9dethithu

  • 395 views
Uploaded on

 

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
395
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
11
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Di n ñàn Ntquang.net ð THI TH ð I H C MÔN TOÁN NĂM 2011-2012 ð S 1I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 ñi m) 2x + 1Câu I (2,0 ñi m) Cho hàm s y = (C) x +1 1.Kh o sát s bi n thiên và v ñ th (C) c a hàm s ñã cho 2.Tìm trên ñ th (C) nh ng ñi m có t ng kho ng cách ñ n hai ti m c n c a (C) nh nh t. 2 y 2 − x 2 = 1 Câu II (2,0 ñi m) 1. Gi i h phương trình:  . 2 x − y = 2 y − x 3 3  ( ) 2.Gi i phương trình sau: 8 sin x + cos x + 3 3 sin 4 x = 3 3 cos 2 x − 9 sin 2 x + 11 . 6 6 2 1 1 x+Câu III (1,0 ñi m) Tính tích phân: I = ∫ ( x + 1 − )e x dx . 1 x 2Câu IV(1,0 ñi m) Cho t di n ABCD có AC = AD = a 2 , BC = BD = a, kho ng cách t B ñ n m t ph ng(ACD) b ng a . Tính góc gi a hai m t ph ng (ACD) và (BCD). Bi t th c a kh i t di n ABCD b ng 3a 3 15 . 27 ( )Câu V (1,0 ñi m) V i m i s th c x, y th a ñi u ki n 2 x 2 + y 2 = xy + 1 . Tìm giá tr l n nh t và giá tr nhnh t c a bi u th c P = x + y . 4 4 2 xy + 1II. PH N RIÊNG (3,0 ñi m) Thí sinh ch ñư c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c B)A.Theo chương trình Chu nCâu VI.a( 2,0 ñi m) 1. Trong mp v i h t a ñ Oxy cho ñư ng tròn : x2 +y2 - 2x +6y -15=0 (C ). Vi t PT ñư ng th ng (∆) vuônggóc v i ñư ng th ng: 4x-3y+2 =0 và c t ñư ng tròn (C) t i A;B sao cho AB = 6. x − 2 y z +12.Trong không gian v i h t a ñ Oxyz cho hai ñư ng th ng: d1 : = = và 4 −6 −8 x−7 y−2 z d2 : = = . Xét v trí tương ñ i c a d1 và d2 . Cho hai ñi m A(1;-1;2) và B(3 ;- 4;-2), Tìm t a ñ −6 9 12ñi m I trên ñư ng th ng d1 sao cho IA + IB ñ t giá tr nh nh t.Câu VII.a (1,0 ñi m) Cho z1 , z2 là các nghi m ph c c a phương trình 2 z 2 − 4 z + 11 = 0 . Tính giá tr c a bi u z1 + z2 2 2th c A = . ( z1 + z2 ) 2B. Theo chương trình Nâng cao.Câu VI.b(2,0 ñi m)1.Trong m t ph ng Oxy cho tam giác ABC có A(1;4), tr c tâm H(3;-1), tâm ñư ng tròn ngo i ti p tam giác làI(-2;0). Xác ñ nh ñi m B, C (bi t xC >0) 2.Trong không gian v i h t a ñ Oxyz , cho M(1;2;3). L p phương trình m t ph ng ñi qua M c t ba tia Oxt i A, Oy t i B, Oz t i C sao cho th tích t di n OABC nh nh t.  x + log 2 y = y log 2 3 + log 2 xCâu VII.b (1,0 ñi m) Gi i h phương trình:   x log 2 72 + log 2 x = 2 y + log 2 y ……………H t………………Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 2. Di n ñàn Ntquang.netCâu Ý N i dung ði m ðÁP ÁNDi n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 3. Di n ñàn Ntquang.net 1 * TËp x¸c ®Þnh: D = R{ - 1} * Sù biÕn thiªn - Giíi h¹n vµ tiÖm cËn: lim y = lim y = 2 ; tiÖm cËn ngang: y = 2 x →+∞ x →−∞ lim y = +∞; lim + y = −∞ ; tiÖm cËn ®øng: x = - 1 x → ( −1) − x → ( −1) - B¶ng biÕn thiªn 1ñ 1 Ta cã y = > 0 víi mäi x ≠ - 1 ( x + 1) 2 Hµm sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng (- ∞ ; -1) vµ ( -1; + ∞ ) I 2 2 x0 + 1 0,5 Gäi M(x0;y0) lµ mét ®iÓm thuéc (C), (x0 ≠ - 1) th× y0 = x0 + 1 Gäi A, B lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña M trªn TC§ vµ TCN th× 2 x0 + 1 1 MA = |x0+1| , MB = | y0- 2| = | - 2| = | | x0 + 1 x0 + 1 1 Theo Cauchy th× MA + MB ≥ 2 x0 + 1 . =2 x0 + 1 ⇒ MA + MB nhá nhÊt b»ng 2 khi x0 = 0 hoÆc x0 = -2.Như vËy ta cã hai ®iÓm cÇn t×m lµ M(0;1) vµ M’(-2;3) 0,5 (sin x + cos 6 x ) = 1 − sin 2 2 x (1) 1 6 3 0,5 4 Thay (1) vµo ph−¬ng tr×nh (*) ta cã : 8 ( sin 6 x + cos 6 x ) + 3 3 sin 4 x = 3 3cos 2 x − 9 sin 2 x + 11 0,5  3  ⇔ 8 1 − sin 2 2 x  + 3 3 sin 4 x = 3 3cos 2 x − 9sin 2 x + 11  4  ⇔ 3 3 sin 4 x − 3 3cos 2 x = 6sin 2 2 x − 9sin 2 x + 3 ⇔ 3 sin 4 x − 3cos 2 x = 2sin 2 2 x − 3sin 2 x + 1 ⇔ 3cos 2 x. ( 2sin 2 x − 1) = (2sin 2 x − 1)(sin 2 x − 1) II ⇔ ( 2sin 2 x − 1) ( 3cos 2 x − sin 2 x + 1 = 0 )Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 4. Di n ñàn Ntquang.net  2 sin 2 x − 1 = 0  2sin 2 x = 1 (2) ⇔ ⇔  3cos 2 x − sin 2 x + 1 = 0 sin 2 x − 3cos 2 x = 1 (3)  Π  Π x = + kΠ x = + kΠ Gi¶i (2) :  12  (k ∈ Z ) ; Gi¶i (3)  4 (k ∈ Z )   x = 5Π + k Π  x = 7Π + k Π   12   12 KÕt luËn : 2 ( Ta có: 2 x3 − y 3 = 2 y 2 − x 2 )(2 y − x) ⇔ x 3 + 2 x 2 y + 2 xy 2 − 5 y 3 = 0 . Khi y = 0 thì h VN. 0,5 3 2  x x x Khi y ≠ 0 , chia 2 v cho y 3 ≠ 0 ⇒   + 2   + 2   − 5 = 0 .  y  y  y x ð t t = , ta có : t 3 + 2t 2 + 2t − 5 = 0 ⇔ t = 1 . y y = x  Khi t = 1 ,ta có : HPT ⇔  2 ⇔ x = y = 1, x = y = −1 . y =1  0.5 2 1 2 1 1 1 x+ x+ 1 x+ I = ∫ ( x + 1 − )e x dx = ∫ e x dx + ∫ ( x − )e x dx = I1 + I 2 . 0,5ñ 1 x 1 x 2 2 1 2 2 1 5 x+ 1 x+ 3 Tính I1 theo phương pháp t ng ph n I1 = xe x − ∫ ( x − )e x dx = e 2 − I 2III 1 1 x 2 0,5 2 2 5 3 ⇒I = 2 e . 2 G i E là trung ñi m c a CD, k BH AE A Ta có ACD cân t i A nên CD AE 0,5 Tương t BCD cân t i B nên CD BE Suy ra CD (ABE) CD BH Mà BH AE suy ra BH (ACD) H Do ñó BH = và góc gi a hai m t ph ng (ACD) và (BCD) là D B E Th tích c a kh i t di n ABCD là CIV 0,5 Mà Khi ñó : là 2 nghi m c a pt: x2 - x+ = 0Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 5. Di n ñàn Ntquang.net  2 a2  2 5a 2  AE = 3  ho c  AE = 3   2  2  DE 2 = 5a  DE 2 = a   3   3 trư ng h p vì DE<a (DE=CD/2<(BC+BD)/2=a) Xét BED vuông t i E nên BE = Xét BHE vuông t i H nên sin = V y góc gi a hai mp(ACD) và (BCD) là ( ) ð t t = xy . Ta có: xy + 1 = 2 ( x + y ) − 2 xy ≥ −4 xy ⇒ xy ≥ − 2 1 5 ( Và xy + 1 = 2 ( x − y ) 2 + 2 xy ) ≥ 4 xy ⇒ xy ≤ . ðK: − ≤ t ≤ . 1 3 1 5 1 3 (x ) 2 2 + y2 − 2 x2 y2 −7t 2 + 2t + 1 0,5 Suy ra : P = = . 2 xy + 1 4 ( 2t + 1) Do ñó: P = ( 7 −t 2 − t ) , P = 0 ⇔ t = 0, t = −1( L) V 2 ( 2t + 1) 2  1 1 2 1 P−  = P  = và P ( 0 ) = .  5  3  15 4 1 2  1 1 KL: GTLN là và GTNN là ( HSLT trên ño n − ;  ) 0,5 4 15  5 3 1 ðư ng tròn ( C) có tâm I(1;-3); bán kính R=5 G i H là trung ñi m AB thì AH=3 và IH AB suy ra IH =4 M t khác IH= d( I; ∆ ) Vì ∆ ⊥ d: 4x-3y+2=0 nên PT c a ∆ có d ng 3x+4y+c=0 I d(I; ∆ )= A H B 0,5 v y có 2 ñt th a mãn bài toán: 3x+4y+29=0 và 3x+4y-11=0 0,5 ur ur u 2 VÐc t¬ chØ ph−¬ng cña hai ®−êng th¼ng lÇn l−ît lµ: u (4; - 6; - 8) u ( - 6; 9; 12) 1 2VIa ur ur u +) u1 vµ u2 cïng ph−¬ng +) M( 2; 0; - 1) ∈ d1; M( 2; 0; - 1) ∉ d2 VËy d1 // d2. uuur *) AB = ( 2; - 3; - 4); AB // d1 Gäi A1 lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua d1 .Ta cã: IA + IB = IA1 + IB ≥ A1B IA + IB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng A1B 0,5 Khi A1, I, B th¼ng hµng ⇒ I lµ giao ®iÓm cña A1B vµ d Do AB // d1 nªn I lµ trung ®iÓm cña A1B.  36 33 15  *) Gäi H lµ h×nh chiÕu cña A lªn d1. T×m ®−îc H  ; ;   29 29 29   43 95 28  A’ ®èi xøng víi A qua H nªn A’  ; ; −  0,5  29 29 29   65 −21 −43  I lµ trung ®iÓm cña A’B suy ra I  ; ;   29 58 29 Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 6. Di n ñàn Ntquang.net 3 2 3 2 Gi i pt ñã cho ta ñư c các nghi m: z1 = 1 − i, z2 = 1 + i 2 2 2 2 z1 + z2 2VIa 3 2  22 11 0,5 Suy ra | z1 |=| z2 |= 1 +  2  2  = 2 ; z1 + z2 = 2 . Do ñó  = ... = 2   ( z1 + z2 ) 4 0,5 1 Phương trình ñư ng tròn (C): (x+2)2+y2=25 (1) 0,5 uuur Vì BC ⊥ AH = (0; −6) nên phương trình BD có d ng: y=m uuur uu r 2 G i H là tr ng tâm tam giác ABC, ta có: GH = −2GI ⇒ G(−1; − ) 3  x B + x C = −4  x B + x C = −4  ⇒ (2)  y B + y C = −6  y B = y C = −3 0,5  x=2 Th (2) vào (1) ta ñư c:  ⇒ B(−6; −3); C(2; −3) (vì xC>0)  x = −6 2 MÆt ph¼ng c¾t 3 tia Ox,Oy,Oz t¹i A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) cã d¹ngVIb x y z (α ) : + + = 1, ( a, b, c > 0 ) a b c 1 2 3 cos y 6 • Do M ∈ (α ) nªn: + + = 1 ≥ 3. 3 ⇒ abc ≥ 162 0,5 a b c abc a = 3 1  • ThÓ tÝch: V = abc ≥ 27 ⇒ Vmin = 27 ⇔ b = 6 6 c = 9  0,5 MÆt ph¼ng cÇn t×m: 6x+3y+2z-18=0 ðK: x,y > 0  x + log 2 y = y log 2 3 + log 2 x 0,5 - h phương trình ⇔   x (3 + 2 log 2 3) + log 2 x = 2 y + log 2 y - Suy ra: y = 2x 0,5 1VIb x= 2 log 2 3 − 1 2 y= 2 log 2 3 − 1N u thí sinh làm bài không theo cách nêu trong ñáp án mà v n ñúng thì ñư c ñ ñi m t ng ph n như ñáp ánquy ñ nh. ------------------H t------------------Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 7. Di n ñàn Ntquang.net ð THI TH ð I H C MÔN TOÁN NĂM 2011-2012 ð S 2A.PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7 ñi m):Câu I (2 ñi m): Cho hàm s y = x3 − 3mx 2 + 3(m2 − 1) x − m3 + m (1) 1.Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s (1) ng v i m=1 2.Tìm m ñ hàm s (1) có c c tr ñ ng th i kho ng cách t ñi m c c ñ i c a ñ th hàm s ñ n góc t a ñ O b ng 2 l n kho ng cách t ñi m c c ti u c a ñ th hàm s ñ n góc t a ñ O.Câu II (2 ñi m): π 1. Gi i phương trình : 2cos3x.cosx+ 3(1 + s in2x)=2 3cos 2 (2 x + ) 4 2. Gi i phương trình : log 2 (5 − 2 x) + log 2 (5 − 2 x).log 2 x +1 (5 − 2 x) = log 2 (2 x − 5) 2 + log 2 (2 x + 1).log 2 (5 − 2 x) 1 2 π π tan( x − ) 6Câu III (1 ñi m): Tính tích phân I = ∫ 4 dx 0 cos2xCâu IV (1 ñi m): Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông c nh a , SA vuông góc v i ñáy và SA=a .G i M,N l n lư t là trung ñi m c a SB và SD;I là giao ñi m c a SC và m t ph ng (AMN). Ch ng minh SC vuông góc v i AI và tính th tích kh i chóp MBAI.Câu V (1 ñi m): Cho x,y,z là ba s th c dương có t ng b ng 3.Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = 3( x 2 + y 2 + z 2 ) − 2 xyz .B. PH N T CH N (3 ñi m): Thí sinh ch ñư c ch n m t trong hai phàn (ph n 1 ho c 2) 1.Theo chương trình chu n:Câu VIa (2 ñi m): 1. Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy cho ñi m C(2;-5 ) và ñư ng th ng ∆ : 3 x − 4 y + 4 = 0 . Tìm trên ∆ hai ñi m A và B ñ i x ng nhau qua I(2;5/2) sao cho di n tích tam giác ABC b ng15. 2. Trong không gian v i h to ñ Oxyz cho m t c u ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 6 y − 4 z − 2 = 0 . r Vi t phương trình m t ph ng (P) song song v i giá c a véc tơ v(1; 6; 2) , vuông góc v i m t ph ng (α ) : x + 4 y + z − 11 = 0 và ti p xúc v i (S).Câu VIIa(1 ñi m): Tìm h s c a x 4 trong khai tri n Niutơn c a bi u th c : P = (1 + 2 x + 3 x 2 )102.Theo chương trình nâng cao:Câu VIb (2 ñi m): x2 y 2 1.Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy cho elíp ( E ) : + = 1 và hai ñi m A(3;-2) , B(-3;2) . 9 4 Tìm trên (E) ñi m C có hoành ñ và tung ñ dương sao cho tam giác ABC có di n tích l n nh t. 2.Trong không gian v i h to ñ Oxyz cho m t c u ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 6 y − 4 z − 2 = 0 . r Vi t phương trình m t ph ng (P) song song v i giá c a véc tơ v(1; 6; 2) , vuông góc v i m t ph ng (α ) : x + 4 y + z − 11 = 0 và ti p xúc v i (S).Câu VIIb (1 ñi m):Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 8. Di n ñàn Ntquang.net 2 1 22 2n n 121 Tìm s nguyên dương n sao cho tho mãn Cn + Cn + Cn2 + ... + 0 Cn = 2 3 n +1 n +1 ðÁP ÁN VÀ THANG ðI M Câu N I DUNG ðiêm 2. Ta có y = 3 x − 6mx + 3(m 2 − 1) , 2 ð hàm s có c c tr thì PT y , = 0 có 2 nghi m phân bi t 05 ⇔ x 2 − 2mx + m 2 − 1 = 0 có 2 nhi m phân bi t I ⇔ ∆ = 1 > 0, ∀m C c ñ i c a ñ th hàm s là A(m-1;2-2m) và c c ti u c a ñ th hàm s là 025 B(m+1;-2-2m)  m = −3 + 2 2 Theo gi thi t ta có OA = 2OB ⇔ m 2 + 6m + 1 = 0 ⇔  025  m = −3 − 2 2  V y có 2 giá tr c a m là m = −3 − 2 2 và m = −3 + 2 2 . 1.  π  PT ⇔ cos4x+cos2x+ 3(1 + sin 2 x) = 3 1 + cos(4x+ )  05  2  ⇔ cos4x+ 3 sin 4 x + cos2x+ 3 sin 2 x = 0 π π ⇔ sin(4 x + ) + sin(2 x + ) = 0 6 6  π π π  x = − 18 + k 3 ⇔ 2sin(3x + ).cosx=0 ⇔  05 6  x= π + kπ  2  π π π V y PT có hai nghi m x= + kπ và x=− +k . II 2 18 3  −1 5  <x< 2. ðK :  2 2. x ≠ 0  05 V i ðK trên PT ñã cho tương ñương v i log 2 (5 − 2 x) log 2 (5 − 2 x) + 2 = 2 log 2 (5 − 2 x) + 2 log 2 (5 − 2 x) log 2 (2 x + 1) log 2 (2 x + 1) 2  −1 x = 4 log 2 (2 x + 1) = −1  ⇔ log 2 (5 − 2 x) = 2 log 2 (2 x + 1) ⇔  x = ∨ x = −2 1  025  2 log 2 (5 − 2 x) = 0  x = 2    K t h p v i ðK trên PT ñã cho có 3 nghi m x=-1/4 , x=1/2 và x=2. 025Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 9. Di n ñàn Ntquang.net π π π tan( x − ) 4 dx = − tan x + 1 dx , cos 2x = 1 − tan x 6 6 2 2 025 I=∫ ∫ (t anx+1)2 0 cos2x 0 1 + tan 2 x III 1 ð t t = t anx ⇒ dt= dx = (tan 2 x + 1)dx cos 2 x x=0⇒t =0 05 π 1 x= ⇒t = 6 3 1 1 3 dt 1 3 1− 3 025 Suy ra I =−∫ = = . 0 (t + 1) 2 t + 10 2  AM ⊥ BC , ( BC ⊥ SA, BC ⊥ AB) Ta có  ⇒ AM ⊥ SC (1) 05  AM ⊥ SB,( SA = AB) Tương t ta có AN ⊥ SC (2) T (1) và (2) suy ra AI ⊥ SC V IH song song v i BC c t SB t i H. Khi ñó IH vuông góc v i (AMB) 1 Suy ra VABMI = S ABM .IH IV 3 a2 Ta có S ABM = 05 4 IH SI SI .SC SA2 a2 1 1 1 = = = 2 = 2 = ⇒ IH = BC = a BC SC SC 2 SA + AC 2 a + 2a 2 3 3 3 1 a2 a a3 V y VABMI = = 3 4 3 36 Ta c ó: P = 3 ( x + y + z )2 − 2( xy + yz + zx)  − 2 xyz   025 = 3[ 9 − 2( xy + yz + zx) ] − 2 xyz = 27 − 6 x( y + z ) − 2 yz ( x + 3) ( y + z )2 ≥ 27 − 6 x(3 − x) − ( x + 3) 2 025 1 = (− x3 + 15 x 2 − 27 x + 27) 2 Xét hàm s f ( x) = − x3 + 15 x 2 − 27 x + 27 , v i 0<x<3 x =1 f , ( x) = −3 x 2 + 30 x − 27 = 0 ⇔  x = 9 05 T b ng bi n thiên suy ra MinP=7 ⇔ x = y = z = 1 .Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 10. Di n ñàn Ntquang.net 3a + 4 16 − 3a 1. G i A(a; ) ⇒ B (4 − a; ) . Khi ñó di n tích tam giác ABC là 4 4 1 05 S ABC = AB.d (C → ∆) = 3 AB . 2  6 − 3a  a = 4 2 Theo gi thi t ta có AB = 5 ⇔ (4 − 2a) 2 +   = 25 ⇔  a = 0 05  2   V y hai ñi m c n tìm là A(0;1) và B(4;4). 2. Ta có m t c u (S) có tâm I(1;-3;2) và bán kính R=4 r Véc tơ pháp tuy n c a (α ) là n(1; 4;1) 025 r Vì ( P) ⊥ (α ) và song song v i giá c a v nên nh n véc tơ uu r r r 025 n p = n ∧ v = (2; −1; 2) làm vtpt. Do ñó (P):2x-y+2z+m=0 VIa  m = −21 Vì (P) ti p xúc v i (S) nên d ( I → ( P )) = 4 ⇔ d ( I → ( P)) = 4 ⇔  025 m = 3 V y có hai m t ph ng : 2x-y+2z+3=0 và 2x-y+2z-21=0. 025 10 10 k 05 Ta có P = (1 + 2 x + 3 x 2 )10 = ∑ C10 (2 x + 3 x 2 )k = ∑ (∑ C10Cki 2k −i 3i x k +i ) k k k =0 k =0 i =0 k + i = 4  i = 0 i = 1 i = 2 025 Theo gi thi t ta có 0 ≤ i ≤ k ≤ 10 ⇔  ∨ ∨ i, k ∈ N k = 4 k = 3 k = 2  VIIa V y h s c a x 4 là: C10 24 + C10C3 223 + C10C2 32 = 8085 . 4 3 1 2 2 025 1. Ta có PT ñư ng th ng AB:2x+3y=0 x2 y2 G i C(x;y) v i x>0,y>0.Khi ñó ta có + = 1 và di n tích tam giác ABC là 05 9 4 1 85 85 x y S ABC = AB.d (C → AB) = 2x + 3 y = 3 + 2 2 13 13 3 4 85  x 2 y 2  170 ≤3 2 +  = 3 13  9 4  13  x2 y 2 05 VIb  + =1  2 9 4 x = 3 3 2 D u b ng x y ra khi  ⇔ 2 . V y C( ; 2) . x = y y = 2 2 3 2   Xét khai tri n (1 + x)n = Cn + Cn x + Cn x 2 + ... + Cn x n 0 1 2 n L y tích phân 2 v cân t 0 ñ n 2 , ta ñư c: 05 3n +1 − 1 2 2 1 23 3 2n +1 n = 2Cn + Cn + Cn + ... + 0 Cn VIIb n +1 2 3 n +1Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 11. Di n ñàn Ntquang.net 2 1 2 2 2 3n +1 − 1 n 121 3n +1 − 1 Cn + Cn + Cn2 + ... + 0 Cn = n ⇔ = ⇔ 2 3 n +1 2(n + 1) n + 1 2(n + 1) ⇔ 3n +1 = 243 ⇔ n = 4 05 V y n=4. ð THI TH ð I H C MÔN TOÁN NĂM 2011-2012 ð S 3 www.VNMATH.comI. PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 ñi m)Câu I. (2 ñi m) Cho hàm s y = x3 − 3 x 2 + 2 (C )1.Kh o sát s bi n thiên và v ñ th (C ) c a hàm s2.Tìm m ñ ñư ng th ng ñi qua hai ñi m c c tr c a ( C ) ti p xúc v i ñư ng tròn có phương trình( x − m ) + ( y − m − 1) 2 2 =5Câu II. (2 ñi m) 3 41. Gi i phương trình 2 + = 2(cot x + 3) cos x sin 2 x 1 1 12. Gi i phương trình + − = log 2 x + 1 log x − 2 4 log 2x −1 4 2 ln ( x + 2 )Câu III.(1 ñi m) Cho hình ph ng D ñư c gi i h n b i các ñư ng y = , y = 0 , x = 1 và x = e . Tính xth tích c a v t th tròn xoay ñư c t o thành khi quay hình ph ng D quanh tr c 0xCâu IV. (1 ñi m) Cho lăng tr ñ ng ABC. A B C có ñáy ABC là tam giác cân v i AB = AC = a , góc ∠BAC = 1200 , c nh bên BB = a . G i I là trung ñi m c a CC . Ch ng minh tam giác AB I vuông t i A vàtính cosin c a góc gi a hai m t ph ng ( ABC ) và ( AB I )Câu V.(1 ñi m) Cho x, y là các s th c th a mãn x 2 + y 2 − xy = 1 .Tìm GTLN, GTNN c a F = x6 + y6 −2x2 y2 − xyII. PH N RIÊNG CHO CÁC THÍ SINH (3,0 ñi m) Thí sinh ch ñư c làm m t trong hai ph n1.Ph n dành cho thí sinh theo chương trình chu nCâu VI.a (2 ñi m)1. Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy , tìm to ñ các ñ nh c a tam giác ABC vuông cân, bi t ñ nh C ( 3; −1)và phương trình c a c nh huy n là 3x − y + 10 = 0 x −1 y −3 z x−5 y z+52.Cho m t ph ng (P): 2 x − y + 2 z − 1 = 0 và các ñư ng th ng: d1 : = = ,d : = = Tìm 2 1 −2 2 3 4 2các ñi m A ∈ d1 , B ∈ d 2 sao cho AB // (P) và AB cách (P) m t kho ng b ng 1.Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 12. Di n ñàn Ntquang.net n 2  1  Câu VII.a (1 ñi m) T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x trong khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n cña  x + 4  biÕt r»ng  2 xn lµ sè nguyªn d−¬ng tháa m·n: Cn + 2Cn + 3Cn + L + ( n − 1) Cn + nCn = 64n 1 2 3 n −1 n2.Ph n dành cho thí sinh theo chương trình nâng caoCâu VI.b (2 ñi m)1. Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy , cho hình bình hành ABCD có di n tích b ng 4. Bi t A(0;0), B(-1;2) vàgiao ñi m I c a hai ñư ng chéo n m trên ñư ng th ng y = x-1. Tìm t a ñ ñ nh C và D. x−2 y−2 z−3 x −1 y − 2 z −12.Cho hai ñư ng th ng d1 và d2 l n lư t có phương trình: d 1 : = = d2 : = = , 2 1 3 2 −1 4Vi t phương trình m t ph ng cách ñ u hai ñư ng th ng d1 và d2Câu VII.b (1 ñi m) Tìm h s c a x 20 trong khai tri n c a bi u th c ( 2 + x5 )n bi t r ng: 3 x 0 1 1 2C n − C 1 + C n + ... + ( − 1) n 1 n Cn = 1 n 2 3 n +1 13 ðÁP ÁN PH N CHUNG + T p xác ñ nh D = R x = 0 0,25ñ + S bi n thiên y = 3 x 2 − 6 x = 0 ⇔  x = 2 Hàm ñ ng bi n trên các kho ng ( −∞; 0 ) và ( 2; +∞ ) Hàm s ngh ch bi n trên ( 0; 2 ) + Gi i h n lim y = −∞; lim y = +∞; 0,25 x →−∞ x →+∞ C c tr : Hàm s ñ t c c ñ i t i x = 0 và ycñ = 2 Hàm s ñ t c c ti u t i x = 2 và yct = -2 ði m u n (1;0) 1 B ng bi n thiên (0,25)Câu I x −∞ 0 2 +∞ 22ñ y’ + 0 - 0 + 2 +∞ y -1 1 2 0 3 0,5 −∞ -2 ð th (0,25) -2 Phương trình ñư ng th ng ñi qua hai ñi m c c tr ∆ : 2 x + y − 2 = 0 0,25 2 Tâm c a ñư ng tròn I (m, m + 1) , bán kính R= 5 0,25  m=2 2m + m + 1 − 2 = 5 ⇔ 3m − 1 = 5 ⇔   m = −4 Theo gi thi t ta có 0,5 5  3Câu kπ ði u ki n sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ . 0,25 II 2Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 13. Di n ñàn Ntquang.net ( ) 2ñ 1 2 4 Ta có 3 1 + tan x + − 2 3 = 2 cot x sin 2 x 2 2 0,5 2 2(sin x + cos x ) 2 ⇔ 3tan x + − 3 = 2 cotg x ⇔ 3tan x + 2 tan x − 3 = 0 sin x cos x π 1 π 0,25 tanx = − 3 ⇔ x = − + kπ tanx = ⇔x= + kπ 3 3 6 1 1 1 Gi i phương trình + − = log 2 x +1 log x − 2 4 log 2x −1 4 2 0,25 ði u ki n x > 2, x ≠ 3 . (1) ⇔ log 4 (x − 2) + log 4 (2x − 1) − log 4 2 = log 4 (x + 1) 2 x = 0 0,5 ( x − 2 )( 2 x − 1) = 2 ( x + 1) ⇔ 2 x 2 − 7 x = 0 ⇔  7 x =  2 7 ð i chi u ñi u ki n ta có x = 0,25 2 u = ln ( x + 2 ) du = 1 0,5 ln ( x + 2 )2  dx   x+2 G i V là th tich c n tìm. V = π ∫ dx . ð t  1 ⇒ 1 x2  dv = x 2 dx  v=−1−1    x 2Câu eIII 1 1 dx 3 1 1 1 Suy ra V= −π  +  ln ( x + 2 ) 1 + π ∫ e = π ln 3 − κ  +  ln ( e + 2 ) + π ln x e 0,5 1ñ  x 2 2x 2 e 2 2 1 1 3 1 1 1 = π [ ln 3 + −  +  ln ( e + 2 )] 2 2 e 2 Ta có BC = a 3 . Áp d ng ñ nh lí Pitago trong tam giác vuông ACI, ABB’, B’C’I 0.25 5 13 Suy ra AI = a, AB = 2a, B I = a 2 2 Do ñó AI 2 + AB 2 = B I 2 . V y tam giác AB’I vuông t i A 0,25 1 10 2 3 2 ACâu + S AB I = AI . AB = a . S ABC = aIV 2 4 4 1ñ G i α là góc gi a hai mp. Tam giác ABC là hình chi u B C 0,5 vuông góc c a tam giác AB’I suy ra 10 3 3 S A BI cos α = S ABC ⇔ cos α = ⇔ cos α = A I 4 4 10 C B H c sinh tính ñư c di n tich 2 tam giác (0,25 ñ) Tính ra cosin ñ oc 0,25 N u h c sinh gi i b ng phương pháp to ñ ñúng cho ñi m tương ngDi n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 14. Di n ñàn Ntquang.net Cho x, y là các s th c th a mãn x + y 2 − xy = 1 .Tìm GTLN, GTNN c a 2 F = x6 + y6 −2x2 y2 − xy . Ta có F = ( x 2 + y 2 ) − 3x 2 y 2 ( x 2 + y 2 ) − 2 x 2 y 2 − xy = −2 ( xy ) − 2 ( xy ) + 2 xy + 1 3 3 2 ð t xy = t . Ta có f ( t ) = −2t 3 − 2t 2 + 2t + 1 0,25 −1 x 2 + y 2 − xy = 1 ⇔ ( x + y ) − 3 xy = 1 ⇒ xy ≥ 2 3  1  x 2 + y 2 − xy = 1 ⇔ ( x − y ) + xy = 1 ⇒ xy ≤ 1 suy ra t ∈ − ;1 2Câu V  3  1ñ  1  1   1  t = ∈ − ;1 Ta tìm max, min c a f(t) trên  − ;1 f ( t ) = −6t 2 − 4t + 2 f ( t ) = 0 ⇔  3  3     3   t = −1 0,25   1  37  −1  5 Ta có f   = , f (1) = −1, f   =  3  27  3  27 37 1 1 1 1 1 0,25 Suy ra Max f (t ) = khi t = suy ra x = + ,y= − 27 3 2 6 2 6 Minf (t ) = −1 khi t = 1 suy ra x = y = 1 0,25 1.Ph n dành cho thí sinh theo chương trình chu n Ta có tam giác ABC cuông cân t i C. C Goi H là trung ñi m c a AB suy ra CH : x + 3 y = 0 0,25  x + 3y = 0  x = −3 To ñ c a H là nghi p c a h  ⇔ 3 x − y + 10 = 0  y =1 A H B 1 gi s A(t;3t+10) ta có  t = −1 0,25 AH 2 = CH 2 ⇔ ( t + 3) + ( 3t + 9 ) = 40 ⇔  2 2 t = −5 V i t = -1. Suy ra A(−1;7), B(−5; −5) 0,25Câu V i t = -5. Suy ra B(−1;7), A(−5; −5) 0,25Va A ∈ d ⇒ A(2t1 + 1, t1 + 3, −2t1 ) B ∈ d 2 ⇒ B(3t2 + 5, 4t2 , 2t2 − 5) uuu 1 r 0,252ñ AB = (3t2 − 2t1 + 4, 4t2 − t1 − 3, 2t2 + 2t1 − 5) uuu uu r r AB.n p = 0 ⇔ 2(3t2 − 2t1 + 4) − 4t2 + t1 + 3 + 2(2t2 + 2t1 − 5) = 0 ⇔ 6t2 + t1 + 1 = 0 4t1 + 2 − t1 − 3 − 4t1 − 1 t1 + 2 t1 = −5 2 AB / /( P) ⇒ d ( A/( P ) ) = = =1 ⇔  0,25 3 3  t1 = 1 2  8 −11  0,25 V i t1 = −5 ⇒ t2 = ⇒ A(−9; −2;10), B  7; ;  3  3 3  −1  −4 −17  0,25 t1 = 1 ⇒ t2 = ⇒ A(3; 4; −2), B  4; ;  3  3 3  Xét khai tri n (1 + x ) = Cn + Cn x + Cn x 2 + ... + Cn −1 x n −1 + Cn x n 0n 1 2 n nCâu VIIa 0,25 l y ñ o hàm hai v ta có n (1 + x ) = Cn + 2Cn x + ... + ( n − 1) Cn −1 x n − 2 + nCn x n −1 n −1 1 2 n n 1ñDi n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 15. Di n ñàn Ntquang.net Thay x=1 suy ra C + 2C + 3Cn + L + ( n − 1) Cn −1 + nCn = n2n −1 1 n 3 2 n n n 0,25 ⇔ 64n = 2n−1 ⇔ 64 = 2n −1 ⇔ n = 7 7 k  1  ( )  1  7 7−k  x + 4  = ∑ C7k x  4   2 x  k =0 2 x  0,25 1 7−k k s h ng ch a x 2 có h s là C7k k v i k tho mãn − =2⇔k =2 2 2 4 1 2 21 Suy ra h s ch a x 2 là C7 = 0,25 4 4 2.Ph n dành cho thí sinh theo chương trình nâng cao phương trình ñư ng th ng AB: 2x+y=0. g i h là kho ng A B cách t I t i AB. AB = 5 0,25 1 2 S ABCD = 4S ABI ⇒ S ABI = 1 . ⇔ AB.h = 1 ⇔ h = I 2 5 D C G i to ñ di m I là I ( x0 , y0 ) ta có h  2 x0 + y0 2  x = 1, y0 = 0 0,25  =  2 x0 + y0 = 2  0  5 5 ⇔ ⇔ −1 −4 1  y = x −1  y0 = x0 − 1  x0 = 3 , y0 = 3  0 0  Do I là trung ñi m AC và BD nên V i I(1;0) suy ra C(2;0) và D(3;-2) 0,25CâuVIb −1 −4  −2 −8   1 −14  V i I( ; ) suy ra C  ;  và D  ;  3 3  3 3  3 3  0,25  −2 −8   1 −14  V y có hai c p C, D tho mãn C(2;0) và D(3;-2) ho c C  ;  và D  ;   3 3  3 3 2ñ Do m t ph ng (P) cách ñ u d1 , d 2 nên (P) song song v i d1 , d 2 → → uur uuu r u d 1 = (2;1;3), u d 2 = (2;−1;4 ), ud 1 , ud 2  = ( 7; −2; −4 )   0,25 uu r uur uuur ch n n p = ud 1 , ud 2  = ( 7; −2; −4 )   Suy ra phương trình m t ph ng (P) có d ng 7 x − 2 y − 4 z + d = 0 2 Do (P) cách ñ u d1 , d 2 suy ra kho ng cách t (2;2;3) ∈ (d1 ) và (1; 2;1) ∈ d 2 b ng 0,5 nhau. 7.2 − 2.2 − 4.3 + d 7.1 − 2.2 − 4.1 + d 3 Ta có = ⇔ d − 2 = d −1 ⇔ d = 69 69 2 Ta có phương trình m t ph ng (P) 14 x − 4 y − 8 z + 3 = 0 0,25 Ta có (1 − x)n = Cn − C1 x + Cn x 2 − .... + (−1)n Cn x n 0 n 2 n 1 1 0,25 Vì ∫ (1 − x)n dx = 0 n +1Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 16. Di n ñàn Ntquang.net 1 0 1 1 1 2 1 1 ∫ (Cn − Cn x + Cn x − .... + (−1) n Cn x n )dx = Cn − Cn + Cn + ... + (−1)n Cn = 0 1 2 2 n nCâu VIIb 0,25 0 2 3 n +1 13 1ñ suy ra ⇒ n + 1 = 13 ⇒ n = 12 12 12−k 12 2 2 2 ( x 3 +x ) =( 5 n x 3 x +x ) 5 12 = ∑ k C12 .( 3 ) ( x5 ) k = ∑ C12 .212−k .x8k −36 k 0,25 k =0 k =0 S h ng ng v i tho mãn: 8k − 36 = 20 ⇔ k = 7 ⇒ H s c a x 20 là: C12 .25 = 25344 7 0,25 ð THI TH ð I H C MÔN TOÁN NĂM 2011-2012 ð S 4PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 ñi m)Câu I (2 ñi m) Cho hàm s y = x3 – 3x2+2 (1) 1. Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s (1). 2. Tìm ñi m M thu c ñư ng th ng y =3x-2 sao t ng kho ng cách t M t i hai ñi m c c tr nh nh t.Câu II (2 ñi m) 1. Gi i phương trình cos2x + 2sin x − 1 − 2sin x cos 2x = 0 2. Gi i b t phương trình ( 4x − 3) x 2 − 3x + 4 ≥ 8x − 6 π 3 cotxCâu III ( 1ñi m)Tính tích phân I = ∫ dx  π π s inx.sin  x +  6  4Câu IV (1 ñi m) Cho hình chóp S.ABC có m t ñáy (ABC) là tam giác ñ u c nh a. Chân ñư ng vuông góc h t S xu ng m t ph ng (ABC) là m t ñi m thu c BC. Tính kho ng cách gi a hai ñư ng th ng BC và SA bi t SA=a và SA t o v i m t ph ng ñáy m t góc b ng 300.Câu V (1 ñi m) Cho a,b, c dương và a2+b2+c2=3. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th cDi n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 17. Di n ñàn Ntquang.net a3 b3 c3 P= + + b2 + 3 c2 + 3 a2 + 3PH N RIÊNG (3 ñi m)A. Theo chương trình chu nCâu VI.a. (2 ñi m) 1. Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy, cho ñư ng tròn (C) : x 2 + y 2 + 2x − 8y − 8 = 0 . Vi t phương trình ñư ng th ng song song v i ñư ng th ng d: 3x+y-2=0 và c t ñư ng tròn theo m t dây cung có ñ dài b ng 6. 2. Cho ba ñi m A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1). Tìm t a ñ ñi m D thu c ñư ng th ng AB sao cho ñ dài ño n th ng CD nh nh t.Câu VII.a (1 ñi m) Tìm s ph c z tho mãn : z − 2 + i = 2 . Bi t ph n o nh hơn ph n th c 3 ñơn v .B. Theo chương trình nâng caoCâu VI.b (2 ñi m) 1. Tính giá tr bi u th c: A = 4C100 + 8C100 + 12C100 + ... + 200C100 . 2 4 6 100 2. Cho hai ñư ng th ng có phương trình: x = 3 + t x−2 z+3  d1 : = y +1 = d 2 :  y = 7 − 2t 3 2 z = 1− t  Vi t phương trình ñư ng th ng c t d1 và d2 ñ ng th i ñi qua ñi m M(3;10;1).Câu VII.b (1 ñi m) Gi i phương trình sau trên t p ph c: z2+3(1+i)z-6-13i=0 -------------------H t----------------- ðÁP ÁN ð THI TH ð I H C L N II, n¨m 2012PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 ñi m) Câu N i dung ði m T p xác ñ nh: D=R lim ( x 3 − 3 x 2 + 2 ) = −∞ lim ( x 3 − 3x 2 + 2 ) = +∞ x →−∞ x →+∞ x = 0 y’=3x2-6x=0 ⇔  x = 2 0,25 ñ B ng bi n thiên: x -∞ 0 2 +∞ y’ + 0 - 0 + 0,25 ñ I 2 +∞ 1 y -∞ -2 Hàm s ñ ng bi n trên kho ng: (- ∞;0) và (2; + ∞) Hàm s ngh ch bi n trên kho ng 0,5 ñDi n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 18. Di n ñàn Ntquang.net (0;2) fCð=f(0)=2; fCT=f(2)=-2 y’’=6x-6=0<=>x=1 khi x=1=>y=0 x=3=>y=2 x=-1=>y=-2 ð th hàm s nh n ñi m I(1;0) là tâm ñ i x ng. G i t a ñ ñi m c c ñ i là A(0;2), ñi m c c ti u B(2;-2) Xét bi u th c P=3x-y-2 Thay t a ñ ñi m A(0;2)=>P=-4<0, thay t a ñ ñi m B(2;-2)=>P=6>0 0,25 ñ V y 2 ñi m c c ñ i và c c ti u n m v hai phía c a ñư ng th ng y=3x-2, ñ MA+MB nh nh t => 3 ñi m A, M, B th ng hàng 0,25 ñ 2 Phương trình ñư ng th ng AB: y=-2x+2 0,25 ñ T a ñ ñi m M là nghi m c a h :  4  y = 3x − 2 x = 5  4 2 0,25 ñ  ⇔ => M  ;   y = −2 x + 2 y = 2 5 5   5 Gi i phương trình: cos2x + 2sin x − 1 − 2sin x cos 2x = 0 (1) (1) ⇔ cos2 x (1 − 2sin x ) − (1 − 2sin x ) = 0 0,5 ñ ⇔ ( cos2 x − 1)(1 − 2sin x ) = 0 1 Khi cos2x=1<=> x = kπ , k ∈ Z 1 π 5π 0,5 ñ Khi s inx = ⇔ x = + k 2π ho c x = + k 2π , k ∈ Z 2 6 6 Gi i b t phương trình: ( 4x − 3) x 2 − 3x + 4 ≥ 8x − 6 (1) II (1) ⇔ ( 4 x − 3) ( ) x 2 − 3x + 4 − 2 ≥ 0 0,25 ñ Ta có: 4x-3=0<=>x=3/4 0,25 ñ x 2 − 3 x + 4 − 2 =0<=>x=0;x=3 2 B ng xét d u: x -∞ 0 ¾ 2 +∞ 4x-3 - - 0 + + 0,25 ñ x 2 − 3x + 4 − 2 + 0 - - 0 + V trái - 0 + 0 - 0 +  3 V y b t phương trình có nghi m: x ∈ 0;  ∪ [3; +∞ ) 0,25 ñ  4Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 19. Di n ñàn Ntquang.net Tính π π 3 3 cot x cot x 0,25 ñ I=∫ dx = 2 ∫ dx  π π s inx ( s inx + cos x ) π sin x sin  x +  6  4 6 π 3 cot x = 2∫ dx π s in x (1 + cot x ) 2 III 6 0,25 ñ 1 ð t 1+cotx=t ⇒ dx = −dt sin 2 x π π 3 +1 0,25 ñ Khi x = ⇔ t = 1 + 3; x = ⇔t= 6 3 3 3 +1 0,25 ñ t −1 3 +1  2  V y I= 2 ∫ dt = 2 ( t − ln t ) 3 +1 = 2 − ln 3  3 +1 t 3  3  3 G i chân ñư ng vuông góc h t S xu ng BC là H. Xét ∆SHA(vuông t i H) a 3 S 0,25 ñ AH = SA cos 300 = 2 Mà ∆ABC ñ u c nh a, mà c nh a 3 AH = K 2 => H là trung ñi m c a c nh BC IV => AH ⊥ BC, mà SH ⊥ BC => BC⊥(SAH) A C 0,25 ñ T H h ñư ng vuông góc xu ng SA t i K => HK là kho ng cách gi a BC và SA H AH a 3 => HK = AH sin 300 = = 0,25 ñ 2 4 B V y kho ng cách gi a hai ñư ng th ng BC a 3 và SA b ng 4 0,25 ñ Ta có: a3 a3 b2 + 3 a 6 3a 2 + + ≥ 33 = (1) 2 b2 + 3 2 b2 + 3 16 64 4 b3 b3 c2 + 3 c 6 3c 2 0,5 ñ + + ≥ 33 = (2) 2 c2 + 3 2 c2 + 3 16 64 4 V c3 a2 + 3 c3 c 6 3c 2 + + ≥3 3 = (3) 2 a2 + 3 2 a2 + 3 16 64 4 L y (1)+(2)+(3) ta ñư c: 0,25 ñ a2 + b2 + c2 + 9 3 2 P+ ≥ ( a + b 2 + c 2 ) (4) 16 4 Vì a2+b2+c2=3Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 20. Di n ñàn Ntquang.net 3 3 0,25 ñ T (4) ⇔ P ≥ v y giá tr nh nh t P = khi a=b=c=1. 2 2PH N RIÊNG (3 ñi m) A. Theo chương trình chu n ðư ng tròn (C) có tâm I(-1;4), bán kính R=5 0,25 ñ G i phương trình ñư ng th ng c n tìm là ∆, => ∆ : 3x+y+c=0, c≠2 (vì // v i ñư ng th ng 3x+y-2=0) Vì ñư ng th ng c t ñư ng tròn theo m t dây cung có ñ dài b ng 6=> kho ng 0,25 ñ cách t tâm I ñ n ∆ b ng 5 −3 = 4 2 2 1 −3 + 4 + c c = 4 10 − 1 ⇒ d ( I, ∆) = =4⇔ (th a mãn c≠2) 32 + 1 0,25 ñ c = −4 10 − 1  V y phương trình ñư ng tròn c n tìm là: 3x + y + 4 10 − 1 = 0 ho c 0,25 ñ 3x + y − 4 10 − 1 = 0 . uuu r VI.a Ta có AB = ( −1; −4; −3) x = 1− t  Phương trình ñư ng th ng AB:  y = 5 − 4t 0,25 ñ  z = 4 − 3t  2 ð ñ dài ño n CD ng n nh t=> D là hình chi u vuông góc c a C trên c nh 0,25 ñ uuu r AB, g i t a ñ ñi m D(1-a;5-4a;4-3a) ⇒ DC = (a; 4a − 3;3a − 3) uuu uuu r r 21 0,25 ñ Vì AB ⊥ DC =>-a-16a+12-9a+9=0<=> a = 26  5 49 41  0,25 ñ T a ñ ñi m D  ; ;   26 26 26  G i s ph c z=a+bi 0,25 ñ  a − 2 + ( b + 1) i = 2  ( a − 2 ) + ( b + 1) = 4  2 2 Theo bài ra ta có:  ⇔ 0,25 ñ b = a − 3  b = a − 3  VII.a a = 2 − 2  a = 2 + 2  ⇔ hoac  0,25 ñ b = −1 − 2  b = −1 + 2  V y s ph c c n tìm là: z= 2 − 2 +( −1 − 2 )i; z= z= 2 + 2 +( −1 + 2 )i. 0,25 ñ A. Theo chương trình nâng cao Ta có: (1 + x ) = C100 + C100 x + C100 x 2 + ... + C100 x100 100 0 1 2 100 (1) 0,25 ñ (1 − x ) = C100 − C100 x + C100 x 2 − C100 x 3 + ... + C100 x100 (2) 100 0 1 2 3 100 L y (1)+(2) ta ñư c: 0,25 ñ (1 + x )+ (1 − x ) = 2C100 + 2C100 x 2 + 2C100 x 4 + ... + 2C100 x100 100 0100 2 4 100 1 L y ñ o hàm hai v theo n x ta ñư c 0,25 ñ VI.b 100 (1 + x ) − 100 (1 − x ) = 4C x + 8C x + ... + 200C x 99 99 2 4 3 100 99 100 100 100 Thay x=1 vào 0,25 ñ => A = 100.299 = 4C100 + 8C100 + ... + 200C100 2 4 100 G i ñư ng th ng c n tìm là d và ñư ng th ng d c t hai ñư ng th ng d1 và d2 2 l n lư t t i ñi m A(2+3a;-1+a;-3+2a) và B(3+b;7-2b;1-b). 0,25 ñ uuu r uuur Do ñư ng th ng d ñi qua M(3;10;1)=> MA = k MBDi n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 21. Di n ñàn Ntquang.net uuu r uuur MA = ( 3a − 1; a − 11; −4 + 2a ) , MB = ( b; −2b − 3; −b ) 0,25 ñ 3a − 1 = kb 3a − kb = 1 a = 1 0,25 ñ    ⇒ a − 11 = −2kb − 3k ⇔ a + 3k + 2kb = 11 ⇔ k = 2 −4 + 2a = −kb 2a + kb = 4 b = 1    uuu r => MA = ( 2; −10; −2 )  x = 3 + 2t 0,25 ñ  Phương trình ñư ng th ng AB là:  y = 10 − 10t  z = 1 − 2t  ∆=24+70i, 0,25 ñ ∆ = 7 + 5i ho c ∆ = −7 − 5i 0,25 ñ VII.b 0,25 ñ z = 2 + i =>  0,25 ñ  z = −5 − 4i ð THI TH ð I H C MÔN TOÁN NĂM 2011-2012 ð S 5I.PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7 ®iÓm) 2x + 1C©u I (2 ®iÓm). Cho hµm sè y = cã ®å thÞ lµ (C) x+2 1.Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè 2.Chøng minh ®−êng th¼ng d: y = --x + m lu«n lu«n c¾t ®å thÞ (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B. T×m m®Ó ®o¹n AB cã ®é dµi nhá nhÊt.C©u II (2 ®iÓm) 1.Gi¶i ph−¬ng tr×nh 9sinx + 6cosx -- 3sin2x + cos2x = 8 log 2 x − log 2 x 2 − 3 > 5 (log 4 x 2 − 3) 2.Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh 2 dxC©u III (1 ®iÓm). T×m nguyªn hµm I = ∫ sin x. cos 5 x 3C©u IV (1 ®iÓm). Cho l¨ng trô tam gi¸c ABC.A1B1C1 cã tÊt c¶ c¸c c¹nh b»ng a, gãc t¹o bëi c¹nh bªn vµ mÆtph¼ng ®¸y b»ng 300. H×nh chiÕu H cña ®iÓm A trªn mÆt ph¼ng (A1B1C1) thuéc ®−êng th¼ng B1C1. TÝnh kho¶ngc¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng AA1 vµ B1C1 theo a.C©u V (1 ®iÓm). XÐt ba sè thùc kh«ng ©m a, b, c tháa m·n a2009 + b2009 + c2009 = 3. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓuthøc P = a4 + b4 + c4II.PhÇn riªng (3 ®iÓm)1.Theo ch−¬ng tr×nh chuÈnC©u VIa: 1.Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho ®−êng trßn (C) cã ph−¬ng tr×nh (x-1)2 + (y+2)2 = 9 vµ ®−êngth¼ng d: x + y + m = 0. T×m m ®Ó trªn ®−êng th¼ng d cã duy nhÊt mét ®iÓm A mµ tõ ®ã kÎ ®−îc hai tiÕp tuyÕnAB, AC tíi ®−êng trßn (C) (B, C lµ hai tiÕp ®iÓm) sao cho tam gi¸c ABC vu«ng.Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 22. Di n ñàn Ntquang.net  x = 1 + 2t  2.Cho ®iÓm A(10; 2; -1) vµ ®−êng th¼ng d cã ph−¬ng tr×nh  y = t . LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng  z = 1 + 3t (P) ®i qua A, song song víi d vµ kho¶ng c¸ch tõ d tíi (P) lµ lín nhÊt.C©u VIIa: 1). Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau vµ kh¸c 0 mµ trong mçi sè lu«n lu«n cã mÆt haich÷ sè ch½n vµ hai ch÷ sè lÎ.  z+i 4 2) Gi¶i ph−¬ng tr×nh:   = 1, ( z ∈ C )  z −i2.Theo ch−¬ng tr×nh n©ng cao (3 ®iÓm)C©u VIb (2 ®iÓm) 1.Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho ®−êng trßn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 vµ ®−êng th¼ng d cãph−¬ng tr×nh x + y + m = 0. T×m m ®Ó trªn ®−êng th¼ng d cã duy nhÊt mét ®iÓm A mµ tõ ®ã kÎ ®−îc hai tiÕptuyÕn AB, AC tíi ®−êng trßn (C) (B, C lµ hai tiÕp ®iÓm) sao cho tam gi¸c ABC vu«ng. x −1 y z −1 2.Cho ®iÓm A(10; 2; -1) vµ ®−êng th¼ng d cã ph−¬ng tr×nh = = . LËp ph−¬ng tr×nh mÆt 2 1 3ph¼ng (P) ®i qua A, song song víi d vµ kho¶ng c¸ch tõ d tíi (P) lµ lín nhÊt.C©u VIIb (1 ®iÓm) Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau mµ trong mçi sè lu«n lu«n cã mÆt hai ch÷sè ch½n vµ ba ch÷ sè lÎ. C©u §¸p ¸n §iÓm 1. (1,25 ®iÓm) I a.TX§: D = R{-2} (2 b.ChiÒu biÕn thiªn ®iÓm) +Giíi h¹n: lim y = lim y = 2; lim y = −∞; lim y = +∞ 0,5 x → −∞ x → +∞ x → −2 + x → −2 − Suy ra ®å thÞ hµm sè cã mét tiÖm cËn ®øng lµ x = -2 vµ mét tiÖm cËn ngang lµ y = 2 3 + y = > 0 ∀x ∈ D ( x + 2) 2 0,25 Suy ra hµm sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng (−∞;−2) vµ (−2;+∞) +B¶ng biÕn thiªn x −∞ -2 +∞ y’ + + 0,25 +∞ 2 y 2 −∞ c.§å thÞ: 1 1 §å thÞ c¾t c¸c trôc Oy t¹i ®iÓm (0; ) vµ c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm( − ;0) 2 2 §å thÞ nhËn ®iÓm (-2;2) lµm t©m ®èi xøng y 0,25Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com 2
  • 23. Di n ñàn Ntquang.net x 2. (0,75 ®iÓm) Hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ (C ) vµ ®−êng th¼ng d lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh 2x + 1  x ≠ −2 = −x + m ⇔  2 0,25 x+2  x + (4 − m) x + 1 − 2m = 0 (1) Do (1) cã ∆ = m 2 + 1 > 0 va (−2) 2 + (4 − m).( −2) + 1 − 2m = −3 ≠ 0 ∀m nªn ®−êng th¼ng d lu«n lu«n c¾t ®å thÞ (C ) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B 0,5 Ta cã yA = m – xA; yB = m – xB nªn AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(m2 + 12) suy ra AB ng¾n nhÊt AB2 nhá nhÊt m = 0. Khi ®ã AB = 24 II 1. (1 ®iÓm) (2 Ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi 0,5 ®iÓm) 9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin2x = 8 6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 0 6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0 (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0 0,5 1 − sin x = 0 π 6 cos x + 2 sin x − 7 = 0 (VN ) x = + k 2π  2 2. (1 ®iÓm) x > 0 §K:  2 log 2 x − log 2 x − 3 ≥ 0 2 BÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi 0,5 log x − log 2 x − 3 > 5 (log 2 x − 3) 2 2 2 (1) ®Æt t = log2x, BPT (1) t 2 − 2t − 3 > 5 (t − 3) ⇔ (t − 3)(t + 1) > 5 (t − 3) t ≤ −1 0,25  t ≤ −1 log x ≤ −1 ⇔ t > 3 ⇔ ⇔ 2 (t + 1)(t − 3) > 5(t − 3) 2 3 < t < 4 3 < log 2 x < 4   1 ⇔ 0 < x ≤ 2 VËy BPT ®· cho cã tËp nghiÖm lµ: (0; 1 ] ∪ (8;16)  2 8 < x < 16Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 24. Di n ñàn Ntquang.net III dx dx 1 ®iÓm I=∫ 3 3 2 = 8∫ 3 sin x. cos x. cos x sin 2 x. cos 2 x ®Æt tanx = t 0,5 dx 2t ⇒ dt = ; sin 2 x = cos x2 1+ t2 dt (t 2 + 1) 3 ⇒ I = 8∫ =∫ dt 2t 3 t3 ( ) 1+ t2 t 6 + 3t 4 + 3t 2 + 1 =∫ dt t3 3 1 3 1 0,5 = ∫ (t 3 + 3t + + t −3 )dt = tan 4 x + tan 2 x + 3 ln tan x − +C t 4 2 2 tan 2 x C©u IV Do AH ⊥ ( A1 B1C1 ) nªn gãc ∠AA1 H lµ gãc gi÷a AA1 vµ (A1B1C1), theo gi¶ thiÕt 1 ®iÓm th× gãc ∠AA1 H b»ng 300. XÐt tam gi¸c vu«ng AHA1 cã AA1 = a, gãc ∠AA1 H =300 a 3 ⇒ A1 H = . Do tam gi¸c A1B1C1 lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, H thuéc B1C1 vµ 2 a 3 A1 H = nªn A1H vu«ng gãc víi B1C1. MÆt kh¸c AH ⊥ B1C1 nªn 2 0,5 B1C1 ⊥ ( AA1 H ) A B C K A1 C H B1 KÎ ®−êng cao HK cña tam gi¸c AA1H th× HK chÝnh lµ kho¶ng c¸ch gi÷a AA1 vµ 0,25 B1C1 A1 H . AH a 3 0,25 Ta cã AA1.HK = A1H.AH ⇒ HK = = AA1 4 C©u V ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si cho 2005 sè 1 vµ 4 sè a2009 ta cã 1 ®iÓm 1 +4 2 ... + 1 + a 2009 + a 2009 + a 2009 + a 2009 ≥ 2009.2009 a 2009 .a 2009 .a 2009 .a 2009 = 2009.a 4 (1) 1 1+ 4 3 2005 T−¬ng tù ta cã 1 +4 2 ... + 1 + b 2009 + b 2009 + b 2009 + b 2009 ≥ 2009.2009 b 2009 .b 2009 .b 2009 .b 2009 = 2009.b 4 (2) 1 1+ 4 3 0,5 2005 1 +4 2 ... + 1 + c 2009 + c 2009 + c 2009 + c 2009 ≥ 2009.2009 c 2009 .c 2009 .c 2009 .c 2009 = 2009.c 4 (3) 1 1+ 4 3 2005Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 25. Di n ñàn Ntquang.net Céng theo vÕ (1), (2), (3) ta ®−îc 6015 + 4(a 2009 + b 2009 + c 2009 ) ≥ 2009(a 4 + b 4 + c 4 ) ⇔ 6027 ≥ 2009(a 4 + b 4 + c 4 ) Tõ ®ã suy ra P = a 4 + b 4 + c 4 ≤ 3 0,5 MÆt kh¸c t¹i a = b = c = 1 th× P = 3 nªn gi¸ trÞ lín nhÊt cña P = 3.C©uVIa 1.Tõ ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®−êng trßn ta cã t©m I(1;-2), R = 3, tõ A kÎ ®−îc 22 tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®−êng trßn vµ AB ⊥ AC => tø gi¸c ABIC lµ h×nh vu«ng c¹nh 0,5®iÓm b»ng 3 ⇒ IA = 3 2 m −1  m = −5 ⇔ = 3 2 ⇔ m −1 = 6 ⇔  2 m = 7 0,5 2. (1 ®iÓm) Gäi H lµ h×nh chiÕu cña A trªn d, mÆt ph¼ng (P) ®i qua A vµ (P)//d, khi ®ã kho¶ng c¸ch gi÷a d vµ (P) lµ kho¶ng c¸ch tõ H ®Õn (P). G.sö ®iÓm I lµ h×nh chiÕu cña H lªn (P), ta cã AH ≥ HI => HI lín nhÊt khi A ≡ I 0,5 VËy (P) cÇn t×m lµ mÆt ph¼ng ®i qua A vµ nhËn AH lµm vÐc t¬ ph¸p tuyÕn. H ∈ d ⇒ H (1 + 2t ; t ;1 + 3t ) v× H lµ h×nh chiÕu cña A trªn d nªn AH ⊥ d ⇒ AH .u = 0 (u = (2;1;3) lµ vÐc t¬ chØ ph−¬ng cña d) 0,5 ⇒ H (3;1;4) ⇒ AH (−7;−1;5) VËy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0 7x + y -5z -77 = 0C©u Tõ gi¶ thiÕt bµi to¸n ta thÊy cã C 4 = 6 c¸ch chän 2 ch÷ sè ch½n (v× kh«ng cã sè 0)vµ 2 0,5VIIa C 52 = 10 c¸ch chän 2 ch÷ sè lÏ => cã C 52 . C 52 = 60 bé 4 sè tháa m·n bµi to¸n1®iÓm Mçi bé 4 sè nh− thÕ cã 4! sè ®−îc thµnh lËp. VËy cã tÊt c¶ C 4 . C 52 .4! = 1440 sè 2 0,5 2.Ban n©ng cao.C©u 1.( 1 ®iÓm)VIa Tõ ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®−êng trßn ta cã t©m I(1;-2), R = 3, tõ A kÎ ®−îc 2 tiÕp2 tuyÕn AB, AC tíi ®−êng trßn vµ AB ⊥ AC => tø gi¸c ABIC lµ h×nh vu«ng c¹nh b»ng 0,5®iÓm 3 ⇒ IA = 3 2 m −1  m = −5 ⇔ = 3 2 ⇔ m −1 = 6 ⇔  2 m = 7 0,5 2.Gäi H lµ h×nh chiÕu cña A trªn d, mÆt ph¼ng (P) ®i qua A vµ (P)//d, khi ®ã kho¶ng c¸ch gi÷a d vµ (P) lµ kho¶ng c¸ch tõ H ®Õn (P). Gi¶ sö ®iÓm I lµ h×nh chiÕu cña H lªn (P), ta cã AH ≥ HI => HI lín nhÊt khi A ≡ I 0,5 VËy (P) cÇn t×m lµ mÆt ph¼ng ®i qua A vµ nhËn AH lµm vÐc t¬ ph¸p tuyÕn. H ∈ d ⇒ H (1 + 2t ; t ;1 + 3t ) v× H lµ h×nh chiÕu cña A trªn d nªn AH ⊥ d ⇒ AH .u = 0 (u = (2;1;3) lµ vÐc t¬ chØ ph−¬ng cña d) 0,5 ⇒ H (3;1;4) ⇒ AH (−7;−1;5) VËy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0 7x + y -5z -77 = 0C©u Tõ gi¶ thiÕt bµi to¸n ta thÊy cã C 52 = 10 c¸ch chän 2 ch÷ sè ch½n (kÓ c¶ sè cã ch÷ sè 0 0,5VIIa ®øng ®Çu) vµ C53 =10 c¸ch chän 2 ch÷ sè lÏ => cã C 52 . C53 = 100 bé 5 sè ®−îc chän.Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 26. Di n ñàn Ntquang.net1 Mçi bé 5 sè nh− thÕ cã 5! sè ®−îc thµnh lËp => cã tÊt c¶ C 52 . C53 .5! = 12000 sè. 0,5®iÓm MÆt kh¸c sè c¸c sè ®−îc lËp nh− trªn mµ cã ch÷ sè 0 ®øng ®Çu lµ C 4 .C 53 .4!= 960 . VËy 1 cã tÊt c¶ 12000 – 960 = 11040 sè tháa m·n bµi to¸n ð THI TH ð I H C MÔN TOÁN NĂM 2011-2012 ð S 6 www.VNMATH.comphÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinhC©u I (2 ®iÓm) Cho hµm sè y = x 3 − 3 x 2 + 4 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè. 2. Gäi d lµ ®−êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(3; 4) vµ cã hÖ sè gãc lµ m. T×m m ®Ó d c¾t (C) t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖtA, M, N sao cho hai tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M vµ N vu«ng gãc víi nhau.C©u II (2®iÓm)  x 2 + 1 + y( x + y ) = 4 y 1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:  2 (x, y ∈ R )  ( x + 1)( x + y − 2) = y sin 3 x. sin 3 x + cos3 x cos 3 x 1 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: =−  π  π 8 tan x −  tan x +   6  3 1C©u III (1 ®iÓm) TÝnh tÝch ph©n I = ∫ x ln( x 2 + x + 1)dx 0C©u IV (1 ®iÓm) Cho h×nh l¨ng trô ABC.A’B’C’ cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A’lªn mÆt ph¼ng (ABC) trïng víi tr ng t©m O cña tam gi¸c ABC. Mét mÆt ph¼ng (P) chøa BC vµ vu«ng gãc víi a2 3AA’, c¾t l¨ng trô theo mét thiÕt diÖn cã diÖn tÝch b»ng . TÝnh thÓ tÝch khèi l¨ng trô ABC.A’B’C’. 8C©u V (1 ®iÓm) Cho a, b, c lµ ba sè thùc d−¬ng tháa m·n abc = 1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc 1 1 1 P= 2 + 2 + 2 a + 2 b + 3 b + 2c + 3 c + 2 a 2 + 3 2 2PhÇn tù chän (ThÝ sinh chØ ®−îc lµm mét trong hai phÇn: PhÇn 1 hoÆc PhÇn 2)PhÇn 1.C©u VI.a (2 ®iÓm) x2 1. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ trôc täa ®é Oxy cho parabol (P): y = x 2 − 2 x vµ elip (E): + y2 = 1 . 9Chøng minh r»ng (P) giao (E) t¹i 4 ®iÓm ph©n biÖt cïng n»m trªn mét ®−êng trßn. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êngtrßn ®i qua 4 ®iÓm ®ã. 2. Trong kh«ng gian víi hÖ trôc täa ®é Oxyz cho mÆt cÇu (S) cã ph−¬ng tr×nh x + y + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z − 11 = 0 vµ mÆt ph¼ng (α) cã ph−¬ng tr×nh 2x + 2y – z + 17 = 0. ViÕt ph−¬ng tr×nh 2 2mÆt ph¼ng (β) song song víi (α) vµ c¾t (S) theo giao tuyÕn lµ ®−êng trßn cã chu vi b»ng 6π. n  1 C©u VII.a(1®iÓm) T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x trong khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n cña  x + 2   , biÕt r»ng  4  2 x 2 3 n +1n lµ sè nguyªn d−¬ng tháa m·n: 2 C n0 + 2 C n + 2 C n2 + Λ + 2 C nn = 6560 ( Cn lµ sè tæ hîp chËp k cña n 1 k 2 3 n +1 n +1phÇn tö)PhÇn 2 C©u VI.b (2 ®iÓm)Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 27. Di n ñàn Ntquang.net 1. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ trôc täa ®é Oxy cho hai ®−êng th¼ng d1: x + y + 5 = 0, d2: x + 2y - 7= 0 vµ tamgi¸c ABC cã A(2 ; 3), träng t©m lµ ®iÓm G(2; 0), ®iÓm B thuéc d1 vµ ®iÓm C thuéc d2 . ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êngtrßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. 2. Trong kh«ng gian víi hÖ trôc täa ®é Oxyz cho tam gi¸c ABC víi A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) vµmÆt ph¼ng (P): x – y – z – 3 = 0. Gäi M lµ mét ®iÓm thay ®æi trªn mÆt ph¼ng (P). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓuthøc MA 2 + MB 2 + MC 2 e x − y + e x + y = 2( x + 1) C©u VII.b (1 ®iÓm) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh  x + y (x, y ∈ R ) e = x − y + 1 H−íng dÉn chÊm m«n to¸n C©u Néi dung §iÓm I.1 Kh¶o s¸t hµm sè y = x − 3 x + 4 3 2 1,00 1. TËp x¸c ®Þnh: R 2. Sù biÕn thiªn: 0,25 a) Giíi h¹n: lim y = lim (x 3 − 3x 2 + 4) = −∞, lim y = lim (x 3 − 3x 2 + 4) = +∞ x → −∞ x → −∞ x → +∞ x → +∞ b) B¶ng biÕn thiªn: y = 3x - 6x, y = 0 ⇔ x = 0, x = 2 2 B¶ng biÕn thiªn: x -∞ 0 2 +∞ y + 0 - 0 + 4 +∞ 0,50 y -∞ 0 - Hµm sè ®ång biÕn trªn (- ∞ ; 0) vµ (2; + ∞ ), nghÞch biÕn trªn (0; 2) - Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 0, yC§ = 4, ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 2, yCT = 0. 3. §å thÞ: §å thÞ giao víi trôc tung t¹i (0; 4), giao víi trôc hoµnh t¹i (-1; 0),(2; 0). NhËn ®iÓm uèn I(1; 2) lµm t©m ®èi xøng y 4 0,25 2 x -1 O 1 2 I.2 T×m m ®Ó hai tiÕp tuyÕn vu«ng gãc ..... 1,00 d cã ph−¬ng tr×nh y = m(x – 3) + 4. Hoµnh ®é giao ®iÓm cña d vµ (C) lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh x = 3 0,50 x 3 − 3x 2 + 4 = m(x − 3) + 4 ⇔ (x − 3)(x 2 − m) = 0 ⇔  2 x − m = 0 Theo bµi ra ta cã ®iÒu kiÖn m > 0 vµ y ( m ).y (− m ) = −1 0,25Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 28. Di n ñàn Ntquang.net 18 ± 3 35 ⇒ (3m − 6 m )(3m + 6 m ) = −1 ⇔ 9m 2 − 36m + 1 = 0 ⇔ m = (tháa m·n) 0,25 9 II.1 Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè 1,00 Ta thÊy y = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña hÖ 0,25 x2 + 1  +x+y−2 = 2  y HÖ ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi  2 0,25  x + 1 ( x + y − 2) = 1  y  x2 + 1 u + v = 2 §Æt u = , v = x + y − 2 Ta cã hÖ  ⇔ u = v =1 0,25 y uv = 1 x2 + 1  =1 Suy ra  y . Gi¶i hÖ trªn ta ®−îc nghiÖm cña hpt ®· cho lµ (1; 2), (-2; 5) 0,25 x + y − 2 = 1  II.2 Gi¶i ph−¬ng tr×nh l−¬ng gi¸c 1,00  π  π  π  π §iÒu kiÖn: sin x −  sin x +  cos x −  cos x +  ≠ 0  6  3  6  3 0,25  π  π  π π  Ta cã tan x −  tan x +  = tan x −  cot  − x  = −1  6  3  6 6  1 Ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi ⇔ sin 3 x. sin 3x + cos 3 x cos 3x = 8 0,25 1 − cos 2x cos 2x − cos 4x 1 + cos 2x cos 2x + cos 4x 1 ⇔ ⋅ + ⋅ = 2 2 2 2 8 1 1 1 ⇔ 2(cos 2 x + cos 2 x cos 4 x) = ⇔ cos 3 2x = ⇔ cos 2 x = 0,25 2 8 2  π x = 6 + kπ (lo¹i) π ⇔ , (k ∈ Z) . VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = − + kπ , (k ∈ Z) 0,25 x = − π + kπ 6   6 III TÝnh tÝch ph©n 1,00  2x + 1 u = ln(x 2 + x + 1) du = 2 dx §Æt  ⇒ x + x +1 dv = xdx v = x 2 / 2  0,25 1 1 2x + x 2 1 3 2 x I= ln(x 2 + x + 1) − ∫ 2 dx 2 0 2 0 x + x +1 2x + 1 1 1 1 1 1 1 3 dx = ln 3 − ∫ (2 x − 1)dx + ∫ 2 dx − ∫ 2 2 20 4 0 x + x +1 4 0 x + x +1 0,25 1 2 1 2 ( ) 1 0 1 4 1 3 3 = ln 3 − x 2 − x + ln( x 2 + x + 1) − I 1 = ln 3 − I 1 0 4 4 3 4Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 29. Di n ñàn Ntquang.net  π π 1 dx 1 3 * TÝnh I1: I 1 = ∫ 2 . §Æt x + = tan t, t ∈  − ,  0  2 1  3 2 2  2 2 x +  +    2  2    0,25 π/3 π/3 2 3 (1 + tan 2 t )dt 2 3 3π Suy ra I 1 = 3 π∫/ 6 1 + tan 2 t = 3 t = 9 π/6 3 3π VËy I = ln 3 − 0,25 4 12 IV TÝnh thÓ tÝch khèi l¨ng trô 1,00 A’ C’ B’ H A C O M B Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC, gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M lªn AA’, Khi · ®ã (P) ≡ (BCH). Do gãc A AM nhän nªn H n»m gi÷a AA’. ThiÕt diÖn cña l¨ng 0,25 trô c¾t bëi (P) lµ tam gi¸c BCH. a 3 2 a 3 Do tam gi¸c ABC ®Òu c¹nh a nªn AM = , AO = AM = 2 3 3 2 2 0,25 a 3 1 a 3 a 3 Theo bµi ra S BCH = ⇒ HM.BC = ⇒ HM = 8 2 8 4 3a 2 3a 2 3a AH = AM 2 − HM 2 = − = 4 16 4 A O HM Do hai tam gi¸c A’AO vµ MAH ®ång d¹ng nªn = 0,25 AO AH AO.HM a 3 a 3 4 a suy ra A O = = = AH 3 4 3a 3 1 1aa 3 a3 3 ThÓ tÝch khèi l¨ng trô: V = A O.S ABC = A O.AM.BC = a= 0,25 2 23 2 12 V T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ... 1,00 1 1 1 1 Ta cã a2+b2 ≥ 2ab, b2 + 1 ≥ 2b ⇒ 2 = 2 ≤ a + 2b + 3 a + b + b + 1 + 2 2 ab + b + 1 2 2 2 0,50 1 1 1 1 1 1 T−¬ng tù 2 ≤ , 2 ≤ b + 2c + 3 2 bc + c + 1 c + 2a + 3 2 ca + a + 1 2 2Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 30. Di n ñàn Ntquang.net 1 1 1 1  = 1  1 + ab + b  = 1 P≤  + +    0,25 2  ab + b + 1 bc + c + 1 ca + a + 1  2  ab + b + 1 b + 1 + ab 1 + ab + b  2 1 1 P= khi a = b = c = 1. VËy P ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt b»ng khi a = b = c = 1. 0,25 2 2 VIa.1 ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ®i qua giao ®iÓm cña(E) vµ (P) 1,00 Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (E) vµ (P) lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh x2 0,25 + (x 2 − 2x) 2 = 1 ⇔ 9x 4 − 36x 3 + 37x 2 − 9 = 0 (*) 9 XÐt f (x) = 9 x 4 − 36x 3 + 37x 2 − 9 , f(x) liªn tôc trªn R cã f(-1)f(0) < 0, f(0)f(1) < 0, f(1)f(2) < 0, f(2)f(3) < 0 suy ra (*) cã 4 nghiÖm ph©n biÖt, do ®ã (E) 0,25 c¾t (P) t¹i 4 ®iÓm ph©n biÖt y = x 2 − 2 x  To¹ ®é c¸c giao ®iÓm cña (E) vµ (P) tháa m·n hÖ  x 2 0,25  +y =1 2 9 8x 2 − 16x = 8y ⇔ 2 ⇒ 9 x 2 + 9y 2 − 16x − 8y − 9 = 0 (**) x + 9 y = 9 2 8 4 161 (**) lµ ph−¬ng tr×nh cña ®−êng trßn cã t©m I =  ;  , b¸n kÝnh R = Do 9 9 9 0,25 ®ã 4 giao ®iÓm cña (E) vµ (P) cïng n»m trªn ®−êng trßn cã ph−¬ng tr×nh (**) VIa.2 ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (β ).... 1,00 Do (β) // (α) nªn (β ) cã ph−¬ng tr×nh 2x + 2y – z + D = 0 (D ≠ 17) MÆt cÇu (S) cã t©m I(1; -2; 3), b¸n kÝnh R = 5 0,25 §−êng trßn cã chu vi 6π nªn cã b¸n kÝnh r = 3. Kho¶ng c¸ch tõ I tíi (β ) lµ h = R 2 − r 2 = 5 2 − 3 2 = 4 0,25 2.1 + 2(−2) − 3 + D D = −7 Do ®ã = 4 ⇔ − 5 + D = 12 ⇔  0,25 2 2 + 2 2 + (−1) 2 D = 17 (lo¹i) VËy (β) cã ph−¬ng tr×nh 2x + 2y – z - 7 = 0 0,25 VII.a T×m hÖ sè cña x2... 1,00 ( ) 2 2 Ta cã I = ∫ (1 + x) n dx = ∫ C 0 + C 1 x + C 2 x 2 + Λ + C n x n dx n n n n 0 0 2  1 1 1  =  C 0 x + C1 x2 + C 2 x3 + Λ + C n x n +1  0,25 n +1 n n n n  2 3 0 22 1 23 2 2 n +1 n suy ra I = 2C n + 0 Cn + Cn +Λ + C n (1) 2 3 n +1 1 2 3 n +1 − 1 MÆt kh¸c I = (1 + x) n +1 = (2) n +1 0 n +1 22 23 2 n +1 n 3 n +1 − 1 Tõ (1) vµ (2) ta cã = 2C 0 + C 1 + C 2 + Λ + n n n Cn = 0,25 2 3 n +1 n +1 n +1 3 − 1 6560 Theo bµi ra th× = ⇔ 3 n +1 = 6561 ⇒ n = 7 n +1 n +1 ( x) 7 k 14 −3 k  1  7 7− k  1  7 1 k Ta cã khai triÓn  x + 4  = ∑ C 7   k  4  = ∑ k C7x   4 0,25  2 x 0 2 x  0 2Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 31. Di n ñàn Ntquang.net 14 − 3k Sè h¹ng chøa x2 øng víi k tháa m·n =2⇔k =2 4 0,25 1 21 VËy hÖ sè cÇn t×m lµ 2 C 2 = 7 2 4 VIb.1 ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn .... 1,00 Do B ∈ d1 nªn B = (m; - m – 5), C ∈ d2 nªn C = (7 – 2n; n) 0,25 2 + m + 7 − 2n = 3.2 m− 2n = −3 m = −1 Do G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn  ⇔ ⇔ 3 − m − 5 + n = 3.0 − m+ n = 2 n = 1 0,25 Suy ra B = (-1; -4), C= (5; 1) Gi¶ sö ®−êng trßn (C) ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC cã ph−¬ng tr×nh x 2 + y 2 + 2ax + 2 by + c = 0 . Do A, B, C ∈ (C) nªn ta cã hÖ 4 + 9 + 4a + 6 b + c = 0 a = −83 / 54 0,25   1 + 16 − 2a − 8b + c = 0 ⇔ b = 17 / 18  c = −338 / 27 25 + 1 + 10a + 2 b + c = 0  83 17 338 VËy (C) cã ph−¬ng tr×nh x 2 + y 2 − x+ y− =0 0,25 27 9 27 VIb.2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ... 1,00 7 8  Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC, suy ra G =  ; ;3  3 3  ( ) ( 2 Ta cã F = MA 2 + MB 2 + MC 2 = MG + GA + MG + GB + MG + GC ) ( 2 )2 0,25 = 3MG 2 + GA 2 + GB 2 + GC 2 + 2 MG(GA + GB + GC) = 3MG 2 + GA 2 + GB 2 + GC 2 F nhá nhÊt ⇔ MG2 nhá nhÊt ⇔ M lµ h×nh chiÕu cña G lªn (P) 0,25 7/3−8/ 3−3−3 19 ⇔ MG = d(G, ( P )) = = 0,25 1+1+1 3 3 56 32 104 64 GA 2 + GB 2 + GC 2 = + + = 9 9 9 3 2 0,25  19  64 553 VËy F nhá nhÊt b»ng 3.   +  = khi M lµ h×nh chiÕu cña G lªn (P) 3 3  3 9 VIIb Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh mò 1,00 e x − y + e x + y = 2(x + 1) e x − y = x + y + 1  x+y ⇔  x+y e = x − y + 1 e = x − y + 1 0,25 e v = u + 1 e v = u + 1 (1) §Æt u = x + y , v = x - y ta cã hÖ  u ⇔ u e = v + 1 e − e = v − u ( 2 ) v - NÕu u > v th× (2) cã vÕ tr¸i d−¬ng, vÕ ph¶i ©m nªn (2) v« nghiÖm 0,25 - T−¬ng tù nÕu u < v th× (2) v« nghiÖm, nªn (2) ⇔ u = v ThÕ vµo (1) ta cã eu = u+1 (3) . XÐt f(u) = eu - u- 1 , f(u) = eu - 1 B¶ng biÕn thiªn: u -∞ 0 +∞ f(u) - 0 + 0,25 f(u) 0 Theo b¶ng biÕn thiªn ta cã f(u) = 0 ⇔ u = 0 .Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 32. Di n ñàn Ntquang.net x + y = 0 x = 0 Do ®ã (3) cã 1 nghiÖm u = 0 ⇒ v = 0 ⇒  ⇔ x − y = 0 y = 0 0,25 VËy hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho cã mét nghiÖm (0; 0) ð THI TH ð I H C MÔN TOÁN NĂM 2011-2012 ð S 7PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH ( 7 ñi m ) Câu I ( 2,0ñi m) Cho hàm s y = x3 − (m + 1)x + 5 − m2. 1) Kh o sát hàm s khi m = 2; 2) Tìm m ñ ñ th hàm s có ñi m c c ñ i và ñi m c c ti u, ñ ng th i các ñi m c c ñ i, c c ti u vàñi m I(0 ; 4) th ng hàng. Câu II(2.0ñi m) 1, Gi i phương trình: log 2 1 + ( 3 ) x = log 7 x . x x π x  2, Gi¶i ph−¬ng tr×nh 1 + sin sin x − cos sin 2 x = 2 cos 2  −  2 2  4 2 Câu III (1.0 ñi m) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh sau x 2 − 8 x + 15 ≤ 4 x 2 − 18 x + 18 − x 2 + 2 x − 15 4 dx Câu IV(1.0 ñi m) TÝnh tÝch ph©n I= ∫ x +1− 3 2x + 1 2 Câu V(1.0 ñi m) Cho l¨ng trô tam gi¸c ABC.A1B1C1 cã tÊt c¶ c¸c c¹nh b»ng a, gãc t¹o bëi c¹nh bªn vµ mÆtph¼ng ®¸y b»ng 300. H×nh chiÕu H cña ®iÓm A trªn mÆt ph¼ng (A1B1C1) thuéc ®−êng th¼ng B1C1. TÝnh kho¶ngc¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng AA1 vµ B1C1 theo a.PH N RIÊNG CHO T NG CHƯƠNG TRÌNH ( 3 ñi m )A/ Ph n ñ bài theo chương trình chu n Câu VI.a: (2.0ñi m) 1. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho ®−êng trßn (C) cã ph−¬ng tr×nh (x-1)2 + (y+2)2 = 9vµ ®−êng th¼ng d: x + y + m = 0. T×m m ®Ó trªn ®−êng th¼ng d cã duy nhÊt mét ®iÓm A mµ tõ ®ã kÎ ®−îc haitiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®−êng trßn (C) (B, C lµ hai tiÕp ®iÓm) sao cho tam gi¸c ABC vu«ng. 2.Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho ®iÓm A(10; 2; -1) vµ ®−êng th¼ng d cã ph−¬ng tr×nh  x = 1 + 2t  y = t . LËp ph−¬ng tr×nh mp (P) ®i qua A, song song víi d vµ kho¶ng c¸ch tõ d tíi (P) lµ lín nhÊt.  z = 1 + 3t  Câu VII.a: (1.0ñi m) Cho ñ ng th c: C 2n + 1 + C 2n +21 + C 2n +31 + ... + C 2n - 1 + C 2n + 1 = 28 - 1 . n+ 1 n+ n+ 2n +1 2n n Tìm h s c a s h ng ch a x10 trong khai tri n (1 - x + x3 - x4 ) . B/ Ph n ñ bài theo chương trình nâng caoCâu VI.b: (2 .0 ñi m) 1 Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho ®−êng trßn (C) cã ph−¬ng tr×nh (x-1)2 + (y+2)2 = 9vµ ®−êng th¼ng d: x + y + m = 0. T×m m ®Ó trªn ®−êng th¼ng d cã duy nhÊt mét ®iÓm A mµ tõ ®ã kÎ ®−îc haitiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®−êng trßn (C) (B, C lµ hai tiÕp ®iÓm) sao cho tam gi¸c ABC vu«ng.Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 33. Di n ñàn Ntquang.net 2.Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho ®iÓm A(10; 2; -1) vµ ®−êng th¼ng d cã ph−¬ng tr×nh  x = 1 + 2t  y = t LËp ph−¬ng tr×nh mp(P) ®i qua A, song song víi d vµ kho¶ng c¸ch tõ d tíi (P) lµ lín nhÊt.  z = 1 + 3t  2 − 2 x +1 2 − 2 x −1 4 Câu VII.b: (1.0 ñi m) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: (2 + 3) x + (2 − 3 ) x ≤ 2− 3 ®¸p ¸n Câu ý H−íng dÉn gi¶i chi tiÕt §i ÓmPH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH 7.0 0 Câu I 2 1 Cho hàm s y = x3 − (m + 1)x + 5 − m2. Kh o sát hàm s khi m = 2; 1 Khi m = 2, hàm s tr thành: y = x3 − 3x + 1 1* TXð: D = R 0.2 2* Sù biÕn thiªn c a hàm s : 5 * Giíi h¹n t i v« c c: lim f ( x ) = −∞ : lim f ( x ) = +∞ x →−∞ x → +∞ * B¶ng biÕn thiªn: Có y’ = 3x2 − 3 , y = 0 ⇔ x = ±1 x -∞ -1 1 +∞ y’ + 0 - 0 + y 3 +∞ 0.5 -∞ -1 Hµm sè ®ång bi n trªn m i kho¶ng (− ∞;−1) vµ (1;+∞ ) , Hµm sè ngh ch bi n trªn m i kho ng ( −1;1) Hàm s ñ t ñ t c c ñ i t i x = −1; yCD = 3 , c c ti u t i x = 1; yCT = −1 , 3* §å thÞ: * ði m u n: y = 6 x , các ñi m u n là: U ( 0;1) * Giao ñi m v i tr c Oy t¹i : U ( 0;1) y * ð th : 3 0.2 2 5 1 -2 -1 O 1 2 x -1 -2 Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 34. Di n ñàn Ntquang.net Tìm m ñ ñ th hàm s có ñi m c c ñ i và ñi m c c ti u, ñ ng th i các ñi m c c ñ i, 2 c c ti u và ñi m I(0 ; 4) th ng hàng. 1 Có y’ = 3x2 − (m + 1). Hàm s có Cð, CT ⇔ y’ = 0 có 2 nghi m phân bi t ⇔ 3(m + 1) > 0 ⇔ m > −1 (*) 0.5 Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cùc ®¹i, cùc tiÓu cña ®å thÞ hµm sè lµ 2 y = (m + 1) x + 5 − m 2 3 Các ñi m c c ñ i, c c ti u và ñi m I(0 ; 4) th ng hàng. 0.5 ⇔ 5 − m2 = 4 ⇔ m = ±1 KL : m = 1 1 Gi i phương trình: log2 (1 + 3 1 x ) = log7 x .Câu II 1. ði u ki n: x > 0. ð t t = log7 x Û x = 7t . 0.2 5 t ö t t t t t æ 1 7 ç ç è ÷ pt Û log2 ç1 + 7 3 ÷ = t Û 1 + 7 3 = 2t Û 1 + 7 3 = 8 3 Û ÷ ÷ ø () () 8 3 + 8 3 = 1 (*). 0.2 5 Ch ng minh pt (*) có nghi m duy nh t t = 3. 0.2 5 V y phương trình có nghi m x = 343. 0.2 5 2 x x π x  Gi¶i ph−¬ng tr×nh 1 + sin sin x − cos sin 2 x = 2 cos 2  −  1 2 2  4 2 x x π x  1 + sin sin x − cos sin 2 x = 2 cos 2  −  (1) 2 2  4 2 0.2 (1) ⇔ 1 + sin x sin x − cos x sin 2 x = 1 + cos π − x  = 1 + sin x 5   2 2 2   x x   x x x x  ⇔ sin x sin − cos sin x − 1 = 0 ⇔ sin x sin − cos .2 sin cos − 1 = 0  2 2   2 2 2 2  0.5  x  x x  ⇔ sin x sin − 1 2 sin 2 + 2 sin + 1 = 0  2  2 2   sin x = 0   x = kπ x  x = kπ 0.2 ⇔ sin = 1 ⇔ x π ⇔ ⇔ x = kπ  2  = + k 2π  x = π + k 4π 5  x x 2 2  2sin 2 + 2sin + 1 = 0  2 2Câu III Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh sau x 2 − 8 x + 15 ≤ 4 x 2 − 18 x + 18 − x 2 + 2 x − 15 (1) 1 Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 35. Di n ñàn Ntquang.net TX§ x ≥ 5, x ≤ −5, x = 3 0.2 TH1 x = 3 lµ nghiÖm cña (1) 5 17 TH2 x ≥ 5 th× (1) ⇔ x − 5 + x + 5 ≤ 4 x − 6 ⇔ x ≤ 3 0.2 17 5 VËy BPT (1) cã nghiÖm 5 ≤ x ≤ 3 17 0.2 TH3 x ≤ −5 th× (1) ⇔ 5 − x + −5 − x ≤ 6 − 4 x ⇔ x ≤ 5 3 VËy BPT (1) cã nghiÖm x ≤ −5 17 Kl : TËp nghiÖm cña bÊt pt lµ S = (−∞; −5) ∪ {3} ∪ (5; ) 0.2 3 5Câu IV 4 dx TÝnh tÝch ph©n: I= ∫ x +1− 3 2x +1 1 2 4 dx +I= ∫ x +1− 3 2x +1 §Æt t= 2 x + 1 ⇒ t 2 = 2 x + 1 ⇒ tdt=dx 2 3 0.5 +§æi cËn : x= ⇒ t=2 2 x=4 ⇒ t = 3 3 3 tdt tdt +Khi ®ã I= ∫ 2 = 2∫ t −1 2 (t − 1) 2 2 +1− t 2 t −1+1 3 3 3 1 dt ∫ (t − 1) 2 dt = 2∫ (t − 1) dt + 2∫ 2 (t − 1) 2 2 2 0.5 3 2 3 = 2 ln t − 1 − =2ln2+1 +VËy I= 2ln2+1 2 t −1 2 Cho l¨ng trô tam gi¸c ABC.A1B1C1 cã tÊt c¶ c¸c c¹nh b»ng a, gãc t¹o bëi c¹nh bªn vµ mÆtCâu V ph¼ng ®¸y b»ng 300. H×nh chiÕu H cña ®iÓm A trªn mÆt ph¼ng (A1B1C1) thuéc ®−êng th¼ng 1 B1C1. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng AA1 vµ B1C1 theo a. Do AH ⊥ ( A1 B1C1 ) nªn gãc · 1 H lµ gãc gi÷a AA1 vµ (A1B1C1), theo gi¶ thiÕt th× gãc AA 0.2 · H b»ng 300. XÐt tam gi¸c vu«ng AHA cã AA = a, gãc · H =300 ⇒ A H = a 3 . AA1 AA1 5 1 1 1 2 a 3 Do tam gi¸c A1B1C1 lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, H thuéc B1C1 vµ A1 H = nªn A1H vu«ng 2 gãc víi B1C1. MÆt kh¸c AH ⊥ B1C1 nªn B1C1 ⊥ ( AA1 H ) A B 0.2 5 C K Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net C Ntquang.com A1 – 1
  • 36. Di n ñàn Ntquang.net KÎ ®−êng cao HK cña tam gi¸c AA1H th× HK chÝnh lµ kho¶ng c¸ch gi÷a AA1 vµ B1C1 0.2 5 A1 H . AH a 3 0.2 Ta cã AA1.HK = A1H.AH ⇒ HK = = AA1 4 5 3.0 PH N RIÊNG CHO M I CHƯƠNG TRÌNH Ph n l i gi i bài theo chương trình Chu nCâu VIa 2 1 Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho ®−êng trßn (C) cã ph−¬ng tr×nh (x-1)2 + (y+2)2 = 9 vµ ®−êng th¼ng d: x + y + m = 0. T×m m ®Ó trªn ®−êng th¼ng d cã duy nhÊt mét ®iÓm A mµ 1 tõ ®ã kÎ ®−îc hai tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®−êng trßn (C) (B, C lµ hai tiÕp ®iÓm) sao cho tam gi¸c ABC vu«ng. 0.5 Tõ pt ct cña ®−êng trßn ta cã t©m I(1;-2), R = 3, tõ A kÎ ®−îc 2 tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®−êng trßn vµ AB ⊥ AC => tø gi¸c ABIC lµ h×nh vu«ng c¹nh b»ng 3 ⇒ IA = 3 2 m −1  m = −5 ⇔ = 3 2 ⇔ m −1 = 6 ⇔  2 m = 7 0,5 2 Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho ®iÓm A(10; 2; -1) vµ ®−êng th¼ng d cã ph−¬ng  x = 1 + 2t  1 tr×nh  y = t . LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua A, song song víi d vµ kho¶ng c¸ch  z = 1 + 3t  tõ d tíi (P) lµ lín nhÊt. Gäi H lµ h×nh chiÕu cña A trªn d, mÆt ph¼ng (P) ®i qua A vµ (P)//d, khi ®ã kho¶ng c¸ch gi÷a d vµ (P) lµ kho¶ng c¸ch tõ H ®Õn (P). 0.5 Gi¶ sö ®iÓm I lµ h×nh chiÕu cña H lªn (P), ta cã AH ≥ HI => HI lín nhÊt khi A ≡ I VËy (P) cÇn t×m lµ mÆt ph¼ng ®i qua A vµ nhËn AH lµm vÐc t¬ ph¸p tuyÕn. H ∈ d ⇒ H (1 + 2t; t ;1 + 3t ) v× H lµ h×nh chiÕu cña A trªn d nªn AH ⊥ d ⇒ AH .u = 0 (u = (2;1;3) lµ vÐc t¬ chØ ph−¬ng cña d) ⇒ H (3;1;4) ⇒ AH (−7;−1;5) VËy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0 0.5 7x + y -5z -77 = 0CâuVII.a Cho ñ ng th c: C 2n + 1 + C 2n +21 + C 2n +31 + ... + C 2n - 1 + C 2n + 1 = 28 - 1 . n+ 1 n+ n+ 2n +1 2n 1 10 n Tìm h s c a s h ng ch a x trong khai tri n (1 - 3 x+ x - x 4 ). Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 37. Di n ñàn Ntquang.net S= C n ++11 2n + C n ++21 2n + C n ++31 2n + ... + C 2n - 1 2n + 1 + C 2n + 1 , 2n ta có: (1 + 1) 2n + 1 = 0 C 2n + 1 + C1 + 1 2n + 2 C 2n + 1 + ... + n- 1 C 2n + 1 + C 2n + 1 + (C n ++11 + C n ++21 + ... + C 2n + 1 ) + C 2n + 1 n 2n 2n 2n + 2n 1 0.5 Þ 22n + 1 = (C2n + 1 + C2n + 1 ) + C2n + 1 + C2n - 1 + ... + C2n +21 + Cn ++11 + (C2n + 1 + C2n +21 + ... + C2n - 1 + C2n + 1 ) 0 2n + 1 2n 2n +1 n+ 2n n+ 1 n+ 2n + 1 2n Þ 22n + 1 = 2 + 2S Þ 22n = 1 + S Þ 22n = 28 Þ n = 4 . n 4 4 4 Þ (1 - x + x 3 - x 4 ) = é - x) + x 3(1 - x) ù = (1 - x ) (1 + x 3 ) ê(1 ú ë û = (C 0 - C1 x + C 2 x 2 - C 4 x 3 + C 4 x 4 )(C 0 + C1 x 3 + C 2 x 6 + C 3 x 9 + C 4 x12 ) . 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 0.5 Ta có h s c a x10 là: - C1 .C 3 + C 4 .C 2 = - 10 . 4 4 4 4 Ph n l i gi i bài theo chương trình Nâng caoCâu VI.b Gièng ch−¬ng tr×nh chuÈnCâuVII.b 2 − 2 x +1 2 − 2 x −1 4 Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: (2 + 3) x + (2 − 3 ) x ≤ 2− 3 1 Bpt ⇔ 2 + 3 ( )x2 −2 x ( + 2− 3 ) x 2 −2 x ≤4 ( ) x −2 x 1 2 §Æt t = 2 + 3 (t > 0) , ta ®−îc: t + ≤ 4 0.5 t t − 4t + 1 ≤ 0 ⇔ 2 − 3 ≤ t ≤ 2 + 3 (tm) 2 Khi ®ã: 2 − 3≤ 2+ 3 ( ) x 2 −2 x ≤ 2 + 3 ⇔ −1 ≤ x 2 − 2 x ≤ 1 0.5 ⇔ x 2 − 2x − 1 ≤ 0 ⇔ 1 − 2 ≤ x ≤ 1 + 2 KL: www.VNMATH.com Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 38. Di n ñàn Ntquang.net ð THI TH ð I H C MÔN TOÁN NĂM 2011-2012 ð S 8PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 ñi m)Câu I (2 ñi m) 2x − 1 1. Kh o sát s bi n thiên và v ñ th (C) c a hàm s y = x −1 2. Vi t phương trình ti p tuy n c a (C), bi t kho ng cách t ñi m I(1;2) ñ n ti p tuy n b ng 2.Câu II (2 ñi m) 17π x π 1) Gi i phương trình sin(2x + ) + 16 = 2 3.s inx cos x + 20sin 2 ( + ) 2 2 12 x 4 − x 3y + x 2y 2 = 1  2) Gi i h phương trình :  3 x y − x + xy = −1 2  π 4 tan x .ln(cos x )Câu III (1 ñi m): Tính tích phân: I = ∫ cos x dx 0Câu IV (1 ñi m): Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông t i A v i AB = a, các m t bên là các tam giác cân t iñ nh S. Hai m t ph ng (SAB) và (SAC) cùng t o v i m t ph ng ñáy góc 600. Tính côsin c a góc gi a hai m tph ng (SAB) và (SBC) . Câu V: (1 ñi m) Cho a,b,c là các s dương th a mãn a + b + c = 1. Ch ng minh r ng: a +b b +c c +a + + ≥3 ab + c bc + a ca + bPH N RIÊNG (3 ñi m) Thí sinh ch ñư c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c B) A. Theo chương trình Chu nDi n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 39. Di n ñàn Ntquang.netCâu VI.a (1 ñi m) Trong m t ph ng t a ñ Oxy cho ñi m A(1;1) và ñư ng th ng ∆ : 2x + 3y + 4 = 0. Tìm t a ñ ñi m B thu c ñư ng th ng ∆ sao cho ñư ng th ng AB và ∆ h p v i nhau góc 450.Câu VII.a (1 ñi m): Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho ñi m M(1;-1;1) x y +1 z x y −1 z − 4 và hai ñư ng th ng (d ) : = = và (d ) : = = 1 −2 −3 1 2 5Ch ng minh: ñi m M, (d), (d’) cùng n m trên m t m t ph ng. Vi t phương trình m t ph ng ñó.Câu VIII.a (1 ñi m) Gi i phương trình: log x (24x +1) 2 x + logx 2 (24x +1) x 2 = log (24x +1) x Theo chương trình Nâng caoCâu VI.b (1 ñi m) Trong m t ph ng t a ñ Oxy cho ñư ng tròn (C ) : x 2 + y 2 = 1 , ñư ng th ng (d ) : x + y + m = 0 . Tìm m ñ (C ) c t (d ) t i A và B sao cho di n tích tam giác ABO l n nh t.Câu VII.b (1 ñi m) Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho ba m t ph ng: (P): 2x – y + z + 1 = 0, (Q): x – y + 2z + 3 = 0, (R): x + 2y – 3z + 1 = 0 x−2 y +1 z và ñư ng th ng ∆ 1 : = = . G i ∆ 2 là giao tuy n c a (P) và (Q). −2 1 3 Vi t phương trình ñư ng th ng (d) vuông góc v i (R) và c t c hai ñư ng th ng ∆ 1 , ∆ 2 .Câu VIII.b (1 ñi m) Gi i b t phương trình: logx( log3( 9x – 72 )) ≤ 1 ----------H t---------- ðÁP ÁN VÀ THANG ðI M Câu -ý N i dung ði m1.1 *T p xác ñ nh : D = ¡ {1} 0.25 −1 *Tính y = < 0 ∀x ∈ D (x − 1)2 0.25 Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng (−∞;1) và (1; +∞) *Hàm s không có c c tr *Gi i h n 0.25 Lim+ y = +∞ Lim− y = −∞ x →1 x →1 Lim y = 2 Lim y = 2 x →+∞ x →−∞ 0.25 ð th có ti m c n ñ ng :x=1 , ti m c n ngang y=2 *B ng bi n thiên *V ñ th1.2 *Ti p tuy n c a (C) t i ñi m M (x 0 ; f (x 0 )) ∈ (C ) có phương trình y = f (x 0 )(x − x 0 ) + f (x 0 ) Hay x + (x 0 − 1)2 y − 2x 0 2 + 2x 0 − 1 = 0 (*) 0.25 *Kho ng cách t ñi m I(1;2) ñ n ti p tuy n (*) b ng 2 2 − 2x 0 0.25 ⇔ = 2 1 + (x 0 − 1) 4 gi i ñư c nghi m x 0 = 0 và x 0 = 2 0.25 *Các ti p tuy n c n tìm : x + y − 1 = 0 và x + y − 5 = 0 0.252.1 *Bi n ñ i phương trình ñã cho tương ñương v iDi n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 40. Di n ñàn Ntquang.net π 0.25 c os2x − 3 sin 2x + 10c os(x + ) + 6 = 0 6 π π ⇔ c os(2x + ) + 5c os(x + ) + 3 = 0 3 6 0.25 π π ⇔ 2c os (x + ) + 5c os(x + ) + 2 = 0 2 6 6 π 1 π Gi i ñư c c os(x + ) = − và c os(x + ) = −2 (lo i) 6 2 6 0.25 π 1 π 5π *Gi i c os(x + ) = − ñư c nghi m x = + k 2π và x = − + k 2π 6 2 2 6 0.252.2 (x − xy ) = 1 − x y  2 2 3 0.25 *Bi n ñ i h tương ñương v i  3 x y − (x − xy ) = −1 2  x − xy = u  2 u 2 = 1 − v 0.25 *ð t n ph  3 , ta ñư c h  x y = v  v − u = −1 *Gi i h trên ñư c nghi m (u;v) là (1;0) và (-2;-3) 0.25 *T ñó gi i ñư c nghi m (x;y) là (1;0) và (-1;0) 0.253 *ð t t=cosx π 1 Tính dt=-sinxdx , ñ i c n x=0 thì t=1 , x = thì t = 4 2 1 2 ln t 1 ln t 0.25 T ñó I = − ∫ dt = ∫ dt 1 t2 1 t2 2 1 1 1 *ð t u = ln t ;dv = dt ⇒ du = dt ; v = − 0.25 t2 t t 1 1 1 1 1 2 1 Suy ra I = − ln t 1 + t ∫ t 2 dt = − 2 ln 2 − t 1 1 0.25 2 2 2 2 0.25 *K t qu I = 2 −1 − ln 2 24 *V hình *G i H là trung ñi m BC , ch ng minh S H ⊥ (A B C ) *Xác ñ nh ñúng góc gi a hai m t ph ng (SAB) , (SAC) v i m t ñáy là S EH = S FH = 600 *K H K ⊥ S B , l p lu n suy ra góc gi a hai m t ph ng (SAB) và (SBC) b ng H K A . a 2 a 3 *L p lu n và tính ñư c AC=AB=a , H A = , S H = H F tan 600 = 2 2 0.25 1 1 1 3 *Tam giác SHK vuông t i H có 2 = 2 + 2 ⇒ K H =a HK HS HB 10 0.25 0.25Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 41. Di n ñàn Ntquang.net a 2 AH 2 = 20 *Tam giác AHK vuông t i H có tan A K H = = 0.25 KH 3 3 a 10 3 ⇒ cos A K H = 235 a +b 1−c 1−c 0.25 *Bi n ñ i = = ab + c ab + 1 − b − a (1 − a )(1 − b ) 1−c 1−b 1−a *T ñó V T = + + 0.25 (1 − a )(1 − b ) (1 − c )(1 − a ) (1 − c )(1 − b ) Do a,b,c dương và a+b+c=1 nên a,b,c thu c kho ng (0;1) => 1-a,1-b,1-c 0.25 dương *áp d ng b t ñ ng th c Côsi cho ba s dương ta ñư c 1−c 1−b 1−a V T ≥ 3. 3 . . =3 (ñpcm) 0.25 (1 − a )(1 − b ) (1 − c )(1 − a ) (1 − c )(1 − b ) 1 ð ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c = 36.a x = 1 − 3t u r * ∆ có phương trình tham s  và có vtcp u = (−3; 2) y = −2 + 2t 0.25 *A thu c ∆ ⇒ A (1 − 3t ; −2 + 2t ) uuuu u r r uuuu u r r 1 A B .u 1 *Ta có (AB; ∆ )=450 ⇔ c os(A B ; u ) = ⇔ u = r 0.25 2 AB.u 2 15 3 ⇔ 169t 2 − 156t − 45 = 0 ⇔ t = ∨t = − 0.25 13 13 32 4 22 32 *Các ñi m c n tìm là A 1 (− ; ), A 2 ( ; − ) 0.25 13 13 13 13 uu r7.a *(d) ñi qua M 1 (0; −1;0) và có vtcp u 1 = (1; −2; −3) uu r (d’) ñi qua M 2 (0;1; 4) và có vtcp u 2 = (1; 2;5) uu uu r r ur uuuuuuu r *Ta có u 1 ; u 2  = (−4; −8; 4) ≠ O , M 1M 2 = (0; 2; 4)   0.25 uu uu uuuuuuu r r r Xét u 1; u 2  .M 1M 2 = −16 + 14 = 0   (d) và (d’) ñ ng ph ng . 0.25 ur *G i (P) là m t ph ng ch a (d) và (d’) => (P) có vtpt n = (1; 2; −1) và ñi qua M1 nên có phương trình x + 2y − z + 2 = 0 0.25 *D th y ñi m M(1;-1;1) thu c mf(P) , t ñó ta có ñpcm 0.258.a *ði u ki n :x>0 *TH1 : xét x=1 là nghi m 0.25 *TH2 : xét x ≠ 1 , bi n ñ i phương trình tương ñương v i 1 2 1 + = 1 + 2 logx (24x + 1) 2 + logx (24x + 1) logx (24x + 1) 0.25 ð t logx (x + 1) = t , ta ñư c phương trìnhDi n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 42. Di n ñàn Ntquang.net 1 2 1 0.25 + = gi i ñư c t=1 và t=-2/3 1 + 2t 2 + t t *V i t=1 ⇒ logx (x + 1) = 1 phương trình này vô nghi m 2 *V i t=-2/3 ⇒ logx (x + 1) = − 3 ⇔ x .(24x + 1) = 1 (*) 2 3 1 Nh n th y x = là nghi m c a (*) 8 1 N u x > thì VT(*)>1 0.25 8 1 1 N u x < thì VT(*)<1 , v y (*) có nghi m duy nh t x = 8 8 1 *K t lu n : Các nghi m c a phương trình ñã cho là x=1 và x = 86.b *(C) có tâm O(0;0) , bán kính R=1 *(d) c t (C) t i hai ñi m phân bi t ⇔ d (O ;d ) < 1 0.25 1 1 1 *Ta có S O A B = O A .O B .sin A O B = .sin A O B ≤ 0.25 2 2 2 T ñó di n tích tam giác AOB l n nh t khi và ch khi A O B = 900 0.25 1 ⇔ d (I ;d ) = ⇔ m = ±1 2 0.257.b x = 2 − 2t  * ∆1 có phương trình tham s y = −1 + t z = 3t  x = 2 + s  * ∆ 2 có phương trình tham s y = 5 + 3s 0.25 z = s  *Gi s d ∩ ∆1 = A ;d ∩ ∆ 2 = B ⇒ A (2 − 2t ; −1 + t ;3t ) B(2+s;5+3s;s) uuuu r u r * A B = (s + 2t ;3s − t + 6;s − 3t ) , mf(R) có vtpt n = (1; 2; −3) uuuu u r r * d ⊥ (R ) ⇔ A B & n cùng phương 0.25 s + 2t 3s − t + 6 s − 3t ⇔ = = 1 2 −3 0.25 23 ⇒t = 24 1 1 23 u r *d ñi qua A ( ; ; ) và có vtcp n = (1; 2; −3) 12 12 8 1 1 23 0.25 x− y− z− => d có phương trình 12 = 12 = 8 1 2 −3Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 43. Di n ñàn Ntquang.net8.b x > 0 0.25  *ði u ki n : log 3 (9x − 72) > 0 gi i ñư c x > log 9 73  x 9 − 72 > 0 Vì x > log 9 73 >1 nên bpt ñã cho tương ñương v i 0.25 log 3 (9x − 72) ≤ x ⇔ 9x − 72 ≤ 3x 3 ≥ −8  x ⇔ x ⇔x ≤2 0.25 3 ≤ 9  *K t lu n t p nghi m : T = (log 9 72; 2] 0.25 ð THI TH ð I H C MÔN TOÁN NĂM 2011-2012 ð S 9 www.VNMATH.comPH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH(7,0 ñi m)Câu I ( 2,0 ñi m): Cho hàm s y = 2 x − 4 . x +1 1. Kh o sát s bi n thiên và v ñ th (C) c a hàm s . 2. Tìm trên ñ th (C) hai ñi m ñ i x ng nhau qua ñư ng th ng MN bi t M(-3; 0) và N(-1; -1).Câu II (2,0 ñi m): 1. Gi i phương trình: 2 = 1 + 3 + 2x − x2 x +1 + 3 − x 2. Gi i phương trình: sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x = cos x + cos 2 x + cos3 x + cos 4 xCâu III (1,0 ñi m): Tính tích phân: I = ∫   e ln x  + ln 2 x  dx 1  x 1 + ln x Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 44. Di n ñàn Ntquang.netCâu IV (1,0 ñi m):Cho hai hình chóp S.ABCD và S’.ABCD có chung ñáy là hình vuông ABCD c nh a. Haiñ nh S và S’ n m v cùng m t phía ñ i v i m t ph ng (ABCD), có hình chi u vuông góc lên ñáy l n lư t làtrung ñi m H c a AD và trung ñi m K c a BC. Tính th tích ph n chung c a hai hình chóp, bi t r ng SH =S’K =h. Câu V(1,0 ñi m): Cho x, y, z là nh ng s dương tho mãn xyz = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: x9 + y 9 y9 + z9 z 9 + x9 P= + 6 + 6 3 3 6 x 6 + x3 y 3 + y 6 y + y 3 z 3 + z 6 z + z x + xPH N RIÊNG(3,0 ñi m) Thí sinh ch ñư c làm m t trong hai ph n(ph n A ho c ph n B)A. Theo chương trình chu n.Câu VI.a (2,0 ñi m)1. Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy, cho ñư ng tròn (C) có phương trình: x 2 + y 2 + 4 3 x − 4 = 0 .Tia Oy c t (C) t i A. L p phương trình ñư ng tròn (C’), bán kính R’ = 2 và ti p xúc ngoài v i (C) t i A.2. Trong không gian v i h to ñ Oxyz, cho hai ñi m A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và ñư ng th ng d có phương  x = 2 + 3ttrình  . Tìm trên d nh ng ñi m M sao cho t ng kho ng cách t M ñ n A và B là nh nh t.  y = − 2t (t ∈ R)  z = 4 + 2t Câu VII.a (1,0 ñi m): Gi i phương trình trong t p s ph c: z 2 + z = 0B. Theo chương trình nâng cao.Câu VI.b (2,0 ñi m): 1. Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy, cho hình ch nh t ABCD có c nh AB: x -2y -1 =0, ñư ng chéo BD:x- 7y +14 = 0 và ñư ng chéo AC ñi qua ñi m M(2;1). Tìm to ñ các ñ nh c a hình ch nh t. 2. Trong không gian v i h to ñ vuông góc Oxyz, cho hai ñư ng th ng: 2 x + y + 1 = 0  3 x + y − z + 3 = 0 .Ch ng minh r ng hai ñư ng th ng ( ∆ ) và ( ∆ ) c t nhau. (∆ )  ; ( ∆ )  x − y + z −1 = 0 2 x − y + 1 = 0Vi t phương trình chính t c c a c p ñư ng th ng phân giác c a các góc t o b i ( ∆ ) và ( ∆ ).  x log 2 3 + log 2 y = y + log 2 xCâu VII.b (1,0 ñi m): Gi i h phương trình:  .  x log 3 12 + log 3 x = y + log 3 y -------------------------------- H t ------------------------H và tên thí sinh: ………………………..……………………………………S báo danh: ……………...…… ðÁP ÁNCâu N i dung ði mI. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH(7,0 ñi m)CâuI 2.0 1. TXð: D = R{-1} 6 Chi u bi n thiên: y = > 0 ∀x ∈ D ( x + 1)2 => hs ñ ng bi n trên m i kho ng (−∞; −1) và (−1; +∞) , hs không có c c tr 0.25Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 45. Di n ñàn Ntquang.net Gi i h n: lim y = 2, lim− y = +∞, lim+ y = −∞ x →±∞ x →−1 x →−1 => ð th hs có ti m c n ñ ng x= -1, ti m c n ngang y = 2 0,25 BBT x -∞ -1 +∞ y’ + + +∞ 2 y 2 -∞ 0.25 + ð th (C): ð th c t tr c hoành t i ñi m ( 2;0 ) , tr c tung t i ñi m (0;-4) y f(x)=(2x-4)/(x+1) f(x)=2 9 x(t)=-1 , y(t)=t 8 7 6 5 4 3 2 1 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 0.25 ð th nh n giao ñi m 2 ñư ng ti m c n làm tâm ñ i x ng  6   6  2. G i 2 ñi m c n tìm là A, B có A  a; 2 −  ; B  b; 2 −  ; a , b ≠ −1 0.25  a +1   b +1   a+b a−2 b−2 Trung ñi m I c a AB: I  ; +   2 a +1 b +1  0.25 Pt ñư ng th ng MN: x + 2y +3= 0 uuu uuuu r r   AB.MN = 0 Có :  0.25  I ∈ MN  a = 0  A(0; −4) =>  =>  0,25 b = 2  B(2;0)CâuII 2.0 1. TXð: x ∈ [ −1;3] 0,25 t2 − 4 ð t t= x + 1 + 3 − x , t > 0 => 3 + 2x − x = 2 0,25 2 ñc pt: t3 - 2t - 4 = 0 t=2 0,25  x = −1 V it=2 x + 1 + 3 − x =2 ⇔  (t / m) 0,25 x = 3 2. sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x = cos x + cos 2 x + cos3 x + cos 4 x 1,0 TXð: D =R sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x = cos x + cos 2 x + cos3 x + cos 4 x 0,25Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 46. Di n ñàn Ntquang.net sin x − cosx = 0 ⇔ (sin x − cosx).[ 2 + 2(sin x + cosx) + sin x.cosx ] = 0 ⇔   2 + 2(sin x + cosx) + sin x.cosx = 0 π + V i sin x − cosx = 0 ⇔ x = + kπ ( k ∈ Z ) 0,25 4 + V i 2 + 2(sin x + cosx) + sin x.cosx = 0 , ñ t t = sin x + cosx (t ∈  − 2; 2  )   t = −1 ñư c pt : t2 + 4t +3 = 0 ⇔  t = −3(loai ) 0.25  x = π + m2π t = -1 ⇒  (m ∈ Z )  x = − π + m2π  2  π  x = + kπ ( k ∈ Z ) 4  V y :  x = π + m 2π (m ∈ Z )  0,25 π  x = − + m2π  2Câu III e  ln x  1,0 I = ∫ + ln 2 x  dx 1  x 1 + ln x  e ln x 4 2 2 I1 = ∫ dx , ð t t = 1 + ln x ,… Tính ñư c I1 = − 0,5 1 x 1 + ln x 3 3 e I 2 = ∫ ( ln 2 x ) dx , l y tích phân t ng ph n 2 l n ñư c I2 = e - 2 0,25 1 2 2 2 I = I1 + I2 = e − − 0,25 3 3Câu IV 1,0 S S N M D C H K A B SABS’ và SDCS’ là hình bình hành => M, N là trung ñi m SB, S’D : V = VS . ABCD − VS . AMND 0,25 VS . AMD SM 1 VS .MND SM SN 1 VS . AMND = VS . AMD + VS .MND ; = = ; = . = ; VS . ABD SB 2 VS .BCD SB SC 4 0.25 1 3 5 VS . ABD = VS . ACD = VS . ABCD ; VS . AMND = VS . ABCD ⇒ V = VS . ABCD 0.25 2 8 8 5 2 0.25 ⇒V = ah 24Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 47. Di n ñàn Ntquang.netCâuV Có x, y, z >0, ð t : a = x3 , b = y3, c = z3 (a, b, c >0 ; abc=1)ñc : a 3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 P= 2 + 2 + 2 0.25 a + ab + b 2 b + bc + c 2 c + ca + a 2 a 3 + b3 a 2 − ab + b 2 a 2 − ab + b 2 1 = ( a + b) 2 mà 2 ≥ (Bi n ñ i tương ñương) a 2 + ab + b 2 a + ab + b 2 a + ab + b 2 3 a 2 − ab + b 2 1 => (a + b) 2 ≥ ( a + b) 0.25 a + ab + b 2 3 b3 + c3 1 c3 + a 3 1 Tương t : 2 ≥ (b + c); 2 ≥ (c + a ) b + bc + c 2 3 c + ca + a 2 3 2 => P ≥ (a + b + c) ≥ 2. 3 abc = 2 (BðT Côsi) 0.25 3 => P ≥ 2, P = 2 khi a = b = c = 1 ⇔ x = y = z = 1 V y: minP = 2 khi x = y =z =1 0.25II. PH N RIÊNG(3,0 ñi m) A. Chương trình chu nCâuVI. 2.0a 1. A(0;2), I(-2 3 ;0), R= 4, g i (C’) có tâm I’ 0,25  x = 2 3t  Pt ñư ng th ng IA :  , I ∈ IA => I’( 2 3t ; 2t + 2 ), 0,25  y = 2t + 2  uur uuur 1 AI = 2 I A ⇔ t = => I ( 3;3) 0,25 2 ( ) + ( y − 3) = 4 2 (C’): x − 3 2 0.25 2. M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t) ∈ d , AB//d. 0.25 G i A’ ñ i x ng v i A qua d => MA’= MA => MA+ MB = MA’ + MB ≥ A’B 0.25 (MA+ MB)min = A’B, khi A’, M, B th ng hàng => MA = MA’ = MB 0,25 MA=MB <=> M(2 ; 0 ; 4) 0,25CâuVII 1.0.a z = x + iy ( x, y ∈ R ), z2 + z = 0 ⇔ x 2 − y 2 + x 2 + y 2 + 2 xyi = 0 0,25 2 xy = 0  ⇔ 2 0,25 x − y + x + y = 0 2 2 2  (0;0); (0;1) ; (0;-1). V y: z = 0, z = i, z = - i 0,5B. Chương trình nâng caoCâu 2.0VI.b 1. BD ∩ AB = B(7;3) , pt ñg th ng BC: 2x + y – 17 = 0 A ∈ AB ⇒ A(2a + 1; a ), C ∈ BC ⇒ C (c;17 − 2c), a ≠ 3, c ≠ 7 ,  2a + c + 1 a − 2c + 17  I = ;  là trung ñi m c a AC, BD.  2 2  0,25 I ∈ BD ⇔ 3c − a − 18 = 0 ⇔ a = 3c − 18 ⇒ A(6c − 35;3c − 18) 0,25Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  • 48. Di n ñàn Ntquang.net uuu uuur r u c = 7(loai ) M, A, C th ng hàng MA, MC cùng phương => c2 – 13c +42 =0 c = 6  0,25 c = 6 =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3) 0.25 2.  1 3 Ch ng minh h có nghi m duy nh t, ( ∆ ) ∩ ( ∆ ) = A  − ;0;  0.5  2 2 M (0; −1;0) ∈ (∆) , L y N ∈ (∆ ) , sao cho: AM = AN => N ∆AMN cân t i A, l y I là trung ñi m MN => ñư ng phân giác c a các góc t o b i ( ∆ ) và ( ∆ ) chính là ñg th ng AI 0.25 ðáp s : 1 3 1 3 x+ z− x+ z− 2 y 2 2 y 2 (d1 ) : = = ;(d 2 ) : = = 1 1 −2 2 −3 5 1 1 −2 2 −3 5 0,25 + + + − − − 14 30 14 30 14 30 14 30 14 30 14 30CâuVII.b x > 0 TXð:  0.25 y > 0  x log 2 3 + log 2 y = y + log 2 x 3 . y = 2 .x  x y  ⇔ x  x log 3 12 + log 3 x = y + log 3 y 12 . x = 3 . y y  0.25  y = 2x ⇔ x 0.25 3 . y = 2 .x y  x = log 4 2  ⇔ 3 (t/m TXð)  y = 2 log 4 2 0,25  3Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com