Matrices+y+determinantes

858 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
858
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
594
Actions
Shares
0
Downloads
4
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Matrices+y+determinantes

  1. 1. Foto de http://haberhabermagdis.blogspot.com.es/
  2. 2. MATRICES E DETERMINANTES Definición de matriz Chámase matriz de dimensión mxn a unha táboa rectangular formada por m filas e n columnas de números reais: aij representa o elemento que está na fila i e na columna j o elemento a25 será o elemento da fila 2 e columna 5.
  3. 3. TIPOS DE MATRICES Matriz fila: ( )naaaa 1131211  Matriz columna:                 1 31 21 11 ma a a a  Matriz nula Matriz cadrada:
  4. 4. TIPOS DE MATRICES Matriz diagonal: Matriz unidade ou identidade: Matriz Triangular: matriz triangular inferior matriz triangular superior
  5. 5. MATRIZ TRASPOSTA Chámase TRASPOSTA dunha matriz A, a matriz que se obtén ao cambiar na matriz A as filas polas columnas Matriz simétrica: Unha matriz cadrada A é simétrica cando A = At Matriz antisimétrica: Unha matriz cadrada é antisimétrica cando -A = At
  6. 6. SUMA E DIFERENCIA DE MATRICES non se poden sumar. A + (B + C) = (A + B) + C Propiedade Asociativa A + B = B + A Propiedade conmutativa Matriz NulaA + 0 = A (0 é a matriz nula) Só se poden sumar ou restar matrices coa mesma dimensión
  7. 7. PRODUCTO DUNHA MATRIZ POR UN NÚMERO PROPIEDADES PRODUCTO DUN Nº POR UNHA MATRIZ a.(b.A)=(a.b).A a.(A+B)=a-A+a.B (a+b).A=a.A+b.A 1.A=A
  8. 8. PROPIEDADES DO PRODUCTO DE MATRICES Para que dúas matrices se poidan multiplicar é necesario que o nº de columnas da primeira coincida co nº de filas da segunda ASOCIATIVA: (A.B).C=A.(B.C) DISTRIBUTIVA : A.(B+C) = A.B+A.C (A+B).C = A.C+B.C NON É CONMUTATIVO : A.B ≠ B. A. PRODUCTO DE MATRICES
  9. 9. DETERMINANTE DUNHA MATRIZ CADRADA Determinante de orden 2 Determinante de orden 3
  10. 10. DETERMINANTE DE ORDEN n MENOR COMPLEMENTARIO. ADXUNTO.  Sexa A unha matriz cadrada de orden n, chámase menor complementario do elemento aij ao determinante da matriz que resulta o suprimir en A a fila i e a columna j, designase M ij  Chámase adxunto do elemento aij e denotase Aij a Aij= (-1) i+ j Mij  Defínese determinante de A como a suma dos elementos dunha liña polos seus respectivos adxuntos.
  11. 11. PROPIEDADES DOS DETERMINANTES Todas as propiedades que se enuncian para filas tamén son certas para columnas.  Se se multiplican todos os elementos dunha fila por un nº o determinante queda multiplicado por dito número.  Se se permutan dúas filas o determinante cambia de signo.  Se todos os elementos dunha fila son 0 o determinante é 0.  Se dúas filas son iguais ou proporcionais o determinante é 0.  Se cada elemento dunha fila é suma de 2 sumandos , o determinante é igual á suma de dous determinantes que teñan nesa fila os primeiros e os segundos sumandos respectivamente e nas demais os mesmos elementos que o determinante inicial.  Se a unha fila se lle suma un múltiplo doutra o determinante non varía.  Se as filas son linearmente dependentes o determinante é 0.
  12. 12. Unha matriz cadrada que ten inversa dise que é inversible ou regular; en caso contrario recibe o nome de singular. MATRIZ INVERSA Hai varios métodos para calcular a matriz inversa dunha matriz dada: método de Gauss Usando determinantes Directamente Chámase inversa dunha matriz cadrada A de orden n a outra matriz de orden n, B que verifique que A·B = B· A = In Unha matriz cadrada ten inversa cando e só cando o seu determinante é distinto de 0
  13. 13. A matriz que se calculou realmente sería a inversa pola "dereita", pero é fácil comprobar que tamén cumpre A-1 · A = I, co que é realmente a inversa de A. Dada a matriz buscamos unha matriz que cumpra A·A-1 = I2, é dicir Para elo propoñemos o sistema de ecuacións: Cálculo Directo da Matriz Inversa
  14. 14. Cálculo da matriz inversa usando determinantes t adxA A A )( 11 =−
  15. 15. O rango non pode ser maior ao número de filas ou de columnas. RANGO DUNHA MATRIZ Chámase “menor” de orden p dunha matriz ao determinante que resulta de eliminar certas filas e columnas ata quedar una matriz cadrada de orden p. É dicir, ao determinante de calquera submatriz cadrada de A Nunha matriz A m×n pode haber varios menores de orden p. Definición: Rango dunha matriz é a orde do maior menor non nulo que se poida formar na matriz. Consecuencia
  16. 16. As dúas primeiras filas son L.I. a terceira depende linealmente das dúas primeiras RANGO DUNHA MATRIZ Vectores fila dunha matriz: As filas dunha matriz poden ser consideradas como vectores. É posible que sexan linealmente Independentes (L.I.) e é posible que uns dependan linealmente de outros. Por exemplo: As dúas primeiras líñas son L.I., as outras dúas dependen linealmente das primeiras As súas dúas son linealmente independentes      = 2431 5232 A               = 43 50 12 31 B           −− = 158 209 351 C 2123 FFF −⋅= 214 FFF += 312 FFF =− Chámase rango dunha matriz ao número de filas Linealmente Independentes
  17. 17. Teorema Nunha matriz o número de filas L.I. coincide co número de columnas L.I. RANGO DUNHA MATRIZ Vectores columna dunha matriz: Tamén as columnas dunha matriz poden ser consideradas como vectores. Poderíamos definir rango da matriz como o número de columnas linealmente independentes, pero aparece a dúbida de se esa definición pode contradecir á anterior. Rango dunha matriz é o número de filas, ou columnas, linealmente independentes.
  18. 18. O rango dunha matriz podémolo calcular por dous métodos diferentes: RANGO DUNHA MATRIZ  Polo método de Gauss  Usando Determinantes
  19. 19. Cálculo do rango: método de Gauss  Se se permutan dúas filas o rango non varía  Se se multiplica unha fila por un nº non nulo o rango non varía  Se a unha fila se lle suma ou resta outra paralela o rango non varía
  20. 20. Cálculo do rango dunha matriz polo método de Gauss
  21. 21. Cálculo de rango por determinantes
  22. 22. Cálculo do rango dunha matriz polo método de Gauss

×