2. Riga e compasso erano gli unici
strumenti a disposizione dei
geometri antichi. Ma la riga e il
compasso, in geometria, hanno
caratteristiche molto particolari...
3.
4. Partiamo dalla retta. Euclide, nei Libro
Primo dei suoi celeberrimi “Elementi”, dà
queste definizioni:
1 — Un punto è ciò che è privo di parti.
2 — Una linea è una lunghezza senza
larghezza.
3 — Le estremità di una linea sono punti.
4 — Una retta è una linea che giace
ugualmente rispetto ai punti su di essa.
5. Seguono due postulati (affermazioni che
vengono considerate vere senza venire
dimostrate):
1 — È possibile condurre una linea retta
da un qualsiasi punto ad ogni altro
punto.
2 — È possibile prolungare
illimitatamente in linea
retta una retta finita.
6. Tutto questo è abbastanza intuitivo: dati
due punti qualsiasi, essi possono essere
congiunti con un segmento rettilineo; e si
può anche proseguire il disegno
prolungando a piacimento il segmento
oltre i punti dati.
7. Nelle costruzioni geometriche capita di dover
riportare (o, più esattamente, “applicare”) la
lunghezza di un segmento a un altro
segmento. E qui viene fuori un problema non
da poco, in quanto la riga NON è graduata.
“Misurare” un segmento con un righello e poi
riportare quella misura da un’altra parte non è
certo un sistema esatto, e infatti non viene
mai preso in considerazione da Euclide. Allora
come si fa?
8. Visto che con la riga il “trasporto” di una
lunghezza non si può fare, non rimane
altro strumento disponibile che il
compasso... allora vediamo per Euclide
cos’è un cerchio (o circonferenza).
9. Definizioni:
15 — Dicesi cerchio una figura piana delimitata da
un'unica linea tale che tutti i segmenti che terminano
su di essa a partire da un medesimo punto fra quelli
interni alla figura, siano uguali fra loro.
16 — Quel punto si chiama centro del cerchio.
Postulato:
3 — È possibile descrivere un cerchio con qualsiasi
centro e qualsiasi raggio.
10. Il compasso è proprio lo strumento
necessario per tracciare questa figura
chiamata cerchio: dato un centro e uno
dei punti sulla sua circonferenza, è in
grado di tracciare tutti gli altri punti alla
stessa distanza dal centro.
11. Allora visto che il compasso è in grado di
determinare tutti i punti equidistanti da
un punto dato (centro), non è che lo si
potrebbe usare anche per “trasportare”
una lunghezza, come mostro qui sotto?
12. La risposta è... Nì. Nel senso che questa è una pratica
usata continuamente, ma non è giustificata
direttamente dai postulati di Euclide; quindi in
teoria... è un’operazione vietata.
Dobbiamo immaginare che il compasso di Euclide
abbia la particolarità di richiudersi automaticamente
appena viene allontanato dal foglio: proprio come
nell’animazione più sopra, quella dove mostravo il
disegno della circonferenza.
13. Ora è ovvio che Euclide non si poteva
arenare di fronte a questa difficoltà, infatti
dedica le prime tre proposizioni del Libro
Primo dei suoi Elementi proprio al
superamento di quest’ostacolo.
14. Nella prima proposizione mostra come si
costruisce un triangolo equilatero su
un segmento dato (equilatero è quel
triangolo che ha i tre lati uguali):
15. Come si vede
dall’animazione,
vengono tracciati
due archi di
cerchio, entrambi
di raggio pari al
segmento dato;
ogni volta il
compasso viene
richiuso e riaperto:
ecco che NON
stiamo
commettendo
l’infrazione di
tenere il compasso
aperto fra il
disegno di un arco
e l’altro.
16. Ecco dimostrato che una lunghezza può
essere trasportata in modo esatto, da
un punto a un altro del foglio, senza
trasgredire alle “regole” di Euclide.
17. Il fatto che questa
operazione sia fattibile
basandosi su
definizioni e postulati
già presenti è il motivo
per cui Euclide non ha
avuto bisogno di
aggiungere, fra i suoi
postulati, qualcosa che
affermasse la
possibilità di
trasportare una
lunghezza.
E
u
c
l
i
d
e
18. Possiamo usare il procedimento dichiarato
“vietato” come scorciatoia per semplificarci il
lavoro, ma solo dopo aver dimostrato la
fattibilità di questa operazione con i metodi
“prescritti”.
