Tom tat cong thuc toan cap 3 day du

1. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
1
CAÊN BAÄC HAI
1. AA 2
2. BAAB . (A0, B0 ) 3.
B
A
B
A
 (A0, B>0)
4. BABA 2
(B0) 5. BABA 2
 (A0, B0) 6. BABA 2
 (A<0, B0)
7.
B
BA
B
A
 (B>0) 8. AB
BB
A 1
 (AB0, B≠0) 9) 2
)(
BA
BAC
BA
C




(A0, A≠B2
)
10)
BA
BAC
BA
C



(
(A0, B0, A≠B) 11)0  A < B  BA 
BAÛY HAÈNG ÑAÚNG THÖÙC ÑAÙNG NHÔÙ
2 2 2
( ) 2A B A AB B    2 2 2
( ) 2A B A AB B   
  2 2
A B A B A B   
 
3 3 2 2 3
3 3A B A A B AB B      
3 3 2 2 3
3 3A B A A B AB B    
 
33 3 2 2
( )( ) 3 ( )A B A B A AB B A B AB A B        
  3 3 2 2
A B A B A AB B    
 
22 2
2A B A B AB   
NHÔÙ 1: PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄT NHAÁT
Ax B
 A  0 : phöông trình coù nghieäm duy nhaát :
A
B
x  .
 A = 0 vaø B  0 : phöông trình voâ nghieäm.
 A = 0 vaø B = 0 : phöông trình voâ soá nghieäm.( x R  )
Ax B
 A > 0 :
A
B
x  0
B
A x
A
   
 A = 0 vaø B  0 : voâ nghieäm A = 0 vaø B < 0 : voâ soá nghieäm.( )x R 
NHÔÙ 2 : HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄT NHAÁT HAI AÅN SOÁ
1/. Daïng :





///
cybxa
cbyax
2/. Caùch giaûi : baab
ba
ba
D //
//
 ; bccb
bc
bc
Dx
//
//
 ; caac
ca
ca
Dy
//
//

 D  0 : heä coù nghieäm duy nhaát







D
D
y
y
D
D
x x

2. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
2
 D = 0 vaø Dx  0
Heä voâ nghieäm.
D = 0 vaø Dy  0
 D = Dx = Dy = 0 : Heä voâ soá nghieäm tuøy thuoäc a, b, c, a/
, b/
, c/
NHÔÙ 3 : PHÖÔNG TRÌNH BAÄT HAI MOÄT AÅN
ax2
+ bx + c = 0 ( a  0)
  = b2
– 4ac
 > 0
a
b
x
2
1

 ,
a
b
x
2
2


 = 0
Nghieäm keùp
a
b
xx
2
21 
 < 0 Voâ nghieäm
 /
= b/ 2
– ac
/
> 0
a
b
x
//
1

 ,
a
b
x
//
2


/
= 0
Nghieäm keùp
a
b
xx
/
21 
/
< 0 Voâ nghieäm
Chuù yù:  a + b + c = 0 : Nghieäm x1 = 1, x2 =
a
c
 a – b + c = 0 : Nghieäm x1 = –1, x2 =
a
c
 .
Cho tam thức f(x) = ax2
+ bx + c ( 0)a  có 2
4b ac  
f(x) = 0 có hai nghiệm 0  ;f(x) = 0 có nghiệm kép 0  ; f(x) = 0 vô nghiệm 0 
f(x) = 0 có hai nghiệm trái dấu
0
0
a
P
 
 

f(x) = 0 có hai nghiệm cùng dấu
0
0
a
P
 
 

f(x) = 0 có hai nghiệm âm
0
0
0
0
a
S
P

 


 

 
f(x) = 0 có hai nghiệm dương
0
0
0
0
a
S
P

 


 

 
f(x) > 0
0
0
a
x

 
  

f(x)  0
0
0
a
x

 
  

f(x) < 0
0
0
a
x

 
  

f(x)  0
0
0
a
x

 
  

f(x) > 0 vô nghiệm  f(x) 0 x 
0
0
a

 
 

f(x)  0 vô nghiệm  f(x) 0 x 
0
0
a

 
 

f(x) < 0 vô nghiệm  f(x) 0 x 
0
0
a

 
 

f(x)  0 vô nghiệm  f(x) 0 x 
0
0
a

 
 


3. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
3
NHÔÙ 4 : DAÁU NHÒ THÖÙC
f(x) = ax + b ( a  0)
x
– 
a
b
 +
f(x) Traùi daáu a 0 cuøng daáu a
NHÔÙ 5 : DAÁU TAM THÖÙC
f(x) = ax2
+ bx + c ( a  0) ( Nhôù : TRONG TRAÙI NGOAØI CUØNG)
Neáu Thì





0
0
a





0
0
a
f(x) > 0, x
f(x) < 0, x





0
0
a





0
0
a
f(x) > 0, x 
a
b
2

f(x) < 0, x 
a
b
2

 > 0 x –  x1 x2 +
f(x) cuøng daáu a 0 traùi daáu a 0 cuøng daáu a
Hoaëc :
f(x) = ax bx c2
  (a  0)
 < 0 a.f(x) > 0, x  R
 = 0 a.f(x) > 0, x 
b
R
a
2
 
 
 
 > 0
a.f(x) > 0, x  (–∞; x1)  (x2 ∞; + )
a.f(x) < 0, x  (x1; x2)
NHÔÙ 6 : SO SAÙNH NGHIEÄM CUÛA TAM THÖÙC BAÄC HAI VÔÙI CAÙC SOÁ
Cho: f(x) = ax2
+ bx + c ( a  0) vaø ,  laø hai soá thöïc(  )
1/. x1 <  < x2  af(x) < 0 2/. x2 > x1 >  










0
2
0)(
0


S
af 3/. x1 < x2 <  










0
2
0)(
0


S
af
4/. x1<  <  < x2 





0)(
0)(


af
af
5/. x1<  < x2 < 





0)(
0)(


af
af
6/. 




21
21
xx
xx


 0)()(  ff 7/.  < x1 < x2 < 















2
0)(
0)(
0
S
af
af
 Chuù yù:

4. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
4
1/. x1 < 0 < x2  P < 0 2/. x2 > x1 > 0 








0
0
0
S
P 3/. x1 < x2 < 0 








0
0
0
S
P
NHÔÙ 7 : PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN
1/.





 K
K
BA
B
BA 2
2
0
2/.






)0(0
22
hayBA
BA
BA KK
 
g x
f x g x
f x g x
2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
 
  

f x hoaëc g x
f x g x
f x g x
( ) 0 ( ( ) 0)
( ) ( )
( ) ( )
  
  

NHÔÙ 8 : BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN
1/.









K
K
BA
B
A
BA
2
2
0
0
2/.

















K
K
BA
B
A
B
BA
2
2
0
0
0
3/. 1212 
 KK
BABA
 
f x
f x g x g x
f x g x
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
 
  
   
g x
f x
f x g x g x
f x g x
2
( ) 0
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
 
    
 
NHÔÙ 9 : PHÖÔNG TRÌNH COÙ DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI
1/.

















0
0
B
BA
B
BA
BA 2/. 





BA
BA
BA Chuù yù:

















0
)()(
0
)()(
)()(
x
xgxf
x
xgxf
xgxf
NHÔÙ 10 : BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI
1/.






0B
BAB
BA 2/.
0
0
0
B
A B
A B
B
A B
B



 
  


 
 
3/. 22
BABA 
 
 
 
neáu 0
neáu 0
A A
A
A A
;  
2 2
,A A A

5. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
5
NHÔÙ 11 : BAÁT ÑAÚNG THÖÙC
1/. ÑÒNH NGHÓA :
Daïng : A > B, A  B , A < B, A  B
2/. TÍNH CHAÁT :
a) abba  ; b) ca
cb
ba






; c) cbcaba  ;d) 





0,
0,
cbcac
cbcac
ba
e) dbca
dc
ba






;f) bdac
dc
ba






0
0
;g)








0;
11
0;
11
abkhi
ba
abkhi
ba
ba
3/. BÑT Coâ Si :
Cho n soá töï nhieân khoâng aâm a1, a2, a3,......, an
n
n
n
aaaa
n
aaaa
.......
.......
321
321


Hay
n
n
n
n
aaaa
aaaa 




 

.......
....... 321
321
Daáu ñaúng thöùc xaûy ra  a1 = a2 = a3 = ......... = an.
Cô si cho 2 số không âm: , 0a b  : 2a b ab  .Dấu “=” xảy ra khi a b .
Tính chất: Cho 2 số không âm ,a b .
 Nếu a b  hằng số thì .a b đạt giá trị lớn nhất khi a b .
 Nếu .a b hằng số thì ( )a b đạt giá trị nhỏ nhất khi a b .
4/. BÑT Bunhia Coâp ski :
Cho a1, a2, a3,......, an, b1, b2, b3,......, bn laø nhöõng soá töïc khi ñoù:
)....)(....().....(
22
2
2
1
22
2
2
1
2
2211 nnnn bbbaaabababa 
Daáu ñaúng thöùc xaûy ra  ai = k.bi , i = 1 , 2 , 3,. ...., n
5/. BÑT BecnuLi :
Cho : a > –1, n  N.Ta coù : (1 + a)n
 1 + na Ñaúng thöùc xaûy ra 





1
0
n
a
6/. BÑT tam giaùc :
BABA  .Ñaúng thöùc xaûy ra  AB  0.
NHÔÙ 12 : COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC
A. HEÄ THÖÙC CÔ BAÛN ( 6 coâng thöùc )
1/. 2 2
1sin x cos x  2/.
sinx
tanx
cosx
 3/.
cosx
cotx
sinx

4/. . 1tanx cotx  5/. 2
2
1
1 tan x
cos x
  6/. 2
2
1
1 cot x
sin x
 
Ñieàu kieän toàn taïi :
 tanx laø(x  / 2 + k , k  Z)  cotx laø (x  k , k  Z)
 sinx laø – 1  Sinx  1  cosx laø – 1  Cosx  1
Chuù yù :
 a2
+ b2
= ( a + b)2
– 2ab  a3
+ b3
= ( a + b)3
– 3ab( a + b)
B. COÂNG THÖÙC COÄNG ( 8 coâng thöùc ):

6. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
6
7/. ( ) cos . sin .cos a b a cosb a sinb   8/. ( ) cos . sin .cos a b a cosb a sinb  
9/. ( ) sin . cos .sin a b a cosb a sinb   10/. ( ) sin . .sin a b a cosb cosa sinb  
11/. ( )
1 tan .
tana tanb
tan a b
a tanb

 

12/. ( )
1 .
tana tanb
tan a b
tana tanb

 

13/.
cot . 1
( )
a cotb
cot a b
cota cotb

 

14/.
cot 1
( )
acotb
cot a b
cota cotb

 

C. COÂNG THÖÙC NHAÂN:
I. NHAÂN ÑOÂI : ( 3 coâng thöùc)
15/. 2 2sin .sin a a cosa 16/. 2 2 2 2
2 2 1 1 2cos a cos a sin a cos a sin a     
17/. 2
2
2
1
tana
tan a
tan a


II. NHAÂN BA : ( 3 coâng thöùc)
18/. CosaaCosaCos 343 3
 19/. aSinSinaaSin 3
433  20/.
aTan
aTanTana
aTan 2
3
31
3
3



III.HAÏ BAÄC : ( 4 coâng thöùc)
21/.
2
212 aCos
aSin

  aSinaCos 2
221 
22/.
2
212 aCos
aCos

  aCosaCos 2
221 
23/.
4
333 aSinSina
aSin

 24/.
4
333 aCosCosa
aCos


IV. GOÙC CHIA ÑOÂI : ( 3 coâng thöùc) vôùi
2
x
Tant 
25/. 2
1
2
t
t
Sinx

 26/. 2
2
1
1
t
t
Cosx


 , 27/. 2
1
2
t
t
Tanx


D. TOÅNG THAØNH TÍCH : ( 8 coâng thöùc)
28/.
22
2
b
Cos
b aa
CosCosbCosa

 29/.
22
2
ba
Sin
ba
SinCosbCosa


30/.
22
2
b
Cos
b aa
SinSinbSina

 31/.
22
2
ba
Sin
ba
CosSinbSina


32/.
CosaCosb
baSin
TanbTana
)( 
 33/.
CosaCosb
baSin
TanbTana
)( 

34/.
SinaSinb
baSin
CotbCota
)( 
 35/.
SinaSinb
baSin
CotbCota
)( 

E. TÍCH THAØNH TOÅNG : ( 3 coâng thöùc)
36/.   )(
2
1
baCosbaCosCosaCosb  37/.  )()(
2
1
baCosbaCosSinaSinb 
38/.  )()(
2
1
baSinbaSinSinaCosb 

7. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
7
CHUÙ YÙ:
 
2
2 2 2
1 sin 2 sin cos ;1 sin 2 (sin cos ) ;1 sin (sin cos ) ;1 sin sin cos
2 2 2 2
x x x x
x x x x x x x x
 
            
 
2 2 2 2
1 cos2 2sin ;1 cos2 2cos ;1 cos 2cos ;1 cos 2sin
2 2
x x
x x x x x x       
sin cos 2 sin 2 cos ;sin cos 2 sin ;cos sin 2 cos
4 4 4 4
x x x x x x x x x x
          
                 
       
sin 3 cos 2cos 2sin ; 3sin cos 2sin 2cos
6 3 6 3
x x x x x x x x
          
                
       
F. CUNG LIEÂN KEÁT :
Góc hơn kém  Góc hơn kém
2

sin( ) sin     sin cos
2

 
 
  
 
cos( ) cos     cos sin
2

 
 
   
 
tan( ) tan    tan cot
2

 
 
   
 
cot( ) cot    cot tan
2

 
 
   
 
Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau
cos( ) cos   sin( ) sin    sin cos
2

 
 
  
 
sin( ) sin    cos( ) cos     cos sin
2

 
 
  
 
tan( ) tan    tan( ) tan     tan cot
2

 
 
  
 
cot( ) cot    cot( ) cot     cot tan
2

 
 
  
 

8. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
8
G. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt:
NHÔÙ 13 : PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
A. CÔ BAÛN :
Sinu = Sinv 







2
2
kvu
kvu
k  Z
Cosu = Cosv 2kvu 
Tanu = Tanv kvu 
Cotu = Cotv kvu 
Sinu = 0 ku 
Sinu = 1  22/ ku 
Sinu = –1  22/ ku 
Cosu = 0  ku  2/
Cosu = 1 2ku 
Cosu = – 1  2ku 
B. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT ÑOÁI VÔÙI Sin vaø Cos
Daïng: aSinx + bCosx = c (1) ( a2
+ b2
 0 ). Phöông phaùp :
Caùch 1: Chia hai veá cho 22
ba  .Ñaët :  Sin
ba
b
Cos
ba
a



 2222
; .
(1)
22
)(
ba
c
xSin

 (*). (*) Coù nghieäm khi : 1
22

 ba
c 222
cba  .
(*) Voâ nghieäm khi 222
cba 
Caùch 2:  Kieåm chöùng x = (2k + 1) coù phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình hay khoâng?
0
6

4

3

2
 2
3
 3
4


3
2

2
00
300
450
600
900
1200
1350
1800
2700
3600
sin 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
0 –1 0
cos 1
3
2
2
2
1
2
0
1
2

2
2
 –1 0 1
tan 0
3
3
1 3 3 –1 0 0
cot 3 1
3
3
0
3
3
 –1 0

9. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
9
Xeùt x  (2k + 1) .Ñaët :
2
x
Tant  . Theá 2
2
2
1
1
;
1
2
t
t
Cosx
t
t
Sinx




 .
Vaøo phöông trình (1)  t ?  x ?
C. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI:
1/. Ñoái vôùi moät haøm soá löôïng giaùc: Giaû söû a 0
02
 cbSinxxaSin ( ñaët 1,  tSinxt ) 02
 cbCosxxaCos (ñaët 1,  tCosxt )
 02
 cbTanxxaTan ( ñaët 

kxTanxt 
2
, )
 02
 cbCotxxaCot ( ñaët kxCotxt  , )
2/. Phöông trình ñaúng caáp ñoái vôùi Sinx, Cosx
Daïng:  022
 xcCosbSinxCosxxaSin (1)
 03223
 xdCosxcSinxCosxCosxbSinxaSin (2)
Phöông phaùp :
Caùch 1:
 Kieåm x = / 2 + k coù phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình ?
 Chia hai veá cho Cos2
x ( daïng 1), chia Cos3
x ( daïng 2) ñeå ñöa phöông trình ñaõ cho
veà daïng phöông trình baäc hai, baäc ba ñoái vôùi Tanx.
Caùch 2:
Daïng (1) coù theå söû duïng coâng thöùc haï baäc vaø
2
2xSin
SinxCosx  theá vaøo
3/. Phöông trình ñoái xöùng cuûa Sinx, Cosx:
Daïng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)
Phöông phaùp: Ñaët : 2),
4
(2  txSinCosxSinxt

0
2
1
(*)
2


 c
t
bat t ( neáu coù) x
Chuù yù: Daïng a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) giaûi töông töï :
Ñaët : 2),
4
(2  txSinCosxSinxt

0
2
1
(*)
2


 c
t
bat  t ? ( neáu coù)  x ?
D. PHÖÔNG TRÌNH ÑAËC BIEÄT
: 1/. Toång bình phöông :
 A2
+ B2
+ .
+ Z2
= 0  A = B = ......= Z = 0
 A  0, B  0,......, Z  0
Ta coù : A + B + .... + Z = 0  A = B = .....= Z = 0
2/. Ñoái laäp :
Giaû söû giaûi phöông trình A = B(*). Neáu ta chöùng minh 




KB
KA






KB
KA
(*)
3/.








klBA
kB
lA






kB
lA
4/. 1,1  BA






1
1
1
B
A
AB hay





1
1
B
A
NHÔÙ 14: HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAC

10. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
10
H
B
C
A
1.TAM GIAÙC THÖÔØNG ( caùc ñònh lyù)
Haøm soá Cosin
 bcCosAcba 2222


bc
acb
CosA
2
222


Haøm soá Sin
 R
SinC
c
SinB
b
SinA
a
2

R
a
SinARSinAa
2
,2 
Haøm soá Tan 
ba
ba
BA
Tan
BA
Tan





2
2
Caùc chieáu  cCosBbCosCa 
Trung tuyeán 
4
)(2 222
2 acb
ma


Phaân giaùc 
2 .
2
a
A
bc Cos
l
b c


Dieän tích
 cba chbhahS
2
1
2
1
2
1

 abSinCacSinBbcSinAS
2
1
2
1
2
1

 prS 

R
abc
S
4

 ))()(( cpbpappS 
Chuù yù:

2
)(
2
)(
2
)(
C
Tancp
B
Tanbp
A
Tanap
p
S
r 

SinC
c
SinB
b
SinA
a
S
abc
R
2224

 a, b, c : caïnh tam giaùc.
 A, B, C: goùc tam giaùc.
 ha: Ñöôøng cao töông öùng vôùi caïnh a.
 ma: Ñöôøng trung tuyeán veõ töø A.
 R, r : Baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi, noäi tieáp tam giaùc.

2
cba
p

 Nöõa chu vi tam giaùc.
2.HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC VUOÂNG:

ACABBCAH
CHBHAH
..
.2


 BCBHAB .2

 CBCHAC .2

 222
ACABBC 
222
111
ACABAH


11. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
11
NHÔÙ 15: MOÄT SOÁ BAØI TOÙAN CAÀN NHÔÙ
CHO TAM GIAÙC ABC :
1/.
222
4 Cos
CB
Cos
A
CosSinCSinBSinA 
2/.
222
41
C
Sin
B
Sin
A
SinCosCCosBCosA 
3/. TanCTanBTanATanCTanBTanA .. ( tam giaùc ABC khoâng vuoâng)
4/.
2
.
2
.
2222
Cot
CB
Cot
A
Cot
C
Cot
B
Cot
A
Cot 
5/. 1
2
.
22
.
22
.
2
 Tan
AC
Tan
C
Tan
B
Tan
B
Tan
A
Tan
6/. CosCCosBCosACSinBSinASin ..22222

7/. CosCCosBCosACCosBCosACos ..21222

8/. SinCBASin  )( ; CosCBACos  )( ;
22
C
Cos
BA
Sin 

;
22
C
Sin
BA
Cos 

22
C
Cot
BA
Tan 

9/.
8
33
.. SinCSinBSinA 10/.
8
1
.. CosCCosBCosA 11/.
8
33
2
.
2
.
2
Cos 
CB
Cos
A
Cos
12/.
8
1
2
.
2
.
2

C
Sin
B
Sin
A
Sin 13/.
4
3222
 CCosBCosACos
14/.
9
4222
 CSinBSinASin 15/. 9222
 CTanBTanATan
16/. 1
2224
3 222

C
Sin
B
Sin
A
Sin 17/.
4
9
222
2 222
 Cos
CB
Cos
A
Cos
18/. 1
222
222
 Tan
CB
Tan
A
Tan 19/. 9
222
222
 Cot
CB
Cot
A
Cot
20/.
2
33
222  CSinBSinASin 21/.
2
3
222  CCosBCosACos
NHÔÙ 16 : HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC
1.a)ÑÒNH NGHÓA 1: Haøm soá )(xfy  goïi laø lieân tuïc taïi ñieåm x = a neáu :
1/. )(xf xaùc ñònh taïi ñieåm x = a. 2/. )()(lim afxf
ax


b)ÑÒNH NGHÓA 2: )(xf lieân tuïc taïi ñieåm x = a )()(lim)(lim afxfxf
axax
 

2. ÑÒNH LYÙù :Neáu )(xf lieân tuïc treân [a, b] vaø 0)().( bfaf thì toàn taïi ít nhaát moät ñieåm c (a, b)
sao cho 0)( cf .
NHÔÙ 17 : HAØM SOÁ MUÕ
1/. ÑÒNH NGHÓA : Cho a > 0, a  1 ( coá ñònh). Haøm soá muõ laø haøm soá xaùc ñònh bôûi coâng thöùc :
y = ax
( x  R)
2/. TÍNH CHAÁT :
a) Haøm soá muõ lieân tuïc treân R. b) y = ax
> 0 moïi x  R

12. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
12
c) a > 1 : Haøm soá ñoàng bieán : 21
21
xxaa xx

d) 0 < a < 1 : Haøm soá nghòch bieán: 21
21
xxaa xx

3/. ÑOÀ THÒ :
(a> 1) y ( 0 < a < 1) y
1 1
4.COÂNG THÖÙC:
.
1) . ; 2) ; 3)( ) ; 4)( ) . ; 5)
a a a
a a a a a a ab a b
a b b
 
            
 
   
     
 
6) . . ;7)
n
n n n n
n
a a
a b a b
bb
    . .
8) ;
m
n n k nm m k mn
a a a a  .
,
9) ;10)
,
n n n m n m
a
a a a
a

 

11) 0
1a 
1na na
  12) (**)( )nn
m
n mna a a b b a   
5.PHÖÔNG TRÌNH MUÕ:
( ) ( )
0 1 : ( ) ( )f x g x
a a a f x g x    
6.BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ:
( ) ( )
1 : ( ) ( )f x g x
a a a f x g x   
( ) ( )
0 1 : ( ) ( )f x g x
a a a f x g x    
NHÔÙ 18 : HAØM SOÁ LOGARIT
1/. Ñònh nghóa :
a Với số 0,10  ba . baba  
log .
b) Haøm soá logarit theo cô soá a ( a > 0, a  1 ) cuûa ñoái soá x laø haøm soá ñöôïc cho bôûi coâng
thöùc: y = logax ( vôùi x > 0, a > 0, a  1)
2/. TÍNH CHAÁT VAØ ÑÒNH LYÙ CÔ BAÛN VEÀ logarit :
1)log 1 0 ; log 1a a a  2) cbcb aaa loglog).(log  3) cb
c
b
aaa logloglog 





;
4) bb aa log.log 
 5)
1
log logaa
b b

 6)log logaa
b b
 


6)
1 1
log log ;log logn
a a a ab b b
b n
   7) ccb
b
c
c aba
a
a
b loglog.log
log
log
log  ;
8)
1
log
log
a
b
b
a
 9) loga b
a b ; 10) log logb bc a
a c
11)
cbcba
cbcba
aa
aa


0loglog:10
0loglog:1
3. GIỚI HẠN: 1
)1ln(
lim;1
1
lim
00




 x
x
x
e
x
x
x

13. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
13
4/. ÑOÀ THÒ :
(a> 1) y ( 0 < a < 1) y
1 1
0 x 0 x
4/. PHÖÔNG TRÌNH Logarit :
)()()(log)(log xgxfxgxf aa 
( f(x) hoaëc g(x) > 0 , 0 < a  1 )
5/. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH Logarit :
 (*))(log)(log xgxf aa 





 
)()(
0)(
(*) 1
xgxf
xfa





  
)()(
0)(
(*) 10
xgxf
xga
NHÔÙ 19 : ÑAÏO HAØM
I/. ÑÒNH NGHÓA ÑAÏO HAØM :
 Cho haøm soá y = f(x) , xaùc ñònh treân ( a, b) , x0  ( a, b). Ta noùi f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 neáu
giôùi haïn 0


xkhi
x
y
toàn taïi.
x
xfxxf
x
y
xf
xx 






)()(
limlim)( 00
00
0
'
 Ñaïo haøm beân traùi :
x
y
xf
x 

 


0
0
'
lim)( ( toàn taïi )
 Ñaïo haøm beân phaûi :
x
y
xf
x 

 


0
0
'
lim)( ( toàn taïi )
 Cho y = f(x) xaùc ñònh treân (a, b).y = f(x) coù ñaïo haøm taïi x0  (a, b)  f ‘
(x0
+
) = f ’
(x0
–
)
II/. QUI TAÉC TÍNH ÑAÏO HAØM :
Giaû söû u = u(x), v = v(x), w = w(x) Laø caùc haøm soá coù ñaïo haøm, khi ñoù:
1)(u + u - w)' = u' + v' - w'; 2) (uv)' = u'v + v'u; 3) (k.u)' = k.u' (k R )
4) 2
''
)'(
v
uvvu
v
u 
 5) 2
'
)'
1
(
v
v
v
 .
III/. BAÛNG ÑAÏO HAØM CUÛA CAÙC HAØM SOÁ SÔ CAÁP CÔ BAÛN :
Ñaïo haøm soá sô caáp cô baûn Ñaïo haøm haøm soá hôïp (u = u(x))
(C)' = 0
(x
)' = x-1
(  R, x > 0)
x
x
2
1
)'(  (x > 0)
(u
)' = u-1
.u'(  R, u > 0)
u
u
u
2
'
)'(  (u > 0)

14. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
14
Haøm soá sô caáp Haøm hôïp (u = u(x))
(ex
)' = ex
(ax
)' = ax
lna
(eu
)' = eu
.u'
(au
)' = au
lna.u'
x
x
1
)'(ln 
ax
xa
ln
1
)'(log 
u
u
u
'
)'(ln 
au
u
ua
ln
'
)'(log 
MOÄT SOÁ COÂNG THÖÙC TÍNH ÑAÏO HAØM CUÛA HAØM SOÁ ÑAËC BIEÄT:
 (
dcx
bax


)' = 2
)( dcx
bcad


 2
22
)(
2
)'(
edx
dcbeaexadx
edx
cbxax






2 2
2 2 2
( ) 2( )
( )'
( )
ax bx c ae bd x af dc x bf ec
dx ex f dx ex f
      

   
NHÔÙ 20 : ÑÒNH LYÙ LAGRAÊNG
Neáu f(x) lieân tuïc treân [a, b] vaø coù ñaïo haøm treân khoaûng (a, b) thì toàn taïi ít nhaát moät ñieåm x = c
, c  (a, b): f(b) – f(a) = f ‘
(c)(b – a)
NHÔÙ 21 : BAÛNG TÍCH PHAÂN
1/. COÂNG THÖÙC NewTon _ Leibnitz :
  
b
a
b
a aFbFxFdxxf )()()()( (vôùi F(x) laø nguyeân haøm cuûa f(x) treân  ,a b )
2/. TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN :
 
b
a
b
a
a vduvu b
udv ].[ vôùi u, v lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm lieân tuïc treân [a, b]
3/. ÑOÅI CÔ SOÁ:
  


 dtttfdxxf
b
a
)(.)()( '
vôùi x = (t) laø haøm soá lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm ’
(t) lieân tuïc treân [a, b] ,   t  
a = (), b = (), f[(t)] laø haøm soá lieân tuïc treân [, ]
4/. TÍNH CHAÁT :
a)  
b
a
a
b
dxxfdxxf )()( b) 0)( 
a
a
dxxf
c)  
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()( d)   
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
2
1
)'
1
(
xx
 (x  0) 2
'
)'
1
(
u
u
u
 (u  0)
(sinx)' = cosx
(cosx)' = -sinx
(tanx)' =
x2
cos
1
(x  

k
2
, k  Z)
(cotx)' = -
x2
sin
1
(x  k, k  Z).
(sinu)' = cosu.u'
(cosu)' = -sinu.u'
(tanu)' =
u
u
2
cos
'
(u  

k
2
, k  Z)
(cotu)' = -
u
u
2
sin
'
(u  k, k  Z).

15. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
15
e)   
b
a
b
a
RKdxxfKdxxKf ,)()(
f) Neáu m  f(x)  M thì )()()( abMdxxfabm
b
a
 
5.BAÛNG NGUYEÂN HAØM CUÛA CAÙC HAØM SOÁ ÑÔN GIAÛN
u là hàm số theo biến x,
tức là ( )u u x
*Trường hợp đặc biệt , 0u ax b a  
*Nguyên hàm của các hàm số đơn giản
dx x C  du u C 
. .k dx k x C  , k là hằng
số
. .k du k u C 
1
1
x
x dx C




 

1
1
u
u du C




 

11 ( )
( ) . .
1
ax b
ax b dx C
a




  

1
lndx x C
x
 
1
lndu u C
u
 
1 1
ln
( )
dx ax b C
ax b a
  

1 1
2
dx C
xx
  
1 1
2 uu
dx C  
1
2dx x C
x
 
1
2du u C
u
 
1 1
.2du ax b C
aax b
  

*Nguyên hàm của hàm số mũ:
Cx xe dx e  Cu ue du e  1ax b ax be dx e C
a
  
Cx xe dx e    Cu ue du e   
,0 1
ln
C a
xaxa dx
a
   ln
C
uaua du
a
 . , 0
1
ln
m
m
mx namx na dx C
a


  
*Nguyên hàm của hàm số lượng giác:
cos . sin Cx dx x  cos . sin Cu du u  1
cos( ) sin( )ax b dx ax b C
a
   
sin . cosx dx x C   sin . cos Cu du u   1
sin( ) cos( )ax b dx ax b C
a
    
1
tan
2cos
dx x C
x
 
1
tan
2cos u
du u C 
1 1
tan( )
2cos ( )
dx ax b C
aax b
  


1
cot
2sin
dx x C
x
  
1
cot
2sin
du u C
u
  
1 1
cot( )
2sin ( )
dx ax b C
aax b
   


CHÚ Ý:
2 2
2 2
1 1
1 tan ;1 cot
cos sin
x x
x x
   

16. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
16
Một số ví dụ trong trường hợp đặc biệt
*Trường hợp đặc biệt u ax b  Ví dụ
1
cos . sin
k
kx dx kx C  ,( 2)
2
1
cos2 . sin 2 kx dx x C  
1
sin . cos
k
kx dx kx C   2
1
sin 2 . cos2x dx x C  
1
C
k
kx kxe dx e 
1
2
2 2 Cx xe dx e 
11 ( )
( ) . .
1
ax b
ax b dx C
a




  

2 1
2 31
.(
2 2 1 6
1 (2 1)
(2 1) . . 2 1)
x
x dx C x C




    
1 1
ln
( )
dx ax b C
ax b a
  
 3
1 1
ln 3 1
3 1
dx x C
x
  

1 1
.2du ax b C
aax b
  

2
3 3
1 1
.2 3 5 3 5
3 5
du x C x C
x
    

1ax b ax be dx e C
a
   2
12 1 2 1x xe dx e C  
. , 0
1
ln
m
m
mx namx na du C
a


  
5
5 .
2
2 112 1
ln5
x
x dx C

  
1
cos( ) sin( )ax b dx ax b C
a
    2
1
cos(2 1) sin(2 1)x dx x C   
1
sin( ) cos( )ax b dx ax b C
a
     3
1
sin(3 1) cos(3 1)x dx x C    
1 1
tan( )
2cos ( )
dx ax b C
aax b
  

 2
1 1
tan(2 1)
2cos (2 1)
dx x C
x
  


1 1
cot( )
2sin ( )
dx ax b C
aax b
   

 3
1 1
cot(3 1)
2sin (3 1)
dx x C
x
   


*Chú ý: Những công thức trên có thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm vế trái hoặc tính bằng phương
pháp đổi biến số đặt .?. .?.u ax b du dx dx du     
Ví dụ: Chứng minh , 0
1
cos( ) sin( ) aax b dx ax b C
a
   
Giải: Đặt
1
)' . .( b dx a dx dx du
a
u ax b du ax       
Suy ra
1 1 1 1
cos( ) cos . . cos . .sin sin( )ax b dx u du u du u C ax b C
a a a a
         
2 2
1 1
ln
2
x a
dx
x a a x a


 
NHÔÙ 22 : HOAÙN VÒ _ TOÅ HÔÏP _ CHÆNH HÔÏP
1/. HOAÙN VÒ : !nPn 
2/. TOÅ HÔÏP :
!
!( )!
k
n
n
C
k n k



17. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
17
 Kn
nn CK
C 

 10
 n
n
nC C
 K
n
K
n
K
n CCC  

1
11
 nn
nnn CCC 21
......0

3/. CHÆNH HÔÏP : )0(
)!(
!
nK
Kn
n
AK
n 


NHÔÙ 23 : SOÁ PHÖÙC
1. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC:
 Tập hợp số phức: C
 Số phức (dạng đại số) : z a bi 
(a, b R , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2
= –1)
 z là số thực  phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
z là thuần ảo  phần thực của z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
 Hai số phức bằng nhau:
'
’ ’ ( , , ', ' )
'
a a
a bi a b i a b a b R
b b
 
    

2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC: Số phức z = a + bi (a, b )R được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi
( ; )u a b

trong mp(Oxy) (mp phức)
3. CỘNG TRỪ SỐ PHỨC:
        ’ ’ ’ ’a bi a b i a a b b i               ’ ’ ’ ’a bi a b i a a b b i      
 Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi
 u

biểu diễn z, 'u

biểu diễn z' thì 'u u
 
biểu diễn z + z’ và 'u u
 
biểu diễn z – z’.
4. NHÂN HAI SỐ PHỨC :
       ' ' ’– ’ ’ ’a bi a b i aa bb ab ba i    
 ( ) ( )k a bi ka kbi k R   
5. SỐ PHỨC LIÊN HỢP: của số phức z = a + bi là z a bi 
 1 1
2 2
; ' '; . ' . ';
z z
z z z z z z z z z z
z z
 
      
 
; 2 2
.z z a b 
 z là số thực  z z ; z là số ảo  z z 
6. MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC : z = a + bi
 2 2
z a b zz OM   

 0, , 0 0z z C z z     
 . ' . 'z z z z 
' '
z z
z z
  ' ' 'z z z z z z    
7. CHIA HAI SỐ PHỨC:
 1
2
1
z z
z

 (z  0)  1
2
' '. '.
'
.
z z z z z
z z
z z zz

   
'
'
z
w z wz
z
  
8. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC:
 z x yi  Là căn bậc hai của số phức w a bi   2
z w 
2 2
2
x y a
xy b
  



18. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
18
 w = 0 Có đúng 1 căn bậc hai là z = 0.
 w 0 Có đúng hai căn bậc hai đối nhau.
 Hai căn bậc hai của a > 0 là a
 Hai căn bậc hai của a < 0 là .a i 
9. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI :Az2
+ Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A 0 ).
2
4B AC  
 0  : (*) có hai nghiệm phân biệt 1,2
2
B
z
A
  
 , (  là 1 căn bậc hai của )
 0  : (*) có 1 nghiệm kép: 1 2
2
B
z z
A
  
Chú ý: Nếu z0  C là một nghiệm của (*) thì 0z cũng là một nghiệm của (*).
10. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
 (cos sin )z r i   (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z  0)
2 2
cos
sin
r a b
a
r
b
r

  

  

  

  là một acgumen của z, ( , )Ox OM 
 1 cos sin ( )z z i R      
11. NHÂN CHIA SỐ PHỨC DƯỚI DẠNG LƯỢNG GIÁC:
Cho (cos sin ) , ' '(cos ' sin ')z r i z r i       :
  . ' '. cos( ') sin( ')z z rr i        cos( ') sin( ')
' '
z r
i
z r
    
12. CÔNG THỨC Moa–vrơ:
  (cos sin ) (cos sin )
n n
r i r n i n      , ( *
n N )
  cos sin cos sin
n
i n i n     
13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
 Số phức (cos sin )z r i   (r > 0) có hai căn bậc hai là:
cos sin
2 2
cos sin cos sin
2 2 2 2
r i
vaø r i r i
  
 
 
         
             
      
 Mở rộng: Số phức (cos sin )z r i   (r > 0) có n căn bậc n là:
2 2
cos sin , 0,1,..., 1n k k
r i k n
n n
  
   
 
   
NHÔÙ 24 : PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG MAËT PHAÚNG
A. VECTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ :
x
y

i

j
O
O
y
x
M2
M1
M(x;y)

19. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
19
 Nếu a

=x i

+y j

thì cặp số (x;y) là toạ độ của a

.Ký hiệu a

= (x ; y) hoặc a

(x ; y)
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ OM

được gọi là tọa độ của điểm M. Như
vậy, cặp số (x ; y) là tọa độ của M  OM

=(x ; y)
M(x ; y) OM

xi y j 
 
OM

=(x;y)
a. Tọa độ điểm:
Cho A( xA, yA ) B( xB, yB ):
1). ),( ABAB yyxxAB 

3). Toïa ñoä trung ñieåm I cuûa AB :









2
2
BA
BA
yy
y
xx
x
2). 2
),( ABAB yyxxAB  5) Tọa độ trọng tâm G: ;
3 3
A B C A B Cx x x y y y    
 
 
4). Toïa ñoä ñieåm M chia AB theo tæ soá k  1 :











k
yky
y
k
xkx
x
BA
BA
1
.
1
.
5)Cho ABC với đường phân giác trong AD và phân giác ngoài AE (D, E  BC) ta có:
AB
DB DC
AC
. 
  AB
EB EC
AC
.
 
.
b. Tọa độ véctơ: Cho : ),( 21 aaa 

),( 21 bbb 

:
1).







22
11
ba
ba
ba 2). ),( 2211 bababa 

3) 1 2. ( , ),( )k a ka ka k R

 
4). 2211 bababa 

6) 02211 

bababa 5).
2
21 a
2
aa 

7). 1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
.
,
.
a b a ba b
Cos a b
a b a a b b
      
   
 
  8) 1 2 2 1a b a b a b 
 

NHỚ 25: ÑÖÔØNG THAÚNG
1/. PHÖÔNG TRÌNH THAM SOÁ:





tayy
taxx
20
10
Vectô chæ phöông: ),( 21 aaa 

VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG:Là véc tơ song song hoặc nằm trên đường thẳng.
2/. PHÖÔNG TRÌNH TOÅNG QUAÙT :
Daïng 1: 2 2
0,( 0)Ax By C A B     .Phaùp vectô ),( BAn 

Dạng 2: 0 0( ) ( ) 0A x x B y y    .Khi biết đường thẳng đi qua điểm 0 0( ; )M x y
VÉC TƠ PHÁP TUYẾN:Là véc tơ có phương vuông góc với đường thẳng.
CHUÙ YÙ:
Coù VTPT: ( ; )n A B

VTCP: ),( ABa 

( hay ),( ABa 

),Vaø ngöôïc laïi.
Heä soá goùc: ( 0)
A
k B
B
  

20. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
20
4/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua M( x0, y0) coù heä soá goùc k : 0 0( )y k x x y  
5/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A(xA, yA) vaø B(xB, yB) :
(x – xA)(yB – yA) = (y – yA)(xB – xA) hay
AB
A
AB
A
yy
yy
xx
xx





6/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( ñoïan chaén): 1
b
y
a
x
7/. Phöông trình chính taéc :
b
yy
a
xx 00 










),(),,( 00 baayxM
* Quy öôùc : 0
0
0
00




xx
b
yyxx
0
0
0
00




yy
yy
a
xx
8/. Khoaûng caùch töø moät ñieåm M(x0, y0) ñeán (d):Ax + By + C = 0 :  
0 0
,( ) 2 2M d
Ax By C
d
A B
 


10/. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng : d1: A1x + B1y + C1 = 0
d2: A2x + B2y + C2 = 0
2
1
2
1
B
B
A
A
D  ;
2
1
2
1
B
B
C
C
Dx


 ;
2
1
2
1
C
C
A
A
Dy



d1 caét d2 0 D ; 021  yx DDDdd ;






0
0
// 21
xD
D
dd hay





0
0
yD
D
Chuù yù :A2, B2, C2  0
d1 caét d2
2
1
2
1
B
B
A
A
 ;
2
1
2
1
2
1
21 //
C
C
B
B
A
A
dd  ;
2
1
2
1
2
1
21
C
C
B
B
A
A
dd 
11/. Goùc cuûa hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2 :
Xaùc ñònh bôûi coâng thöùc :
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
BABA
BBAA
Cos



Cho ABC. Để tính góc A trong ABC, ta có thể sử dụng công thức:
  AB AC
A AB AC
AB AC
.
cos cos ,
.
 
 
 
 
12/. Phöông trình ñöôøng phaân giaùc cuûa caùc goùc taïo bôûi d1 vaø d2 :
2
2
2
2
222
2
1
2
1
111
BA
CyBxA
BA
CyBxA





* Chuù yù :
Daáu cuûa:

21 nn
Phöông trình ñöôøng phaân
giaùc goùc nhoïn taïo bôûi d1, d2
Phöông trình ñöôøng phaân
giaùc goùc tuø taïo bôûi d1, d2
– t1 = t2 t1 = – t2
+ t1 = – t2 t1 = t2

21. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
21
13.CAÙC DAÏNG TOAÙN CÔ BAÛN:
a. Chuù yù: '
'
d d
d d n n 
 

/
/
/ d d
d d
n u
d d
u n
 
  
 
 
 
NHÔÙ 26: ÑÖÔØNG TROØN
1/. Ñònh nghóa : M  (c)  OM = R
2/. Phöông trình ñöôøng troøn taâm I( a, b) baùn kính R :
Daïng 1 : 2 2 2
( ) ( )x a y b R   
Daïng 2 : 2 2
2 2 0x y ax by c     ,(ÑK 2 2
0a b c   )
Vôùi Taâm I(a,b) Baùn kính 2 2 2
0R a b c   
3.Caùch laäp phöông trình ñöôøng troøn caùc daïng cô baûn:
Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) và bán kính R của (C). Khi đó
phương trình đường tròn (C) là: x a y b R2 2 2
( ) ( )   
Dạng 1: (C) có tâm I và đi qua điểm A. Bán kính R = IA.
Dạng 2: (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng . Bán kính R = d I( , ) .
Dạng 3: (C) có đường kính AB. Tâm I là trung điểm của AB. Bán kính R =
AB
2
.
Dạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng .
– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.
– Xác định tâm I là giao điểm của d và .
– Bán kính R = IA.
Dạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng .
– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.
– Tâm I của (C) thoả mãn:
I d
d I IA( , )
 


.
– Bán kính R = IA.
Dạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B.
– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.
– Viết phương trình đường thẳng  đi qua B và vuông góc với .
– Xác định tâm I là giao điểm của d và .
– Bán kính R = IA.
Dạng 7: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2.
– Tâm I của (C) thoả mãn:
d I d I
d I IA
1 2
1
( , ) ( , ) (1)
( , ) (2)
 

 


– Bán kính R = IA.
Chú ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ trong (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi 1 và 2
hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến 1 và 2.
– Nếu 1 // 2, ta tính R = d 1 2
1
( , )
2
  , và (2) được thay thế bới IA = R.
x
y
O
);( baI
R
a
b
);( yxM

22. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
22
Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường thẳng d.
– Tâm I của (C) thoả mãn:
d I d I
I d
1 2( , ) ( , )  


.
– Bán kính R = d I 1( , ) .
Dạng 9: (C) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác).
Cách 1: – Phương trình của (C) có dạng: x y ax by c2 2
2 2 0     (*).
– Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình.
– Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c  phương trình của (C).
Cách 2: – Tâm I của (C) thoả mãn:
IA IB
IA IC
 


.
– Bán kính R = IA = IB = IC.
Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC.
– Viết phương trình của hai đường phân giác trong của hai góc trong tam giác
– Xác định tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên.
– Bán kính R = d I AB( , ).
4. Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C)
Để biện luận số giao điểm của đường thẳng d: Ax By C 0   và đường tròn (C):
x y ax by c2 2
2 2 0     , ta có thể thực hiện như sau:.
 Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R.
– Xác định tâm I và bán kính R của (C).
– Tính khoảng cách từ I đến d.
+ d I d R( , )   d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
+ d I d R( , )   d tiếp xúc với (C).(Cách tìm tọa độ tiếp xúc:Viết phương trình đường
thẳng  qua I và vuông góc với d. M d  .
+ d I d R( , )   d và (C) không có điểm chung.
 Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) của d và (C) là nghiệm của hệ phương trình:
Ax By C
x y ax by c2 2
0
2 2 0
   

    
(*)
+ Hệ (*) có 2 nghiệm  d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
+ Hệ (*) có 1 nghiệm  d tiếp xúc với (C).
+ Hệ (*) vô nghiệm  d và (C) không có điểm chung.
5: Vị trí tương đối của hai đường tròn (C1) và (C2)
Để biện luận số giao điểm của hai đường tròn
(C1): x y a x b y c2 2
1 1 12 2 0     , (C2): x y a x b y c2 2
2 2 22 2 0     .
ta có thể thực hiện như sau:
 Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm I1I2 với các bán kính R1, R2.
+ R R I I R R1 2 1 2 1 2     (C1) cắt (C2) tại 2 điểm.
+ I I R R1 2 1 2   (C1) tiếp xúc ngoài với (C2).
+ I I R R1 2 1 2   (C1) tiếp xúc trong với (C2).
+ I I R R1 2 1 2   (C1) và (C2) ở ngoài nhau.
+ I I R R1 2 1 2   (C1) và (C2) ở trong nhau.
 Cách 2: Toạ độ các giao điểm (nếu có) của (C1) và (C2) là nghiệm của hệ phương trình:
x y a x b y c
x y a x b y c
2 2
1 1 1
2 2
2 2 2
2 2 0
2 2 0
     

    
(*)
+ Hệ (*) có hai nghiệm  (C1) cắt (C2) tại 2 điểm.
+ Hệ (*) có một nghiệm  (C1) tiếp xúc với (C2).
+ Hệ (*) vô nghiệm  (C1) và (C2) không có điểm chung.

23. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
23
6: Tiếp tuyến của đường tròn (C)
Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng .  tiếp xúc với (C)  d I R( , ) 
 Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm M x y0 0 0( ; ) (C).
–  đi qua M x y0 0 0( ; ) và có VTPT IM0

.
 Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước.
– Viết phương trình của  có phương cho trước (Dạng Ax + By + m = 0,(A,B) đã biết).
– Dựa vào điều kiện: d I R( , )  , ta tìm được m. Từ đó suy ra phương trình của .
 Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm A AA x y( ; ) ở ngoài đường tròn (C).
– Viết phương trình của  đi qua A (Dạng: A(x – xA) + B(y – yA) = 0).
– Dựa vào điều kiện: d I R( , )  , ta tìm được p trình bậc hai theo A,B. Từ đó suy ra phương trình
của .
NHÔÙ 27: ELIP
PT chính taéc
Lyù thuyeát
2 2
2 2
2 2
1
( )
x y
a b
a b
 

2 2
2 2
2 2
1
( )
x y
a b
a b
 

Truïc lôùn, ñoä daøi Ox, 2a Oy, 2b
Truïc nhoû, ñoä daøi Oy, 2b Ox, 2a
Lieân heä a, b, c c2
= a2
– b2
c2
= b2
– a2
Tieâu ñieåm F1(– c, 0), F2( c, 0) F1(0,– c), F2( 0, c)
Ñænh
A1,2( ± a, 0)
B1,2(0, ± b)
A1,2( ± a, 0)
B1,2(0, ± b)
Taâm sai
c
e
a

c
e
b

Ñöôøng chuaån
a
x
e
 
b
y
e
 
Baùn kính qua tieâu
MF1 = a + ex
MF2 = a – ex
MF1 = b + ey
MF2 = b – ey
Pt tieáp tuyeán taïi
M(x0 , y0)
0 0
2 2
1
x x y y
a b
  0 0
2 2
1
x x y y
a b
 
Pt hình chöõ nhaät cô
sôû
x a
y b
 

 
x a
y b
 

 
Ñieàu kieän tieáp xuùc
vôùi Ax + By + C = 0
A2
a2
+ B2
b2
= C2
A2
a2
+ B2
b2
= C2
NHÔÙ 28: HYPEBOL
(C)
I(a;b))(
);( 000 yxM

24. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
24
PT chính taéc
Lyù thuyeát
2 2
2 2
1
x y
a b
 
2 2
2 2
1
y x
b a
 
Truïc thöïc, ñoä daøi Ox, 2a Oy, 2b
Truïc aûo, ñoä daøi Oy, 2b Ox, 2a
Lieân heä a, b, c c2
= a2
+ b2
c2
= a2
+ b2
Tieâu ñieåm F1(– c, 0), F2( c, 0) F1(0,– c), F2( 0, c)
Ñænh A1,2( ± a, 0) B1,2(0, ± b)
Taâm sai
c
e
a

c
e
b

Ñöôøng chuaån
a
x
e
 
b
y
e
 
Tieäm caän
b
y x
a
 
b
y x
a
 
Baùn kính qua tieâu
M  nhaùnh phaûi
MF1 = ex + a
MF2 = ex – a
M  nhaùnh traùi
MF1 = – (ex + a)
MF2 = – (ex – a)
M  nhaùnh phaûi
MF1 = ey + b
MF2 = ey – b
M  nhaùnh traùi
MF1 = – (ey + b)
MF2 = – (ey – b)
Pt tieáp tuyeán taïi
M(x0 , y0)
0 0
2 2
1
x x y y
a b
  0 0
2 2
1
y y x x
b a
 
Ñieàu kieän tieáp xuùc
vôùi Ax + By + C = 0
A2
a2
– B2
b2
= C2
B2
b2
– A2
a2
= C2
NHÔÙ 29: PARAPOL
Pt chính taéc
Lyù thuyeát
y2
= 2px y2
= – 2px y2
= 2py y2
= – 2py
Tieâu ñieåm ,0
2
p
F
 
 
 
,0
2
p
F
 
 
 
0,
2
p
F
 
 
 
0,
2
p
F
 
 
 
Ñöôøng chuaån
2
p
x  
2
p
x 
2
p
y  
2
p
y 
Ñieàu kieän tieáp xuùc
vôùi Ax + By + C = 0
B2
p = 2AC B2
p = – 2AC A2
p = 2BC A2
p = – 2BC
NHÔÙ 30 : PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN
Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian
Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi i j k, ,
  
là các
vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc
Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.
Chú ý:
2 2 2
1i j k  
  
và 0i j i k k j. . .  
     
.
2. Tọa độ của vectơ:
a) Định nghĩa:  u x y z u xi y j zk; ;    
    

25. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
25
b) Tính chất: Cho 1 2 3 1 2 3a a a a b b b b k R( ; ; ), ( ; ; ),  
 
 1 1 2 2 3 3a b a b a b a b( ; ; )    

 1 2 3ka ka ka ka( ; ; )


1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
 

  
 
 
 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1i j k( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )   
  
 a

cùng phương 0b b( )
 
 a kb k R( ) 
 
1 1
31 2
2 2 1 2 3
1 2 3
3 3
0
a kb
aa a
a kb b b b
b b b
a kb
, ( , , )
 

     
 
 1 1 2 2 3 3a b a b a b a b. . . .  

 1 1 2 2 3 3 0a b a b a b a b    
 
 2 2 2 2
1 2 3a a a a  

 2 2 2
1 2 2a a a a  

 1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
a b a b a ba b
a b
a b a a a b b b
.
cos( , )
. .
 
 
   

 (với 0a b, 

)
3. Tọa độ của điểm:
a) Định nghĩa: M x y z OM x y z( ; ; ) ( ; ; ) 

(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý:  M  (Oxy)  z = 0; M  (Oyz)  x = 0; M  (Oxz)  y = 0
 M  Ox  y = z = 0; M  Oy  x = z = 0; M  Oz  x = y = 0
b) Tính chất: Cho A A A B B BA x y z B x y z( ; ; ), ( ; ; )
 B A B A B AAB x x y y z z( ; ; )   

 2 2 2
B A B A B AAB x x y y z z( ) ( ) ( )     
 Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): MA kMB
 
1 1 1
A B A B A Bx kx y ky z kz
M
k k k
; ;
   
 
   
 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
2 2 2
A B A B A Bx x y y z z
M ; ;
   
 
 
 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
3 3 3
A B C A B C A B Cx x x y y y z z z
G ; ;
      
 
 
 Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
4 4 4
A B C D A B C D A B C Cx x x x y y y y z z z z
G ; ;
         
 
 
4. Tích có hướng của hai vectơ:
a) Định nghĩa: Cho 1 2 3a a a a( , , )

,
1 2 3b b b b( , , )

.
   2 3 3 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
a a a a a a
a b a b a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
, ; ; ; ;
 
        
 
 
  
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính chất:
  i j k j k i k i j, ; , ; ,        
       
 a b a a b b[ , ] ; [ , ] 
     

26. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
26
  a b a b a b[ , ] . .sin ,
    
 a b,
 
cùng phương 0a b[ , ] 
  
c) Ứng dụng của tích có hướng:
 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a b,
 
và c

đồng phẳng  0a b c[ , ]. 
  
 Diện tích hình bình hành ABCD: ABCDS AB AD,   
 
 Diện tích tam giác ABC:
1
2ABCS AB AC,
   
 
 Thể tích khối hộp ABCD.ABCD: ABCD A B C DV AB AD AA. ' ' ' ' [ , ]. '
  
 Thể tích tứ diện ABCD:
1
6ABCDV AB AC AD[ , ].
  
Chú ý:
– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc
giữa hai đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện,
thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng
phương.
 
 
0
0
0
a b a b
a vaø b cuøng phöông a b
a b c ñoàng phaúng a b c
.
,
, , , .
  
 
 
  
  
    
5. A, B, C thẳng hàng  AB AC,
 
cùng phương  AB k AC
 
 0AB AC,   
  
 ABCD là hình bình hành  AB DC
 
 Cho ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của ABC trên BC.
Ta có:
AB
EB EC
AC
. 
 
,
AB
FB FC
AC
.
 
 A, B, C, D không đồng phẳng  AB AC AD, ,
  
không đồng phẳng  0AB AC AD, .  
  
NHÔÙ 31: MAËT CAÀU
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa :
* Mặt cầu là tập hợp những điểm M cách một điểm I cố định một khoảng không đổi .
* Điểm I cố định gọi là tâm của mặt cầu .
* Khoảng cách không đổi là R : Gọi là bán kính của mặt cầu .
2. Phương trình của mặt cầu :

27. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
27
- Giả sử điểm cố định I=(a;b;c) và R là khoảng không đổi M=(x;y;z) thì theo định nghĩa :
             
2 2 2 2 2 2 2
1IM R x a y b z c R x a y b z c R              
- Nếu khai triển (1) ta có :
   2 2 2 2 2 2 2
2ax 2 2 z 0 0 2x y z by c d a b c R d            
- Như vậy (1) và (2) gọi là phương trình tổng quát của mặt cầu . Riêng trường hợp phương trình (2) muốn là
phương trình của mặt cầu thì phải thỏa mãn điều kiện :
 2 2 2 2
0 *R a b c d    
CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU ĐƠN GIẢN
Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.
Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R. Ta thay tọa độ tâm và bán kính vào mặt cầu:
(S): 2 2 2 2
x a y b z c R( ) ( ) ( )     
Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm A: Khi đó bán kính R = IA.
Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:
– Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB:
2 2 2
A B A B A B
I I I
x x y y z z
x y z; ;
  
   .
– Bán kính R = IA =
2
AB
.
Dạng 4: (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):
– Gọi phương trình mặt cầu (S) có dạng: 2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d       (*).
– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình.
– Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d  Phương trình mặt cầu (S).
Dạng 5: (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước:
Giải tương tự như dạng 4.
Dạng 6: (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước:
– Xác định tâm J và bán kính R của mặt cầu (T).
– Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S).
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)
Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S): 2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d       với 2 2 2
0a b c d    thì
(S) có tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = 2 2 2
a b c d   .
NHÔÙ 32: PHÖÔNG TRÌNH CUÛA MAËT PHAÚNG :
1.Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng:
 Vectơ 0n 

là VTPT của () nếu giá của n

vuông góc với ().
 Hai vectơ a b,

không cùng phương là cặp VTCP của () nếu các giá của chúng song song hoặc nằm
trên ().
Chú ý:  Nếu n

là một VTPT của () thì kn

(k ≠ 0) cũng là VTPT của ().
 Nếu a b,

là một cặp VTCP của () thì  n a b,
 
là một VTPT của ().
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
2 2 2
0 0Ax By Cz D vôùi A B C      
 Nếu () có phương trình 0Ax By Cz D    thì n A B C( ; ; )

là một VTPT của ().
 Phương trình mặt phẳng đi qua 0 0 0 0M x y z( ; ; ) và có một VTPT n A B C( ; ; )

là:
0 0 0 0A x x B y y C z z( ) ( ) ( )     
3. Các trường hợp riêng

28. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
28
phương trình của () không chứa ẩn nào thì () song song hoặc chứa trục tương ứng.
4.  Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: 1
x y z
a b c
  
() cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)
5. Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0
  0 0 0
0
2 2 2
Ax By Cz D
d M
A B C
,( )
  

 
Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phẳng () ta cần xác định một điểm thuộc () và một VTPT của nó.
Dạng 1: () đi qua điểm  0 0 0M x ; y ;z có VTPT  n A;B;C

:
():      0 0 0 0A x x B y y C z z     
Dạng 2: () đi qua điểm  0 0 0M x ; y ;z có cặp VTCP a b,

:
Khi đó một VTPT của () là  n a b,
 
.
Dạng 3: () đi qua điểm  0 0 0M x ; y ;z và song song với mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0:
():      0 0 0 0A x x B y y C z z     
Dạng 4: () đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C:
Khi đó ta có thể xác định một VTPT của () là: n AB AC,   
 
Dạng 5: () đi qua một điểm M và một đường thẳng (d) không chứa M:
– Trên (d) lấy điểm A và VTCP u

.
– Một VTPT của () là: n AM u,   
 
Dạng 6: () đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng (d):
VTCP u

của đường thẳng (d) là một VTPT của ().
Dạng 7: () đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2:
– Xác định các VTCP a b,

của các đường thẳng d1, d2.
– Một VTPT của () là:  n a b,
 
.
– Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2  M  ().
Dạng 8: () chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau):
– Xác định các VTCP a b,

của các đường thẳng d1, d2.
– Một VTPT của () là:  n a b,
 
.
– Lấy một điểm M thuộc d1  M  ().
Dạng 9: () đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2:
– Xác định các VTCP a b,

của các đường thẳng d1, d2.
Các hệ số Phương trình mặt phẳng () Tính chất mặt phẳng ()
D = 0 0Ax By Cz   () đi qua gốc toạ độ O
A = 0 0By Cz D   () // Ox hoặc ()  Ox
B = 0 0Ax Cz D   () // Oy hoặc ()  Oy
C = 0 0Ax By D   () // Oz hoặc ()  Oz
A = B = 0 0Cz D  () // (Oxy) hoặc ()  (Oxy)
A = C = 0 0By D  () // (Oxz) hoặc ()  (Oxz)
B = C = 0 0Ax D  () // (Oyz) hoặc ()  (Oyz)

29. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
29
– Một VTPT của () là:  n a b,
 
.
Dạng 10: () đi qua một đường thẳng (d) và vuông góc với một mặt phẳng ():
– Xác định VTCP u

của (d) và VTPT n

của ().
– Một VTPT của () là: n u n,    
  
.
– Lấy một điểm M thuộc d  M  ().
Dạng 11: () đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (), ():
– Xác định các VTPT n n, 
 
của () và ().
– Một VTPT của () là: n u n,  
 
  
.
Dạng 12: () đi qua đường thẳng (d) cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước:
– Giả sử () có phương trình: 0Ax By Cz+D    2 2 2
0A B C   .
– Lấy 2 điểm A, B  (d)  A, B  () (ta được hai phương trình (1), (2)).
– Từ điều kiện khoảng cách d M k( ,( ))  , ta được phương trình (3).
– Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).
Dạng 13: () là tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H:
– Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I và bán kính R.
– Một VTPT của () là: n IH

Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác định mặt phẳng đã học ở
lớp 11.
PHÖÔNG TRÌNH CUÛA ÑÖÔØNG THAÚNG
1.Phương trình ttham số của đường thẳng :
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t (t R)
z z a t
 

  
  
2.Phương trình chính tắc của đuờng thẳng : 0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
  
 
Trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và 1 2 3a (a ;a ;a )

là vectơ chỉ phương của đường thẳng
VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI
1/. HAI ÑÖÔØNG THAÚNG :
Cho 2 ñöôøng thaúng:
d qua M(x0, y0, z0) coù Vectô chæ phöông 1 2 3( , , )u u u u

'
d qua ' ' '
0 0 0( , , )N x y z coù Vectô chæ phöông 1 2 3( , , )v v v v


 Neáu: . 0u v   
  
:
 Thay toïa ñoä ñieåm M vaøo ñöôøng thaúng d/
,khoâng thoûa thì /
d d .
 Thay toïa ñoä ñieåm M vaøo ñöôøng thaúng d/
,thoûa thì /
d d
 Neáu: . 0u v   
  
:
 . . 0u v MN   
  
. Thì d,d/
cuøng naèm trong moät maët phaúng.
 . . 0u v MN   
  
. Thì d,d/
cheùo nhau.

30. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
30
2/. ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG :
 d qua M(x0, y0, z0) coù Vectô chæ phöông 1 2 3( , , )u u u u


 maët phaúng ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 coù vectô phaùp tuyeán ( , , )n A B C


 d // ( )
 
. 0a u
M 
 
 
 

 d caét ( ) . 0u n
 
 
 d 
 
. 0u n
M 
 
 
 

 d  1 2 3: : : :a a a A B C 
3.MAËT PHAÚNG VAØ MAËT CAÀU:
Cho maët phaúng( ) . Maët caàu (S) coù taâm I vaø baùn kính R.
 Neáu   ,I
d R
 . Thì maët phaúng khoâng caét maët caàu.
 Neáu   ,I
d R
 . Thì maët phaúng tieáp xuùc vôùi maët caàu taïi moät ñieåm M. Maët phaúng
( ) goïi laø maët phaúng tieáp dieän.(Caùch tìm M: vieát phöông trình ñöôøng thaúng 
qua I vaø vuoâng goùc ,  M    ).
 Neáu   ,I
d R
 . Thì maët phaúng ( ) caét maët caàu (S) theo moät giao tuyeán laø ñöôøng
troøn (C).
CAÙCH XAÙC ÑÒNH TAÂM H VA BAÙN KÍNH r CUÛA ÑÖÔØNG TROØN (C).
 Laäp phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I vaø   .  H d  
 2 2
r R IH  Ø
4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 MẶT CẦU
Cho hai mặt cầu S1(I1, R1) và S2(I2, R2).
 1 2 1 2I I R R   (S1), (S2) trong nhau  1 2 1 2I I R R   (S1), (S2) ngoài nhau
 1 2 1 2I I R R   (S1), (S2) tiếp xúc trong  1 2 1 2I I R R   (S1), (S2) tiếp xúc ngoài
 1 2 1 2 1 2R R I I R R     (S1), (S2) cắt nhau theo một đường tròn.
5.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG:
Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình: (): 1 1 1 1 0A x B y C z D   
(): 2 2 2 2 0A x B y C z D   
 (), () cắt nhau  1 1 1 2 2 2A B C A B C: : : :
 () // ()  1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
    ()  ()  1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
  
 ()  ()  1 2 1 2 1 2 0A A B B C C  

31. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
31
KHOAÛNG CAÙCH :
1/. Khoaûng caùch töø moät ñieåm M(x0, y0, z0) ñeán mặt phẳng   :Ax + By + Cz + D = 0
  
0 0 0
, 2 2 2M
Ax By Cz D
d
A B C

  

 
2/. Khoaûng caùch töø điểm M(x0, y0, z0) đến đường thẳng d.
Điểm N d và có véc tơ chỉ phương u

.   ,
.
M d
u MN
d
u
 
 

 

3/. Khoaûng caùch hai ñöôøng thaúng cheùo nhau d vaø d’ :
 /
,
,
,
d d
u v MN
d
u v
 
 
 
  

 
  

Với /
,M d N d  và ,u v
 
lần lượt là 2 véctơ chỉ phương của d,d/
.
4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
Bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
GOÙC
1.GOÙC GIÖÕA HAI MAËT PHAÚNG:
Cho 2 maët phaúng:
   
   
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 1 2 2 2
: 0 , ,
: 0 , ,
A x B y C z D VTPT n A B C
A x B y C z D VTPTn A B C


      

     


Goïi  laø goùc giöõa 2 maët phaúng:
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
cos
n n A A B B C C
n n A B C A B C

 
 
   

 
2.GOÙC GIÖÕA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG:
Cho hai ñöôøng thaúng: d1 coù vtcp  1 1 1 1, ,u a b c

d2 coù vtcp  2 2 2 2, ,u a b c

Goïi  laø goùc giöõa 2 ñường thaúng:
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
cos
u u a a b b c c
u u a b c a b c

 
 
   

 
3.GOÙC GIÖÕA ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG:
Cho ñöôøng thaúng d coù VTCP  , ,u a b c

Cho maët phaúng (P) coù VTPT  , ,n A B C

Goïi  laø goùc giöõa ñöôøng vaø maët:
2 2 2 2 2 2
.
sin
u n aA bB cC
u n a b c A B C

 
 
   
 
 

32. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
32
Các dạng toán thường gặp:
DẠNG CÂU HỎI THƯỜNG GẶP PHƯƠNG HƯỚNG GIÀI
1 Chứng minh 3 điểm A;B;C thẳng hàng hay
không thẳng hàng
Lập 2 véc tơ ,AB AC
 
Nếu hai vecto trên cùng phương thì 3 điểm
thẳng hàng
Nếu hai vecto trên không cùng phương thì 3
điểm trên không thẳng hàng hay lập thành 1
tam giác
2 Tìm D để tứ giác ABCD là hình bình hành Vẽ hình, kí hiệu chính xác
Gọi D(x; y; z)
ABCD là hbh AD BC 
 
3 Tìm các điểm còn lại của một hình hộp Vẽ hình kí hiệu điểm chính xác
Dùng vecto bằng nhau để tìm
4 Tìm C Ox để ABC là tam giác cân tại C Gọi  ;0;0C x Ox ABC
cân tại C  CA= CB
5 Tìm C Oxy để ABC đều.
Gọi ( ; ;0)C x y Oxy
CA CB
CA AB

 

6 Tìm C Ox để ABC là tam giác vuông tại C Gọi  ;0;0C x Ox
ABC vuông tại C . 0CACB 
 
7 Tìm chân đường cao A’ hạ từ A của ABC Gọi A’(x;y;z)
Giải hệ:
/
/
AA BC
BA BC
 


 
 

8 Tìm trực tâm H của ABC Viết ptmp (ABC)
Gọi H(x;y;z)
Giải hệ
 H ABC
AH BC
BH AC





 
 
9 Tìm M trên trục Ox cách đều A và B
Tìm M trên trục Oy cách đều A và B
Tìm M trên trục Oz cách đều A và B
Gọi M(x,0,0) giải MA = MB
Gọi M(0,y,0) giải MA = MB
Gọi M(0,0,z) giải MA = MB
10 Tìm M trên mpOxy cách đều 3 điểm A, B, C
Tìm M trên mpOxz cách đều 3 điểm A, B, C
Tìm M trên mpOyz cách đều 3 điểm A, B, C
Gọi  ; ;0 0C x y xy Giải hệ MA=MB=MC
Gọi  ;0; 0C x z xz Giải hệ MA = MB = MC
Gọi  0; ;C y z Oyz Giải hệ MA=MB=MC
11 Tìm M trên mp(P) cách đều 3 điểm A; B; C
Gọi M(x;y;z) Giải hệ
 M P
MA MB
MA MC



 
Phương trình mặt phẳng các dạng toán thường gặp
Để viết pt măt phẳng có 2 cách cơ bản :
<1>. Xác định 1 điểm và 1 VTPT
<2>. Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 rồi dựa vào giả thiết tìm A,B,C,D.
Vậy khi nào sử dụng cách 1 , khi nào sử dụng cách 2 thì em phân biệt các dạng đề bài sau:
Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và có VTPT n

=(A;B;C)

33. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
33
A( x - x0 ) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
 Ax + By + Cz + D = 0
Dạng 2:Viết pt mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và // mp (Q)
- Từ ptmp(Q) VTPT n

Q = (A;B;C)
- Vì (P) // (Q)  VTPT n

P = n

Q = (A;B;C)
- PT mp (P) đi qua A và có VTPT n

P
Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và vuông góc với đường thẳng d
- Từ (d) VTCP u

d = (A;B;C)
- Vì (P) vuông góc với (d) Chọn VTPT n

P=u

d =(A;B;C)
Viết ptmp (P) đi qua A và có vtpt n

P.
Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và (Q) ,  (R)
- Từ pt mp (Q) và (R) VTPT n

Q ; VTPT n

R
- Vì (P) (Q) và (R)  VTPT n

P  Qn

và n

P  n

R
Chọn n

P = [n

Q; n

R]
- Vậy pt mp (P) đi qua A và có VTPT n

P = [ n

Q; n

R]
Dạng 5: Viết Pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng
- Tính AB

, AC

và a

= [ AB

, AC

]
- PT mp (P) đi qua A và có VTPT n

P= a

= [ AB

, AC

]
Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và (Q)
- Tính AB

, vtpt n

Q và tính [ AB

,n

Q]
- Vì A, B (P) ; (Q) (P) nên chọn n

P=[ AB

,n

Q]
- Viết ptmp (P)
Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ; (Q) và // với dt (d)
- Tính VTPT n

Q của mp (Q); VTCP u

d của đường thẳng (d).
- Tính [u

d,n

Q]
- Vì (P) (Q) và // (d) nên VTPT n

P = [u

d, n

Q]
- Từ đó viết được PT mp (p)
Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB.
- Tình trung điểm I của ABvà AB

- Mp (P) đi qua I và nhận AB

làm VTPT.
Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A
- Tính VTCP u

d của đường thẳng (d) và tìm điểm M(d)
- Tính AM

và [u

d, AM

]
- Ptmp (P) đi qua A và có VTPT n

P =[u

d, AM

].
Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và // ( )
- Từ (d)  VTCP u

d và điểm M (d)

34. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
34
- Từ ( ) VTCP u

và tính [u

d, u

 ]
- PT mp (P) đi qua M và có VTPT n

= [u

d, u

 ].
Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và (Q)
- Từ (d) VTCP u

d và điểm M (d)
- Từ (Q)  VTPT n

Q và tính [u

d, n

Q]
- PT mp (P) đi qua M và có VTPT n

=[u

d, n

Q].
Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h
- Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D=0
( theo pt của mp (Q) , trong đó D  DQ)
- Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D
- Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm.
Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h
- Gọi VTPT của mp (P) là n

P = (A,B,C) với đk là A2
+ B2
+ C2
>0
- Từ (d)  VTCP u

d và điểm M (d)
- Vì (d) nằm trong (P)  u

d. n

P=0 (1)
- PT mp (p) đi qua M: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
- d(A,(P)) = h (2)
- Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P).
Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc   900
- Gọi VTPT của mp (P) là n

P = (A,B,C) với đk là A2
+ B2
+ C2
>0
- Từ (d)  VTCP u

d và điểm M  (d)
- Vì d  (P)  u

d. n

P=0 (1)
- Tính cos ((P),(Q)) (2)
- Từ (1) và (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P).
Dạng 15:Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt(  )một góc   900
- Gọi VTPT của mp (P) là n

P = (A;B;C) với đk là A2
+ B2
+ C2
>0
- Từ (d)  VTCP u

d và điểm M  (d)
- Vì d (P)  u

d. n

P=0 (1)
- Tính sin ((P),(  )) (2)
- Hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P).
Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất
- Gọi H là hình chiếu  của A lên (d)
- Ta có : d(A,(P)) = AK AH
(tính chất đường vuông góc và đường xiên)
Do đó d(A(P)) max  AK = AH  K H
- Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT
Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0
(theo pt của mp (Q) , trong đó D'  DQ).
- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= Rtìm được D'

35. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
35
- Từ đó ta có Pt (P) cần tìm
Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn(C) có bán kính r
( hoặc diện tích, chu vi cho trước).
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S =
2
r tính r.
- d(I,(P)) =
2 2
R r (1)
- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0
(theo pt của mp (Q) , trong đó D'  DQ)
- Suy ra d (I,(P)) (2) Giải hệ (1), (2) tìm được D' viết được pt (P).
Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Gọi VTPT của mp (P) là n

P = (A;B;C) với đk là A2
+ B2
+ C2
>0
- Từ (d)  VTCP u

d và điểm M (d)
- d (P)  u

d. n

P=0 (1)
- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2)
- Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C PT mp(P).
Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán
kính r ( hoặc diện tích , chu vi cho trước)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S =
2
r tính r.
- Vì d  (P)  u

d. n

P=0 (1)
- Gọi VTPT của mp (P) là n

P = (A,B,C) với đk là A2
+ B2
+ C2
>0,
chọn M trên đường thẳng d.
=>PT mp (P) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
- Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2)
- Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C PT mp(P).
Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán
kính nhỏ nhất .(áp dụng trường hợp d cắt (S) tại 2 điểm).
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Bán kính r =
2 2
( ,( ))R d I p để r min  d(I,(P)) max
- Gọi H là hình chiếu  của I lên (d) ; K là hình chiếu  của I lên (P)
- Ta có: d(I,(P))= IKIh ( tính chất đường vuông góc và đường xiên)
- Do đó: d(I,(P)) max AK = AH  K H
- PT mp(P) đi qua H và nhận IH

làm VTPT
Phương trình đường thẳng các dạng toán thường gặp
Có 2 loại phương trình đường thẳng : PT ThamSố và PT ChínhTắc.
Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) và có VTCP u

=(a,b,c)

36. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
36
PP: phương trình tham số của đường thẳng d là: (d):
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
 

 
  
với t R
* Chú ý : Nếu cả a, b, c  0 thì (d) có PT chính tắc 0 0 0x x y y z z
a b c
  
 
* Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT dt(d) thì cần phải biết 2 yếu tố đó là
tọa độ một điểm thuộc d và toạ độ VTCP của d.
Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B
- Tính AB

- Viết PT đường thăng đi qua A, và nhận AB

làm VTCP
Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và //với đường thẳng ( )
- Từ pt(  ) VTCP u


- Viết Pt dt(d) đi qua A và nhận u

 làm VTCP
Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và (P)
- Tìm VTPT của mp(P) là n

P
- Pt dt(d) đi qua A và Có VTCP u

d = n

P
Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d1),(d2)
- Từ (d1),(d2) 1 2 1 2, à u à uVTCPd d l v
 
=> tính [ 1u

, 2u

].
- Vì (d)  (d1),(d2) nên có VTCP u

d= [ 1u

, 2u

]
- Pt dt(d) đi qua A và có VTCP u

d= [ 1u

, 2u

]
Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp:
(P):Ax + By + Cz + D = 0
(Q):A'
x + B'
y + C'
z + D'
= 0
- Từ (P) và (Q)  n

P , n

Q
- Tính [ n

P , n

Q]
- Xét hệ '
' ' '
Ax + By + Cz +D =0
A 0x B y C z D


   
.
Chọn một nghiệm (x0; y0 ;z0) từ đó Md
- Pt dt(d) đi qua M và có VTCP u

d =[n

P , n

Q].
Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P)
Cách 1: - Viết ptmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P)
- Hình chiếu cần tìm d'
= (P) (Q)
Cách 2: + Tìm A = ( )d P ( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) )
+ Lấy M d và xác định hình chiếu H của M lên (P)
+ Viết phương trình d' đi qua M, H
Dạng 8: Viết pt đường thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đường thẳng d1, d2:
Cách 1 : * Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1

37. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
37
* Tìm B = 2( ) d 
* Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Cách 2 : - Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1
- Viết pt mặt phẳng (  ) đi qua điểm B và chứa đường thẳng d2
- Đường thẳng cần tìm d =  
Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d1 và cắt cả d2 , d3
Cách 1: - Viết phương trình mp (P) song song d1 và chứa d2
- Viết phương trình mp (Q) song song d1 và chứa d3
- Đường thẳng cần tìm d = ( ) ( )P Q
Cách 2: Chuyển d2,d3 về dạng tham số.
Gọi 1 2 1 3,M d d N d d     2 3,M d N d  theo tham số t2,t3.
Tính MN

.
1 2 3,dMN u t t
 

Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vuông góc đường thẳng d1 và cắt d2
Cách 1 : - Viết pt mp( ) qua A và vuông góc d1
- Tìm giao điểm B = 2( ) d 
- Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Cách 2 : * Viết pt mp( ) qua A và vuông góc d1
* Viết pt mp( ) qua A và chứa d1
* Đường thẳng cần tìm d =  
Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp( ) , cắt đường thẳng d'
Cách 1 : - Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( )
- Viết ptmp(Q) đi qua A và chứa d'
- Đường thẳng cần tìm d = ( ) ( )P Q
Cách 2 : * Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( )
* Tìm B = ( ) 'P d
* Đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B
Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2 cho trước.
- Tìm giao điểm A=d1 ( )P và B=d2 ( )P
- Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B
Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng d' tại giao điểm I của (P)
và d'.
* Tìm giao điểm I' = d' ( )P
* Tìm VTCP u

của d' và VTPT n

của (P) và tính [u,n]v 
  
* Viết ptđt d qua I và có VTCP v

Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d của 2 dường thẳng chéo nhau d1, d2 :
- Gọi 0 0 0 1( , , )M x at y bt z ct d    ,
và
' ' '
0 0 0 2( ' ', ' ', ' ')N x a t y b t z c t d   
là các chân đường vuông góc chung của d1, d2

38. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
38
- Ta có hệ
11
2 2
. 0
, '
. 0
MN d MN u
t t
MN d MN u
  
  
  
 
  .
- Thay t, t' tìm M, N. Viết ptđt đi qua M,N.
( Với cách 2 em tính thêm được khoảng cách MN, cũng chính là độ dài đường vuông góc)
Dạng 15 : Viết pt đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1,d2 .
* Viết ptmp(Q) chứa d1 và vuông góc với mp(P)
* Viết ptmp(R) chứa d2 và vuông góc với mp(P)
* Đường thẳng d = ( ) ( )Q R
Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d1 .
- Viết pt mp( ) qua A và vuông góc d1
- Tìm giao điểm B = 1( ) d 
- Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d1,tạo với d2 góc
0 0
(0 ;90 )  (= 300
, 450
, 600
)
* Gọi VTCP của d là
2 2 2
( ; ; ), : 0u a b c dk a b c   

* Vì 11 . 0d d u u  
 
=>phương trình (1)
Vì
2
2
.
.
u u
cos
u u
 
 
  => phương trình (2)
Thế (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d.
( chú ý : nếu thay giả thiết là d tạo với mp(P) góc
0 0
(0 ;90 )  thì có
.
.
P
P
u u
sin
u u
 
 
  )
Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d1 góc
0 0
(0 ;90 )  .
- Gọi VTCP của d là
2 2 2
( ; ; ), : 0u a b c dk a b c   

- Vì d//(P) nên . 0pu n 
 
=> phương trình (1).
- Vì
1
1
1
.
( , )
.
u u
cos d d cos
u u
 
 
  nên có phương trình (2).
- Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.
=>viết ptđt d đi qua A, có vtcp ( ; ; )u a b c

Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm trong mp(P) , tạo với d1 góc
0 0
(0 ;90 )  .
- Gọi VTCP của d là
2 2 2
( ; ; ), : 0u a b c dk a b c   

- Vì d(P) nên . 0pu n 
 
=> phương trình (1).
- Vì
1
1
1
.
( , )
.
u u
cos d d cos
u u
 
 
  nên có phương trình (2).
- Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.
=>viết ptđt d đi qua A, có vtcp ( ; ; )u a b c


39. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
39
d a
b


d
a


Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vuông góc d1 và khoảng cách từ M đến d bằng h.
* Gọi VTCP của d là
2 2 2
( ; ; ), : 0u a b c dk a b c   

* Vì d 1d nên 1
. 0u n 
 
=> phương trình (1).
* Vì
[ , ]
( , )
u
u AM
d M d h h  
 
 => phương trình (2).
*Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.
=>viết ptđt d đi qua A, có vtcp ( ; ; )u a b c

NHÔÙ 26 : MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN VAØ THÖÔØNG DUØNG TRONG VIEÄC GIAÛI
TOAÙN HÌNH HOÏC KHOÂNG GIAN.
TT HÌNH VEÕ KIEÁN THÖÙC
1
// //
//
d
d
a b
d a
a
d b
b
 
 


 

      
2 a// neáu vaø chæ neáu treân  coù a’ , a’//a
3
//
//
d
a a d
a
 


 

 


4
d
a

// //
//
d
a a d
a
 


 




5 a
b


Neáu  chöùa a vaø b caét nhau, trong ñoù a//  ,
b//  thì  // 
6
//
//
P a
P b a b


 
 

  


P
b
a



40. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
40
a
d


7
C'
B'
A'
C
B
A
R
Q
P
ba Neáu P // Q // R thì chuùng seõ chaén tr6n hai caùt
tuyeán baát kyø a, b nhöõng ñoaïn thaúng tæ leä.
' '
' '
AB A B
BC B C

8
R
QP
b
da
// //
//
P Q d
R P a
a b d
R Q b
d R
  
  

  

9 Neáu a  thì a b , b  
10 a  neáu vaø chæ neáu a vuoâng goùc vôùi hai
ñöôøng thaúng b, c caét nhau trong 
11
ba

 Neáu a//b vaø a  thì b 
 Neáu a  thì b  thì a//b
12
a


 //  vaø a  thì a 
 Neáu a  vaø a  thì // 
13 b
 a
b
a


Neáu a cheùo b
* Coù moä tvaø chæ moät ñöôøng vuoâng goùc
chung
* Coù moät vaø chæ moät maët phaúng chöùa ñöôøng
thaúng naøy vaø song song vôùi ñöôøng kia
* Coù hai maët phaúng song song vaø moãi maët
chöùa moät ñöôøng
14
H
O
A'
B
A

ÑÖÔØNG VUOÂNG GOÙC VAØ ÑÖÔØNG XIEÂN
* Ñoaïn vuoâng goùc chung OH laø ñoaïn ngaén nhaát
* Hai ñoaïn xieân daøi baèng nhau coù hình chieáu daøi
baèng nhau vaø ngöôïc laïi.
OA = OA’ HA = HA’
*Hai ñoaïn xieân coù ñoä daøi khaùc nhau thì ñoaïn
xieân daøi hôn coù hình chieáu daøi hôn vaø ngöôïc
laïi.
OB > OA  HB > HA
15
b'
a
b

ÑÒNH LYÙ 3 ÑÖÔØNG VUOÂNG GOÙC
a  vaø ñöôøng xieân b coù hình chieáu vuoâng
goùc treân  laø b’ , ta coù : '
a b a b  
16

a
a

 


 

 Neáu   vaø d   thì vôùi moïi
a  maø a d thì a 

41. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
41
P
d


d
P d P
P
 


 

  
 
17 S : Dieän tích cuûa moät hình phaúng H
S’: Dieän tích cuûa hình chieáu vuoâng goùc cuûa H
laø H’
 : Goùc giöõa maët phaúng chöùa H vaø maët phaúng
chöùa H’
'
.S S Cos
18
C'
B'
A'
C
B
A HÌNH LAÊNG TRUÏ
1/. Ñònh nghóa : Hình laêng truï laø moät hình ña
dieän coù hai maët naèm trong hai maët song song
goïi laø hai ñaùy vaø caùc caïnh khoâng thuoäc hai
ñaùy ñeàu song song nhau
2/. Caùc loaïi :
* Hình laêng truï ñöùng laø hình laêng truï coù caùc
caïnh beân vuoâng goùc vôùi ñaùy
* Hình laêng truï ñeàu laø hình laêng truï ñöùng coù
moãi ñaùy laø ña giaùc ñeàu.
Ngoaøi ra coøn coù laêng truï xieân
3/. Sxq, STP, V :
* Sxq baèng toång dieän tích caùc maët beân
* Sxq baèng chu vi thieát dieän thaúng nhaân vôùi
ñoä daøi caïnh beân.
* Sxq laêng truï ñöùng hay ñeàu baèng chu vi ñaùy
nhaân ñoä daøi caïnh beân
* STP = Sxq + 2Sñaùy
* V = B.h
B : dieân tích ñaùy
h : chieàu cao
19
D
S
CB
A
HÌNH CHOÙP
1/. Ñònh nghóa : Hình choùp laø moät hình ña dieän
coù moät maët laø moät ña giaùc, caùc maët coøn laïi
ñeàu laø nhöõng tam giaùc coù chung moät ñænh
* Hình choùp ñeàu laø hình choùp coù ñaùy laø moät ña
giaùc ñeàu vaø caùc caïnh beân ñeàu baèng nhau
* Hình choùp cuït laø phaàn cuûa hình choùp naèm
giöõa ñaùy vaø moät thieát dieän song song vôùi ñaùy
2/. Sxq, STP, V :
 Sxq cuûa hình choùp vaø hình choùp cuït laø
toång dieän tích taát caû caùc maët beân cuûa
moãi hình ñoù
 Hình choùp : STP = Sxq + Sñaùy
 Hình choùp cuït :
STP = Sxq + Sñaùy lôùn + Sñaùy nhoû

42. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
42
 Hình choùp ñeàu :
1
2
xqS  chu vi ñaùy x trung ñoaïn
 Hình choùp cuït ñeàu :
1
2
xqS  ( CV ñaùy lôùn + CV ñaùy beù) x trung
ñoïan
 Theå tích hình choùp :
1
.
3
V B h
B : dieän tích ñaùy
h : chieàu cao
 Theå tích hình choùp cuït :
 ' '1
.
3
V h B B B B  
B, B’ : dieän tích hai ñaùy
h : chieàu cao
20 HÌNH TRUÏ TROØN XOAY
1/. Ñònh nghóa :
* Hình chöõ nhaät OO’A’A khi quay quanh caïnh
OO’ taïo neân moät hình goïi laø hình truï troøn
xoay( hay hình truï)
_ Hai caïnh OA vaø O’A’ vaïch thaønh hai
hình troøn baèng nhau goïi laø hai ñaùy.
_ Caïnh AA’ vaïch thaønh moät maët troøn xoay
goïi laø maët xung quanh cuûa hình truï
_ OO’ goïi laø truïc hay ñöôøng cao cuûa hình
truï.
2/. Sxq, STP, V :
 2xqS Rh
 2 ( )TPS R h R 
 2
V R h
R : baùn kính
h : ñöôøng cao

43. Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
43