Menghitung luas lingkaran dengan rumus luas segitiga dan belah ketuat

30,519 views
30,150 views

Published on

0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
30,519
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
200
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Menghitung luas lingkaran dengan rumus luas segitiga dan belah ketuat

  1. 1. BAB I PENDAHULUANA. Latar Belakang Lingkaran adalah model bangun datar yang sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari, seperti roda, bundaran yang ada di jalan, piring. Ketiga benda tersebut merupakan bentuk dari model lingkaran. Segitida dan belah ketupat juga model yang sering kita jumpai selain lingkaran. Dalam kehidupan sehari-hari bentuk segitiga sering kita jumpai pada bentuk makanan, misalnya bentuk segitiga sering dijumpai dipasar berupa potongan tahu yang persegi dipotong menjadi dua pada diagonalnya. Belah ketupat juga sering dijumpai pada makanan terutama ketupat. Setiap bidang pasti mempunyai luas, apakah ketiga model bangun datar tersebut dapat kita hitung Archimedes (287-212 SM) merupakan seorang pemikir hebat. Karya besarnya dalam bidang matematika dapat dijumpai pada bidang geometri. Perhitungan denga diameter lingkaran merupkan sumbangan besar yang dihasilkannya. Nilai berkisaran antara 3,1408 dan 3,1428. Salah satu karya terbesar lainnya adalah sebagai rumus luas sebuh lingkaran . Dalam geometri ruang 1
  2. 2. Archimedes merumuskan sebagai rumus sebuah volumesebuah bola berjari-jari r. selain itu, ia mengungkapkan bahwarasio luas bola dengan luas tabung yang mengelilignya dinyatakansebagai 2:3 (dengan catatan tinggi dan panjang diameter tabungtersebut sama dengan diameter bola). Pythagoras (582 SM – 496 SM,) adalah seorangmatematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melaluiteoremanya.Dikenal sebagai “Bapak Bilangan”, dia memberikansumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaanpada akhir abad ke-6 SM. Salah satu peninggalan Phytagoras yangterkenal adalah teorema Pythagoras untuk menghitung segitigasiku-siku. Berdasar kan uarian di atas, tidak ada salahnya kalau kitamenghitung luas bangun datar dengan rumus luas bangun dataryang lain. Dengan syarat rumus harus menyesuaikan dan ada saturuas yang menjadi patokan. Rumus bangun datar diketahuimerupakan turunan dari rumus luas persegi dan persegi panjang.Pada makalah ini akan di uraikan cara menghitung luas lingkarandengan rumus luas segitiga dan rumus luas belah ketupat . yangmenjadi ruas patokan adalah jari-jari pada lingkaran. 2
  3. 3. B. Rumusan Masalah Makalah ini berjudul” menghitung luas lingkaran dengan rumus luas segitiga dan belah ketupat”. Adapun sub-sub masalah dalam penulisan makalah ini adalah sebagai berikut? 1. Dapatkah sebuah lingkaran yang dipotong berdasarkan juring dengan ukuran yang sama membentuk satu atau lebih bangun segitiga dan belah ketupat? 2. Dapatkah kita menghitung luas lingkaran dengan rumus luas segitiga dan belah ketupat? 3. Samakah hasil perhitungan ketiga rumus tersebut?C. Tujuan Berdasarkan rumusan masalah maka tujua dari penalitian ini adalah: 1. Sebuah lingkaran yang dipotong berdasarkan juring dengan ukuran yang sama dapat membentuk satu atau lebih bangun segitiga dan belah ketupat. 2. Kita dapat menghitung luas lingkaran dengan rumus luas segitiga dan belah ketupat. 3. Hasil perhitungan ketiga rumus tersebut sama. 3
  4. 4. D. Definisi Operasional 1. Lingkaran Lingkaran adalah suatu garis lengkung yang kedua ujungnya dan semua titik yang terletak pada garis lengkung tersebut mempunyai jarak yang sama jauh terhadap suatu titik tertentu. 2. Segitiga Segitiga adalah bidang datar yang dibatasi oleh tiga garis lurus dan membentuk tiga sudut. 3. Belah Ketupat Belah ketupat adalah segiempat yang terbentuk dari segitiga sama kaki dan bayagannya oleh pencerminan terhadap alas segitiga. 4. Ilustrasi Ilustrasi adalah reka ulang atau percobaan terhadap suatu kejadian. 4
  5. 5. BAB II PEMBAHASANA. Pengertian Lingkaran Lingkaran adalah himpunan semua titik di bidang datar yang berjarak sama dari suatu titik tetap di bidang tersebut. Titik tetap itu dinamakan pusat lingkaran (Ngapinigsih ddk: 2010). Adapun jarak dari suatu titik pada lingkaran ke titik pusat dinamakan jari- jari lingkaran atau sering dilambangkan dengan r. bidang lingkaran adalah daerah yang dibatasi oleh lingkaran. Dari uraian diatas terlihat perbedaan yang nyata antara lingkaran dan bidang lingkaran.B. Unsur-unsur Lingkaran Suatu lingkaran dengan titik pusat O mampunyai unsur-unsur sebagai berikut. 1. Titik O merupakan titik pusat lingkaran. 2. Jari-jari lingkaran adalah Jarak dari pusat lingkaran (O) berupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran. Pada gambar (1.a) ruas garis AO atau CO merupakan jari-jari. 5
  6. 6. 3. Tali busur merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda.pada gambar (1.a) BC, dan DE.4. Apotema adalah ruas garis yang ditarik dari titik pusat lingkaran tegak lurus pada sebuah tali busur. Apotema juga bias disebut sebagai jarak titik pusat lingkaran dengan tali busur tertentu. Pada gambar (1.a), ruas garis OF merupakan apotema. G E F D r O r A C r B Gambar 1.a5. Busur merupakan bagian dari keliling lingkaran dan dilambangkan dengan garis lengkung. Busur yang kurang dari setengah lingkaran dinamakan busur besar. Pada gambar (1.b) ditunjukan busur besar dan kecil dengan garis tebal.6. Juring atau sector adalah daerah didalam lingkaran yang dibatasi oleh 2 jari-jari lingkara dan busur lingkaran di hadapan sudut pusat yang dibentuk oleh kedua jari-jari tersebut. Juring 6
  7. 7. denga sudut pusat kurang dari 1800 dinamakan juring kecil (gambar daerah A), sedangkan juring dengan sudut pusat lebih dari 1800 dinamakan juring besar(gambar daerah B). Lihat gambar (1.c). A B Gambar 1.c7. Tembereng adalah daerah yang dibatasi oleh busur lingkaran dan tali busurnya. Tembereng yang sudut pusatnya kurang dari 1800 dinamakan tembereng kecil (gambar daerah ). Sedangkan dengan sudut pusat lebih dari 1800 dinamakan tembereng besar (gambar daerah ). Lihat gambar (1.d). Juring kecil Juring besar 7
  8. 8. 8. Sudut pusat adalah sudut yang terbentuk oleh 2 jari-jari lingkaran (titik sudutnya pada pusat lingkaran). Sedangkan sudut keliling adalah sudut yang terbentuk oleh dua tali busur yang berpotongan pada titik lingkaran (titik sudut terletak pada lingkaran). Lihat gambar (1.e). C O O . . . A . B Gambar 1.eC. Luas Lingkaran Dalam menghitung luas dan keliling lingkaran dan bangun runag yang memiliki unsur lingkaran seperti bola, tabung, dan kerucut. Kita selalu mengunakan nilai perbandingan yang disebebut phi atau di tulis dengan nilai 3,14. Nilai atau nilai perbandingan tersebut didapat dari perbandingan keliling lingkaran dengan diameter. Ilustrasikan kita sebuah hulahop, yang berdiameter 140 cm dipotong pada satu titiknya. Hulahop tersebut diluruskan dan di ukur panjangnya, ternyata panjangnya 440 cm. berarti keliling hulahop tersebut 440. 8
  9. 9. Buat perbandingan antara panjang hulahop dengan diameternya. Untuk membuktikan hal di atas lakuka percubaan berulang kali dengan diameter yang berbeda. Dari percobaan dapat disimpulakan bahwa nilai perbandingan antara keliling lingkaran dan diameternya merupakan bilangan yang tetap ( ). 1. Pengertian Luas Lingkaran Luas lingkaran adalah luas daerah bidang datar yang dibatasi oleh suatu lingkaran 2. Rumus Luas Lingkaran Rumus luas lingkaran atauKeterangan: r = jari-jari lingkarn d= diameter lingkaran (2x r) 9
  10. 10. D. Menghitung Luas Lingkaran Dengan Rumus Luas Segitiga Makalah ini memaparkan hasil perhitungan luas lingkaran dengan rumus segitiga. Ilustrasi, a. buatlah lingkaran pada selembar kertas. b. Gunting lingkaran menjadi 16 potong juring (gambar D.4). c. Susun juring seperti segitiga (gamabar D.5). Gambar D.4 Gambar D.5 Berdasarkan hasil ilustrasi pada gambar D.4 dan gambar D.5, maka kita dapat meng hitung luas lingkaran dengan rumus segitiga. Rumus segitiga pada umumnya kita kenal 10
  11. 11. Berdasarkan susunan juring pada gambar D.5 maka dapatdisimpulkan bahwa juring tersebut dapat kita hitung satu persatulalu dijumlahkan. Luas daerah lingkaran = LΔ1 + LΔ2 + LΔ3 +LΔ4 + … + LΔn-1 + LΔnSetiap segitiga itu dapat dipandang sebagai sebuah segitiga dengantinggi r dan alasnya adalah a, sehingga Luas sebuah segitiga adalah½ ra.Atau kita tuliskanLΔ1= ½ r a1LΔ2 = ½ r a2LΔ3 = ½ r a3…………………….LΔn-1 = ½ r an-1LΔn = ½ r an_______________________ +Luas daerah keseluruhan adalah (½ r a1 + ½ r a2 + ½ r a3 + … + ½r an-1 + ½ r an)L O = ½ r (a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an)Kita tahu bahwa a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an keliling lingkaranberjari-jari r tersebut, sehinggaa1 + a2 + a3 + … + an-1 + an = 2πrKarenanya L O = ½ r (2πr) = πr2 11
  12. 12. Berdasar uraian di atas, ditemukan perhitungan rumus luas segitigauntuk luas lingkaran sebagai berikut:Rumus Segitiga =Rumus segitiga dari model lingkaran untuk mencari luas lingkarandengan rumus segitiga. atauUntuk nilai a digunakan rumus : atauKeterangan:r = jari-jari lingkarna = alas segitiga yang tersusun dari potongan juring.m= banyak segitiga yang dibentuk dari segitigan= banyak potongan juring.d= diameter lingkaran (2x r) 12
  13. 13. E. Menghitung Luas Linngkaran dengan Rumus Belah Ketupat Selain dapat membentuk segitiga, potongan juring juga dapat membentuk bagun belah ketupat. Ilustrasikan: 1. Buat lingkaran pada selembar kertas. 2. Potong lingkaran menjadi 16 juring sama besar (gambar D.4) 3. Susun potongan juring membentuk 2 buah belah ketupat (gambar E.1) Berdasarkan ilustrasi di atas maka dapat ditulis rumus sebagai berikut: Rumus belah ketupat = 13
  14. 14. d1 = diagonal 1 d2 = diagonal 2Lingkaran jika dipotong menjadi beberapa juring, bila disusundapat membentuk 1 atau lebih bangun belah ketupat. Sehingga luasligkaran dapat dihitung dengan rumus luas belah ketupat. Rumusbelah ketupat untuk menghitung luas lingkaran di uraikan sebagaiberikut:Untuk d1 rumusnya adalah: d1 = p x rUntuk d2 rumusnya adalah atau 14
  15. 15. Keterangan: p=jumlah juring yang membentuk tinggi diagonal d1 r = jari-jari lingkarn d= diameter lingkaran (2x r) d1 = tinggi diagonal belah ketupat ( lihat gambar … garis AC). d2 = lebar diagonal belah ketupat ( lihat gambar … garis BD). m= banyak bangun belah ketupat yang dibentuk dari segitiga n= banyak potongan juring. = 3,14F. Contoh Soal Beberapa contoh soal dibawah ini menunjukan bahwa hasil perhitungan luas lingkran dengan rumus lingkaran atau Sama dengan hasil perhitungan dengan rumus segitiga: L = atau , L = 15
  16. 16. Untuk nilai a digunakan rumus : atau Dan hasil perhitungan dengan rumus belah ketupat: Untuk d1 rumusnya adalah: d1 = p x r Untuk d2 rumusnya adalah d2 = atau d2 =Soal: 1. Sebuah lingkaran dengan jari-jari 4 cm. hitunglah berapa luas lingkaran tersebut. . Jawab. Diketahui: r = 4 . a. Rumus lingkaran. L= 3,14 x 4 x 4 = 3,14 x 16 = 50,24 cm2 16
  17. 17. b. Rumus segitiga 1 Misalkan: lingkran dibagi menjadi 16 juring dan di susun menjadi satu bagun segitiga. Diketahui: r=4 m= 1 d= 8 n = 16 Jawab : L= = a = 1,57 = 8 x 6,25 = 50,24 cm2 Rumus Segitiga 2 Diketahui: r=4 d= 8 Jawab: a = 25,12 17
  18. 18. 2 x 25,12 50,24 cm2c. Rumus Belah Ketupat d1= p x r Misalkan, lingkaran di bagi menjadi 16 juring sehingga dapat disusun menjadi 2 buah belah ketupat. Diketahui: r=4 d= 8 m= 2 p= 4 n= 16 Jawab: Mencari nilai d1. d1= p x r =4x4 = 16 18
  19. 19. Mencari nilai d2. = 6,28Subtitusikan nilai d1 dan d2 ke rumus: cm2 19
  20. 20. BAB III PEENUTUPA. Kesimpulan Lingkaran adalah suatu garis lengkung yang kedua ujungnya dan semua titik yang terletak pada garis lengkung tersebut mempunyai jarak yang sama jauh terhadap suatu titik tertentu. Jika lingkaran dipotong dibagi menjadi beberapa juring dan juring-juring tersebut dapat disusun menjadi bangun datar yang lain seperti segitiga, belah ketupat, jajargenjang dan persegi panjang. Berdasarkan isi makalah yang memuat perubahan deri potongan lingkaran yang terbagi kedalam beberapa juring maka dapat disimpulkan bahwa luas lingkaran dapat dihitung dengan rumus dari bangun yang terbentuk. Seperti potongan juring menjadi segitiga atau belah ketupat maka luas lingkaran dapat dihitung dengan rumus luas segitiga dan rumus belah ketupat. Adapun rumus yang digunakan sebagai berikut: 1. Rumus luas lingkaran atau 20
  21. 21. 2. Rumus luas segitiga untuk menghitung luas lingkran untuk nilai Atau untuk nilai3. Rumus luas belah ketupat untuk menghitung luas lingkaran Untuk d1 rumusnya adalah: d1 = p x r Untuk d2 rumusnya adalah :B. Saran Jagan takut untuk mencoba sesuatu yang baru selama itu baik, selalu berusaha mengembangkan, mengali, dan terus mencari, sebab matematika merupakan misteri besar yang dapat diungkapkan dengan berbagai cara, berbagai kalimat matematika dan berbagai percobaan. 21

×