Presentación coa demostración e exemplos do Teorema de Rouchè-Fröbenius

1. TEOREMA DE ROUCHÉ-TEOREMA DE ROUCHÉ-
FRÖBENIUSFRÖBENIUS
UNHA INTRODUCCIÓN HISTÓRICA
1© José Antonio Fernández Cereijo

2. En álxebra lineal, o teorema de Rouché-
Frobenius permite establecer se un sistema de
ecuacións lineais ten ou non ten solución, e, no
caso de que teña solución permite determinar se a
solución é única ou non (neste caso o número de
solucións será infinito).
Leva o nome do matemático francés Eugène
Rouché, quen o enunciou e o do matemático
alemán Ferdinand Georg Fröbenius quen foi un
dos moitos matemáticos que o demostraron.
Noutros idiomas recibe outros nomes como
o teorema de Rouché-Capelli, o teorema de
Rouché-Fontené, o teorema de Kronecker-
Capelli, etc.
2

3. CONSIDERACIÓNS PREVIAS (I)
Sexa un sistema de m ecuacións lineais con n incógnitassistema de m ecuacións lineais con n incógnitas:
Chamamos MM á matriz formada polos coeficientes dasmatriz formada polos coeficientes das
incógnitas do sistemaincógnitas do sistema e M*M* á matriz obtida a partir dematriz obtida a partir de
M engadíndolle a columna dos termos independentesM engadíndolle a columna dos termos independentes:
3

4. CONSIDERACIÓNS PREVIAS (II)
O rango dunha matrizrango dunha matriz é o número de filas da matriz quenúmero de filas da matriz que
son linearmente independentesson linearmente independentes. Coincide co número de
columnas linearmente independentes.
Como son os rangos das matrices M e M*?Como son os rangos das matrices M e M*? Lembremos
que a matriz M ten m filas e n columnasa matriz M ten m filas e n columnas e a matriz M*M*
ten unha columna máis (a dos termos independentes),
é dicir, ten m filas e n+1 columnasten m filas e n+1 columnas.
Posto que só engadimos unha columna ao pasar de M a
M*, poden suceder dúas cousas: ou ben a columnaou ben a columna
engadida é combinación lineal das demaisengadida é combinación lineal das demais (neste caso
non será linearmente independente) polo que o rango
(número de columnas independentes) de M e M* será o
mesmo, ou ben a columna engadida non dependerá dasa columna engadida non dependerá das
demaisdemais polo que o rango (número de columnas
independentes) de M* vaise a incrementar nunha
unidade respecto ó de M. 4

5. CONSIDERACIÓNS PREVIAS (II)
Polo tanto chegamos á conclusión seguinte:
Concretamente se chamamos p ó rango de M, o rango de
M* será:
5

6. CONSIDERACIÓNS PREVIAS (III)
Os sistemas de ecuacións lineaissistemas de ecuacións lineais clasifícanse en
compatiblescompatibles e incompatiblesincompatibles.
Se un sistema de ecuacións lineais ten soluciónun sistema de ecuacións lineais ten solución dise que
é compatiblecompatible.
Se, polo contrario, carece de solucióncarece de solución dise que é
incompatibleincompatible.
Os sistemas que teñen solución (compatibles) poden ter
solución única ou ter máis dunha solución. Se teñen
unha única soluciónunha única solución dinse determinadosdeterminados e se teñen
máis solucións*máis solucións* denomínanse indeterminadosindeterminados.
* No caso de que un sistema teña máis dunha solución necesariamente ten
infinitas soluciónsinfinitas solucións. 6

7. ENUNCIADO DO TEOREMA de ROUCHÉ-FRÖBENIUS
Dado un sistema de m ecuacións lineais con n
incógnitas,
a condición necesaria e suficiente para que o sistemacondición necesaria e suficiente para que o sistema
teña solución é que o rango da matriz de coeficientesteña solución é que o rango da matriz de coeficientes
coincida co rango da matriz ampliadacoincida co rango da matriz ampliada.
7

8. DEMOSTRACIÓN DO TEOREMA (I)
Se os rangos son iguaisrangos son iguais a columna dos termos
independentes depende linearmente das outras
columnas, é dicir, é unha combinación linear das
demais columnas. É dicir, existen
Logo é solución do sistema, e,
polo tanto, o sistema é compatiblesistema é compatible.
8

9. DEMOSTRACIÓN DO TEOREMA (II)
Se o sistema é compatible ten polo menos unha solución.
Supoñamos que é solución doé solución do
sistemasistema entonces cúmprese que:
Substituíndo os valores de na matriz ampliada
temos:
A última columna é combinación linear das anteriores,
polo que concluímos que
9

10. DISCUSIÓN DE SISTEMAS
O número de columnas da matriz M coincide co número
de incógnitas do sistema. Polo tanto, o rango de M óo rango de M ó
sumo pode ser igual ó número de incógnitassumo pode ser igual ó número de incógnitas.
10

11. PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS
Discute os seguintes sistemas de ecuacións lineares
utilizando o teorema de Rouché-Fröbenius.
11

12. SOLUCIÓN DOS EXERCICIOS ANTERIORES
12

13. SOLUCIÓN DOS EXERCICIOS ANTERIORES
13

14. SOLUCIÓN DOS EXERCICIOS ANTERIORES
14

15. SOLUCIÓN DOS EXERCICIOS ANTERIORES
15