Scomposizione di polinomi

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3. Prodotti notevoli
NOME TIPO SVILUPPO
Quadrato di un
binomio
( a + b )2 a2 + 2ab + b2
TRINOMIO
Cubo di un
binomio
( a + b )3 a3 + 3a2b +3ab2+b3
Polinomio con 4 termini
Somma per
differenza
( a + b ) ( a – b ) a2 – b2
BINOMIO
( a + b + c ) ( a + b – c ) (a+b)2 – c2 = a2 + 2ab + b2 – c2
Polinomio con 4 termini
Quadrato di un
trinomio
( a + b + c )2 a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
POLINOMIO
Somma
(differenza) di
cubi
( a + b ) ( a2 – ab + b2 ) a3 + b3
BINOMIO
( a – b ) ( a2 +ab + b2 ) a3 – b3
BINOMIO

4. Come fare a scomporre
polinomi in fattori?

5.  Vediamo se c’è da raccogliere un
fattor comune fra tutti i monomi,
cioè eseguiamo il:
RACCOGLIMENTO TOTALE o M.C.D.
PRIMA DITUTTO…

6.  Contiamo quanti monomi costituiscono
il polinomio (ed eventualmente
cerchiamo di riconoscervi qualche
prodotto notevole)
• Binomio
•Trinomio
• Polinomio con 4 termini
• Polinomio con più di 4 termini
In seguito:

7. BINOMIO Raccoglimento totale o M.C.D.
Differenza di due quadrati a2 – b2 = ( a – b )( a + b )
Somma di due quadrati a2 + b2 NON SI PUO’ SCOMPORRE IN R
Somma di due cubi a3 + b3 = ( a + b )( a2 - ab + b2 )
Differenza di due cubi a3 – b3 = ( a – b )( a2 + ab + b2 )
Raccoglimento totale
Quadrato di un binomio a2 + 2ab + b2 = ( a + b ) 2
Trinomio notevole x2 - sx + p = (x - a )(x - b )
dove s = a + b e p = ab
Ruffini
Raccoglimento totale
Cubo di un binomio a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 = ( a + b )3
Raccoglimento parziale
Differenza di due quadrati ( di cui
uno è il quadrato di un binomio)
a2 -2ab + b2 – x2 =(a - b)2 - x2 =
[(a –b) + x] [(a –b) – x] = [a – b + x] [a – b – x]
Ruffini
Raccoglimento totale
Raccoglimento parziale
Quadrato di un trinomio a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac+ 2bc = ( a + b + c )2
Ruffini

8. M.C.D.
Il M.C.D. è costituito dai fattori COMUNI, contati una
sola volta, con il minor esponente.
Pertanto bisogna scomporre in fattori i monomi che
compongono il polinomio e poi è possibile determinare il
M.C.D.
Esempio:
3a2b - 5a3b4 + 4a4b6 = a2b ( 3 - 5ab3 + 4a2b5 )

9. BINOMIO
• DIFFERENZA DI DUE QUADRATI
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
 DIFFERENZA DICUBI
a3 - b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
 SOMMA DI CUBI
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab+ b2)
ATTENZIONE!!!!
La SOMMA di
due quadrati
a2 + b2
è irriducibile in R!

10. TRINOMIO
• QUADRATO DI UN BINOMIO
E’ un trinomio formato da due quadrati e da un doppio prodotto.
Esempio: 16a4 + b2 - 8a2b = (4a2 - b)2
 TRINOMIO NOTEVOLE (di II grado)
Deve essere sempre del tipo : x2 + sx + p con s = a + b e p = ab.
Esempio: x2 - 9x – 36 = ( x – 12 ) ( x + 3 )

11. Polinomio con 4 termini
 CUBO DI BINOMIO
Ci sono due cubi e due tripli prodotti di ciascuna delle due basi per il
quadrato dell’altra
a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 = ( a + b )3
 RACCOGLIMENTO PARZIALE
a2 - 2ab + b2– x2 =
(a - b)2 - x2 =
[(a –b) + x ] [ (a –b) – x] =
= [a –b + x] [a –b – x]

12. RACCOGLIMENTO PARZIALE
10a3b + 2xb - 5a3 – x =
5a3 ( 2b – 1 ) + x ( 2b - 1) =
=( 2b – 1 )( 5a3 + x )

13. QUADRATO DITRINOMIO
Polinomio costituito da tre quadrati e tre doppi prodotti
Esempio:
a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc = ( a + b + c )2
x2 + 9y2 + 4z2 - 6xy+ 4xz- 12yz = ( x - 3y + 2z )2
Se non fosse possibile scomporre il polinomio con uno dei
metodi precedenti, allora si può provare ad usare la:
REGOLA DI RUFFINI
Oppure si potrà utilizzare la divisione tra due polinomi o eseguire
scomposizione con artifici (ad esempio per scomporre polinomi del
tipo: x4 + 4y4 ).

14. REGOLA DI RUFFINI
x5 – 10 x – 12 =
1 0 0 0 -10 -12
2 2 4 8 16 12
1 2 4 8 6 0
= ( x – 2 ) ( x4 + 2x3 +4x2 +8x + 6 )