1. Di n ñàn Ntquang.net
ð THI TH ð I H C MÔN TOÁN NĂM 2011-2012
ð S 1
I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 ñi m)
2x + 1
Câu I (2,0 ñi m) Cho hàm s y = (C)
x +1
1.Kh o sát s bi n thiên và v ñ th (C) c a hàm s ñã cho
2.Tìm trên ñ th (C) nh ng ñi m có t ng kho ng cách ñ n hai ti m c n c a (C) nh nh t.
2 y 2 − x 2 = 1
Câu II (2,0 ñi m) 1. Gi i h phương trình: .
2 x − y = 2 y − x
3 3
( )
2.Gi i phương trình sau: 8 sin x + cos x + 3 3 sin 4 x = 3 3 cos 2 x − 9 sin 2 x + 11 .
6 6
2 1
1 x+
Câu III (1,0 ñi m) Tính tích phân: I = ∫ ( x + 1 − )e x dx .
1 x
2
Câu IV(1,0 ñi m) Cho t di n ABCD có AC = AD = a 2 , BC = BD = a, kho ng cách t B ñ n m t ph ng
(ACD) b ng a . Tính góc gi a hai m t ph ng (ACD) và (BCD). Bi t th c a kh i t di n ABCD b ng
3
a 3 15
.
27
( )
Câu V (1,0 ñi m) V i m i s th c x, y th a ñi u ki n 2 x 2 + y 2 = xy + 1 . Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh
nh t c a bi u th c P = x + y .
4 4
2 xy + 1
II. PH N RIÊNG (3,0 ñi m) Thí sinh ch ñư c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c B)
A.Theo chương trình Chu n
Câu VI.a( 2,0 ñi m)
1. Trong mp v i h t a ñ Oxy cho ñư ng tròn : x2 +y2 - 2x +6y -15=0 (C ). Vi t PT ñư ng th ng (∆) vuông
góc v i ñư ng th ng: 4x-3y+2 =0 và c t ñư ng tròn (C) t i A;B sao cho AB = 6.
x − 2 y z +1
2.Trong không gian v i h t a ñ Oxyz cho hai ñư ng th ng: d1 : = = và
4 −6 −8
x−7 y−2 z
d2 : = = . Xét v trí tương ñ i c a d1 và d2 . Cho hai ñi m A(1;-1;2) và B(3 ;- 4;-2), Tìm t a ñ
−6 9 12
ñi m I trên ñư ng th ng d1 sao cho IA + IB ñ t giá tr nh nh t.
Câu VII.a (1,0 ñi m) Cho z1 , z2 là các nghi m ph c c a phương trình 2 z 2 − 4 z + 11 = 0 . Tính giá tr c a bi u
z1 + z2
2 2
th c A = .
( z1 + z2 ) 2
B. Theo chương trình Nâng cao.
Câu VI.b(2,0 ñi m)
1.Trong m t ph ng Oxy cho tam giác ABC có A(1;4), tr c tâm H(3;-1), tâm ñư ng tròn ngo i ti p tam giác là
I(-2;0). Xác ñ nh ñi m B, C (bi t xC >0)
2.Trong không gian v i h t a ñ Oxyz , cho M(1;2;3). L p phương trình m t ph ng ñi qua M c t ba tia Ox
t i A, Oy t i B, Oz t i C sao cho th tích t di n OABC nh nh t.
x + log 2 y = y log 2 3 + log 2 x
Câu VII.b (1,0 ñi m) Gi i h phương trình:
x log 2 72 + log 2 x = 2 y + log 2 y
……………H t………………
Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
2. Di n ñàn Ntquang.net
Câu Ý N i dung ði
m
ðÁP ÁN
Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
3. Di n ñàn Ntquang.net
1 * TËp x¸c ®Þnh: D = R{ - 1}
* Sù biÕn thiªn
- Giíi h¹n vµ tiÖm cËn: lim y = lim y = 2 ; tiÖm cËn ngang: y = 2
x →+∞ x →−∞
lim y = +∞; lim + y = −∞ ; tiÖm cËn ®øng: x = - 1
x → ( −1) − x → ( −1)
- B¶ng biÕn thiªn 1ñ
1
Ta cã y ' = > 0 víi mäi x ≠ - 1
( x + 1) 2
Hµm sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng (- ∞ ; -1) vµ ( -1; + ∞ )
I
2 2 x0 + 1 0,5
Gäi M(x0;y0) lµ mét ®iÓm thuéc (C), (x0 ≠ - 1) th× y0 =
x0 + 1
Gäi A, B lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña M trªn TC§ vµ TCN th×
2 x0 + 1 1
MA = |x0+1| , MB = | y0- 2| = | - 2| = | |
x0 + 1 x0 + 1
1
Theo Cauchy th× MA + MB ≥ 2 x0 + 1 . =2
x0 + 1
⇒ MA + MB nhá nhÊt b»ng 2 khi x0 = 0 hoÆc x0 = -2.Như vËy ta cã hai ®iÓm cÇn t×m lµ
M(0;1) vµ M’(-2;3)
0,5
(sin x + cos 6 x ) = 1 − sin 2 2 x (1)
1 6 3 0,5
4
Thay (1) vµo ph−¬ng tr×nh (*) ta cã :
8 ( sin 6 x + cos 6 x ) + 3 3 sin 4 x = 3 3cos 2 x − 9 sin 2 x + 11
0,5
3
⇔ 8 1 − sin 2 2 x + 3 3 sin 4 x = 3 3cos 2 x − 9sin 2 x + 11
4
⇔ 3 3 sin 4 x − 3 3cos 2 x = 6sin 2 2 x − 9sin 2 x + 3
⇔ 3 sin 4 x − 3cos 2 x = 2sin 2 2 x − 3sin 2 x + 1
⇔ 3cos 2 x. ( 2sin 2 x − 1) = (2sin 2 x − 1)(sin 2 x − 1)
II
⇔ ( 2sin 2 x − 1) ( 3cos 2 x − sin 2 x + 1 = 0 )
Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
4. Di n ñàn Ntquang.net
2 sin 2 x − 1 = 0 2sin 2 x = 1 (2)
⇔ ⇔
3cos 2 x − sin 2 x + 1 = 0 sin 2 x − 3cos 2 x = 1 (3)
Π Π
x = + kΠ x = + kΠ
Gi¶i (2) : 12
(k ∈ Z )
; Gi¶i (3) 4 (k ∈ Z )
x = 5Π + k Π x = 7Π + k Π
12
12
KÕt luËn :
2
(
Ta có: 2 x3 − y 3 = 2 y 2 − x 2 )(2 y − x) ⇔ x 3
+ 2 x 2 y + 2 xy 2 − 5 y 3 = 0 .
Khi y = 0 thì h VN. 0,5
3 2
x x x
Khi y ≠ 0 , chia 2 v cho y 3 ≠ 0 ⇒ + 2 + 2 − 5 = 0 .
y y y
x
ð t t = , ta có : t 3 + 2t 2 + 2t − 5 = 0 ⇔ t = 1 .
y
y = x
Khi t = 1 ,ta có : HPT ⇔ 2 ⇔ x = y = 1, x = y = −1 .
y =1
0.5
2 1 2 1 1
1 x+ x+ 1 x+
I = ∫ ( x + 1 − )e x
dx = ∫ e x
dx + ∫ ( x − )e x
dx = I1 + I 2 . 0,5ñ
1 x 1 x
2 2
1 2 2 1 5
x+ 1 x+ 3
Tính I1 theo phương pháp t ng ph n I1 = xe x
− ∫ ( x − )e x dx = e 2 − I 2
III 1 1 x 2 0,5
2 2
5
3
⇒I = 2
e .
2
G i E là trung ñi m c a CD, k BH AE
A
Ta có ACD cân t i A nên CD AE
0,5
Tương t BCD cân t i B nên CD BE
Suy ra CD (ABE) CD BH
Mà BH AE suy ra BH (ACD) H
Do ñó BH = và góc gi a hai m t ph ng
(ACD) và (BCD) là D
B E
Th tích c a kh i t di n ABCD là C
IV
0,5
Mà
Khi ñó : là 2 nghi m c a pt: x2 - x+ = 0
Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
5. Di n ñàn Ntquang.net
2 a2 2 5a 2
AE = 3
ho c AE = 3
2 2
DE 2 = 5a DE 2 = a
3
3
trư ng h p vì DE<a (DE=CD/2<(BC+BD)/2=a)
Xét BED vuông t i E nên BE =
Xét BHE vuông t i H nên sin =
V y góc gi a hai mp(ACD) và (BCD) là
( )
ð t t = xy . Ta có: xy + 1 = 2 ( x + y ) − 2 xy ≥ −4 xy ⇒ xy ≥ −
2 1
5
(
Và xy + 1 = 2 ( x − y )
2
+ 2 xy ) ≥ 4 xy ⇒ xy ≤ . ðK: − ≤ t ≤ .
1
3
1
5
1
3
(x )
2
2
+ y2 − 2 x2 y2 −7t 2 + 2t + 1 0,5
Suy ra : P = = .
2 xy + 1 4 ( 2t + 1)
Do ñó: P ' =
(
7 −t 2 − t ) , P ' = 0 ⇔ t = 0, t = −1( L)
V
2 ( 2t + 1)
2
1 1 2 1
P− = P = và P ( 0 ) = .
5 3 15 4
1 2 1 1
KL: GTLN là và GTNN là ( HSLT trên ño n − ; ) 0,5
4 15 5 3
1 ðư ng tròn ( C) có tâm I(1;-3); bán kính R=5
G i H là trung ñi m AB thì AH=3 và IH AB suy ra IH =4
M t khác IH= d( I; ∆ )
Vì ∆ ⊥ d: 4x-3y+2=0 nên PT c a ∆ có d ng
3x+4y+c=0 I
d(I; ∆ )= A H B 0,5
v y có 2 ñt th a mãn bài toán: 3x+4y+29=0 và 3x+4y-11=0 0,5
ur ur
u
2 VÐc t¬ chØ ph−¬ng cña hai ®−êng th¼ng lÇn l−ît lµ: u (4; - 6; - 8) u ( - 6; 9; 12)
1 2
VIa ur ur
u
+) u1 vµ u2 cïng ph−¬ng
+) M( 2; 0; - 1) ∈ d1; M( 2; 0; - 1) ∉ d2 VËy d1 // d2.
uuur
*) AB = ( 2; - 3; - 4); AB // d1
Gäi A1 lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua d1 .Ta cã: IA + IB = IA1 + IB ≥ A1B
IA + IB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng A1B 0,5
Khi A1, I, B th¼ng hµng ⇒ I lµ giao ®iÓm cña A1B vµ d
Do AB // d1 nªn I lµ trung ®iÓm cña A1B.
36 33 15
*) Gäi H lµ h×nh chiÕu cña A lªn d1. T×m ®−îc H ; ;
29 29 29
43 95 28
A’ ®èi xøng víi A qua H nªn A’ ; ; − 0,5
29 29 29
65 −21 −43
I lµ trung ®iÓm cña A’B suy ra I ; ;
29 58 29
Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
6. Di n ñàn Ntquang.net
3 2 3 2
Gi i pt ñã cho ta ñư c các nghi m: z1 = 1 − i, z2 = 1 + i
2 2
2 2
z1 + z2
2
VIa 3 2 22 11 0,5
Suy ra | z1 |=| z2 |= 1 +
2
2 = 2 ; z1 + z2 = 2 . Do ñó
= ... =
2
( z1 + z2 ) 4
0,5
1 Phương trình ñư ng tròn (C): (x+2)2+y2=25 (1) 0,5
uuur
Vì BC ⊥ AH = (0; −6) nên phương trình BD có d ng: y=m
uuur uu
r 2
G i H là tr ng tâm tam giác ABC, ta có: GH = −2GI ⇒ G(−1; − )
3
x B + x C = −4 x B + x C = −4
⇒ (2)
y B + y C = −6 y B = y C = −3 0,5
x=2
Th (2) vào (1) ta ñư c: ⇒ B(−6; −3); C(2; −3) (vì xC>0)
x = −6
2 MÆt ph¼ng c¾t 3 tia Ox,Oy,Oz t¹i A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) cã d¹ng
VIb x y z
(α ) : + + = 1, ( a, b, c > 0 )
a b c
1 2 3 cos y 6
• Do M ∈ (α ) nªn: + + = 1 ≥ 3. 3 ⇒ abc ≥ 162 0,5
a b c abc
a = 3
1
• ThÓ tÝch: V = abc ≥ 27 ⇒ Vmin = 27 ⇔ b = 6
6 c = 9
0,5
MÆt ph¼ng cÇn t×m: 6x+3y+2z-18=0
ðK: x,y > 0
x + log 2 y = y log 2 3 + log 2 x 0,5
- h phương trình ⇔
x (3 + 2 log 2 3) + log 2 x = 2 y + log 2 y
- Suy ra: y = 2x 0,5
1
VIb x=
2 log 2 3 − 1
2
y=
2 log 2 3 − 1
N u thí sinh làm bài không theo cách nêu trong ñáp án mà v n ñúng thì ñư c ñ ñi m t ng ph n như ñáp án
quy ñ nh.
------------------H t------------------
Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
7. Di n ñàn Ntquang.net
ð THI TH ð I H C MÔN TOÁN NĂM 2011-2012
ð S 2
A.PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7 ñi m):
Câu I (2 ñi m): Cho hàm s y = x3 − 3mx 2 + 3(m2 − 1) x − m3 + m (1)
1.Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s (1) ng v i m=1
2.Tìm m ñ hàm s (1) có c c tr ñ ng th i kho ng cách t ñi m c c ñ i c a ñ th hàm s ñ n
góc t a ñ O b ng 2 l n kho ng cách t ñi m c c ti u c a ñ th hàm s ñ n góc t a ñ O.
Câu II (2 ñi m):
π
1. Gi i phương trình : 2cos3x.cosx+ 3(1 + s in2x)=2 3cos 2 (2 x + )
4
2. Gi i phương trình :
log 2 (5 − 2 x) + log 2 (5 − 2 x).log 2 x +1 (5 − 2 x) = log 2 (2 x − 5) 2 + log 2 (2 x + 1).log 2 (5 − 2 x)
1
2
π π
tan( x − )
6
Câu III (1 ñi m): Tính tích phân I = ∫ 4 dx
0
cos2x
Câu IV (1 ñi m): Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông c nh a , SA vuông góc v i ñáy
và SA=a .G i M,N l n lư t là trung ñi m c a SB và SD;I là giao ñi m c a SC và m t ph ng
(AMN). Ch ng minh SC vuông góc v i AI và tính th tích kh i chóp MBAI.
Câu V (1 ñi m): Cho x,y,z là ba s th c dương có t ng b ng 3.Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
P = 3( x 2 + y 2 + z 2 ) − 2 xyz .
B. PH N T CH N (3 ñi m): Thí sinh ch ñư c ch n m t trong hai phàn (ph n 1 ho c 2)
1.Theo chương trình chu n:
Câu VIa (2 ñi m):
1. Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy cho ñi m C(2;-5 ) và ñư ng th ng ∆ : 3 x − 4 y + 4 = 0 .
Tìm trên ∆ hai ñi m A và B ñ i x ng nhau qua I(2;5/2) sao cho di n tích tam giác ABC
b ng15.
2. Trong không gian v i h to ñ Oxyz cho m t c u ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 6 y − 4 z − 2 = 0 .
r
Vi t phương trình m t ph ng (P) song song v i giá c a véc tơ v(1; 6; 2) , vuông góc v i m t
ph ng (α ) : x + 4 y + z − 11 = 0 và ti p xúc v i (S).
Câu VIIa(1 ñi m): Tìm h s c a x 4 trong khai tri n Niutơn c a bi u th c : P = (1 + 2 x + 3 x 2 )10
2.Theo chương trình nâng cao:
Câu VIb (2 ñi m):
x2 y 2
1.Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy cho elíp ( E ) : + = 1 và hai ñi m A(3;-2) , B(-3;2) .
9 4
Tìm trên (E) ñi m C có hoành ñ và tung ñ dương sao cho tam giác ABC có di n tích l n nh t.
2.Trong không gian v i h to ñ Oxyz cho m t c u ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 6 y − 4 z − 2 = 0 .
r
Vi t phương trình m t ph ng (P) song song v i giá c a véc tơ v(1; 6; 2) , vuông góc v i m t
ph ng (α ) : x + 4 y + z − 11 = 0 và ti p xúc v i (S).
Câu VIIb (1 ñi m):
Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
8. Di n ñàn Ntquang.net
2 1 22 2n n 121
Tìm s nguyên dương n sao cho tho mãn Cn + Cn + Cn2 + ... +
0
Cn =
2 3 n +1 n +1
ðÁP ÁN VÀ THANG ðI M
Câu N I DUNG ðiêm
2. Ta có y = 3 x − 6mx + 3(m 2 − 1)
, 2
ð hàm s có c c tr thì PT y , = 0 có 2 nghi m phân bi t
05
⇔ x 2 − 2mx + m 2 − 1 = 0 có 2 nhi m phân bi t
I ⇔ ∆ = 1 > 0, ∀m
C c ñ i c a ñ th hàm s là A(m-1;2-2m) và c c ti u c a ñ th hàm s là 025
B(m+1;-2-2m)
m = −3 + 2 2
Theo gi thi t ta có OA = 2OB ⇔ m 2 + 6m + 1 = 0 ⇔ 025
m = −3 − 2 2
V y có 2 giá tr c a m là m = −3 − 2 2 và m = −3 + 2 2 .
1.
π
PT ⇔ cos4x+cos2x+ 3(1 + sin 2 x) = 3 1 + cos(4x+ ) 05
2
⇔ cos4x+ 3 sin 4 x + cos2x+ 3 sin 2 x = 0
π π
⇔ sin(4 x + ) + sin(2 x + ) = 0
6 6
π π
π x = − 18 + k 3
⇔ 2sin(3x + ).cosx=0 ⇔ 05
6 x= π + kπ
2
π π π
V y PT có hai nghi m x= + kπ và x=− +k .
II 2 18 3
−1 5
<x<
2. ðK : 2 2.
x ≠ 0
05
V i ðK trên PT ñã cho tương ñương v i
log 2 (5 − 2 x)
log 2 (5 − 2 x) + 2
= 2 log 2 (5 − 2 x) + 2 log 2 (5 − 2 x) log 2 (2 x + 1)
log 2 (2 x + 1)
2
−1
x = 4
log 2 (2 x + 1) = −1
⇔ log 2 (5 − 2 x) = 2 log 2 (2 x + 1) ⇔ x = ∨ x = −2
1
025
2
log 2 (5 − 2 x) = 0
x = 2
K t h p v i ðK trên PT ñã cho có 3 nghi m x=-1/4 , x=1/2 và x=2. 025
Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
9. Di n ñàn Ntquang.net
π π π
tan( x − )
4 dx = − tan x + 1 dx , cos 2x = 1 − tan x
6 6 2 2
025
I=∫ ∫ (t anx+1)2
0
cos2x 0 1 + tan 2 x
III 1
ð t t = t anx ⇒ dt= dx = (tan 2 x + 1)dx
cos 2 x
x=0⇒t =0 05
π 1
x= ⇒t =
6 3
1
1
3
dt 1 3 1− 3 025
Suy ra I =−∫ = = .
0
(t + 1) 2
t + 10 2
AM ⊥ BC , ( BC ⊥ SA, BC ⊥ AB)
Ta có ⇒ AM ⊥ SC (1) 05
AM ⊥ SB,( SA = AB)
Tương t ta có AN ⊥ SC (2)
T (1) và (2) suy ra AI ⊥ SC
V IH song song v i BC c t SB t i H. Khi ñó IH vuông góc v i (AMB)
1
Suy ra VABMI = S ABM .IH
IV 3
a2
Ta có S ABM = 05
4
IH SI SI .SC SA2 a2 1 1 1
= = = 2 = 2 = ⇒ IH = BC = a
BC SC SC 2
SA + AC 2
a + 2a 2
3 3 3
1 a2 a a3
V y VABMI = =
3 4 3 36
Ta c ó:
P = 3 ( x + y + z )2 − 2( xy + yz + zx) − 2 xyz
025
= 3[ 9 − 2( xy + yz + zx) ] − 2 xyz
= 27 − 6 x( y + z ) − 2 yz ( x + 3)
( y + z )2
≥ 27 − 6 x(3 − x) − ( x + 3)
2
025
1
= (− x3 + 15 x 2 − 27 x + 27)
2
Xét hàm s f ( x) = − x3 + 15 x 2 − 27 x + 27 , v i 0<x<3
x =1
f , ( x) = −3 x 2 + 30 x − 27 = 0 ⇔
x = 9
05
T b ng bi n thiên suy ra MinP=7 ⇔ x = y = z = 1 .
Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
10. Di n ñàn Ntquang.net
3a + 4 16 − 3a
1. G i A(a; ) ⇒ B (4 − a; ) . Khi ñó di n tích tam giác ABC là
4 4
1 05
S ABC = AB.d (C → ∆) = 3 AB .
2
6 − 3a a = 4
2
Theo gi thi t ta có AB = 5 ⇔ (4 − 2a) 2 + = 25 ⇔ a = 0 05
2
V y hai ñi m c n tìm là A(0;1) và B(4;4).
2. Ta có m t c u (S) có tâm I(1;-3;2) và bán kính R=4
r
Véc tơ pháp tuy n c a (α ) là n(1; 4;1) 025
r
Vì ( P) ⊥ (α ) và song song v i giá c a v nên nh n véc tơ
uu r r
r 025
n p = n ∧ v = (2; −1; 2) làm vtpt. Do ñó (P):2x-y+2z+m=0
VIa m = −21
Vì (P) ti p xúc v i (S) nên d ( I → ( P )) = 4 ⇔ d ( I → ( P)) = 4 ⇔ 025
m = 3
V y có hai m t ph ng : 2x-y+2z+3=0 và 2x-y+2z-21=0. 025
10 10 k 05
Ta có P = (1 + 2 x + 3 x 2 )10 = ∑ C10 (2 x + 3 x 2 )k = ∑ (∑ C10Cki 2k −i 3i x k +i )
k k
k =0 k =0 i =0
k + i = 4
i = 0 i = 1 i = 2 025
Theo gi thi t ta có 0 ≤ i ≤ k ≤ 10 ⇔ ∨ ∨
i, k ∈ N k = 4 k = 3 k = 2
VIIa V y h s c a x 4 là: C10 24 + C10C3 223 + C10C2 32 = 8085 .
4 3 1 2 2 025
1. Ta có PT ñư ng th ng AB:2x+3y=0
x2 y2
G i C(x;y) v i x>0,y>0.Khi ñó ta có + = 1 và di n tích tam giác ABC là 05
9 4
1 85 85 x y
S ABC = AB.d (C → AB) = 2x + 3 y = 3 +
2 2 13 13 3 4
85 x 2 y 2 170
≤3 2 + = 3
13 9 4 13
x2 y 2 05
VIb
+ =1 2
9 4 x = 3 3 2
D u b ng x y ra khi ⇔ 2 . V y C( ; 2) .
x = y y = 2 2
3 2
Xét khai tri n (1 + x)n = Cn + Cn x + Cn x 2 + ... + Cn x n
0 1 2 n
L y tích phân 2 v cân t 0 ñ n 2 , ta ñư c:
05
3n +1 − 1 2 2 1 23 3 2n +1 n
= 2Cn + Cn + Cn + ... +
0
Cn
VIIb n +1 2 3 n +1
Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
11. Di n ñàn Ntquang.net
2 1 2 2 2
3n +1 − 1
n
121 3n +1 − 1
Cn + Cn + Cn2 + ... +
0
Cn =
n
⇔ =
⇔ 2 3 n +1 2(n + 1) n + 1 2(n + 1)
⇔ 3n +1 = 243 ⇔ n = 4 05
V y n=4.
ð THI TH ð I H C MÔN TOÁN NĂM 2011-2012
ð S 3
www.VNMATH.com
I. PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 ñi m)
Câu I. (2 ñi m) Cho hàm s y = x3 − 3 x 2 + 2 (C )
1.Kh o sát s bi n thiên và v ñ th (C ) c a hàm s
2.Tìm m ñ ñư ng th ng ñi qua hai ñi m c c tr c a ( C ) ti p xúc v i ñư ng tròn có phương trình
( x − m ) + ( y − m − 1)
2 2
=5
Câu II. (2 ñi m)
3 4
1. Gi i phương trình 2 +
= 2(cot x + 3)
cos x sin 2 x
1 1 1
2. Gi i phương trình + − = log 2 x + 1
log x − 2 4 log 2x −1 4 2
ln ( x + 2 )
Câu III.(1 ñi m) Cho hình ph ng D ñư c gi i h n b i các ñư ng y = , y = 0 , x = 1 và x = e . Tính
x
th tích c a v t th tròn xoay ñư c t o thành khi quay hình ph ng D quanh tr c 0x
Câu IV. (1 ñi m) Cho lăng tr ñ ng ABC. A ' B ' C ' có ñáy ABC là tam giác cân v i AB = AC = a , góc
∠BAC = 1200 , c nh bên BB ' = a . G i I là trung ñi m c a CC ' . Ch ng minh tam giác AB ' I vuông t i A và
tính cosin c a góc gi a hai m t ph ng ( ABC ) và ( AB ' I )
Câu V.(1 ñi m) Cho x, y là các s th c th a mãn x 2 + y 2 − xy = 1 .Tìm GTLN, GTNN c a F = x6 + y6 −2x2 y2 − xy
II. PH N RIÊNG CHO CÁC THÍ SINH (3,0 ñi m) Thí sinh ch ñư c làm m t trong hai ph n
1.Ph n dành cho thí sinh theo chương trình chu n
Câu VI.a (2 ñi m)
1. Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy , tìm to ñ các ñ nh c a tam giác ABC vuông cân, bi t ñ nh C ( 3; −1)
và phương trình c a c nh huy n là 3x − y + 10 = 0
x −1 y −3 z x−5 y z+5
2.Cho m t ph ng (P): 2 x − y + 2 z − 1 = 0 và các ñư ng th ng: d1 : = = ,d : = = Tìm
2 1 −2 2 3 4 2
các ñi m A ∈ d1 , B ∈ d 2 sao cho AB // (P) và AB cách (P) m t kho ng b ng 1.
Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
12. Di n ñàn Ntquang.net
n
2 1
Câu VII.a (1 ñi m) T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x trong khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n cña x + 4 biÕt r»ng
2 x
n lµ sè nguyªn d−¬ng tháa m·n: Cn + 2Cn + 3Cn + L + ( n − 1) Cn + nCn = 64n
1 2 3 n −1 n
2.Ph n dành cho thí sinh theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 ñi m)
1. Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy , cho hình bình hành ABCD có di n tích b ng 4. Bi t A(0;0), B(-1;2) và
giao ñi m I c a hai ñư ng chéo n m trên ñư ng th ng y = x-1. Tìm t a ñ ñ nh C và D.
x−2 y−2 z−3 x −1 y − 2 z −1
2.Cho hai ñư ng th ng d1 và d2 l n lư t có phương trình: d 1 : = = d2 : = = ,
2 1 3 2 −1 4
Vi t phương trình m t ph ng cách ñ u hai ñư ng th ng d1 và d2
Câu VII.b (1 ñi m) Tìm h s c a x 20 trong khai tri n c a bi u th c ( 2 + x5 )n bi t r ng:
3
x
0 1 1 2
C n − C 1 + C n + ... + ( − 1) n
1 n
Cn =
1
n
2 3 n +1 13
ðÁP ÁN
PH N CHUNG
+ T p xác ñ nh D = R
x = 0 0,25ñ
+ S bi n thiên y ' = 3 x 2 − 6 x = 0 ⇔
x = 2
Hàm ñ ng bi n trên các kho ng ( −∞; 0 ) và ( 2; +∞ )
Hàm s ngh ch bi n trên ( 0; 2 )
+ Gi i h n lim y = −∞; lim y = +∞; 0,25
x →−∞ x →+∞
C c tr : Hàm s ñ t c c ñ i t i x = 0 và ycñ = 2
Hàm s ñ t c c ti u t i x = 2 và yct = -2
ði m u n (1;0)
1
B ng bi n thiên (0,25)
Câu I x −∞ 0 2 +∞ 2
2ñ y’ + 0 - 0 +
2 +∞
y -1 1 2
0 3 0,5
−∞ -2
ð th (0,25)
-2
Phương trình ñư ng th ng ñi qua hai ñi m c c tr ∆ : 2 x + y − 2 = 0 0,25
2 Tâm c a ñư ng tròn I (m, m + 1) , bán kính R= 5
0,25
m=2
2m + m + 1 − 2
= 5 ⇔ 3m − 1 = 5 ⇔
m = −4
Theo gi thi t ta có 0,5
5
3
Câu kπ
ði u ki n sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ . 0,25
II 2
Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
13. Di n ñàn Ntquang.net
( )
2ñ 1 2 4
Ta có 3 1 + tan x + − 2 3 = 2 cot x
sin 2 x
2 2 0,5
2 2(sin x + cos x ) 2
⇔ 3tan x + − 3 = 2 cotg x ⇔ 3tan x + 2 tan x − 3 = 0
sin x cos x
π 1 π 0,25
tanx = − 3 ⇔ x = − + kπ tanx = ⇔x= + kπ
3 3 6
1 1 1
Gi i phương trình + − = log 2 x +1
log x − 2 4 log 2x −1 4 2 0,25
ði u ki n x > 2, x ≠ 3 .
(1) ⇔ log 4 (x − 2) + log 4 (2x − 1) − log 4 2 = log 4 (x + 1)
2 x = 0 0,5
( x − 2 )( 2 x − 1) = 2 ( x + 1) ⇔ 2 x 2 − 7 x = 0 ⇔ 7
x =
2
7
ð i chi u ñi u ki n ta có x = 0,25
2
u = ln ( x + 2 ) du =
1 0,5
ln ( x + 2 )2
dx
x+2
G i V là th tich c n tìm. V = π ∫ dx . ð t 1 ⇒
1
x2 dv = x 2 dx v=−1−1
x 2
Câu
e
III 1 1 dx 3 1 1 1
Suy ra V= −π + ln ( x + 2 ) 1 + π ∫
e
= π ln 3 − κ + ln ( e + 2 ) + π ln x e
0,5
1ñ x 2 2x 2 e 2 2
1
1
3 1 1 1
= π [ ln 3 + − + ln ( e + 2 )]
2 2 e 2
Ta có BC = a 3 . Áp d ng ñ nh lí Pitago trong tam giác vuông ACI, ABB’, B’C’I 0.25
5 13
Suy ra AI = a, AB ' = 2a, B ' I = a
2 2
Do ñó AI 2 + AB '2 = B ' I 2 . V y tam giác AB’I vuông t i A 0,25
1 10 2 3 2 A'
Câu + S AB ' I = AI . AB ' = a . S ABC = a
IV 2 4 4
1ñ G i α là góc gi a hai mp. Tam giác ABC là hình chi u B' C'
0,5
vuông góc c a tam giác AB’I suy ra
10 3 3
S A ' BI cos α = S ABC ⇔ cos α = ⇔ cos α = A I
4 4 10
C
B
H c sinh tính ñư c di n tich 2 tam giác (0,25 ñ)
Tính ra cosin ñ oc 0,25
N u h c sinh gi i b ng phương pháp to ñ ñúng cho ñi m tương ng
Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
14. Di n ñàn Ntquang.net
Cho x, y là các s th c th a mãn x + y 2 − xy = 1 .Tìm GTLN, GTNN c a
2
F = x6 + y6 −2x2 y2 − xy .
Ta có F = ( x 2 + y 2 ) − 3x 2 y 2 ( x 2 + y 2 ) − 2 x 2 y 2 − xy = −2 ( xy ) − 2 ( xy ) + 2 xy + 1
3 3 2
ð t xy = t . Ta có f ( t ) = −2t 3 − 2t 2 + 2t + 1
0,25
−1
x 2 + y 2 − xy = 1 ⇔ ( x + y ) − 3 xy = 1 ⇒ xy ≥
2
3
1
x 2 + y 2 − xy = 1 ⇔ ( x − y ) + xy = 1 ⇒ xy ≤ 1 suy ra t ∈ − ;1
2
Câu
V 3
1ñ 1 1
1 t = ∈ − ;1
Ta tìm max, min c a f(t) trên − ;1 f ' ( t ) = −6t 2 − 4t + 2 f ' ( t ) = 0 ⇔ 3 3
3 t = −1 0,25
1 37 −1 5
Ta có f = , f (1) = −1, f =
3 27 3 27
37 1 1 1 1 1 0,25
Suy ra Max f (t ) = khi t = suy ra x = + ,y= −
27 3 2 6 2 6
Minf (t ) = −1 khi t = 1 suy ra x = y = 1 0,25
1.Ph n dành cho thí sinh theo chương trình chu n
Ta có tam giác ABC cuông cân t i C. C
Goi H là trung ñi m c a AB suy ra CH : x + 3 y = 0 0,25
x + 3y = 0 x = −3
To ñ c a H là nghi p c a h ⇔
3 x − y + 10 = 0 y =1
A H B
1 gi s A(t;3t+10) ta có
t = −1 0,25
AH 2 = CH 2 ⇔ ( t + 3) + ( 3t + 9 ) = 40 ⇔
2 2
t = −5
V i t = -1. Suy ra A(−1;7), B(−5; −5) 0,25
Câu V i t = -5. Suy ra B(−1;7), A(−5; −5) 0,25
Va A ∈ d ⇒ A(2t1 + 1, t1 + 3, −2t1 ) B ∈ d 2 ⇒ B(3t2 + 5, 4t2 , 2t2 − 5)
uuu 1
r 0,25
2ñ AB = (3t2 − 2t1 + 4, 4t2 − t1 − 3, 2t2 + 2t1 − 5)
uuu uu
r r
AB.n p = 0 ⇔ 2(3t2 − 2t1 + 4) − 4t2 + t1 + 3 + 2(2t2 + 2t1 − 5) = 0 ⇔ 6t2 + t1 + 1 = 0
4t1 + 2 − t1 − 3 − 4t1 − 1 t1 + 2 t1 = −5
2 AB / /( P) ⇒ d ( A/( P ) ) = = =1 ⇔ 0,25
3 3 t1 = 1
2 8 −11 0,25
V i t1 = −5 ⇒ t2 = ⇒ A(−9; −2;10), B 7; ;
3 3 3
−1 −4 −17 0,25
t1 = 1 ⇒ t2 = ⇒ A(3; 4; −2), B 4; ;
3 3 3
Xét khai tri n (1 + x ) = Cn + Cn x + Cn x 2 + ... + Cn −1 x n −1 + Cn x n
0n 1 2 n n
Câu VIIa 0,25
l y ñ o hàm hai v ta có n (1 + x ) = Cn + 2Cn x + ... + ( n − 1) Cn −1 x n − 2 + nCn x n −1
n −1 1 2 n n
1ñ
Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
15. Di n ñàn Ntquang.net
Thay x=1 suy ra C + 2C + 3Cn + L + ( n − 1) Cn −1 + nCn = n2n −1
1
n
3 2
n
n n
0,25
⇔ 64n = 2n−1 ⇔ 64 = 2n −1 ⇔ n = 7
7 k
1
( ) 1
7 7−k
x + 4 = ∑ C7k x 4
2 x k =0 2 x 0,25
1 7−k k
s h ng ch a x 2 có h s là C7k k v i k tho mãn − =2⇔k =2
2 2 4
1 2 21
Suy ra h s ch a x 2 là C7 = 0,25
4 4
2.Ph n dành cho thí sinh theo chương trình nâng cao
phương trình ñư ng th ng AB: 2x+y=0. g i h là kho ng A
B
cách t I t i AB. AB = 5 0,25
1 2
S ABCD = 4S ABI ⇒ S ABI = 1 . ⇔ AB.h = 1 ⇔ h = I
2 5 D C
G i to ñ di m I là I ( x0 , y0 ) ta có h
2 x0 + y0 2 x = 1, y0 = 0 0,25
= 2 x0 + y0 = 2 0
5 5 ⇔ ⇔ −1 −4
1 y = x −1 y0 = x0 − 1 x0 = 3 , y0 = 3
0 0
Do I là trung ñi m AC và BD nên
V i I(1;0) suy ra C(2;0) và D(3;-2) 0,25
Câu
VIb
−1 −4 −2 −8 1 −14
V i I( ; ) suy ra C ; và D ;
3 3 3 3 3 3
0,25
−2 −8 1 −14
V y có hai c p C, D tho mãn C(2;0) và D(3;-2) ho c C ; và D ;
3 3 3 3
2ñ
Do m t ph ng (P) cách ñ u d1 , d 2 nên (P) song song v i d1 , d 2
→ → uur uuu r
u d 1 = (2;1;3), u d 2 = (2;−1;4 ), ud 1 , ud 2 = ( 7; −2; −4 )
0,25
uu
r uur uuur
ch n n p = ud 1 , ud 2 = ( 7; −2; −4 )
Suy ra phương trình m t ph ng (P) có d ng 7 x − 2 y − 4 z + d = 0
2 Do (P) cách ñ u d1 , d 2 suy ra kho ng cách t (2;2;3) ∈ (d1 ) và (1; 2;1) ∈ d 2 b ng
0,5
nhau.
7.2 − 2.2 − 4.3 + d 7.1 − 2.2 − 4.1 + d 3
Ta có = ⇔ d − 2 = d −1 ⇔ d =
69 69 2
Ta có phương trình m t ph ng (P) 14 x − 4 y − 8 z + 3 = 0 0,25
Ta có (1 − x)n = Cn − C1 x + Cn x 2 − .... + (−1)n Cn x n
0
n
2 n
1
1 0,25
Vì ∫ (1 − x)n dx =
0
n +1
Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
16. Di n ñàn Ntquang.net
1
0 1 1 1 2 1 1
∫ (Cn − Cn x + Cn x − .... + (−1) n Cn x n )dx = Cn − Cn + Cn + ... + (−1)n Cn =
0 1 2 2 n n
Câu VIIb 0,25
0
2 3 n +1 13
1ñ suy ra ⇒ n + 1 = 13 ⇒ n = 12
12 12−k 12
2 2 2
(
x 3
+x ) =(
5 n
x 3
x
+x )
5 12
= ∑ k
C12 .( 3 ) ( x5 ) k = ∑ C12 .212−k .x8k −36
k 0,25
k =0 k =0
S h ng ng v i tho mãn: 8k − 36 = 20 ⇔ k = 7
⇒ H s c a x 20 là: C12 .25 = 25344
7 0,25
ð THI TH ð I H C MÔN TOÁN NĂM 2011-2012
ð S 4
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 ñi m)
Câu I (2 ñi m) Cho hàm s y = x3 – 3x2+2 (1)
1. Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s (1).
2. Tìm ñi m M thu c ñư ng th ng y =3x-2 sao t ng kho ng cách t M t i hai ñi m c c tr nh nh t.
Câu II (2 ñi m)
1. Gi i phương trình cos2x + 2sin x − 1 − 2sin x cos 2x = 0
2. Gi i b t phương trình ( 4x − 3) x 2 − 3x + 4 ≥ 8x − 6
π
3
cotx
Câu III ( 1ñi m)Tính tích phân I = ∫ dx
π
π
s inx.sin x +
6
4
Câu IV (1 ñi m)
Cho hình chóp S.ABC có m t ñáy (ABC) là tam giác ñ u c nh a. Chân ñư ng vuông góc h t S xu ng
m t ph ng (ABC) là m t ñi m thu c BC. Tính kho ng cách gi a hai ñư ng th ng BC và SA bi t SA=a
và SA t o v i m t ph ng ñáy m t góc b ng 300.
Câu V (1 ñi m) Cho a,b, c dương và a2+b2+c2=3. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
17. Di n ñàn Ntquang.net
a3 b3 c3
P= + +
b2 + 3 c2 + 3 a2 + 3
PH N RIÊNG (3 ñi m)
A. Theo chương trình chu n
Câu VI.a. (2 ñi m)
1. Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy, cho ñư ng tròn (C) : x 2 + y 2 + 2x − 8y − 8 = 0 . Vi t phương trình
ñư ng th ng song song v i ñư ng th ng d: 3x+y-2=0 và c t ñư ng tròn theo m t dây cung có ñ dài
b ng 6.
2. Cho ba ñi m A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1). Tìm t a ñ ñi m D thu c ñư ng th ng AB sao cho ñ dài
ño n th ng CD nh nh t.
Câu VII.a (1 ñi m)
Tìm s ph c z tho mãn : z − 2 + i = 2 . Bi t ph n o nh hơn ph n th c 3 ñơn v .
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 ñi m)
1. Tính giá tr bi u th c: A = 4C100 + 8C100 + 12C100 + ... + 200C100 .
2 4 6 100
2. Cho hai ñư ng th ng có phương trình:
x = 3 + t
x−2 z+3
d1 : = y +1 = d 2 : y = 7 − 2t
3 2 z = 1− t
Vi t phương trình ñư ng th ng c t d1 và d2 ñ ng th i ñi qua ñi m M(3;10;1).
Câu VII.b (1 ñi m)
Gi i phương trình sau trên t p ph c: z2+3(1+i)z-6-13i=0
-------------------H t-----------------
ðÁP ÁN ð THI TH ð I H C L N II, n¨m 2012
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 ñi m)
Câu N i dung ði m
T p xác ñ nh: D=R
lim ( x 3 − 3 x 2 + 2 ) = −∞ lim ( x 3 − 3x 2 + 2 ) = +∞
x →−∞ x →+∞
x = 0
y’=3x2-6x=0 ⇔
x = 2 0,25 ñ
B ng bi n thiên:
x -∞ 0 2 +∞
y’ + 0 - 0 +
0,25 ñ
I 2 +∞
1 y
-∞ -2
Hàm s ñ ng bi n trên kho ng: (-
∞;0) và (2; + ∞)
Hàm s ngh ch bi n trên kho ng
0,5 ñ
Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
18. Di n ñàn Ntquang.net
(0;2)
fCð=f(0)=2; fCT=f(2)=-2
y’’=6x-6=0<=>x=1
khi x=1=>y=0
x=3=>y=2
x=-1=>y=-2
ð th hàm s nh n ñi m I(1;0) là tâm ñ i x ng.
G i t a ñ ñi m c c ñ i là A(0;2), ñi m c c ti u B(2;-2)
Xét bi u th c P=3x-y-2
Thay t a ñ ñi m A(0;2)=>P=-4<0, thay t a ñ ñi m B(2;-2)=>P=6>0 0,25 ñ
V y 2 ñi m c c ñ i và c c ti u n m v hai phía c a ñư ng th ng y=3x-2, ñ
MA+MB nh nh t => 3 ñi m A, M, B th ng hàng 0,25 ñ
2 Phương trình ñư ng th ng AB: y=-2x+2 0,25 ñ
T a ñ ñi m M là nghi m c a h :
4
y = 3x − 2 x = 5
4 2 0,25 ñ
⇔ => M ;
y = −2 x + 2 y = 2 5 5
5
Gi i phương trình: cos2x + 2sin x − 1 − 2sin x cos 2x = 0 (1)
(1) ⇔ cos2 x (1 − 2sin x ) − (1 − 2sin x ) = 0
0,5 ñ
⇔ ( cos2 x − 1)(1 − 2sin x ) = 0
1 Khi cos2x=1<=> x = kπ , k ∈ Z
1 π 5π 0,5 ñ
Khi s inx = ⇔ x = + k 2π ho c x = + k 2π , k ∈ Z
2 6 6
Gi i b t phương trình: ( 4x − 3) x 2 − 3x + 4 ≥ 8x − 6 (1)
II (1) ⇔ ( 4 x − 3) ( )
x 2 − 3x + 4 − 2 ≥ 0 0,25 ñ
Ta có: 4x-3=0<=>x=3/4 0,25 ñ
x 2 − 3 x + 4 − 2 =0<=>x=0;x=3
2 B ng xét d u:
x -∞ 0 ¾ 2 +∞
4x-3 - - 0 + + 0,25 ñ
x 2 − 3x + 4 − 2 + 0 - - 0 +
V trái - 0 + 0 - 0 +
3
V y b t phương trình có nghi m: x ∈ 0; ∪ [3; +∞ ) 0,25 ñ
4
Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
19. Di n ñàn Ntquang.net
Tính
π π
3 3
cot x cot x 0,25 ñ
I=∫ dx = 2 ∫ dx
π π s inx ( s inx + cos x )
π
sin x sin x +
6
4 6
π
3
cot x
= 2∫ dx
π s in x (1 + cot x )
2
III 6
0,25 ñ
1
ð t 1+cotx=t ⇒ dx = −dt
sin 2 x
π π 3 +1 0,25 ñ
Khi x = ⇔ t = 1 + 3; x = ⇔t=
6 3 3
3 +1 0,25 ñ
t −1 3 +1 2
V y I= 2 ∫ dt = 2 ( t − ln t ) 3 +1 = 2 − ln 3
3 +1
t 3 3
3
G i chân ñư ng vuông góc h t S xu ng BC là H.
Xét ∆SHA(vuông t i H)
a 3 S 0,25 ñ
AH = SA cos 300 =
2
Mà ∆ABC ñ u c nh a, mà c nh
a 3
AH = K
2
=> H là trung ñi m c a c nh BC
IV => AH ⊥ BC, mà SH ⊥ BC => BC⊥(SAH) A C
0,25 ñ
T H h ñư ng vuông góc xu ng SA t i K
=> HK là kho ng cách gi a BC và SA
H
AH a 3
=> HK = AH sin 300 = = 0,25 ñ
2 4
B
V y kho ng cách gi a hai ñư ng th ng BC
a 3
và SA b ng
4 0,25 ñ
Ta có:
a3 a3 b2 + 3 a 6 3a 2
+ + ≥ 33 = (1)
2 b2 + 3 2 b2 + 3 16 64 4
b3 b3 c2 + 3 c 6 3c 2 0,5 ñ
+ + ≥ 33 = (2)
2 c2 + 3 2 c2 + 3 16 64 4
V
c3 a2 + 3 c3 c 6 3c 2
+ + ≥3 3 = (3)
2 a2 + 3 2 a2 + 3 16 64 4
L y (1)+(2)+(3) ta ñư c:
0,25 ñ
a2 + b2 + c2 + 9 3 2
P+ ≥ ( a + b 2 + c 2 ) (4)
16 4
Vì a2+b2+c2=3
Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
20. Di n ñàn Ntquang.net
3 3 0,25 ñ
T (4) ⇔ P ≥ v y giá tr nh nh t P = khi a=b=c=1.
2 2
PH N RIÊNG (3 ñi m)
A. Theo chương trình chu n
ðư ng tròn (C) có tâm I(-1;4), bán kính R=5 0,25 ñ
G i phương trình ñư ng th ng c n tìm là ∆,
=> ∆ : 3x+y+c=0, c≠2 (vì // v i ñư ng th ng 3x+y-2=0)
Vì ñư ng th ng c t ñư ng tròn theo m t dây cung có ñ dài b ng 6=> kho ng 0,25 ñ
cách t tâm I ñ n ∆ b ng 5 −3 = 4 2 2
1
−3 + 4 + c c = 4 10 − 1
⇒ d ( I, ∆) = =4⇔ (th a mãn c≠2)
32 + 1 0,25 ñ
c = −4 10 − 1
V y phương trình ñư ng tròn c n tìm là: 3x + y + 4 10 − 1 = 0 ho c 0,25 ñ
3x + y − 4 10 − 1 = 0 .
uuu
r
VI.a Ta có AB = ( −1; −4; −3)
x = 1− t
Phương trình ñư ng th ng AB: y = 5 − 4t 0,25 ñ
z = 4 − 3t
2 ð ñ dài ño n CD ng n nh t=> D là hình chi u vuông góc c a C trên c nh 0,25 ñ
uuu r
AB, g i t a ñ ñi m D(1-a;5-4a;4-3a) ⇒ DC = (a; 4a − 3;3a − 3)
uuu uuu
r r 21 0,25 ñ
Vì AB ⊥ DC =>-a-16a+12-9a+9=0<=> a =
26
5 49 41 0,25 ñ
T a ñ ñi m D ; ;
26 26 26
G i s ph c z=a+bi 0,25 ñ
a − 2 + ( b + 1) i = 2
( a − 2 ) + ( b + 1) = 4
2 2
Theo bài ra ta có: ⇔ 0,25 ñ
b = a − 3
b = a − 3
VII.a
a = 2 − 2
a = 2 + 2
⇔ hoac 0,25 ñ
b = −1 − 2
b = −1 + 2
V y s ph c c n tìm là: z= 2 − 2 +( −1 − 2 )i; z= z= 2 + 2 +( −1 + 2 )i. 0,25 ñ
A. Theo chương trình nâng cao
Ta có: (1 + x ) = C100 + C100 x + C100 x 2 + ... + C100 x100
100 0 1 2 100
(1)
0,25 ñ
(1 − x ) = C100 − C100 x + C100 x 2 − C100 x 3 + ... + C100 x100 (2)
100
0 1 2 3 100
L y (1)+(2) ta ñư c:
0,25 ñ
(1 + x )+ (1 − x ) = 2C100 + 2C100 x 2 + 2C100 x 4 + ... + 2C100 x100
100 0100 2 4 100
1
L y ñ o hàm hai v theo n x ta ñư c 0,25 ñ
VI.b
100 (1 + x ) − 100 (1 − x ) = 4C x + 8C x + ... + 200C x
99 99 2 4 3 100 99
100 100 100
Thay x=1 vào
0,25 ñ
=> A = 100.299 = 4C100 + 8C100 + ... + 200C100
2 4 100
G i ñư ng th ng c n tìm là d và ñư ng th ng d c t hai ñư ng th ng d1 và d2
2 l n lư t t i ñi m A(2+3a;-1+a;-3+2a) và B(3+b;7-2b;1-b). 0,25 ñ
uuu
r uuur
Do ñư ng th ng d ñi qua M(3;10;1)=> MA = k MB
Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
