X = 24,56 56 56…. ( multiplicamos pola unidade seguida dos ceros necesarios para pasar a periódica pura) </li></ul><ul><li>Multiplicamos a expresión anterior pola unidade seguida dos ceros necesarios para pasar o período para a parte enteira </li></ul><ul><li>1000 X = 2456,56 56 56…. </li></ul><ul><li>10X = 24, 56 56 56… </li></ul><ul><li>990 X =2456-24 </li></ul>Se podemos simplificamos X=
  40. 40. <ul><li>Os números irracionais son aqueles equivalentes a unha expresión decimal ilimitada non periódica </li></ul><ul><li>Non se poden escribir en forma de fracción </li></ul><ul><li>Para traballar cos nº irracionais hai que aproximar </li></ul><ul><li>Redondeo: </li></ul><ul><ul><ul><li>Se a primeira cifra eliminada é menor ca 5 deixamos a anterior tal como está </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Se a primeira cifra eliminada é maior ou igual ca 5 engadimos unha unidade a anterior </li></ul></ul></ul><ul><li>Ex: = 1,7320508… </li></ul><ul><li>Redondeo ás décimas 1,7 (3 é menor ca 5) </li></ul><ul><li>Redondeo ás dez milésimas: 1,7321(A primeira eliminada é 5) </li></ul>Números Irracionais( I )
  41. 41. Determinación de nº irracionais por intervalos encaixados <ul><li>Ex: = 1,25992105… </li></ul>1,25 < < 1,26 1,24 3 =1,907 1,25 3 =1,953 1,26 3 =2,0004 centesimal 1,2 < <1,3 1,1 3 =1,331 1,2 3 =1,728 1,3 3 =2,197 Decimal 1 < <2 1 3 =1; 2 3 =8 Enteira INTERVALO POTENCIAS APROXIMACIÓN
  42. 42. Determinación de intervalos encaixados 1 2 1.2 1.3 1 2 .1 .2 .9 .3 .8 .4 .7 .6 .5
  43. 43. <ul><li>Obtemos unha sucesión de intervalos que cumple: </li></ul><ul><ul><li>Cada intervalo está contido no anterior </li></ul></ul><ul><ul><li>A diferenza entre os extremos tende a 0 </li></ul></ul><ul><ul><li>“ Toda sucesión de intervalos encaixados determina un único nº real” </li></ul></ul>Determinación de nº irracionais por intervalos encaixados(Cont)
  44. 44. Fin

×