Un breve ripasso sul calcolo letterale e sui principali metodi di scomposizione

1. Polinomio
Monomio Scomposizioni

2. MONOMI
• Definizione
• Grado di un monomio
• Simili;uguali;opposti
• Operazioni
• M.C.D. & m.c.m.

3. Definizione
Si chiama monomio un’espressione algebrica che consiste in un
prodotto di fattori numerici e di potenze a base letterale con
esponente naturale
Es: -5; a²b; 4xy sono monomi
7a+ 3b; 15a-²b non sono monomi

4. Grado
Dato un monomio non nullo scritto in forma
normale si dice:
-grado rispetto a una sua lettera l’esponente
che questa lettera ha nel monomio
-grado complessivo la somma degli
esponenti di tutte le sue lettere
AL MONOMIO NULLO NON SI ATTRIBUISCE
ALCUN GRADO
Es: 9a²x³y :è di grado 2 rispetto ad a
è di grado 3rispetto a x
è di grado 1 rispetto a y
è di grado 0 rispetto a t,s,b,..
è di grado complessivo 6

5. SIMILI-UGUALI-OPPOSTI
• Simili se hanno la stessa parte letterale,cioè le
stesse lettere con gli stessi esponenti. Es: 3axy
& 5 xay
• Uguali se hanno la stessa parte letterale(cioè
sono simili)e hanno lo stesso coefficiente. Es:
5a³b & 5a³b
• Opposti se hanno la stessa parte letterale(cioè
sono simili)e hanno coefficienti opposti.
• Es. 2bc & -2bc

6. OPERAZIONI
Moltiplicazioni con i monomi
il prodotto di due,o più, monomio non nullo è un monomio che
ha come coefficiente il prodotto dei coefficienti dei monomi dati e
come parte letterale il prodotto delle parti letterali
Se uno dei monomi è nullo, il prodotto è il monomio nullo
Divisione di monomi
Il quoziente di due monomi, non nulli e divisibili, è un monomio
che ha come coefficiente il quoziente dei coefficienti dei due
monomi dati e come parte letterale quella formata da tutti i fattori
letterali del dividendo, ciascuno elevato alla differenza degli
esponenti che esso ha nel dividendo e nel divisore.
Potenze dei monomi
Per elevare alla potenza nma un monomio,con n intero positivo, si
eleva a quella stessa potenza il coefficiente e si moltiplicano per n
gli esponenti dei fattori letterali.

7. M.C.D. – m.c.m.
• Si chiama massimo comun divisore di due o più
monomi ogni monomio di grado massimo che
divida contemporaneamente tutti i monomi dati
• Si chiama minimo comune multiplo di più
monomi ogni monomio di grado minimo che sia
divisibile contemporaneamente per tutti i
monomi dati
ES 6a²b², 3 a²b³c, 12 a4bc3
M.C.D.= 3a2b
m.c.m.=12 a4b3c3

8. POLINOMIO
• Definizione
• Terminologia
• Grado
• Omogeneo – ordinato – completo
• Addizione algebrica di polinomi

9. DEFINIZIONE
Si chiama polinomio ogni somma algebrica di più
monomi.
I monomi che compongono il polinomio si dicono
termini del polinomio
3ab+5x³y-b²c è un polinomio

10. TERMINOLOGIA
• Un polinomio ridotto a forma normale si
dice :
 Nullo se tutti i suoi termini sono monomi nulli: 0ab+0xc-0xy
 Monomio se contiene un solo termine: 3ab²
 Binomio se contiene solo due termini (non nulli): 5x-8b
 Trinomio se ha tre termini (non nulli): 6ab+8x-bc
 Quadrinomio se ha quattro termini (non nulli): 5b+3x -7a+8b

11. GRADO
• Dato un polinomio non nullo ridotto a forma
normale, si dice
Grado rispetto a una lettera il massimo grado dei suoi termini
rispetto a quella lettera
Grado complessivo il massimo grado dei suoi termini
Termine noto il termine,se esiste,di grado zero(cioè il termine
senza parte letterale)

12. OMOGENEO-ORDINATO-COMPLETO
• Omogeneo se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado
ES: 6b³-5a²b+4c³-9xy² tutti I suoi termini sono di
grado 3
• Ordinato secondo le potenze decrescenti (o crescenti) di una
lettera ,se,leggendolo da sinistra a destra, gli esponenti di
quella lettera vanno diminuendo (o crescendo)
• Completo rispetto a una lettera, quando contiene tutte le
potenze di quella lettera da quella di grado più elevato a quella
di grado zero.

13. SOMME ALGEBRICHE DI POLINOMI
La somma algebrica di più polinomi è un polinomio i cui termini si
ottengono togliendo le parentesi ed il segno che precede
ciascuna di esse, e scrivendo i monomi che vi erano racchiusi:
Con i segni invariati se le parentesi che si tolgono è preceduto
dal segno «+»
Con I segni contrari se la parentesi che si toglie è preceduta
dal segno «-»
Infine, nel polinomio ottenuto, si riducono gli eventuali termini
simili
ES:(10a-2b+4b²)+(25a²-16b)-(-4a²-8a+12b²)+(-7b+a)
10a -2b+4b²+25a² -16b +4a²+8a+12b² -7b+a
(25+4)a²+(10+8+1)a+(-2-16-7)b+(4-12)b²
29a²+19a-25b-8b²

14. SCOMPOSIZIONI
• Scomposizioni mediante i prodotti notevoli
• Trinomio notevole
• Raccoglimenti
• Regola di Ruffini

15. PRODOTTI NOTEVOLI
(A+B)*(A-B)=A²-B²
Differenza di
quadrati
(A+B)²=A²+2AB+B²
Quadrato di un
binomio
Quadrato di un
trinomio
(A+B+C)=A²+B²+C²+2AB+2AC+”BC
Cubo di un
binomio
(A+B)³=A³+3A²B+3AB²+B³
Somma e
differenza di
due cubi
(A+B)(A²-AB+B²)=A³+B³ (A-B)(A²+AB+B²)=A³-B³

16. TRINOMIO NOTEVOLE
Un trinomio del tipo : x²+7x+12
Essendo: 3+4=7 e 3*4=12, si ha
x²+7x+12=(x+3)(x+4)
Oppure: x²+x-12
Essendo 4+(-3)=1 e 4(-3)=12, si ha: x²+x-
12=(x+4)(x-3)

17. RACCOGLIMENTI
•Raccoglimento a fattore comune
In questo caso, si applica l’inversa della proprietà distributiva della
moltiplicazione rispetto all’addizione
ES: ma+mb+mc=m(a+b+c)
•Raccoglimento a fattore comune totale o parziale
2ax+2bx+3ay+3by
Questo polinomio può essere considerato come somma algebrica
di due polinomi
(2ax+2bx)+(3ay+3by)
Raccogliendo a fattor comune 2x nel primo e 3y nel secondo, si
ottiene 2x(a+b)+3(a+b)
Da cui,mettendo in evidenza (a+b)si ottiene la frazione di A
(a+b)(2x+3y)

18. REGOLA DI RUFFINI
P(x)=x³- 2x²-5x+6
Troviamo tutti I possibili divisori interi del termine noto
+6: ±1,±2,±3,±6
Verifichiamo se I questi valori costituiscono degli
zeri(razionali)per il polinomio
Procediamo con la divisione tenendo presente che, se a
è uno zero razionale del polinomio,allora il polinomio è
divisibile per x-a il polinomio dato è divisibile per (x-1)e
(x+2). Ora applichiamo la regola di Ruffini 2 volte