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2012/7/16PRML読書会担当分(3.4 ベイズモデル比較)
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1.
PRML3.4 ベイズモデル比較
2012/7/16 @K5_sem PRML読書会
2.
概要 ●
3.4ではベイズの立場で モデル選択(Model Selection)について考える ● 3.4の流れ ● ベイズ以外の立場でモデル選択 ● ベイズの立場でモデル選択 ● モデルエビデンスの評価 ● モデル選択
3.
ベイズ以外 の立場でモデル選択[1/2] ●
詳細は1.3参照 ● 確認用集合(検証用集合:validation set)で予測性能 のよいモデルを考える ● テスト集合(Test Set)で選んだモデルの性能を評価 ● 性能の尺度をみつけるために情報量基準 (Information Criterion)を使い、これが最大に なるモデルを選んだ!!
4.
ベイズ以外 の立場でモデル選択[2/2] ●
短所 ● (AICやBICは)モデルパラメータの不確実性を考慮し ておらず、過度に単純なモデルを選んでしまう ● テスト集合(Test Set)で選んだモデルの性能を評価 ● 複雑さに罰金(penalty?)を与える方法として、 完全なベイズアプローチを採用する!! →「3.4 ベイズモデル比較」で説明!!
5.
ベイズの立場でのモデル比較 ●
モデル選択における不確かさを表すために確率 を用いる。 ● p(Mi|D) ∝ p(Mi)p(D|Mi) ※(3.66)式 p(Mi|D) →モデルの事後分布 ※Dは訓練集合 p(Mi) →事前確率分布 p(D|Mi) →モデルエビデンス/周辺尤度 ● ここではモデルエビデンス(Model Evidence)が 重要である!!
6.
モデルエビデンスとは? ●
モデルの空間でパラメタを周辺化した尤度関数 ● 周辺尤度(marginal likelihood) ● パラメタを事前分布からランダムにサンプリングされたこ とで手元にあるデータ集合Dから生成される確率とみなせる (11章参照) ● 2つのモデルに対するエビデンスの比 →ベイズ因子(Bayes factor) ● ベイズの定理(P.14)によってパラメタの事後確率を計 算するときの分母に現れる正規化定数そのもの ((3.69)式参照)
7.
モデルエビデンスの評価 ●
パラメタに関する積分を単純近似することでモデ ルエビデンスの別の解釈ができる!! ・・・以下、解析のお話((3.70)式~(3.72)式およ び図3-12。詳細は3.5参照) ● 解析の流れ ● 図3-12から(3.70)式の導出 ● (3.70)式で対数をとる→(3.71)式 ※解析の常套手法?(積を和で表現できるから?) ● (3.71)式を汎化?したもの→(3.72)式 ※M〓1が3.71式
8.
モデル選択[1/2] ●
「考えているモデルの集合の中にデータが生成される真の 分布が含まれている」と仮定 →ベイズモデル比較で正しいモデル選択が可能 ● 真のモデルと偽のモデルのエビデンスの比(ベイズ因子)を データ集合の分布に関して平均することで得られる期待ベ イズ因子 →カルバックライブラ情報量(Kullback-Leibler divergence) ※(3.73)式 ● 2つのモデルが等しいときだけ0で、それ以外の場合は常 に正の値となる →正しいモデルのベイズ因子の方が常に大。
9.
モデル選択[2/2] ●
真(True)のモデルがあった時に、モデルエビデ ンスとのカルバック距離が0に近いほど真のモ デルに近そうだと判断する ● しかし2つのモデルのエビデンス比を考えてか ら極限をとることで意味のある値を得られるこ ともある →実際の応用ではテスト用の独立なデータ集合 をとっておき、それを用いて最終的なシステム の全体性能を評価するほうがよい
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