• Like
  • Save
Thi vao 10 chuyen
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Thi vao 10 chuyen

on

  • 748 views

 

Statistics

Views

Total Views
748
Views on SlideShare
733
Embed Views
15

Actions

Likes
0
Downloads
9
Comments
0

1 Embed 15

http://dayhoc24h.com 15

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Thi vao 10 chuyen Thi vao 10 chuyen Document Transcript

    • S GIÁO D C VÀ ÀO T O K THI TUY N SINH L P 10 THPT TP.HCM N m h c: 2010 – 2011 CHÍNH TH C MÔN: TOÁN Th i gian làm bài: 120 phútBài 1: (2 i m) Gi i các ph ng trình và h ph ng trình sau: a) 2 x 2 3x 2 0 4x y 1 b) 6x 2 y 9 c) 4 x 4 13 x2 3 0 d) 2 x 2 2 2 x 1 0Bài 2: (1,5 i m) x2 1 a) V th (P) c a hàm s y và ng th ng (D): y x 1 trên cùng 2 2 m t h tr c to . b) Tìm to các giao i m c a (P) và (D) b ng phép tính.Bài 3: (1,5 i m) Thu g n các bi u th c sau: A 12 6 3 21 12 3 2 2 5 3 B 5 2 3 3 5 2 3 3 5 2 2Bài 4: (1,5 i m) Cho ph ng trình x 2 (3m 1) x 2m 2 m 1 0 (x là n s ) a) Ch ng minh r ng ph ng trình luôn luôn có 2 nghi m phân bi t v i m i giá tr c a m. b) G i x1, x2 là các nghi m c a ph ng trình. Tìm m bi u th c sau t giá tr 2 2 l n nh t: A = x1 x2 3x1 x2 .Bài 5: (3,5 i m) Cho ng tròn tâm O ng kính AB=2R. G i M là m t i m b t k thu c ng tròn (O) khác A và B. Các ti p tuy n c a (O) t i A và M c t nhau t i E. V MPvuông góc v i AB (P thu c AB), v MQ vuông góc v i AE (Q thu c AE). a) Ch ng minh r ng AEMO là t giác n i ti p ng tròn và APMQ là hình ch nh t. b) G i I là trung i m c a PQ. Ch ng minh O, I, E th ng hàng. c) G i K là giao i m c a EB và MP. Ch ng minh hai tam giác EAO và MPB ng d ng. Suy ra K là trung i m c a MP. d) t AP = x. Tính MP theo R và x. Tìm v trí c a M trên (O) hình ch nh t APMQ có di n tích l n nh t.
    • BÀI GI IBài 1: (2 i m) Gi i các ph ng trình và h ph ng trình sau: a) 2 x 2 3x 2 0 (1) 9 16 25 3 5 1 3 5 (1) x hay x 2 4 2 4 y 3 4x y 1 (1) 4x y 1 (1) b) 1 6 x 2 y 9 (2) 14 x 7 ( pt (2) 2 pt (1)) x 2 c) 4 x 4 13 x2 3 0 (3), t u = x2, ph ng trình thành : 4u2 – 13u + 3 = 0 (4) 13 11 1 13 11 (4) có 169 48 121 112 (4) u hay u 3 8 4 8 1 Do ó (3) x hay x 3 2 d) 2 x 2 2 2 x 1 0 (5) 2 2 4 2 2 2 2 Do ó (5) x hay x 2 2Bài 2: a) th : h c sinh t v 1 L u ý: (P) i qua O(0;0), 1; , 2; 2 . 2 1 (D) i qua 1; , 2; 2 2 1 Do ó (P) và (D) có 2 i m chung là : 1; , 2; 2 . 2 b) PT hoành giao i m c a (P) và (D) là x2 1 x 1 x2 x 2 0 x 1 hay x 2 2 2 1 V y to giao i m c u (P) và (D) là 1; , 2; 2 . 2Bài 3: A 12 6 3 21 12 3 (3 3)2 3(2 3)2 3 3 (2 3) 3 3 2 2 5 3 B 5 2 3 3 5 2 3 3 5 2 2 2 2 2B = 5 4 2 3 6 2 5 5 4 2 3 6 2 5 3
    • 2 2 5 (1 3) 2 ( 5 1) 2 5 ( 3 1) 2 ( 5 1) 2 3 2 2 = 5 (1 3) ( 5 1) 5 ( 3 1) ( 5 1) 3 = 5.3 5 20 B = 10.Bài 4: 2 a) 3m 1 8m 2 4m 4 m 2 2m 5 (m 1)2 4 0 m Suy ra ph ng trình luôn luôn có 2 nghi m phân bi t v i m i m. b) Ta có x1 + x2 = 3m + 1 và x1x2 = 2m2 + m – 1 2 A= x12 x2 3x1 x2 2 x1 x2 5 x1x2 1 1 2 25 1 2 (3m 1)2 5(2m 2 m 1) m2 m 6 6 (m ) (m ) 4 2 4 2 25 1 Do ó giá tr l n nh t c a A là : . t c khi m = 4 2Bài 5:a) Ta có góc EMO = 90O = EAO I=> EAOM n i ti p. M QT giác APMQ có 3 góc vuông : EAO APM PMQ 90o E=> T giác APMQ là hình ch nh t K Ib) Ta có : I là giao i m c a 2 ngchéo AM và PQ c a hình ch nh t APMQnên I là trung i m c a AM. B A O P xMà E là giao i m c a 2 ti p tuy n t i M vàt i A nên theo nh lý ta có : O, I, E th nghàng.c) Cách 1: hai tam giác AEO và MPB ngd ng vì chúng là 2 tam giác vuông có 1 gócb ng nhau là AOE ABM , vì OE // BM AO AE=> (1) BP MP KP BPM t khác, vì KP//AE, nên ta có t s (2) AE ABT (1) và (2) ta có : AO.MP = AE.BP = KP.AB,mà AB = 2.OA => MP = 2.KPV y K là trung i m c a MP. EK APCách 2 : Ta có (3) do AE // KP, EB AB EI APm t khác, ta có (4) do 2 tam giác EOA và MAB ng d ng EO AB EK EISo sánh (3) & (4), ta có : . EB EO
    • Theo nh lý o Thales => KI // OB, mà I là trung i m AM=> K là trung i m MP.d) Ta d dàng ch ng minh c: 4 a b c d abcd (*) 4 D u “=” x y ra khi và ch khi a = b = c = d MP = MO 2 OP 2 R 2 (x R) 2 2Rx x 2 Ta có: S = SAPMQ = MP.AP x 2Rx x 2 (2R x)x 3 S t max (2R x)x 3 t max x.x.x(2R – x) t max x x x . . (2R x) t max 3 3 3 x Áp d ng (*) v i a = b = c = 3 4 x x x 1 x x x R4 Ta có : . . (2R x) (2R x) 3 3 3 44 3 3 3 16 x 3 Do ó S t max (2R x) x R. 3 2 TS. Nguy n Phú Vinh (TT BDVH và LT H V nh Vi n)
    •                                                                                                                                      
    •                                                                                                                                                                                                
    •                                                                                                                                                                        
    •                                                                                                                                                                                                             
    • S GIÁO D C VÀ ÀO T O K THI TUY N SINH L P 10 THPT HÀ N I N m h c: 2010 – 2011 CHÍNH TH C MÔN: TOÁN Th i gian làm bài: 120 phútBài I (2,5 i m) x 2 x 3x 9 Cho bi u th c A ,v ix 0 và x 9 x 3 x 3 x 9 1) Rút g n bi u th c A. 1 2) Tìm giá tr c a x A . 3 3) Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c ABài II (2,5 i m) Gi i bài toán sau b ng cách l p ph ng trình: M t m nh t hình ch nh t có dài ng chéo là 13m và chi u dài l n h nchi u r ng 7m. Tính chi u dài và chi u r ng c a m nh t ó.Bài III (1,0 i m) Cho parabol (P) : y = x2 và ng th ng (d) : y = mx 1 1) Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m thì ng th ng (d) luôn c t parabol (P)t i hai i m phân bi t. 2) G i x1, x2 l n l t là hoành các giao i m c a ng th ng (d) và parabol 2 2(P). Tìm giá tr c a m : x1 x 2 x 2 x1 x1x 2 3Bài IV (3,5 i m) Cho ng tròn (O) có ng kính AB = 2R và i m C thu c ng tròn ó (Ckhác A, B). L y i m D thu c dây BC (D khác B, C). Tia AD c t cung nh BC t i i mE, tia AC c t tia BE t i i m F. 1) Ch ng minh FCDE là t giác n i ti p. 2) Ch ng minh DA.DE = DB.DC 3) Ch ng minh CFD OCB . G i I là tâm ng tròn ngo i ti p t giác FCDE,ch ng minh IC là ti p tuy n c a ng tròn (O) . 4) Cho bi t DF = R, ch ng minh tg AFB 2 .Bài V (0,5 i m) Gi i ph ng trình : x 2 4x 7 (x 4) x 2 7 BÀI GI IBài I: (2,5 i m) V i x 0 và x 9 ta có : x 2 x 3x 9 x ( x 3) 2 x ( x 3) 3x 9 1) A = = x 3 x 3 x 9 x 9 x 9 x 9 x 3 x 2 x 6 x 3x 9 3 x 9 3( x 3) 3 x 9 x 9 x 9 x 3 1 3 2) A = x 3 9 x 6 x = 36 3 x 3
    • 3 3) A l n nh t x 3 nh nh t x 0 x=0 x 3Bài II: (2,5 i m) G i x (m) là chi u r ng c a hình ch nh t (x > 0) chi u dài c a hình ch nh t là x + 7 (m) Vì ng chéo là 13 (m) nên ta có : 132 x 2 ( x 7)2 2 x 2 14 x 49 169 0 x2 + 7x – 60 = 0 (1), (1) có = 49 + 240 = 289 = 172 7 17 7 17 Do ó (1) x (lo i) hay x 5 2 2 V y hình ch nh t có chi u r ng là 5 m và chi u dài là (x + 7) m = 12 mBài III: (1,0 i m) 1) Ph ng trình hoành giao i m c a (P) và (d) là: 2 2 -x = mx – 1 x + mx – 1 = 0 (2), ph ng trình (2) có a.c = -1 < 0 v i m i m (2) có 2 nghi m phân bi t trái d u v i m i m (d) luôn c t (P) t i 2 i m phân bi t. 2) x1, x2 là nghi m c a (2) nên ta có : x1 + x2 = -m và x1x2 = -1 2 2 x1 x2 x2 x1 x1 x2 3 x1 x2 ( x1 x2 1) 3 1( m 1) 3 F m+1=3 m=2Bài IV: (3,5 i m) 1) T giác FCDE có 2 góc i FED 90o FCD nên chúng n i ti p. I 2) Hai tam giác vuông ng d ng ACD và DEB vì E C hai góc CAD CBE cùng ch n cung CE, nên ta DC DE có t s : DC.DB DA.DE D DA DB 3) G i I là tâm vòng tròn ngo i ti p v i t giác A O B FCDE, ta có CFD CEA (cùng ch n cung CD) M t khác CEA CBA (cùng ch n cung AC) và vì tam OCB cân t i O, nên CFD OCB . Ta có : ICD IDC HDB OCD OBD và HDB OBD 900 OCD DCI 900 nên IC là ti p tuy n v i ng tròn tâm O. T ng t IE là ti p tuy n v i ng tròn tâm O. 4) Ta có 2 tam giác vuông ng d ng ICO và FEA vì có 2 góc nh n 1 CAE COE COI (do tính ch t góc n i ti p) 2 CO R Mà tg CIO 2 tgAFB tgCIO 2 . IC R 2Bài V: (0,5 i m) Gi i ph ng trình : x 2 4x 7 ( x 4) x 2 7
    • t t = x 2 7 , ph ng trình ã cho thành : t 2 4 x ( x 4)t t 2 ( x 4)t 4 x 0 (t x)(t 4) 0 t = x hay t = 4, Do ó ph ng trình ã cho x2 7 4 hay x 2 7 x x2 7 x2 x2 + 7 = 16 hay x2 = 9 x= 3 x 7Cách khác : x 2 4 x 7 ( x 4) x 2 7 x 2 7 4( x 4) 16 ( x 4) x 2 7 0 ( x 4)(4 x 2 7) ( x 2 7 4)( x 2 7 4) 0 x 2 7 4 0 hay ( x 4) x2 7 4 0 x2 7 4 hay x 2 7 x x2 = 9 x= 3 TS. Nguy n Phú Vinh (TT BDVH và LT H V nh Vi n)
    • Së Gi¸o dôc v ® o t¹o KÌ THI TUY N SINH L P 10 THPT TP. HU Thõa Thiªn HuÕ Khóa ngày 24.6.2010 CHÍNH TH C Môn: TO¸N Th i gian làm bài: 120 phútBài 1: (2,25 i m) Không s d ng máy tính c m tay: a) Gi i ph ng trình và h ph ng trình sau: 2x 3y 13 1) 5 x 2 7 x 6 0 . 2) 3x 5 y 9 5 b) Rút g n bi u th c: P 2 5. 5 2Bài 2: (2,5 i m) Cho hàm s y ax 2 . a) Xác nh h s a bi t r ng th c a hàm s ã cho i qua i m M 2; 8 . b) V trên cùng m t m t ph ng t a th (P) c a hàm s ã cho v i giá tr a v a tìm c và ng th ng (d) i qua M 2; 8 có h s góc b ng 2 . Tìm t a giao i m khác M c a (P) và (d).Bài 3: (1,25 i m) Hai ng i i xe p cùng xu t phát t A n B v i v n t c b ng nhau. i 2 c quãng ng AB, ng i th nh t b h ng xe nên d ng l i 20 phút và ón ô tô quay v 3A, còn ng i th hai không d ng l i mà ti p t c i v i v n t c c t i B. Bi t r ng kho ngcách t A n B là 60 km, v n t c ô tô h n v n t c xe p là 48 km/h và khi ng i th hai t iB thì ng i th nh t ã v A tr c ó 40 phút. Tính v n t c c a xe p.Bài 4: (2,5 i m) Cho tam giác ABC vuông t i A và AC > AB, D là m t i m trên c nh ACsao cho CD < AD. V ng tròn (D) tâm D và ti p xúc v i BC t i E. T B v ti p tuy n thhai c a ng tròn (D) v i F là ti p i m khác E. a) Ch ng minh r ng n m i m A, B, E, D, F cùng thu c m t ng tròn. b) G i M là trung i m c a BC. ng th ng BF l n l t c t AM, AE, AD theo th t t i các IK AK i m N, K, I. Ch ng minh: . Suy ra: IF BK IK BF . IF AF c) Ch ng minh r ng tam giác ANF là tam giác cân.Bài 5: (1,5 i m) T m t t m thi c hình ch nh t ABCD có chi u r ng AB = 3,6dm, chi u dài AD = 4,85dm,ng i ta c t m t ph n t m thi c làm m t xung quanh c a m t hình nón v i nh là A và ng sinh b ng 3,6dm, sao cho di n tích m t xung quanh này l n nh t. M t áy c a hình nón c c t trong ph n còn l i c a t m thi c hình ch nh t ABCD. a) Tính th tích c a hình nón c t o thành. b) Ch ng t r ng có th c t c nguyên v n hình tròn áy mà ch s d ng ph n còn l i c a t m thi c ABCD sau khi ã c t xong m t xung quanh hình nón nói trên. H tSBD thí sinh:................................ Ch ký c a GT 1:...............................................
    • S GIÁO D C VÀ ÀO T O K THI TUY N SINH L P 10 THPT TP. HU TH A THIÊN HU Môn: TOÁN - Khóa ngày: 25/6/2010 CHÍNH TH C ÁP ÁN VÀ THANG I MBài ý N i dung i m1 a.1 Gi i ph ng trình 5 x 2 7 x 6 0 (1): (0,75) 49 120 169 132 , 13 , 0,25 7 13 3 7 13 x1 v x1 2. 0,25 10 5 10 3 V y ph ng trình có hai nghi m: x1 , x2 2 0,25 5 a.2 2x 3 y 13 (0,75) Gi¶i hÖ ph ¬ng tr×nh : 3x 5 y 9 2x 3 y 13 6x 9 y 39 2x 3 y 13 0,50 3x 5 y 9 6 x 10 y 18 19 y 57 y 3 x 2 0,25 2 x 9 13 4 y 3 b. 5 5 2 (0,75) 5 0,50 P 2 5 2 5 5 2 5 4 5 2 5 2 5 5 0,25 2 2.a + th (P) c a hàm s y ax 2 ®i qua ®iÓm M 2; 8 , nªn: (0,75) 2 8 a 2 a 2. 0,50 VËy: a 2 v hàm s ã cho là: y 2x 2 0,25 2.b + ng th ng (d) có h s góc b ng 2 , nên có ph ng trình d ng: 0,25 (1,75) y 2x b + (d) i qua ®iÓm M 2; 8 , nªn: 8 2 2 b b 4 , (d ) : y 2x 4 0,25 + V (P) 0,50 + V (d) 0,25 + Hoành giao i m c a (P) và (d) là nghi m c a ph ng trình: 0,25 2 2x 2x 4 x2 x 2 0 . + Ph ng trình có hai nghi m: x1 1; x2 2 Do ó hoành giao i m th hai c a (P) và (d) là x 1 y 2 12 2. 0,25 V y giao i m khác M c a (P) và (d) có t a : N 1; 2 1
    • 3 G i x (km/h) là v n t c c a xe p, thì x + 48 (km/h) là v n t c c a ô tô. i u ki n: x > 0. 0,25 2 Hai ng i cùng i xe pm t o n ng AC AB 40 km 3 o n ng còn l i ng i th hai i xe p n B là: CB = AB AC=20 km. 0,25 40 Th i gian ng i th nh t i ô tô t C v A là: (gi ) và ng i th hai i x 48 20 0,25 t C n B là: (gi ). x 40 1 20 2 40 20 Theo gi thi t, ta có ph ng trình: 1 x 48 3 x 3 x 48 x Gi i ph ng trình trên: 40 x x x 48 20 x 48 hay x 2 68 x 960 0 0,25 Gi i ph ng trình ta c hai nghi m: x1 80 0 (lo i) và x2 12 . V y v n t c c a xe p là: 12 km/h 0,25 4 4.a (1,0) Hình v úng. 0,25 Theo tính ch t ti p tuy n, ta có: BED BFD 900 0,25 Mà BAD BAC 900 (gi thi t) Do ó: BED BFD BAD 900 0,25 V y: N m i m A,B,E,D,F cùng thu c ng tròn ng kính BD. 0,25 4.b (1,0) G i (O) là ng tròn ng kính BD. Trong ng tròn (O), ta có: DE DF (do DE, DF là bán kính ng tròn (D)) EAD DAF Suy ra: AD là tia phân giác EAF hay AI là tia phân giác c a KAF 0,25 IK AK Theo tính ch t phân giác ta có (1) 0,25 IF AF Vì AB AI nên AB là tia phân giác ngoài t i nh A c a KAF. BK AK 0,25 Theo tính ch t phân giác ta có : (2) BF AF 2
    • IK BK 0,25 T (1) và (2) suy ra : . V y IF . BK = IK . BF ( pcm) IF BF 4.c Ta có: AM là trung tuy n thu c c nh huy n BC nên AM = MC, do ó AMC (0,5) cân t i M, suy ra: MCA MAC . T ó: NAF MAC DAF MCA EAC (vì AI là tia phân giác c a góc EAF) 0,25 Mà AEB MCA EAC (góc ngoài c a tam giác AEC) Nên NAF AEB M t khác, AFB AEB (góc n i ti p cùng ch n cung AB) Suy ra: NAF BFA NFA V y : ANF cân t i N ( pcm) 0,255 a) Hình khai tri n c a m t xung quanh c a hình nón có nh t i A, ng sinh l 3, 6dm AB là hình qu t tâm A bán kính AB. M t xung quanh này có di n 0,25 tích l n nh t khi góc tâm c a hình qu t b ng 900 . + Di n tích hình qu t c ng là di n tích xung quanh c a hình nón có bán kính áy là r nên: l 2 90 l2 0,25 S xq rl 360 4 l Suy ra: r 0,9dm 0,25 4 Do ó th tích c a hình nón c t o ra là: 1 2 1 2 2 2 r 3 15 V r h r l r 2,96 dm 3 3 3 3 0,25 b) Trên ng chéo AC, v ng tròn tâm I bán kính r 0,9dm ngo i ti p cung qu t tròn t i E. IH và IK là các o n vuông góc k t I n BC và CD. Ta có: CI AC AI 3, 6 2 4,852 (3, 6 0,9) 1, 54dm HI CI AB CI IH//AB IH 0,91dm r 0,9dm 0,25 AB AC AC T ng t : IK r 0,9dm V y sau khi c t xong m t xung quanh, ph n còn l i c a t m thi c ABCD có th 0,25 c t c m t áy c a hình nón.Ghi chú: H c sinh làm cách khác áp án nh ng úng v n cho i m t i a. i m toàn bài không làm tròn. 3
    • S GIÁO D C VÀ ÀO T O K THI TUY N SINH THPT CHUYÊN QU C H C TH A THIÊN HU Khoá ngày 24.6.2010 CHÍNH TH C Môn: TOÁN Th i gian làm bài: 150 phútBài 1: (1,5 i m) Xác nh tham s m ph ng trình m 1 x 2 2 m 1 x m 2 0 có hai nghi mphân bi t x1 , x2 tho mãn: 4 x1 x2 7 x1 x2 .Bài 2: (2,0 i m) Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P x 2 xy y 2 2 x 3 y 2010 khi các s th cx, y thay i. Giá tr nh nh t ó t c t i các giá tr nào c a x và y.Bài 3: (2,5 i m) 3 3 a) Gi i ph ng trình : x 3 5 x 2. 1 1 x y 4 0 x y b) Gi i h ph ng trình : 1 x y xy -4=0 xy y xBài 4: (2,0 i m) Cho tam giác ABC có BC = 5a, CA = 4a, AB = 3a. ng trung tr c c a o n ACc t ng phân giác trong c a góc BAC t i K. a) G i (K) là ng tròn có tâm K và ti p xúc v i ng th ng AB. Ch ng minhr ng ng tròn (K) ti p xúc v i ng tròn ngo i ti p c a tam giác ABC. b) Ch ng minh r ng trung i m c a o n AK c ng là tâm ng tròn n i ti p c atam giác ABC.Bài 5: (2,0 i m) 65 5 a) V i b s (6 ; 5 ; 2), ta có ng th c úng : . 26 2 Hãy tìm t t c các b s (a ; b ; c) g m các ch s h th p phân a , b, c ôi m t ab bkhác nhau và khác 0 sao cho ng th c úng. ca c b) Cho tam giác có s o m t góc b ng trung bình c ng c a s o hai góc còn l ivà dài các c nh a, b, c c a tam giác ó tho mãn: a b c a b c. Ch ng minh r ng tam giác này là tam giác u. --------------- H T ---------------SBD thí sinh: ................. Ch ký GT1: ..............................
    • S GIÁO D C VÀ ÀO T O K THI TUY N SINH THPT CHUYÊN QU C H C TH A THIÊN HU Khoá ngày 24.6.2010 CHÍNH TH C Môn: TOÁN H NG D N CH M Bài N i dung i mBài 1 (1,5 ) a 0 0,25 Ph ng trình có hai nghi m phân bi t 0 m 1 0 m 1 0,25 (*) 3 m 0 m 3 2(m 1) 0,25 x1 x2 Ta có: m 1 m 2 x1 x2 m 1 2 m 1 m 2 0,25 4 x1 x2 7 x1 x2 4 7 m 1 m 1 8 m 1 7 m 2 m 6 Tho mãn (*) 0,5 V y: m = 6 tho mãn yêu c u bài toán .BÀI 2 (2 ) Ta có: P x2 y 2 x y 2 3 y 2010 0,25 y 2 2 y 2 2 0,5 P x y 2 3 y 2010 2 4 1 2 3 4 2 6023 0,5 P 2x y 2 y 4 4 3 3 6023 0,25 P v i m i x, y. 3 1 0,25 2x y 2 0 x 6023 3 P khi và ch khi: 4 3 y 0 4 3 y 3 6023 1 4 0,25 V y giá tr nh nh t c a P là Pmin t khi x và y 3 3 3Bài 3 (2,5 )3.a L p ph ng hai v ph x 3 35 x ng trình 3 2 (1), ta c: 0,25(1 ) 8 3 3 ( x 3)(5 x)( 3 x 3 3 5 x ) 8 Dùng (1) ta có: 3 ( x 3)(5 x) 0 (2) 0,25 Gi i (2) và th l i tìm c: x 3, x 5 là hai nghi m c a ph ng trình ã cho. 0,5
    • 3.b i u ki n : x 0; y 0 . 0,25(1 ,5) 1 1 0,5 x y 4 x y Vi t l i h : 1 1 x . y 4 x y 1 1 u v 4 0,25 t: u x ; v y , ta có h : x y uv 4 Gi i ra c: u 2; v 2. 0,25 Gi i ra c : x = 1 ; y = 1. H ã cho có nghi m : (x ; y) = ( 1 ; 1). 0,25BÀI 4(2 ) B R K O I C Q A T 4. a 0,25 2 2 2 (1 ) Do BC = AC + AB nên tam giác ABC vuông t i A. ng tròn (O) ngo i ti p ABC có tâm là trung i m O c a BC, có bán kính 0,25 5 r a. 2 G i Q là trung i m AC và R là ti p i m c a (K) và AB. 0,25 KQAR là hình vuông c nh 2a. ng tròn (K) có bán kính = 2a 3 1 0,25 Do OK= KQ – OQ = 2a – a = a = r – , nên (K) ti p xúc trong v i (O). 2 2 4.b G i I là trung i m AK, n i BI c t OQ t i T. Ta ch ng minh T thu c ng tròn (O). 0,25 (1 ) Hai tam giác IQT và IRB b ng nhau nên QT = RB = a 0,25 3 0,25 Vì OT = OQ + QT = a + a = r nên T thu c ng tròn (O). 2 T ó T là trung i m c a cung AC c a ng tròn (O). 0,25 Suy ra BI là phân giác c a góc ABC. Vì v y I là tâm n i ti p c a ABC.
    • BÀI 5 (2 )5. a Hãy tìm t t c các b s (a ; b ; c) g m các ch s a , b, c khác nhau và khác 0 sao(1 ) ab b cho ng th c: ( 1) úng. ca c Vi t l i (1): (10a + b)c =(10c + a)b 2.5.c(a – b) = b(a – c). 0,25 Suy ra: 5 là c s c a b(a – c). Do 5 nguyên t và 1 a, b, c 9; a c nên: 0,25 1) ho c b = 5 2) ho c a - c 5 3) ho c c - a 5 a 9 0,5 + V i b = 5: 2c(a 5) = a c c = c 2c 1 . 2a 9 2a 9 Suy ra: 2a 9 = 3 ; 9 (a 5, do a c) Tr ng h p này tìm c: (a; b; c) = (6; 5; 2), (9; 5; 1) 2c 2 10c 9 + V i a = c + 5: 2c(c + 5 b) = b b= . Vi t l i: 2b 2c 9 2c 1 2c 1 Suy ra: 2c + 1 = 3 ; 9 (c 0). Tr ng h p này tìm c: (a; b; c) = (6; 4; 1), (9; 8; 4). 2a 2 10a + V i c = a + 5: 2(a + 5)(a b) = b b= . 2a 9 9.19 Vi t l i : 2b 2a 19 . Suy ra: b > 9, không xét . 2a 9 + V y: Các b s th a bài toán: (a ; b ; c) = (6 ; 5 ; 2), (9 ; 5 ; 1), (6; 4 ; 1), (9 ; 8 ; 4).5.b T gi thi t s o m t góc b ng trung bình c ng c a s o hai góc còn l i, suy ra 0,25(1 ) tam giác ã cho có ít nh t m t góc b ng 60o . Ví d : T 2A = B + C suy ra 3A = A + B + C = 180o. Do ó A = 60o. T a b c a b c (*), suy ra tam giác ã cho là tam giác cân. 0,5 Th t v y, bình ph ng các v c a (*): a b c a b c 2 ab 2 cb 2 ac c c a b a c 0 a c b c 0 Vì v y tam giác này có a = c ho c b = c. Tam giác ã cho là tam giác cân và có góc b ng 60o nên là tam giác u. 0,25
    • G i ý l i gi i môn Toán K thi tuy n sinh vào l p 10 THPT t i Hà n iBài I m)Cho bi u th c: A = + - ,v ix và x 91/ Rút g n bi u th c A.2/ Tìm giá tr c A=3/ Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A.L i gi i1/ A = + - = = = =2/ A = = =9 =6 x = 36 (T/m)V y x = 36 thì A = 1/3.3/ Do => 1. A 1 Amax = 1 x = 0 (T/m) m)Gi i bài toán sau b ng cách l p ph ng trình:M t m nh t hình ch nh t có dài ng chéo là 13 m và chi u dài l n h n chi u r ng 7 m. Tínhchi u dài và chi u r ng c a m nh t ó.L i gi iG i chi u r ng c a hình ch nh t là x (x>0; n v : m) Chi u dài hình ch nh t là: x+7 (m)Vì ng chéo hình ch nh ình: x2+ (x+7)2 = 169=> x2 + x2 +14x + 49 = 169 2x2 + 14x-120= 0 x2 +7x-60= 0 = 49+240=289
    • x1= =5 ; x2 = = -12 (lo i)V y chi u r ng hình ch nh t là 5m; chi u dài là 12m. m)Cho parabol (P): y=-x2 ng th ng (d): y=mx-11/ Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m thì ng th ng (d) luôn c t parabol (P) t m phânbi t2/ G i x1, x2 l mc ng th ng (d) và parabol (P). Tìm giá tr c a m : x12x2+x22x1-x1x2=3.L i gi i ình hoành m (P) và (d): -x2 = mx-1 x2 + mx - 1 = 0 (*) Có: ac = - ình ã cho có 2 nghi m phân bi t v i m2/ x12x2 + x22x1 - x1x2 = 3 x1x2(x1+x2) - x1x2 = 3 (1)Vì ình (*) luôn có 2 nghi m v i m nên:Theo Viét ta có: x1+x2 = = -m; x1x2 = = -1 (1) -1.(-m) + 1 = 3 => m+1 = 3 => m=2.V y v i m = 2 thì x12x2 + x22x1 - x1x2 = 3.Bài IV ( 3,5 m) ng tròn (O) có m C thu ng tròn (C khác A, B). L mD thu c dây BC ( D khác B, C). Tia AD c t cung nh BC t m E, tia AC c t tia BE t m F.1/ Ch ng minh FCDE là t giác n i ti p.2/ Ch ng minh DA.DE = DB.DC3/ Ch ng minh CFD = OCB. G ng tròn ngo i ti p t giác FCDE, ch ng minh IC là ti ptuy n c ng tròn (O).4/ Cho bi t DF=R, ch ng minh tg AFB = 2.L i gi i1/ AEB = 90o (góc n i ti p ch ng tròn) => AEF = 90oACB = 90o (góc n i ti p ch ng tròn) => FCB = 90oT giác CFED có: C + E = 180 o => t giác CFED n i ti p ( t giác có t ng 2 góc i b ng 180o)
    • 2/ Xét ACD và BED:C = E = 90o (1)A1 = B1 ( 2 góc n i ti p cùng ch n cung CE ) (2) (1) và (2) => ACD ng d ng BED (góc - góc) = => AD.DE = BD.CD3/ * Có D là tr c tâm c a FAB (do AE FB, BC AF) => FD AB t i H. F1 + FAH = 90oMà B 2 + FAH = 90o => F1 = B2Có COB cân t i O (CO=OB=R)=> góc C1 = góc B2 => góc C1 = góc F1 ( cùng = góc B2) * Tâm I c ng tròn ngo i ti p t m c a FD => CI=IF=1/2 FD(do góc DCF = 90o tính ch t trung tuy n ng v i c nh huy n)=> CIF cân t i I => góc C2 = góc F1Có CAO cân t i O (CO=OA=R) => góc C3 = góc CAOMà góc F1 + góc CAO = 90o => góc C2 + góc C3 = 90o => góc ICO = 90o => IC CO, mà C (O) =>IC là ti p tuy n c ng tròn (O)4/ Xét ICO và IEO có: IC = IE (cùng b ng bán kính c ng tròn (I)) (3) CO = OE (=R) (4) IO chung (5)T (3), (4) và (5) => ICO = IEO (c.c.c) góc COI = góc EOI tâm)mà góc A1 ( góc A1 là góc n i ti p ch n cung CE ) góc A1 = góc COI.Xét ACD và OCI có: góc A1 = góc COI (cmt) (6)Góc ACD = góc OCI ( = 90 o) (7)T (6) và (7) => ACD ng d ng OCI (g.g) => = => = (8) OCI có CI = R/2 ( do CI = ½ FD ) ; CO = R => = 2 (9)T giác CFED n i ti p => góc CFE = góc CDA ( góc ngoài c a t giác n i ti p = góc trong t nh i) (10)
    • Xét CAD có góc C = 90 o => tg góc CDA = (11)T (8) (9) (10) và (11) => tg góc CFE = 2 F 1 I E 2 C 3 1 D 1 1 2 A B H O (hình v c a Bài IV)Bài V ( 0,5 m)Gi ình: x2 + 4x + 7 = (x+4)L i gi ix2 + 4x + 7 = x +4x2 + 7 - 4 + 4x - x =0 ( - 4) - x =0( ) =0
    • V yx= là nghi m c ình.G i ý l i gi i c - ng THCS Gi ng Võ - Hà N i.
    •                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
    • KÌ THI TUY N SINH L P 10 TRUNG H C PH THÔNG KHÓA NGÀY 21 THÁNG 6 N M 2010 t i à N ng MÔN THI : TOÁN ---------Bài 1 (2,0 i m) a) Rút g n bi u th c A ( 20 45 3 5). 5 b) Tính B ( 3 1)2 3Bài 2 (2,0 i m) a) Gi i ph ng trình x 4 13x 2 30 0 3 1 7 x y b) Gi i h ph ng trình 2 1 8 x yBài 3 (2,5 i m) Cho hai hàm s y = 2x2 có th (P) và y = x + 3 có th (d). a) V các th (P) và (d) trên cùng m t m t ph ng t a Oxy. b) G i A là giao i m c a hai th (P) và (d) có hoành âm. Vi t ph ng trìnhc a ng th ng ( ) i qua A và có h s góc b ng - 1. c) ng th ng ( ) c t tr c tung t i C, c t tr c hoành t i D. ng th ng (d) c ttr c hoành t i B. Tính t s di n tích c a hai tam giác ABC và tam giác ABD.Bài 4 (3,5 i m) Cho hai ng tròn (C) tâm O, bán kính R và ng tròn (C) tâm O, bán kính R(R > R) c t nhau t i hai i m A và B. V ti p tuy n chung MN c a hai ng tròn (M(C), N (C)). ng th ng AB c t MN t i I (B n m gi a A và I). a) Ch ng minh r ng BMN MAB b) Ch ng minh r ng IN2 = IA.IB c) ng th ng MA c t ng th ng NB t i Q; ng th ng NA c t ng th ngMB t i P. Ch ng minh r ng MN song song v i QP. BÀI GI IBài 1: (2 i m) a) Rút g n bi u th c A ( 20 45 3 5). 5 = (2 5 3 5 3 5) 5 10 b) Tính B = ( 3 1)2 3 3 1 3 1Bài 2: (2 i m) a) Gi i ph ng trình : x4 – 13x2 – 30 = 0 (1) t u = x2 0 , pt (1) thành : u2 – 13u – 30 = 0 (2) (2) có 169 120 289 172 13 17 13 17 Do ó (2) u 2 (lo i) hay u 15 2 2 Do ó (1) x= 15
    • 3 1 1 7 1 x 1 x 1 x y x b) Gi i h ph ng trình : 1 1 2 1 2 1 10 y 8 8 y 10 x y x y .Bài 3: a) th : h c sinh t v L u ý: (P) i qua O(0;0), 1; 2 . (d) i qua (0;3), 1; 2 b) PT hoành giao i m c a (P) và (d) là: 2 x 2 x 3 2x2 – x – 3 = 0 3 x 1 hay x 2 3 9 V y to giao i m c u (P) và (d) là 1; 2 , ; A 1; 2 2 2 Ph ng trình ng th ng ( ) i qua A có h s góc b ng -1 là : y – 2 = -1 (x + 1) ( ) : y = -x + 1 c) ng th ng ( ) c t tr c tung t i C C có t a (0; 1) ng th ng ( ) c t tr c hoành t i D D có t a (1; 0) ng th ng (d) c t tr c hoành t i B B có t a (-3; 0) Vì xA + xD = 2xC và A, C, D th ng hàng (vì cùng thu c ng th ng ( )) C là trung i m AD 1 2 tam giác BAC và BAD có chung ng cao k t nh B và AC = AD 2 S AC 1 Nên ta có ABC S ABD AD 2Bài 4: M I B N Q O P O A
    • a) Trong ng tròn tâm O: Ta có BMN = MAB (cùng ch n cung BM )b) Trong ng tròn tâm O: Ta có IN2 = IA.IBc) Trong ng tròn tâm O: MAB BMN (góc ch n cung BM ) (1) Trong ng tròn tâm O: BAN BNM (góc ch n cung BN ) (2) T (1)&(2) => MAB BAN MBN BMN BNM MBN 1800 Nên t giác APBQ n i ti p.=> BAP BQP QNM (góc n i ti p và góc ch n cung)mà QNM và BQP v trí so le trong => PQ // MN Võ Lý V n Long (TT BDVH và LT H V nh Vi n)
    •                                                                                                                                                           
    •                                                                                                                                                                            
    •                                                                                                                                                                                                                                                                        
    •                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
    •                                                                                                                                                                                                                                                                                         
    •                                                                                                                                    
    •                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
    •                                                                                                                                                                                                                                                      
    • I H C QU C GIA TP. HCM THI TUY N SINH L NG PH U Môn thi: TOÁN (Chuyên) Th i gian làm bài: 150 phút không k thCâu 1. a) Cho a, b, c là các s th c th a mãn u ki n a b c a 3 b3 c 3 0 .Ch ng minh r ng trong ba s a, b, c có ít nh t m t s b ng 0b) Gi i h ình: x y z 3 xy yz xz 1 x3 y3 z 3 6 3 x2 y2 z2 2Câu 2. a) Gi ình 2 x 1 12 x 2 x 2 1 b) Cho tam giác ABC vuông t i A và có di n tích b ng 1. Ch ng minh r ng ta có b t ng th c 2 BC 2 AB AC 2Câu 3. a) Hãy ch ra m t b 4 s bi t mà t ng ba s b t k trong chúng làm t s nguyên t . b) Ch ng minh r ng không t n t i 5 s t sao cho t ng ba s b t k trong chúng là m t s nguyên t .Câu 4. ng tròn tâm O, bán kính R và dây cung BC c dài BC R 3 . A làm i trên cung l n BC. G i x ng c ix ng c ng tròn ngo i ti p các tam giác ABE và ACF c t nhau t i K ( KA). a) Ch ng minh K luôn thu c m ng tròn c nh b) nh v tam giác KBC có di n tích l n nh t và tìm giá tr l n nh theo R. c) G m c a BE và CF. Ch ng minh r ng d ng v i tam ng th mc nh.Câu 5. Trong m t gi i tham d u vòng tròn m ib tk uv t tr n). a) Ch ng minh r ng sau 4 vòng u (m n) luôn tìm i u v i nhau. b) Kh nh trên còn um ã n? H t
    • THI TUY N SINH VÀO L P 10 N M H C 2010-2011 ÁP ÁN TOÁN CHUYÊNCâu 1. a) Cho a, b, c là các s th c tho mãn i u ki n a +b + c = a3 + b3 + c3 = 0.Ch ng minh r ng trong ba s a, b, c có ít nh t m t s b ng 0.b) Gi i h ph ng trình x y z 3 (1) xy yz zx 1 (2) x3 y3 z3 6 3( x 2 y2 z 2 ) (3)Gi i.a) (1 i m) T a + b + c = 0 suy ra c = -(a+b). T ó ta có 0 = a3 + b3 + c3 = a3 + b3 – (a+b)3 = -3a2b-3ab2 = -3ab(a+b) = 3abc.V y abc = 0, suy ra m t trong 3 s a, b, c b ng 0 ( pcm).b) (1 i m)Cách 1. t x = a+1, y = b+1, z = c+1. Thay vào ph ng trình (1) ta c a+b+c=0Thay vào (2) v i chú ý a + b + c = 0, ta c ab + bc + ca = -4 (4)Thay vào (3) v i chú ý a + b + c = 0, ta c a3 + b3 + c3 = 0Áp d ng câu a), ta suy ra m t trong ba s a, b, c b ng 0. Không m t tính t ng quát, gi sa = 0. Khi ó b = -c và thay vào (4) ta tìm c b = 2. T ây tìm c x, y, z.K t lu n : Ph ng trình có nghi m (1 ; -1 ; 3) và các hoán v (6 nghi m).Cách 2. T ph ng trình (1) và ph ng trình (2) ta suy ra x2 + y2 + z2 = (x+y+z)2 – 2(xy+yz+zx) = 11Thay vào ph ng trình (3), ta c 3 3 3 x + y + z = 27 (5)T (1) và (5) ta suy ra 0 = (x+y+z)3 – (x3+y3+z3) = 3(x+y)(y+z)(z+x)T ó suy ra trong ba s x, y, z có hai s có t ng b ng 0. Không m t tính t ng quát, gis x + y = 0. T (1) suy ra z = 3. Thay vào (2) suy ra x = -1, y = 1 ho c x = 1, y = -1.K t lu n : Ph ng trình có nghi m (1 ; -1 ; 3) và các hoán v (6 nghi m).Câu 2. a) Gi i ph ng trình (2 x 1) 2 12 x 2 x 2 1. . b) Cho tam giác ABC vuông t i A và có di n tích b ng 2. Ch ng minh r ng ta cób t ng th c 2 BC 2 ( AB AC 1).Gi i.a) (1 i m) i u ki n: x2 – x – 2 0 x - 1 x 2.Ta bi n i ph ng trình v d ng(2 x 1) 2 12 x 2 x 2 1 4x 2 4 x 1 12 x 2 x 2 1 x2 x 3 x2 x 2 t t x2 x 2 0 thì t2 = x2 – x – 2. Thay vào ph ng trình, ta c 2 t + 2 – 3t = 0 t=1 t=2
    • 1 13V i t = 1, ta c x2 – x – 3 = 0, suy ra x . 2V i t = 2, ta c x2 – x – 6 = 0, suy ra x = -2, x = 3.Các nghi m này u th a mãn i u ki n. 1 13V y ph ng trình ã cho có 4 nghi m là: x = -2, x = 3, x . 2b) (1 i m) t AB = c, AC = b thì theo i u ki n bài, ta có ab = 2. Ngoài ra, theo nh lý 2 2Pythagore, ta có BC a b .V th nh t c a b t ng th c c n ch ng minh có th vi t l i thành 2ab a2 b2 a 2 b 2 2ab ( a b) 2 0 ( úng, ây có th dùng b t ng th c Cauchy)V th hai c a b t ng th c có th vi t l i thành a2 b2 2 2 ( a b) a2 b2 4 a2 b2 4 2(a 2 b2 2ab) a2 b2 4 a2 b2 4 0 ( a2 b2 2) 2 0B t ng th c cu i cùng hi n nhiên úng. Bài toán c gi i quy t hoàn toàn.Câu 3. a) Hãy ch ra m t b 4 s nguyên d ng phân bi t mà t ng ba s b t k trongchúng là m t s nguyên t . b) Ch ng minh r ng không t n t i 5 s nguyên d ng phân bi t sao cho t ng bas b t k trong chúng là m t s nguyên t .Gi i.a) (0,5 i m) Có th ch ra b (1, 3, 7, 9).b) Do các s nguyên d ng là phân bi t nên t ng ba s b t k l n h n 3. Ta ch ng minhm t trong các t ng ó chia h t cho 3, t ó không th là s nguyên t , suy ra pcm. Xéts d trong phép chia các s này cho 3. N u các s d 0, 1, 2 u xu t hi n thì ta l y bas t ng ng, ta s c 3 s có t ng chia h t cho 3. N u có 1 s d nào ó không xu thi n thì có 5 s và ch có nhi u nh t 2 s d , suy ra t n t i 3 s có cùng s d . Ba s nàys có t ng chia h t cho 3. Bài toán c gi i quy t.Câu 4. Cho tr ng tròn tâm O, bán kính R và dây cung BC có dài BC R 3. A làm t i m thay i trên cung l n BC. G i E là i m i x ng c a B qua AC và F là i m i x ng c a C qua AB. Các ng tròn ngo i ti p các tam giác ABE và ACF c t nhaut i K (K A). a) Ch ng minh K luôn thu c m t ng tròn c nh. b) Xác nh v trí c a i m A tam giác KBC có di n tích l n nh t và tìm giá tr l n nh t ó theo R. c) G i H là giao i m c a BE và CF. Ch ng minh tam giác ABH ng d ng v i tam giác AKC và ng th ng AK luôn i qua m t i m c nh.
    • Gi i.a) (1 i m) Ta có AKC = AFC (cùng ch n cung AC)M t khác AFC = FCA (do F i x ng C qua AB) và FCA = 900 - ANên ta có AKC = 900 – A.Hoàn toàn t ng t , ta có AKC = 900 – A.Suy ra BKC = 1800 – 2A. Suy ra K luôn thu c cung ch a góc nhìn o n BC d i góc1800 – 2A.b) (1 i m) Tam giác KBC có áy BC R 3 không i và K n m trên cung ch a góc1800 – 2A nên di n tích tam giác KBC l n nh t khi K là i m gi a K0 c a cung ch a góc,t c là tam giác KBC cân t i K. Khi ó A chính là trung i m cung l n BC. tính giá tr l n nh t c a di n tích tam giác K 0BC, ta chú ý r ng vì BC R 3 nên A =60 . Suy ra BKC = 1800 – 2A = 600. Suy ra tam giác K0BC là tam giác u có c nh 0BC R 3 . V y di n tích l n nh t b ng R 2 3 3 / 4.c) (1 i m) Kéo dài AC c t ng tròn ngo i ti p tam giác ABE t i C’. Khi ó AC’ là ng kính. T ng t , kéo dài AB c t ng tròn ngo i ti p ACF t i B’ thì AB’ là ngkính. Suy ra AK, C’C, B’B là các ng cao trong tam giác AB’C’. Suy ra t giácB’BCC’ n i ti p và ta có: AC’B’ = ABC.Ta có BAH = 900 - ABC = 900 - AC’B’ = KAC’ = KAC.M t khác theo ch ng minh ph n 1, ta ã có AKC = FCA = ABH.T ây suy ra tam giác ABH ng d ng v i tam giác AKC.Vì BAH = KAC nên theo m t tính ch t quen thu c trong tam giác, ta có AK i quatâm ng tròn ngo i ti p O c a tam giác ABC ( pcm).Câu 5. Trong m t gi i bóng á có 12 i tham d , thi u vòng tròn m t l t (hai i b tk thi u v i nhau úng m t tr n). a) Ch ng minh r ng sau 4 vòng u (m i i thi u úng 4 tr n) luôn tìm c ba i bóng ôi m t ch a thi u v i nhau. b) Kh ng nh trên còn úng không n u các i ã thi u 5 tr n?Gi i.a) (1 i m) Xét m t i bóng A b t k . Sau 4 vòng u, A ch a u v i 7 i bóng. G iS là t p h p t t c các i bóng ch a u v i A. Xét m t i bóng B thu c S. Do B m i u 4 tr n nên B thi u nhi u nh t v i 4 i bóng thu c S. Suy ra B ch a thi u v i ítnh t 2 i bóng thu c S. Gi s B ch a thi u v i C thu c S. Khi ó A, B, C ôi m tch a thi u v i nhau ( pcm).b) (0,5 i m) K t lu n là không? Ta chia 12 i thành 2 nhóm, m i nhóm 6 i. Cho các i thi u vòng tròn trong nhóm thì sau n m vòng, 2 i b t k thu c 1 nhóm u ã thi u v i nhau. L y 3 i bóng b t k , theo nguyên lý Dirichlet có hai i cùng 1 nhóm, vàvì v y các i này ã thi u v i nhau. Suy ra không t n t i 3 i bóng ôi m t ch a thi u v i nhau.
    •      
    •                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                
    •                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           
    •                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
    •                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
    •                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         
    •                                                                                                                                                                                                                                                                                                
    •                                                                                                                                                                                                                                                             
    •                                                                                                                                                                                                                        
    •                                                                                                                           
    •                                                                                                             
    •                                                                  
    •                                                        
    •                                                                                                                                                          
    •                                                                                                                                                                    
    •                                                                                                                                               
    •                                                          
    •                                                                                                                                              
    •                               
    •                          
    • S GIÁO D C VÀ ÀO T O THI TUY N SINH L P 10 THPT CHUYÊN QU NG TR Khóa thi ngày 25 tháng 6 n m 2010 MÔN THI: TOÁN CHÍNH TH C (Dành cho thí sinh d thi chuyên Toán và chuyên Tin) Th i gian: 150 phút (không k th i gian phát ) Câu 1 (2.0 i m). Cho bi u th c 2(a b) a a3 2 2b3 P . a . a3 2 2b3 a 2ab 2b 2b 2ab 1. Tìm i u ki n c a a và b bi u th c P xác nh. Rút g n bi u th c P. 2. Bi t a 1 3 và b 1 3 . Tính giá tr c a P (không s d ng máy tính c m tay). 2 2 4 Câu 2 (2.0 i m). Cho ph ng trình ax2 bx c 0. (1) 1. Ch ng minh r ng n u các s a, b, c th a mãn i u ki n 4a 5b 9c 0 , thì ph ng trình (1) luôn luôn có nghi m. 2. Cho a = 2, tìm i u ki n c a b và c ph ng trình (1) có hai nghi m x1 , x2 cùng d u và th a mãn x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2010. Câu 3 (1.0 i m). Tìm s các c p s nguyên (x, y) th a mãn i u ki n 1 2009 x 2011y xy. Câu 4 (3.0 i m). 1. Cho ng giác l i ABDEC th a mãn các i u ki n AB = AC, BAD CAE DAE và BDA CEA 180 0 . ng tròn ngo i ti p tam giác ABD và ng tròn ngo i ti p tam giác ACE c t nhau t i A và O (O khác A). a) Ch ng minh ba i m B, O và C th ng hàng. b) Ch ng minh r ng AO DE. 2. Cho tam giác ABC có ABC 450 và BAC 300 . i m M di ng trên tia AC và i m N di ng trên tia BC sao cho M N và OM = BN, trong ó O là tâm ng tròn ngo i ti p tam giác ABC. Trên n a m t ph ng b là AC ch a i m B, l y i m D sao cho tam giác ACD u. a) Ch ng minh AB là ng trung tr c c a o n th ng CD. b) Ch ng minh ba i m D, M và N t o thành m t tam giác cân. Câu 5 (2.0 i m). 1. M t tam giác có dài ba c nh là a, b, c th a mãn ( a b c ) 3 (b c a ) 3 (c a b )3 a3 b3 c 3 . Ch ng minh tam giác ó là tam giác u. 2. Gi i h ph ng trình 4 x3 3xy 2 7 y, y3 6 x2 y 7. -------------------------------------------------- H T -------------------------------------------------- H và tên thí sinh:………………………. …… … S báo danh: ………………………… Ch kí giám th 1:……………………….. … Ch kí giám th 2:………………………….
    • Câu 1. 1. Tìm à rút g P 2(a b) a a3 2 2b3 P . a . a 3 2 2b3 a 2ab 2b 2b 2ab a 0, b 0, a 2b.Ta có 3 3 a3 2 2b3 a 2b a 2b a 2ab 2b .Suy ra 2(a b) a 2(a b) a a 2b a3 2 2b3 a 2ab 2b a 2b a 2ab 2b a 2ab 2b 1 . a 2b a 2ab 2b a 2b a3 2 2b3 a 2b a 2ab 2b a a 2b 2ab 2b 2b a 2 a 2ab 2b a 2 2ab 2b a 2b a . 2b 2b 2bT 2 1 a 2b a 2b P . . a 2b 2b 2b 3 1 32. Cho a 1 và b , tính P. 2 2 4 1 3 3 1 1Ta có a.b 1 1 . Suy ra 2b . 2 2 2 8 4a a 2b a P 1 4a 2 1 2a 1 1 3. 2b 2bCâu 2. 1. Cho 4a 5b 9c 0 , ch ình ax 2 bx c 0 (1) luôn có nghi a = 0. N b = 0 thì t 4a 5b 9c 0 , ta suy ra c ình (1) nghiv x . cCòn n b 0 ình (1) tr ành bx c 0 , có nghi x . b 4a 9c a 0 ình b 4a 5b 9c 0 , ta có b . Suy ra 5 2 2 2 2 (4a 9c ) 16a 28ac 81c (2a 7c ) 12a 2 32c 2 b 2 4 ac 4ac 0. 25 25 25 t.V2. Tìm b, c ình 2x2 bx c 0 (1) có hai nghi x1, x2 cùng d à x1 x2 x1x2 x1 x2 x1x2 2010.
    • ình (1) có hai nghi x1, x2 cùng d à ch b 2 8c 0 và c 0.Nh xy 0 thì | x | | y | | x y | . 2 2 x2 3x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 ( x1 x2 ) 2 x1 x2 x12 x1 x2 2 x2 x1 0, ta có 2 4 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 . bM í Vi-et, ta có x1 x2 . Cùng v | b | 2010 , hay b 2010 . 2K b2 8c 0 và c 0 ìm là 2 1005 b 2010 và 0 c . 2Câu 3. Tìm s ên (x, y) th ãn 1 2009 x 2011 y xy. 2011y 1 20102Ta có 1 2009 x 2011 y xy x( y 2009) 2011 y 1 x x 2011 . y 2009 y 2009Suy ra, s các c nguyên (x, y) th ãn ki ài ra chính b 20102 .Phân tích 20102 thành tích các th ên t 20102 22.32.52.67 2 . Suy ra mkì c 20102 2 x.3y .5z .67t , v x, y, z, t là các s {0,1, 2} .Do m x, y, z, t ên s 20102 là 20102 là 2.81=162, thành ra có 162 c nguyên (x, y) th ãn ài ra.Câu 4. 1. Cho ng ABDEC th ãn các AB = AC, BAD CAE DAE vàBDA CEA 1800 òn ngo iác ABD òn ngo ACE cnhau t A và O (O khác A).a) Ch B, O và C th àng.Ta có BOA BOA, COA CEA (góc n ùng cung). Suy ra BOA COA BDA CEA 1800 .V B, O và C th àng. A C O B E Db) Ch AO DE. 1 T BAD CAE DAE , ta có DAE BAC ADO ABC ACB . Suy ra 2 1 1 1800 DAE ADO BAC ABC ACB 900 . 2 2 2V DO AE .Ch EO AD . V O là tr ADE AO DE .
    • 2. Cho tam giác ABC có ABC 450 và BAC 300 M ên tia AC N êntia BC sao cho M N và OM = BN O òn ngo ABC. Trên nm à AC ch B, l D sao cho tam giác ACDa) Ch AB CD. 0 0T ABC 45 và BAC 30 , ta suy ra tam giác AOC vuông cân O và tam giác COBXét hai tam giác DCB và ACO . Vì AC = DC (tam giác ACD CO = CB (tam giác COB àACO DCB 600 DCO nên DCB = ACO . Suy ra BD = OA = R, d BD = BC (= R)AD = AC, nên AB CD.b) Ch D, M và N t ành mG R òn ngo giác ABC, I AC. Ta có D, O, I th àng, và R 6 R 2 AC R 2, DI , OI . 2 2Suy ra DM 2 DI 2 IM 2 DI 2 OM 2 OI 2 R 2 OM 2 (2) A M I O C N D BT DB = BC = R và DBC AOC 900 nên DN 2 DB 2 BN 2 R 2 BN 2 (3)T à do OM = BN, ta suy ra DM = DN.Gi M N và M, N ùng m à OB, trong khi D n òn lK DM = DN D, M, N t ành tam giác cân t D.Câu 5. 1. Cho a, b, c ài 3 c ác và th ãn ( a b c ) (b c a ) ( c a b ) 3 a 3 b 3 c 3 . 3 3Ch a b c. x b c a , y c a b, z a b c . Do a, b, c là 3 c ên x, y, z là các s y z z x x yT a ,b ,c . ài tr ành 2 2 2 8 x3 y3 z3 ( x y )3 ( y z )3 ( z x )3 2 x3 y3 z3 x2 y xy 2 y2 z yz 2 z2x zx 2 x3 y3 x2 y xy 2 y3 z3 y2 z yz 2 z3 x3 z2x zx 2 0 (x y )( x y )2 ( y z )( y z )2 ( z x)( z x ) 2 0 x y z , vì x, y, z là các sT x = y = z, ta d àng suy ra a = b = c.2. Gi ình
    • 4 x3 3 xy 2 7 y, ( 4) y3 6x2 y 7. (5)Tr ình c 4 x3 3 xy 2 y3 6 x 2 y 7( y 1) . Phân tích4 x3 3 xy 2 y 3 2 6 x y thành nhân t 4 x3 3 xy 2 y3 6 x 2 y ( x y )( 4 x 2 2 xy y2 ) . ( x y )(4 x 2 2 xy y 2 ) 7( y 1) (6) .T ), ta ph y 0, k ), ta suy ra x 0 . D 2 4 x 2 2 xy y2 3x 2 x y 0.Cùng v ), suy ra x y cùng d y 1. y < 1, y - 1 < 0 , thì x – y < 0, hay x < y. D x < y < 1, và y 3 6x 2 y 7 , mâu thuv 5).Còn n y > 1, suy ra x > y > 1, và y 3 6 x 2 y 7 , c 5). y ch ùng v 6 x = y = 1.Thay x = y = 1 vào h ã cho, th ãn. V ã cho có m duy nh à (x, y) = (1, 1).
    •                                                                                                                                                    
    •                                                                                                                                                                               
    •                                                                              
    •                                                                                                                                                                         
    •                                                                                                                                                                                                                          
    •                                                   
    •                                                                 
    • S GD TQU BÌNH  VÀO L ÊN    Chuyên Toán,Tin)   2 3 5 13 48 a)  6 2 b) Tìm giá tr x 1 2 x 2 x 7 6 x 2 Tìm t ( x; y; z ) th ãn h ình 2.x 2010 y6 z6 2. y 2010 z6 x6 2.z 2010 x6 y6   y 2 x a2 y ax2 a a  a x1 , x2 2 3 T x1 x2 x1 x2 1Câu 4: (1,0 i) Tìm t ãn : ( x 2)(4 x) x 2 4 x 6 x 3x x 3 30 òn ( O, R ). T à CD vuông 2 2 2 2góc nhau. Ch : PA + PB + PC + PD không ph ào v òn.Câu 6: (1,5 i m) Cho tam giác ABC có s o ba c nh là BC = a, CA = b, AB = c và m t i m M n mtrong tam giác. D ng MA vuông góc BC, MB vuông góc CA và MC vuông góc AB(A, B, C l l thu BC, CA, AB). Hãy tìm giá tr nh nh t c a t ng: a b c Z= MA MB MC  H