Chúc nn học tốt

1. Chương 3. Mẫu Ngẫu Nhiên Và Bài Toán Ước Lượng
1. Tổng Thể Nghiên Cứu
2. Cơ Sở Lý Thuyết Mẫu
3. Mẫu Ngẫu Nhiên
4. Thống Kê Và Các Đặc Trưng Ngẫu Nhiên
5. Các Phân Phối Xác Suất Của Các Đặc Trưng Mẫu
6. Bài Toán Ước Lượng

2. Tổng Thể Nghiên Cứu
Tổng thể nghiên cứu là tập hợp gồm các phần tử đồng nhất
theo một dấu hiệu nghiên cứu định tính hay định lượng.
1. Định nghĩa.
 Nghiên cứu tập hợp học sinh của 1 lớp: định tính: học
lực; định lượng: chiều cao/ cân nặng.
 Nghiên cứu tập hợp các khách hàng của 1 doanh nghiệp
theo dấu hiệu định tính như: mức độ hài lòng về sản
phẩm, hay định lượng như: nhu cầu về số lượng sản phẩm.
Ví dụ.

3. 2. Các phương pháp mô tả tổng thể
Tổng Thể Nghiên Cứu
 Giả sử trong tổng thể, dấu hiệu nghiên cứu X nhận các
giá trị x1, x2,… xn với các tần số tương ứng N1, N2,… Nn; (Ni
là số phần tử của tổng thể có chung giá trị xi ).
n
i
i 1
N N

  số phần tử của tổng thể hay kích thước tổng thể.
a) Bảng phân phối tần số của tổng thể.
X x1 x2 … xn
Tần số N1 N2 … Nn
Tần số tích lũy của giá trị xi:
j i
i j
x x
w N

 

4. b. Bảng phân phối tần suất.
Tổng Thể Nghiên Cứu
i
i
N
p
N
Ñaët 
X x1 x2 … xn
Tần suất p1 p2 … pn
n
i i
i 1
trong p 1; 0 p 1
ñoù

  

Tần suất tích lũy của giá trị xi:
j i
j
i
x x
N
F(x )
N

 

5. Nhận xét: Việc mô tả dấu hiệu X trên một tổng thể bằng
các phương pháp trên cho phép chúng ta có thể coi dấu
hiệu X như 1 biến ngẫu nhiên.
Mặc dù kết quả thi đã có (tất nhiên) nhưng dựa trên số
liệu thống kê, điểm của một sinh viên A nào đó được coi
như 1 biến ngẫu nhiên
Ví dụ. Điểm thi của sinh viên một trường:
X 0 1 …
P p0 p1 …
Tổng Thể Nghiên Cứu

6. 3. Các tham số đặc trưng tổng thể.
Tổng Thể Nghiên Cứu
a. Trung bình tổng thể: Là trung bình số học của các giá trị
của dấu hiệu trong tổng thể (với các ký hiệu ở phần 2), kí
hiệu là m .
n n
i i i i
i 1 i 1
1 1
m x .N x .p
N N
 
 
 

7. n n
2 2 2
i
i i i
i 1 i 1
n n
2 2 2
i i i i
i 1 i 1
1 N
N (x m) (x m)
N N
1
p (x m) N x m
N
 
 
    
 
   
 
 
 
 
b. Phương sai tổng thể: Là trung bình số học của bình
phương các sai lệch giữa các giá trị của các dấu hiệu
trong tổng thể và trung bình tổng thể, kí hiệu là σ2
Tổng Thể Nghiên Cứu

8. Tổng Thể Nghiên Cứu
Ví dụ. Tổng thể nghiên cứu là một xí nghiêp có N=40
công nhân với dấu hiệu nghiên cứu là năng suất lao
động (sản phẩm/ đơn vị thời gian). Số liệu của tổng thể
nghiên cứu cho trong bảng sau:
a) Tìm năng suất lao động trung bình của mỗi công
nhân.
b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của năng suất lao
động của công nhân xí nghiệp đó.

9. Năng suất lao động Số công nhân Ni Nixi
50 3 150
55 5 275
60 10 600
65 12 780
70 7 490
75 3 225
N=40
Tổng Thể Nghiên Cứu
i i
N x 2520



10. n
i i
i 1
1 2520
a) m x .N 63
N 40

  

n
2 2 2 2
i i
i 1
1 160500
b) N x m 63 43,5
N 40

     

Tổng Thể Nghiên Cứu
6,6
  

11. Cơ Sở Lý Thuyết Mẫu
Để tìm các tham số đặc trưng của tổng thể, ta có thể dùng
phương pháp điều tra toàn bộ, tức là thống kê toàn bộ tổng
thể theo các dấu hiệu rồi phân tích từng phần tử của nó.
Ví dụ.
 Tổng điều tra dân số của 1 nước: Tuổi tác, trình độ văn hóa.
 Kiểm tra chất lượng sản phẩm của 1 dây chuyền sản xuất.

12. Cơ Sở Lý Thuyết Mẫu
Tuy nhiên phương pháp này rất ít được sử dụng trong
thực tế do:
 Kích thước tổng thể quá lớn gây ra:
 Tốn kém về vật chất và thời gian
 Có thể tính trùng hoặc bỏ sót
 Có sự sai sót trong quá trình điều tra hạn chế độ chính xác.
 Có trường hợp các đơn vị điều tra bị phá hủy ngay trong quá
trình điều tra (kiểm tra đồ hộp - bật nắp)  nghiên cứu toàn bộ
sẽ vô nghĩa.
 Trong nhiều trường hợp không thể có được danh sách tổng thể
(kiểm tra tất cả những người nghiện ma túy hoặc phạm tội…).

13. Cơ Sở Lý Thuyết Mẫu
 Phương pháp chọn mẫu (rút ra mẫu kích thước n)
 Lấy lần lượt từng phần tử vào mẫu.
 Lấy phần tử nào đưa vào mẫu hoàn toàn ngẫu nhiên.
 Các phần tử được lấy vào mẫu theo phương thức hoàn lại.

14. Mẫu Ngẫu Nhiên
 Gieo con xúc xắc 3 lần và gọi Xi là số chấm xuất hiện ở lần
gieo thứ i (i = 1,2,3). Ta có 3 biến ngẫu nhiên X1, X2, X3 độc
lập, cùng phân phối xác suất với X. Ta có mẫu ngẫu nhiên
kích thước n = 3.
1. Ví dụ.
 Gọi X là số chấm thu được khi gieo một xúc xắc  X là
biến ngẫu nhiên với bảng phân phối xác suất
W = (X1, X2, X3)
X 1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

15. Mẫu Ngẫu Nhiên
2. Định nghĩa.
Mẫu ngẫu nhiên kích thước n là tập hợp của n biến ngẫu
nhiên độc lập X1, X2,…, Xn được thành lập từ biến ngẫu nhiên
X trong tổng thể nghiên cứu và có cùng quy luật phân phối
xác suất với X.
 Ký hiệu mẫu ngẫu nhiên: W = (X1, X2, …, Xn).
 Nếu tiến hành 1 phép thử đối với mẫu ngẫu nhiên, ta thu
được mẫu cụ thể:
w = (x1, x2,… xn).

16. Mẫu Ngẫu Nhiên
a. Bảng phân phối thực nghiệm.
xi x1 x2 … xk
ni n1 n2 … nk
+ Bảng phân phối tần suất thực nghiệm
xi x1 x2 … xk
fi f1 f2 … fk
3. Các trình bày một mẫu cụ thể
+ Bảng phân phối tần số thực nghiệm.
Ví dụ. Để điều tra thời gian đợi chờ phục vụ của khách hàng tại một
ngân hàng (đơn vị: phút) người ta chọn ngẫu nhiên 10 người, kết
quả thu được như sau: 9, 8, 10, 10, 12, 6, 11, 10, 12, 8
xi 6 8 9 10 11 12
ni 1 2 1 3 1 2
xi 6 8 9 10 11 12
fi 1/10 2/10 1/10 3/10 1/10 2/10
i
i
n
f
n


17. Mẫu Ngẫu Nhiên
Khi kích thước mẫu lớn, các giá trị của mẫu khá gần nhau
người ta chia các giá trị mẫu thành các lớp và lập bảng
phân phối thực nghiệm ghép lớp
Ví dụ. Phân phối thực nghiệm tỷ lệ (%) lãi suất của 49 cửa
hàng Lớp Tần số Tần suất
0 – 10 13 0,265
10 – 20 16 0,327
20 – 30 13 0,265
30 – 40 2 0,041
40 – 50 3 0,061
50 – 60 2 0,041
Tổng 49 1.00

18. Mẫu Ngẫu Nhiên
b. Các biểu đồ
Người ta dùng các đồ thị để mô tả số liệu mẫu nhằm cho
những thông tin sơ bộ ban đầu về đám đông

19. Thống Kê Và Đặc Trưng Mẫu Ngẫu Nhiên
1. Định nghĩa.
 Cho mẫu ngẫu nhiên W = (X1, X2, …, Xn). Mỗi một cách
tổng hợp mẫu ngẫu nhiên dưới dạng một hàm nào đó của
các biến ngẫu nhiên X1, …, Xn được gọi là một thống kê.
Ký hiệu: G = f(X1,…, Xn).
 Chú ý: Thống kê G là một hàm của các biến ngẫu nhiên
nên G cũng là một biến ngẫu nhiên và tuân theo một quy
luật phân phối xác suất nhất định và có các tham số đặc
trưng E(G), D(G)…
 Khi mẫu ngẫu nhiên nhận giá trị cụ thể w = (x1, …, xn) thì
thống kê G cũng nhận giá trị cụ thể g = f(x1…, xn).

20. Thống Kê Và Đặc Trưng Mẫu Ngẫu Nhiên
2. Một số thống kê đặc trưng mẫu ngẫu nhiên.
Cho mẫu ngẫu nhiên: W = (X1, X2,…, Xn).
a. Trung bình mẫu: là trung bình số học của các giá trị mẫu
 
n
i
i=1
1
X X
n
 Với mẫu ngẫu nhiên, trung bình mẫu là một biến ngẫu nhiên.
 Khi mẫu ngẫu nhiên nhận một giá trị cụ thể w = (x1, x2,…, xn)
thì trung bình mẫu cũng nhận một giá trị xác định được tính
bằng công thức:
 
n
i
i=1
1
x x
n

k
i i
i=1
1
x = n x
n

21. Thống Kê Và Đặc Trưng Mẫu Ngẫu Nhiên
Nếu BNN gốc X có kỳ vọng toán E(X) = m; phương sai
D(X) = σ2 thì ഥ
X có
Ý nghĩa: Trung bình mẫu phản ánh giá trị trung tâm của
các giá trị của mẫu.
2
; ( )
 
E(X) m D X
n
σ
Tính chất:

22. Thống Kê Và Đặc Trưng Mẫu Ngẫu Nhiên
Khi mẫu ngẫu nhiên nhận một giá trị cụ thể w = (x1, x2,…, xn)
thì phương sai mẫu cũng nhận giá trị xác định bằng:
b. Phương sai mẫu :
 
 

n 2
2
i
i=1
1
S X X
n
2


2 n 1
E(S )
n
σ
 
ˆ  

n
2
2
i
i=1
1
s x x
n

23. Thống Kê Và Đặc Trưng Mẫu Ngẫu Nhiên
 Phương sai mẫu hiệu chỉnh
   
   
 
   
 
n n
2 2
2 2
i i
i=1 i=1
1 1
S X X X nX
n 1 n 1
2

2
E(S ) σ
Trong thực tế ta dùng phương sai mẫu hiệu chỉnh.
Quy ước: Khi làm bài tập gọi là phương sai mẫu.
Khi mẫu ngẫu nhiên nhận một giá trị cụ thể w = (x1, x2,…, xn)
thì phương sai mẫu hiệu chỉnh cũng nhận giá trị cụ thể bằng:
 
2 2
;
    
 
 
n n
2 2 2 2
i i
i=1 i=1
1 n 1
s (x x) x (x) x x
n 1 n 1 n

24. Thống Kê Và Đặc Trưng Mẫu Ngẫu Nhiên
c. Độ lệch chuẩn mẫu:
  


n
2 2
i
i=1
1
S S (X X)
n 1
Xét mẫu ngẫu nhiên kích thước n, trong đó có m phần tử
mang “dấu hiệu nghiên cứu”. Khi đó tần suất (kí hiệu là f)
được xác định bởi
Chú ý: Tần suất là trường hợp đặc biệt của trung bình mẫu
khi dấu hiệu nghiên cứu chỉ nhận hai giá trị 0 và 1.
d. Tần suất mẫu

m
f
n

25. Thống Kê Và Đặc Trưng Mẫu Ngẫu Nhiên
X là số lần xuất hiện “dấu hiệu nghiên cứu” trong mẫu kích
thước n, tức là số lần xuất hiện biến cố “dấu hiệu nghiên
cứu” trong n phép thử độc lập nên X là BNN phân phối theo
quy luật nhị thức với E(X) = np; D(X) = np(1-p). (xác suất để
mỗi lần xuất hiện biến cố “dấu hiệu nghiên cứu” là p).
 
 
 
  
 
 

 
   
 
 
2
X 1
E f E E(X) p
n n
X 1 p(1 p)
D f D np(1 p)
n n
n
Do đó:

26. Xác định các thống kê đặc trưng mẫu.
Thống Kê Và Đặc Trưng Mẫu Ngẫu Nhiên
Năng suất 30 33 34 36 40
Số điểm 15 20 41 18 6
Ví dụ. Thu hoạch ngẫu nhiên 100 điểm trồng lúa của một
vùng thu được bảng số liệu về năng suất như sau:

27. Thống Kê Và Đặc Trưng Mẫu Ngẫu Nhiên
Gọi X là năng suất lúa (tạ/ha). Ta có mẫu cụ thể kích thước n = 100.
xi ni xini nixi
2
30
33
34
36
40
15
20
41
18
6
450
660
1394
648
240
13500
21780
47396
23328
9600
 
 i
n n 100 
 i i
n x 3392 
 2
i i
n x 115604
3392
33,92
100
 
x
100
5,4736 2,35
99
  
s

28. Thống Kê Và Đặc Trưng Mẫu Ngẫu Nhiên
 Mẫu ngẫu nhiên kích thước n là tập hợp của n biến ngẫu
nhiên độc lập.
 Mẫu ngẫu nhiên kích thước n có vô số giá trị
 Trung bình mẫu chỉ xấp xỉ trung bình tổng thể.
 Trung bình mẫu là BNN, còn TB tổng thể là một số cụ thể.
 Trung bình mẫu bao giờ cũng tính được, còn trung bình
tổng thể có lúc tính được có lúc không
Nhận xét.
 Thống kê là một cách tính các giá trị đặc trưng của tổng thể
thông qua số liệu điều tra.
 Thống kê là một hàm bất kỳ của biến ngẫu nhiên.

29. 1. Trường hợp biến ngẫu nhiên gốc phân phối theo quy luật
chuẩn X ∼ N (, 2)
   
X n
G ~ N 0;1
 


 
 
2
2
2
n 1 S
G ~ n 1

  

   
X n
G ~T n 1
S

 
2
X N ,
n
 


 
 
khi n < 30, σ2 chưa biết
Các Phân Phối Xác Suất Của Các Đặc Trưng Mẫu

30. Các Phân Phối Xác Suất Của Các Đặc Trưng Mẫu
Ví dụ. Giả sử ở vùng M, người trưởng thành có chiều cao
trung bình là 165 cm và độ lệch chuẩn 10 cm. Chọn ngẫu
nhiên 100 người trưởng thành ở vùng đó.
a) Khả năng chiều cao trung bình đo được (của 100 người
đó) sai lệch so với chiều cao trung bình của dân vùng đó
không quá 2cm là bao nhiêu.
b) Nếu muốn chiều cao trung bình đo được sai lệch so với
chiều cao trung bình của tổng thể không quá 1 cm với xác
suất 95% thì phải lấy một mẫu kích thước là bao nhiêu.
c) Với kích thước mẫu 100 thì phương sai đo được lớn hơn
phương sai thật không quá bao nhiêu lần với xác suất 95%.

31. Gọi X là chiều cao người trưởng thành ở vùng M
⇒ X ∼ N(μ =160, σ2 =102)
a) Lấy mẫu kích thước n = 100.
  0 0 0
n 2 100
P X 2 2 ( ) 2 ( ) 2 (2) 0,9544
10

        

b) Tìm n sao cho
  0
0 0
n
P X 1 0,95 2 ( ) 0,95
10
n n
( ) 0,475 (1,96) 1,96 n 384,16
10 10
     
        
Các Phân Phối Xác Suất Của Các Đặc Trưng Mẫu
Vậy, phải điều tra mẫu kích thước n = 385.

32. Các Phân Phối Xác Suất Của Các Đặc Trưng Mẫu
c) Tìm ε sao cho
2
2
S
P 0,95
 
  
 

 
2 2
2 2
S (n 1)S
P P (n 1) 0,95
   

       
   
 
   
2
2
(n 1)S
P (n 1) 0,05
 

    
 

 
   
2 2
0,05 0,05
(n 1) n 1 99 99 124,34
          
124,34
1,26
99
   

33. Các Phân Phối Xác Suất Của Các Đặc Trưng Mẫu
2. Trường hợp biến ngẫu nhiên gốc tuân theo quy luật
không – một. X ∼ A(p).
Nếu np ≥ 5; np(1 – p) ≥ 5
p(1 p)
f ~ N p,
n

 
 
 
 
 
f p n
G N(0,1)
p 1 p




34. Các Phân Phối Xác Suất Của Các Đặc Trưng Mẫu
Ví dụ. Tỉ lệ phế phẩm cho phép của một lô hàng không quá
5%. Với xác suất 95% nếu điều tra ngẫu nhiên 100 sản
phẩm của lô hàng thì tỉ lệ phế phẩm tối đa của mẫu là bao
nhiêu ta có thể chấp nhận lô hàng.
Gọi X là số phế phẩm, ta có X ∼ A(p).
Với mẫu kích thước n = 100, ta phải tìm P(f≤ε) = 0,95,
trong đó f =
X
n
là tần suất mẫu.
p(1 p)
Do f ~ N p,
n

 
 
 

35. Các Phân Phối Xác Suất Của Các Đặc Trưng Mẫu
0 0
( 0,05) 100
0,45 (1,645)
0,05.0,95
 
 
    
 
 
 
1,645. 0,05.0,95
0,5 0,086
100
    
 
 
 
 
 
 
0 0
0
p n
P f 0,95
p 1 p
p n
0,5
p 1 p
 
 
 
          
 

 
 
 
 
  
 

 
Vậy kiểm tra 100 sản phẩm, tỉ lệ phế phẩm cho phép là 8,6%.

36. Các Phân Phối Xác Suất Của Các Đặc Trưng Mẫu
3. Trường hợp hai biến ngẫu nhiên gốc cùng phân phối
theo quy luật chuẩn.
Giả sử có hai tổng thể với các biến ngẫu nhiên:
   
2 2
1 1 1 2 2 2
X N , ; X N ,
   
Từ hai tổng thể lập hai mẫu độc lập.
1 2
1 11 12 1n 2 21 22 2n
W (X ,X ,...,X ); W (X ,X ,...,X );
 
 
2 2
1 2
1 2 1 2
1 2
X X ~ N ,
n n
 
 
   
 
 

37. Các Phân Phối Xác Suất Của Các Đặc Trưng Mẫu
   
 
1 2 1 2
2 2
1 2
1 2
X X
G ~ N 0,1
n n
   

 

2 2
1 2
1 2
2 2
2 1
S
G F ~ F(n 1,n 1)
S

    

   
 
1 2 1 2
2 2
1 2
1 2
1 2
X X
G Z ~ N 0,1
S S
n n
n ,n 30
   
 



38. 4. Trường hợp hai biến ngẫu nhiên gốc tuân theo quy luật
phân phối không – một.
Các Phân Phối Xác Suất Của Các Đặc Trưng Mẫu
Giả sử: X1 ∼ A(p1); X2 ∼ A(p2)
Lập 2 mẫu độc lập:
Nếu n1, n2 > 30 thì:
   
   
1 2 1 2
1 1 2 2
1 2
f f p p
G ~ N(0;1)
p 1 p p 1 p
n n
  

 

1 2
1 11 12 1n 2 21 22 2n
W (X ,X ,...,X ); W (X ,X ,...,X );
 
1 1 2 2
1 2 1 2
1 2
p (1 p ) p (1 p )
(f f ) ~ N p p ,
n n
 
 
  
 
 

39. Bài Toán Ước Lượng
2. Phương Pháp Ước Lượng Điểm
1. Bài Toán.
3. Phương Pháp Ước Lượng Bằng Khoảng Tin Cậy

40. Bài Toán
 Cho BNN X với quy luật phân phối xác suất đã biết nhưng
chưa biết tham số θ nào đó của nó. Phải ước lượng (xác
định một cách gần đúng) giá trị của θ .
 Có hai phương pháp :
 Ước lượng điểm: Dùng một giá trị để thay thế cho tham số
cần ước lượng.
 Ước lượng bằng khoảng tin cậy: Chỉ ra một khoảng chứa
tham số đó với một xác suất cho trước.

41. Phương Pháp Ước Lượng Điểm
Để ước lượng tham số  của tổng thể, người ta xuất
phát từ tham số ෠
θ tương ứng của mẫu sao cho ෠
θ mang
nhiều thông tin nhất về , để có thể xấp xỉ  một cách
tốt nhất. (Dùng một tham số của mẫu thay cho một
tham số chưa biết của tổng thể).

42. Phương Pháp Ước Lượng Điểm
Phương pháp hàm ước lượng.
1. Khái niệm
 Giả sử cần ước lượng tham số θ của BNN X. Từ tổng thể
lập mẫu ngẫu nhiên: W = (X1, X2, …, Xn).
 Chọn lập thống kê: ෠
θ = f(X1, X2, …, Xn) đặc trưng tương
ứng với .
Ví dụ. Để ước lượng kỳ vọng toán m của BNN gốc thì chọn
thống kê trung bình mẫu ഥ
X , để ước lượng phương sai σ2
của BNN gốc thì chọn thống kê S2

43. Phương Pháp Ước Lượng Điểm
 Thống kê ෠
θ được gọi là hàm ước lượng của .
 Chú ý: Có vô số cách chọn thống kê ෠
θ để có thể dùng
làm ước lượng của . Vì vậy cần đưa ra các tiêu chuẩn để
đánh giá chất lượng thống kê.
 Từ mẫu cụ thể, giá trị của thống kê ෠
θ = f(x1, x2, …, xn)
được dùng để thay thế cho  của tổng thể.

44. Phương Pháp Ước Lượng Điểm
Nếu E(෠
θ) ≠ θ, thì ෠
θ được gọi là ước lượng chệch của .
2. Các tiêu chuẩn lựa chọn hàm ước lượng.
a. Ước lượng không chệch
Thống kê ෠
θ của mẫu được gọi là ước lượng không chệch
của tham số  của biến ngẫu nhiên gốc X nếu E(෠
θ) = θ.
Ví dụ. E(ഥ
X) = μ  Trung bình mẫu là ước lượng không
chệch của kỳ vọng toán .
E(f) = p  tần suất mẫu f là ước lượng không chệch của
xác suất biến ngẫu nhiên gốc p.
E(S2) = σ2  S2 là ước lượng không chệch của σ2

45. Phương Pháp Ước Lượng Điểm
Thống kê của mẫu được gọi là ước lượng hiệu quả nhất
của tham số  của BNN gốc X nếu nó là ước lượng không
chệch và có phương sai nhỏ nhất so với mọi ước lượng
không chệch khác được xây dựng trên cùng mẫu đó.
b. Ước lượng hiệu quả
Chú ý: Khi hai ước lượng ෠
θ1 và ෠
θ2 nào đó đều là các ước
lượng không chệch của , song không phải là ước lượng
hiện quả nhất thì có thể so sánh phương sai của hai ước
lượng đó để tìm ra ước lượng hiệu quả hơn.

46. Phương Pháp Ước Lượng Điểm
Ví dụ. Giả sử X ~ N(,2 ). Lấy mẫu W = (X1, ..., X6).
1 3 5 2 4 6
1 2
X X X X 2X 3X
X ; X ;
3 6
   
 
a) ഥ
X1, ഥ
X2 có là ước lượng không chệch của ?
b) Trong 2 ước lượng trên, ước lượng nào hiệu quả hơn?
c) ഥ
X1 có là ước lượng không chệch tốt nhất?
 
1 3 5
1 1 3 5
X X X 1 3E(X)
a) E(X ) E EX EX EX
3 3 3
 
 
      
 
 
Tương tự, E(ഥ
X2) = μ.
Vậy ഥ
X1, ഥ
X2 đều là ước lượng không chệch của .

47. Phương Pháp Ước Lượng Điểm
2
2
1
1
b) V(X ) 3
9 3

   
2
2 2 2
2
1 14
V(X ) ( 4 9 )
36 36

      
V(ഥ
X1) < V(ഥ
X2) ⇒ ഥ
X1 hiệu quả hơn ഥ
X2
1 6
X ... X
c) Do X
6
 

2
1
V(X) V(X )
6

 
nên ഥ
X1 không là ước lượng không chệch tốt nhất.

48. Phương Pháp Ước Lượng Điểm
c. Ước lượng vững.
 Thống kê ෠
θ của mẫu được gọi là ước lượng vững của
tham số  của biến ngẫu nhiên gốc X nếu ෠
θ hội tụ theo xác
suất đến  khi n .
n
ˆ
lim P( ) 1; 0

      
 Nếu ෠
θ đã là một ước lượng không chệch của  thì điều
kiện để nó là ước lượng vững là:
n
ˆ
lim V( ) 0

 
 Tính vững của ước lượng ෠
θ có nghĩa là khi cỡ mẫu n càng
lớn thì hầu hết các giá trị của ước lượng càng gần với ,
tức là ước lượng càng chính xác.

49. Các kết luận của phương pháp hàm ước lượng.
 Trung bình mẫu ഥ
X là ước lượng không chệch, hiệu quả,
vững của trung bình tổng thể m.
 Tần suất mẫu f là ước lượng không chệch, hiệu quả,
vững của tần suất tổng thể p.
 Phương sai mẫu S2 là ước lượng không chệch của
phương sai tổng thể 2.
Phương Pháp Ước Lượng Điểm

50.  Để ước lượng tham số  của biến ngẫu nhiên gốc X,
người ta xây dựng một khoảng giá trị của mẫu (G1,G2) sao
cho với một xác suất cho trước, tham số  sẽ rơi vào
khoảng (G1,G2) đó.
 Để xây dựng khoảng giá trị nói trên, xuất phát từ một
ước lượng điểm tốt nhất ෠
θ của mẫu, chọn một thống kê:
G = f(෠
θ,θ) là một hàm của ෠
θ và  song lại có quy luật phân
phối xác suất không phụ thuộc
1. Khái niệm
Phương Pháp Ước Lượng Khoảng

51. Phương Pháp Ước Lượng Khoảng
 Từ đó, với xác suất 1 -  khá lớn, tìm được hai giá trị
tương ứng của G là G1 và G2 để P(G1 <  < G2) = 1 - .
 Khoảng (G1,G2) được gọi là khoảng tin cậy của ước
lượng.
 I = G2- G1 được gọi là độ dài khoảng tin cậy.
 Xác suất 1 -  được gọi là độ tin cậy của ước lượng.
 Xác suất  được gọi là xác suất mắc sai lầm của ước
lượng.

52. Phương Pháp Ước Lượng Khoảng
 Chú ý.
 Khoảng tin cậy (G1,G2) là khoảng ngẫu nhiên.
 Với mẫu cụ thể ta có khoảng tin cậy cụ thể (g1,g2).
 Do xác suất 1 -  khá lớn nên theo nguyên lý xác suất lớn,
biến cố (G1 <  < G2) hầu như chắc chắn xảy ra trong một
phép thử, tức là ta coi nó luôn đúng với một mẫu cụ thể:
g1 <  < g2
Bài toán ước lượng khoảng với độ tin cậy 1 – α còn được
gọi là bài toán tìm khoảng tin cậy 1 – α

53. Phương Pháp Ước Lượng Khoảng
2. Khoảng tin cậy cho trung bình
Giả sử X ∼ N (, 2),  chưa biết.
Để ước lượng , từ tổng thể lập mẫu kích thước n:
W = (X1, … , Xn)  ഥ
X
Để chọn thống kê G thích hợp, ta xét các trường hợp sau:
Với độ tin cậy 1 -  cho trước, ta tìm 1, 2 không âm sao
cho 1 + 2 = , và từ đó tìm được 2 giá trị tới hạn chuẩn
tương ứng và thỏa mãn:
a) TH 1: Nếu 2 = D(X), nghĩa là σ2
= σ0
2
Chọn thống kê:
 
0
X n
G ~ N(0,1)
 



54. Phương Pháp Ước Lượng Khoảng
1 2
1 1 2
P(Z z ) ; P(Z z )
 
     
1 2
1
P(z Z z ) 1 .
 
    
 
1 2
X n
P z z 1
 
 

 
      
 

 
2 1
P X z X z 1
n n
 
 
 
        
 
 

55. Phương Pháp Ước Lượng Khoảng
Vậy với độ tin cậy (1-α) tham số µ của BNN gốc X sẽ nằm
trong khoảng
2 1
0 0
X z X z
n n
 
 
 
    
 
 
+ Nếu lấy 1 = 2 = /2: ta được khoảng tin cậy đối xứng.
0 0
2 2
X z X z
n n
 
 
 
    
 
 
Với mẫu cụ thể (x1, x2, …, xn) khoảng tin cậy 1 – α là
0 0
2 2
x z x z
n n
 
 
 
    
 
 

56. Phương Pháp Ước Lượng Khoảng
+ Nếu 1 = ; 2 = 0: Khoảng tin cậy bên trái (dùng để ước
lượng giá trị tối đa của .)
0
x z
n


 
    
 
 
+ Nếu 1 = 0; 2 = α: Khoảng tin cậy bên trái (dùng để ước
lượng giá trị tối thiểu của .)
0
x z
n


 
    
 
 

57. Phương Pháp Ước Lượng Khoảng
0
2
z
n


 
được gọi là độ chính xác của ước lượng. Nó phản ánh
mức độ sai lệch của trung bình mẫu so với trung bình
tổng thể với xác suất 1 -  cho trước (khoảng tin cậy đối
xứng)

58. Phương Pháp Ước Lượng Khoảng
b) TH 2: D(X) = σ2 chưa biết
 
 
X n
G ~ t n 1
S

 
+ n < 30. Xét thống kê
• Khoảng tin cậy đối xứng
/2 /2
s s
x t (n 1) x t (n 1)
n n
 
 
      
 
 
s
x t (n 1)
n

 
     
 
 
• Khoảng tin cậy bên trái
• Khoảng tin cậy bên phải
s
x t (n 1)
n

 
     
 
 
s = s2 (độ lệch chuẩn mẫu)

59. Phương Pháp Ước Lượng Khoảng
Khi n > 30 thì quy luật Student hội tụ về quy luật chuẩn
hóa, do đó dùng giá trị tới hạn chuẩn thay thế cho giá trị
tới hạn Student tương ứng tα(n-1) ≈ zα
+ n > 30
+ Khoảng tin cậy đối xứng 2 2
s s
x z x z
n n
 
 
    
 
 
+ Khoảng tin cậy bên trái
s
x z
n

 
    
 
 
+ Khoảng tin cậy bên phải
s
x z
n

 
    
 
 

60. Phương Pháp Ước Lượng Khoảng
Lưu ý. Trong bài toán ước lượng nêu trên, ta có 3 tham số
quan trọng
- Hệ số tin cậy γ,
- Sai số ước lượng
- Cỡ mẫu quan sát n
2
s
z
n

 

61. Phương Pháp Ước Lượng Khoảng
Ví dụ. Quan sát chiều cao của 20 người, ta tính được ത
x =
162cm; Sx = 14cm. Hãy ước lượng chiều cao trung bình
của dân số ở độ tin cậy γ = 0,95.

62. Phương Pháp Ước Lượng Khoảng
a) Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn do
nhà máy trên sản xuất với độ tin cậy 95%.
b) Nếu yêu cầu ước lượng phải đạt độ chính xác không quá
50 giờ và độ tin cậy 95% thì cần kiểm tra ít nhất bao nhiêu
bóng đèn?
Ví dụ. Kiểm tra tuổi thọ của bóng đèn (tính bằng giờ) do
một nhà máy sản xuất, người ta có kết quả sau
Tuổi thọ (Xi) 3300 3500 3600 4000
Số bóng đèn (ni) 10 20 12 8
Giả thiết rằng tuổi thọ của bóng đèn có phân phối chuẩn

63. Phương Pháp Ước Lượng Khoảng
 Giả sử trong tổng thể có kích thước N, có M phần tử
mang dấu hiệu nghiên cứu
 Đặt p =
M
N
là tỷ lệ các phần tử mang dấu hiệu nghiên cứu
trong tổng thể. (X ∼A(p))
 Đặt f =
m
n
là tỷ lệ các phần tử mang dấu hiệu nghiên cứu
của mẫu. (Lập mẫu kích thước n: W = (X1, … , Xn) f )
 Ta phải dựa vào tỷ lệ mẫu f để ước lượng tỷ lệ tổng thể p.
3. Khoảng tin cậy cho tỷ lệ

64. Phương Pháp Ước Lượng Khoảng
 
f p n
G ~ N(0,1)
f (1 f )



Xét thống kê
Khi nf ≥ 10 và n(1 – f) ≥ 10, với độ tin cậy 1 –  cho trước,
ta có khoảng tin cậy của p như sau:
+ Khoảng tin cậy đối xứng của p.
   
/2 /2
f 1 f f 1 f
f z p f z
n n
 
 
 
 
   
 
 

65. Phương Pháp Ước Lượng Khoảng
Khoảng tin cậy bên trái
 
f 1 f
p f z
n

 

 
   
 
 
Khoảng tin cậy bên phải
 
f 1 f
f z p
n

 

 
   
 
 

66. Phương Pháp Ước Lượng Khoảng
Ví dụ. Một nông dân muốn ước lượng tỷ lệ nảy mầm cho
một giống lúa mới.Mẫu điều tra của ông cho kết quả
trong 1000 hạt đem gieo có 640 hạt nảy mầm.
a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tỷ lệ nảy mầm của
giống lúa này.
b) Nếu muốn ước lượng tỷ lệ hạt nảy mầm có sai số
không vượt quá 2% và đạt độ tin cậy 95% thì cần gieo ít
nhất bao nhiêu hạt?
c) Với độ tin cậy 97% hãy ước lượng số hạt giống nảy
mầm tối thiểu khi gieo 10000 hạt.

67. Phương Pháp Ước Lượng Khoảng
Ví dụ. Một vùng có 2000 hộ gia đình. Để điều tra nhu cầu
tiêu dùng một loại hàng hóa tại vùng đó người ta nghiên
cứu ngẫu nhiên 100 gia đình và thấy có 60 gia đình có nhu
cầu về loại hàng hóa trên. Với độ tin cậy 95%, hãy ước
lượng bằng khoảng tin cậy đối xứng số gia đình trong vùng
có nhu cầu về loại hàng hóa đó.
Ví dụ. Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm do một máy sản
xuất thấy có 20 phế phẩm, với độ tin cậy 95%, hãy ước
lượng tỷ lệ phế phẩm tối đa của máy đó.

68. Phương Pháp Ước Lượng Khoảng
4. Khoảng tin cậy cho phương sai.
Giả sử trong tổng thể X ∼ N (, 2),  chưa biết. Từ tổng
thể lập mẫu W = (X1, X2,…, Xn)  S2
 
 
2
2
2
n 1 S
G ~ n 1

  

+ Khoảng tin cậy đối xứng của phương sai.
 
 
 
 
2 2
2
2 2
/2 1 /2
n 1 s n 1 s
n 1 n 1
 
 
  
   

69. Phương Pháp Ước Lượng Khoảng
+ Khoảng tin cậy bên trái
+ Khoảng tin cậy bên phải
 
2
2
2
1
(n 1)s
n 1


   
 
 
 
2
2
2
n 1 s
n 1


   
 

70. Phương Pháp Ước Lượng Khoảng
Ví dụ. Lãi suất cổ phiếu của một công ty là biến ngẫu
nhiên có phân phối chuẩn và có giá trị trong 10 năm
qua ( đơn vị : %) là: 15; 12; 20; 8; 10; 16; 14; 22; 18; 19.
Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng:
a) Độ phân tán của lãi suất cổ phiếu này.
b) Độ phân tán tối đa của lãi suất cổ phiếu này.
c) Độ phân tán tối thiểu của lãi suất cổ phiếu này.