Slide2

CHƢƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN

1.Giới thiệu
2. Biến ngẫu nhiên rời rạc
3. Biến ngẫu nhiên liên tục
4. Kỳ vọng toán và phương sai
5. Một số quy luật phân phối đặc biệt
6. Quy luật phân phối lũy thừa
7. Quy luật phân phối chuẩn

1. GIỚI THIỆU
Biến ngẫu nhiên là một biến số có thể nhận
giá trị thực của nó từ một phép thử ngẫu nhiên

Ví dụ: Tung đồng xu 2 lần, gọi X là số lần nhận
mặt ngửa. Các giá trị có thể đạt được của X là
{0,1,2} với các xác suất tương ứng là
P(X=0) = ¼ , P(X=1) = ½ , P(X=2) = ¼
Những xác suất trên như là sự phân phối của
biến ngẫu nhiên X

1. GIỚI THIỆU
Ví dụ: Tung con xúc sắc. Gọi X là số chấm thu
được.
Tập giá trị của X là {1,2,3,4,5,6}
Ví dụ: Tung con xúc sắc. Gọi X là số lần tung cho
đến khi được 6 chấm
Tập giá trị của X là:{1,2,3,4,…}
Ví dụ: X là tuổi thọ của bóng đèn
Tập giá trị của X là :{0,∞}

2. BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

Định nghĩa:
Nếu tập hợp các giá trị của biến ngẫu nhiên X có
thể đếm được thì ta gọi X là biến ngẫu nhiên rời rạc

Định nghĩa:
X là 1 một biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị của
{x1 ,x2 ,…}
p(xk) = P(X=xk), k=1,2,….
gọi là hàm khối xác suất ( kí hiệu là pmf ) của X


Ví dụ:
Gọi X là số con gái trong 1 gia
đình có 3 đứa con.
Tập hợp các giá trị của X là
{0,1,2,3}
Các xác suất tương ứng của X
là:
p(0)= 1/8 & p(1)= 3/8 &
p(2)= 3/8 & p(3)= 1/8

Đồ thị hàm khối Xác suất
0.4

0.3

0.2
Series 1
0.1

0
0 1 2 3

X 0 1 2 3
P 1/8 3/8 3/8 1/8
Bảng phân phối xác xuất cho biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ: Tung con xúc sắc. Gọi X là số chấm thu
được. Tập giá trị của X là {1,2,3,4,5,6}

Hàm khối xác suất
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08 Series 1
0.06
0.04
0.02
0
1 2 3 4 5 6


Hàm khối xác suất
0.2
0.15
0.1
P(X=k)
0.05
0
1 2 3 4 5 6 7






Ví dụ : X là số con gái trong 1 gia đình có 3 con. Ta
có tập hợp các giá trị của X :{0,1,2,3},tìm hàm
phân phối xác suất F(k) cho các giá trị trên





1

7/8

1/2

1/8

0 1 2 3 4

Đồ thị hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc


Ví dụ: Gọi X là số lần tung con xúc sắc đồng
chất cho đến khi nhận được 6 chấm. Tìm hàm
phân bố xác suất- cdf- của X

3. BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC

Định nghĩa
Nếu hàm phân bố xác suất F(x) là hàm liên tục, thì
X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục.

3 BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC



Định nghĩa:
Hàm số f(x) = F’(x) gọi là hàm mật độ xác suất
(pdf) của biến ngẫu nhiên X.




a b





Mệnh đề:
Nếu X phân phối đều trên đoạn [0,1] và xác định
biến ngẫu nhiên Y = a + (b-a).X thì Y phân phối đều
trên đoạn [a,b]

4. KỲ VỌNG TOÁN VÀ PHƢƠNG SAI




Ví dụ: 1 bàn Roullette của Mỹ gồm các số từ 1 đến 36
và thêm số 0 và 00. Giả sử bạn đặt $1 vào số lẻ. Nếu
máy chạy vào số lẻ bạn sẽ nhận thưởng $1, nếu không
bạn mất $1 đã đặt. Vậy giá trị kỳ vọng toán của số tiền
bạn đạt được là bao nhiêu ?


Ví dụ: X phân phối đều trên đoạn [a,b].Tìm E[X]


Bổ đề: Giả sử X là 1 biến ngẫu nhiên , với a, b là 2
số thực. Ta có: E[aX+b]= a. E[X] +b


Kỳ vọng toán của hàm số của biến ngẫu nhiên
Ví dụ :Giả sử X phân phối đều trên đoạn [0,2]. Tính
giá trị kỳ vọng của diện tích hình vuông có độ dài
cạnh là X.

f
1/2

X

0
2


Ví dụ :X là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên
đoạn [0,1] và Y= [6X] +1. Tìm E[Y]


Phƣơng sai của biến ngẫu nhiên
Trong thực tế nhiều khi chỉ xác định kỳ vọng toán
của biến ngẫu nhiên thì chưa đủ để hiểu rõ biến
ngẫu nhiên đó.
Ta còn phải xác mức độ phân tán của các giá trị
của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình
của nó.
Để làm điều đó, người ta tìm trung bình của các
bình phương các sai lệch. Đó chính là phƣơng sai
của biến ngẫu nhiên.




Mean

0


Ví dụ :Chỉ số IQ của 1 người bất kì có thể coi là 1
biến ngẫu nhiên X có giá trị kỳ vọng là 100 và độ
lệch chuẩn là 15. Chỉ số IQ đo được cao nhất là 228
thuộc về Kasparov. Tính xác suất gặp 1 cá nhân
khác có chỉ số IQ ít nhất là bằng của Kasparov


Mệnh đề: X là 1 biến ngẫu nhiên bất kì, và a,b là
các số thực. Ta có: Var [a.X+b] = a2.Var [X]

Ví dụ:
Cho X phân phối đều trên đoạn [0,2], và A= X2 .
Tìm Var[A]

5. MỘT SỐ QUY LUẬT
PHÂN PHỐI ĐẶC BIỆT




Quy luật phân phối nhị thức - B(n,p)
Thực hiện n phép thử độc lập, trong mỗi phép thử
có 2 trường hợp, biến cố A xuất hiện hoặc biến cố A
không xuất hiện. Xác suất biến cố A xuất hiện trong
mỗi phép thử là p. Gọi X là số lần biến cố A xuất
hiện. Ta có:
PX = Cnx px (1-p)n-x với x=0,1,….,n


Định nghĩa
Nếu X có hàm xác suất là
p(k)= Cnk pk (1-p)n-k , k= 0,1,…n
thì ta nói X phân phối theo quy luật nhị thức với
tham số n và p, và ta viết X ~ B(n,p)


Mệnh đề:
Nếu X~ B(n,p). Ta có:
E[X]= n.p & Var[X]= n.p.(1-p)


Ví dụ : Một xưởng có 5 máy hoạt động. Xác suất
để một ngày mỗi máy bị hỏng đều bằng 0.1. Tìm
xác suất để:
a. Trong một ngày có 2 máy hỏng
b. Trong một ngày có không quá 2 máy hỏng


Quy luật phân phối hình học
Tiến hành n phép thử độc lập, xác suất để biến cố A
xảy ra là p. Gọi X là số lần thử cho tới khi biến cố A
xảy ra lần đầu, X sẽ phân phối theo quy luật hình
học. {X=k}. Ta có
PX = p. (1-p) k-1


Định nghĩa
Nếu hàm xác suất của X có dạng
p(k) = p.(1-p)k-1 , k=1,2….
ta nói X phân phối theo quy luật hình học với tham
số p, ta viết X~ geom (p)


Ví dụ Một máy dệt có 5000 ống sợi, xác suất để
trong một phút có 1 sợi bị đứt bừng 0.0002. Tìm:
a, Số ống bị đứt trung bình trong 1 phút
b, Xác suất để trong 1 phút có không quá 2
ống bị đứt

Ví dụ: Số cơn lốc xoáy nhiệt đới ở bờ biển Thái
Bình Dương, nước Mỹ tuân theo luật phân phối
Poisson với kỳ vọng toán la 15. Tính xác suất để
trong năm có nhiều nhất là 5 cơn lốc xoáy

Quy luật siêu bội
Hypergeom(N,r,n)
Trong túi có N vật thể
trong đó có r vật thể
đặc biệt. Ta rút ngẫu
nhiên không hoàn lại
n vật thể trong túi.
Tính xác suất rút được
chính xác k vật thể đặc
biệt.



Ví dụ Trong 1 cửa hàng có 100 bóng đèn, trong đó
có lẫn 5 bóng hỏng. Một người khách chọn ngẫu
nhiên 2 bóng. Tìm xác suất để người đó chọn được
cả 2 bóng tốt.

7 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN



7. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN

7. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN



7 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN

Ví dụ :Chỉ số IQ của 1 người được coi như là biến
ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật chuẩn với giá
trị kỳ vọng 100 và độ lệch chuẩn 15. Tìm
a. Xác suất để 1 người có IQ lớn hơn 140
b. Xác suất để 1 người có IQ giữa 120 và 130
c. x sao cho tỉ lệ IQ lớn hơn x là 99%

ỨNG DỤNG VỚI EXCEL

Phân phối nhị thức:
Bánh xoay Roullete Mỹ, quả bi
được thả vào đĩa gồm 18 đỏ, 18
đen và 2 ô xanh. Tung bi 25 lần
và tìm xác suất của các biến cố
sau

a. Rơi vào ô xanh 2 lần hoặc nhiều hơn
b. Không rơi vào ô xanh
c. Rơi vào ô đen15 lần hoặc hơn thế
d. Rơi vào ô đỏ 10 lần hoặc ít hơn thế

8. ỨNG DỤNG VỚI EXCEL

Phân phối nhị thức:
Bánh xoay Roullete Mỹ, quả bi
được thả vào đĩa gồm 18 đỏ, 18
đen và 2 ô xanh. Tung bi 25 lần
và tìm xác suất của các biến cố
sau


n 25 P(X<=1) 0.618256 BINOMDIST(1,C13,C14,TRUE)
pgreen 0.052632 p(x>=2) 0.381744
pred 0.473684
pblack 0.473684 p(x=0) 0.258805 BINOMDIST(0,C13,C14,FALS )
E

p(x<=14) 0.856449 BINOMDIST(14,C13,C14,TRUE)
p(x>=15) 0.143551

p(x<=10) 0.296796 BINOMDIST(10,25,0.4736,TRUE)

Phân phối Poisson
Một thày giáo xác suất thống kê nhận cuốn Giáo
trình mới xuất bản. Sau một hồi phân tích ông ta kết
luận rằng số lỗi tuân theo luật phân phối Poisson với
trung bình là 1.5 lỗi trên 100 trang.
a. Ông ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 trang, tính xác
suất để không có lỗi nào
b. Nhận một cuốn sách đầy đủ với 400 trang. Tính
xác suất để không lỗi nào
c. Với cuốn sách 400 trang, tính xác suất để có 5 lỗi
hoặc ít hơn

Phân phối Poisson
a. 100 trang, Xác suất để không lỗi.
b. 400 trang. Xác suất để không lỗi
c. 400 trang. Xác suất để có 5 lỗi hoặc ít hơn
Poisson x Lamda
0 1.5 P(x=0) 0.22313 POIS ON(0,1.5,FALS )
S E
0 1.5 0.22313 POISSON(0,1.5,TRUE)

0 6 P(x=0) 0.002479 POISSON(0,1.5,TRUE)
1 P(x=1) 0.014873
2 0.044618
3 0.089235
4 0.133853
5 0.160623
SUM P(x<=5) 0.44568

P(X<=5) 0.44568 POIS ON(5,6,TRUE
S )

Phân phối Chuẩn

Ở một cửa hàng bán xăng, nhu cầu của khách hàng
trong một ngày tuân theo luật phân phối chuẩn với
kỳ vọng toán là 1,000 gallons và độ lệch chuẩn là
100 gallons. Người quản lý quyết định tích 1,100
gallons xăng trong kho để bán theo ngày tới. Tính
xác suất để không thiếu xăng.


NORMDIST
Normal X 1100P(X<=1100) 0.84134475
(1100,1000,100, TRUE)

Miu 1000

0.84134474 NORMSDIST(1)
Sigma 100P(Z<=1) 6

Slide2

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (12)

Similar to Slide2

Similar to Slide2 (20)

Slide2