Dokumen tersebut membahas tentang jarak antara titik, garis, dan bidang dalam ruang tiga dimensi. Jarak antara titik ke titik adalah panjang garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Jarak antara titik ke garis adalah panjang garis yang ditarik dari titik tersebut secara tegak lurus ke garis tersebut. Jarak antara titik ke bidang adalah panjang garis yang ditarik dari titik tersebut secara tegak lurus ke bid

1. Dimensi Tiga
(Jarak)
Apriana Sari Ruslan, S.Pd.
1

2. Standar Kompetensi
Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang
melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang
dimensi tiga
Kompetensi Dasar
Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke
bidang dalam ruang dimensi tiga
2

3. Kita akan membahas jarak antara:
titik ke titik
titik ke garis
titik ke bidang
3

4. Jarak titik ke titik
B
Peragaan ini,
ik
menunjukan
t it
a
du
jarak titik A ke B,
k
ra
Ja
adalah panjang ruas garis
A yang menghubungkan
titik A ke B
4

5. Contoh
Diketahui
kubus ABCD.EFGH
H P G dengan
E F panjang rusuk a cm.
a cm
Tentukan jarak
titik A ke C,
D C
a cm titik A ke G,
A a cm B
dan jarak titik A ke
tengah-tengah bidang EFGH
5

6. Pembahasan
Perhatikan
segitiga ABC yang
H G
siku-siku di B, maka
E F AC = AB 2 + BC 2
a cm = a +a
2 2
D C
= 2a 2
a cm
A a cm B = a 2
Jadi diagonal sisi AC = a 2 cm
6

7. Jarak AG = ?
Perhatikan
segitiga ACG yang
H G
siku-siku di C, maka
E F AG = AC 2 + CG 2
a cm = ( a 2 )2 + a 2
D C
= 2a + a
2 2
a cm
A a cm B = 3a 2 = a 3
Jadi diagonal ruang AG = a 3 cm
7

8. Jarak AP = ?
Perhatikan
segitiga AEP yang
H P G siku-siku di E, maka
E F
AP = AE 2 + EP 2
= a + (2 a 2)
2
2 1
D C a2 + 2 a2
1
A
=
a cm B
3 2
= 2 a = 2a 6
1
Jadi jarak A ke P = 2 a 6 cm
1
8

9. Jarak titik ke Garis
A Peragaan ini,
menunjukan
is jarak titik A ke
gar
garis g adalah
dan
panjang ruas garis
titik
yang ditarik dari
ak
titik A dan tegak
Jar
g lurus garis g
9

10. Contoh 1
H G
E F Diketahui kubus
5 cm
ABCD.EFGH
D C
dengan panjang
5 cm rusuk 5 cm.
A B
Jarak titik A ke
rusuk HG adalah….
10

11. Pembahasan
H G
E F Jarak titik A ke
5 cm
rusuk HG adalah
D C
panjang ruas garis
5 cm AH, (AH ⊥ HG)
A B
AH = a 2 (AH diagonal sisi)
AH = 5 2
Jadi jarak A ke HG = 5√2 cm
11

12. Contoh 2
H G
E F Diketahui kubus
6 cm
ABCD.EFGH
D C dengan panjang
A 6 cm B rusuk 6 cm.
Jarak titik B ke
diagonal AG
adalah….
12

13. E
H G Pembahasan
F
cm
3
6√
cm
P Jarak B ke AG =
6 √2
D C jarak B ke P (BP⊥AG)
A 6 cm B Diagonal sisi BG =
G 6√2 cm
Diagonal ruang AG
3
6√
P ?
6√2
= 6√3 cm
Lihat segitiga ABG
A 6 B
13

14. G Lihat segitiga ABG
BG BP
Sin ∠A = AG = AB
3
6√
6√2
P ? 6 2 BP
6 3
= 6
A 6 B
2
( 6 2 )( 6 ) 3 6 6
BP = 6 3
x
3
=
3
BP = 2√6
Jadi jarak B ke AG = 2√6 cm
14

15. Contoh 3
T Diketahui T.ABCD
limas beraturan.
Panjang rusuk alas
m
2c
12 cm, dan panjang
12√
D C rusuk tegak
12√2 cm. Jarak A
12 cm
A B ke TC adalah….
15

16. Pembahasan
Jarak A ke TC = AP
AC = diagonal persegi
T
= 12√2
AP = AC 2 − PC 2
6√
m
2
P = ( 12 2 ) 2 − ( 6 2 ) 2
2c
12√
= 2( 144 − 36 ) = 2.108
6√
2
D C = 2.3.36 = 6 6
12√2
12 cm
Jadi jarak A ke TC
A B = 6√6 cm
16

17. Contoh 4
H PG
E F Diketahui kubus
ABCD.EFGH
D dengan panjang
C
A 6 cm B
6 cm rusuk 6 cm dan
Titik P pada pertengahan FG.
Jarak titik A dan garis DP adalah….
17

18. Pembahasan
H PG 3 cm P
G F
E F
6√2 cm
⇒ Q
D C
6 cm
A B D A
6 cm R
6 cm
DP = DG 2 + GP 2
= ( 6 2 )2 + 3 2
= 72 + 9 = 9
18

19. Pembahasan
DP = 72 + 9 = 9 3 cm P
G F
Luas segitiga ADP
6√2 cm
½DP.AQ = ½DA.PR Q
4
9.AQ = 6.6√2
D 6 cm R A
AQ = 4√2
Jadi jarak A ke DP = 4√2 cm
19

20. Garis tegak lurus Bidang
Garis tegak lurus
g sebuah bidang
jika garis tersebut
¬a tegak lurus dua
V
b buah garis berpo-
g ⊥ a, g ⊥ b,
tongan yang ter-
Jadi g ⊥ V
dapat pada bidang
20

21. Jarak titik ke bidang
Peragaan ini
A menunjukan jarak
antara titik A ke
bidang V adalah
panjang ruas garis
yang
¬ menghubungkan
V
tegak lurus titik A
ke bidang V
21

22. Contoh 1
H G
E F Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
D P C rusuk 10 cm
A B
10 cm
Jarak titik A ke
bidang BDHF
adalah….
22

23. Pembahasan
H G Jarak titik A ke
E F bidang BDHF
diwakili oleh
panjang AP.(AP⊥BD)
D P C
A
AP = ½ AC (AC⊥BD)
B
10 cm
= ½.10√2
= 5√2
Jadi jarak A ke BDHF = 5√2 cm
23

24. Contoh 2
Diketahui limas
T
segi-4 beraturan
T.ABCD.
Panjang AB = 8 cm
cm
dan TA = 12 cm.
12
D C Jarak titik T ke
A
8 cm bidang ABCD
B
adalah….
24

25. Pembahasan
Jarak T ke ABCD
T
= Jarak T ke
perpotongan AC
dan BD
cm
= TP
12
D P C
AC diagonal persegi
A
8 cm AC = 8√2
B
AP = ½ AC = 4√2
25

26. T AP = ½ AC = 4√2
TP = AT − AP
2 2
= 12 − ( 4 2 )
2 2
= 144 − 32
m c
12
D P C = 112
= 4√7
8 cm
A B
Jadi jarak T ke ABCD = 4√7 cm
26

27. Contoh 3
H G
E F Diketahui kubus
ABCD.EFGH
D C
dengan panjang
A 9 cm B rusuk 9 cm.
Jarak titik C ke
bidang BDG
adalah….
27

28. Pembahasan
H G Jarak titik C ke
E F bidang BDG = CP
yaitu ruas garis
P yang dibuat melalui
D T C
A
titik C dan tegak
9 cm B
lurus GT
CP = ⅓CE = ⅓.9√3 = 3√3
Jadi jarak C ke BDG = 3√3 cm
28

29. SELAMAT BELAJAR
29