Capitolo 6a elementi di valutazione dei prodotti derivati

Finanza Computazionale

Introduzione alla Valutazione dei
Prodotti Derivati

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE

Introduzione al pricing
Il principio di Arbitraggio
Il modello Binomiale
Il modello di Black e Scholes
Metodi alle Differenze Finite
Metodo Monte Carlo


Definizioni




Da un punto di vista del tutto generale con il
termine Monte Carlo si intende una tecnica
numerica che faccia uso di numeri casuali per
risolvere un problema.
il
metodo
Monte
Carlo
consiste
nel
rappresentare la soluzione di un problema come
parametro di un’ipotetica popolazione ed usare
una sequenza di numeri casuali per costruire un
campione della popolazione dal quale possano
essere estratte stime statistiche del parametro.


Problemi risolubili col
Metodo Monte Carlo


A. Problemi di natura intrinsecamente probabilistica in cui sono
coinvolti fenomeni legati alla fluttuazione stocastica di variabili
aleatorie. Due problemi tipici che rientrano in questa categoria
sono il pricing di un’opzione e la stima del VaR di un portafoglio.



B. Problemi di natura essenzialmente deterministica, del tutto
privi cioè di componenti aleatorie, ma la cui strategia di
soluzione può essere riformulata in modo tale da risultare
equivalente alla determinazione del valore di aspettazione di
una funzione di variabili stocastiche.


Simulazione Monte Carlo e Integrazione


Un’estrazione da un campione di numeri casuali può essere
utilizzata come stimatore di un integrale

1

I = ∫ f ( x)dx
0

Questa espressione può essere interpretata come il
valore di aspettazione della funzione f di una variabile
aleatoria a valori uniformemente distribuiti nell’intervallo
[0, 1]


x variabile aleatoria con densita di probabilità data da g ( x)
f ( x)
E [ f ( x )] ?
E [ f ( x )] =

max x

∫ f ( x) g ( x)dx

min x

x variabile aleatoria uniformemente distribuita fra 0 ed 1
0 se x < 0 o x > 1
g ( x) = 
 1 altrimenti
1

E[ f ( x)] = ∫ f ( x)dx
0




Diventa così possibile stimare il valore del nostro integrale tramite una
media aritmetica di n valori di f(xi) dove ciascun xi rappresenta un campione
estratto da una distribuzione uniforme in [0, 1]. In altre parole possiamo
affermare che la quantità

~ 1
In =
n

n

∑ f (x )
i

i =1

♦ rappresenta uno stimatore non distorto di I. La varianza di questa stima

risulta pari a:

σ2
1 n
 1
 n
 1
~
2
var( I n ) = var  ∑ f ( xi ) = 2 var ∑ f ( xi ) = ∫ [ f ( x) − I ] dx =
n
 n i =1
 n
 i =1
 n0
1




l’errore quadratico medio dello stimatore, che può essere interpretato come
l’errore quadratico medio della simulazione Monte Carlo, decresce
all’aumentare di n come

1/ n




Questo risultato risulta del tutto indipendente dalla dimensione del
problema.
E’ proprio quest’ultima caratteristica che rende attraente il metodo Monte
Carlo per la risoluzione di problemi con un numero elevato di dimensioni. In
questo caso tipicamente il metodo Monte Carlo risulta convergere verso il
valore finale più velocemente dei metodi numerici tradizionali in cui il
numero di iterazioni per raggiungere un’approssimazione prefissata cresce
con l’aumentare del numero di dimensioni.


Pricing di strumenti derivati


Il pricing di un’opzione è affrontato usualmente nel contesto della cosiddetta
valutazione neutrale rispetto al rischio. Indicando con f T il valore dell’opzione
stessa alla scadenza T, il valore ad oggi, f, sarà dato da

(

ˆ f e− r T
f =E T

)

(1)

essendo Ê il valore di aspettazione risk-neutral ed <r> il valore medio fra t = 0 e
t = T del tasso privo di rischio. Qualora si assuma di conoscere con certezza il
valore di <r> il problema può essere semplificato e la (1) diventa

f =e

− r T

ˆ
E[ fT ]


(2)







La formulazione del problema rende evidente la sua natura intrinsecamente
probabilistica.
L’applicazione del metodo Monte Carlo nel caso in esame si riduce essenzialmente
alla generazione di un numero sufficientemente elevato di stime di f T da cui
estrarre il valore medio.
A tal fine è necessario innanzi tutto introdurre un’ipotesi sul modo in cui il prezzo
del titolo sottostante si evolve nel tempo;


Un’assunzione abbastanza comune è che il prezzo dell’azione segua un moto
geometrico browniano. Secondo questa ipotesi il tasso di variazione del prezzo
in un intervallo di tempo infinitesimo è descritto da

dS = µSdt + σSdz
(3)
dove m è il tasso di rendimento atteso e s è la volatilità del prezzo dell’azione.




Ricordiamo che...


La simulazione viene condotta dividendo l’intervallo di vita del derivato
in N intervalli ciascuno di ampiezza ∆t.



Si può dimostrare che la versione discreta della precednte equazione è
data da

∆S = µS∆t + σSε ∆t
dove ∆S è la variazione di prezzo nell’intervallo ∆t ed e è un numero
casuale estratto da una distribuzione normale




A questo punto siamo in grado di calcolare i valori assunti da ∆S (e quindi da S)
agli istanti 0, ∆t, 2 ∆t, ….fino alla scadenza T.




Si noti che il processo di simulazione richiede la generazione di N numeri casuali
indipendenti normalmente distribuiti.

Una volta simulato il valore del titolo sottostante al tempo T siamo in grado di
ricavare il valore dell’opzione alla stessa data. Supponendo che l’opzione sia di
tipo call avremo semplicemente

fT = max(ST − K ,0)


essendo K lo strike price. Ripetendo la procedura appena descritta un numero
molto elevato di volte siamo in grado di ottenere una distribuzione di valori per f T
dalla quale è possibile estrarre il valore di aspettazione.


Esempio
Esempio
Programmazione
Programmazione
VBA
VBA

“Crude” Monte Carlo
“Crude” Monte Carlo

Un Problema di Efficienza


Immaginiamo di voler calcolare un certo parametro P (ad esempio il
prezzo di un’opzione) e di poter scegliere fra due diverse stime
ottenibili con il metodo Monte Carlo rappresentate dalle due serie di
valori ottenuti con il processo di simulazione

ˆ
P1i , i = 1,..., n


ˆ
P2i , i = 1,..., n

Supponiamo poi che entrambi gli stimatori siano corretti, cioè valga

[ ]

[ ]

ˆ
E P2 = P

ˆ
EP =P
1
ma con

σ1 < σ 2








Chiaramente sulla base di queste sole informazioni
saremmo portati a scegliere il primo stimatore in
quanto, a parità di numero di simulazioni, l’errore di
stima risulterà senz’altro minore.
Tuttavia, come accennavamo poco sopra, questa
conclusione rischia in realtà di non essere corretta
in quanto non tiene conto del fatto che i due
stimatori possono richiedere risorse computazionali
molto diverse fra loro;
in particolare generare n replicazioni di P1 potrebbe
richiedere molto più tempo che generare n
replicazioni di P2.







Un primo approccio al problema potrebbe essere quello di
introdurre esplicitamente nelle nostre considerazioni il tempo
di calcolo richiesto.
Supponiamo che il tempo richiesto per generare una singola
replicazione di Pj possa essere espresso da una costante che
indicheremo con bj, avendo a disposizione un tempo totale di
calcolo pari a t il numero di replicazioni di Pj che possiamo
generare sarà pari a t/bj.
I due stimatori possono pertanto essere riscritti introducendo
esplicitamente il tempo di calcolo nelle formule

b1 t / b1 ˆ 1
∑ Pi
t i =1

b2
t


t / b2

ˆi 2
∑P
i =1



Per valori sufficientemente alti di t queste due quantità sono normalmente
distribuite con media P e standard deviation

σ1


b1
t

σ2

b2
t

pertanto per grandi valori di t il primo stimatore sarà preferibile al secondo
se

σ b <σ b
2
1 1

2
2 2



Il prodotto della varianza per il tempo necessario ad eseguire un singolo run
viene indicato in letteratura col nome di efficienza (Hammersley e
Handscomb, 1964).



Usando l’efficienza come base per il confronto fra diversi stimatori possiamo
concludere che lo stimatore a bassa varianza è preferibile all’altro solo se il
rapporto delle varianza è più piccolo del rapporto fra i tempi di singola
replicazione.

Variabili Antitetiche
Uno dei metodi più semplici e più utilizzati in campo finanziario per
la riduzione della varianza è senz’altro il metodo delle variabili
antitetiche.
Consideriamo di nuovo la procedura classica di stima del prezzo di
un’opzione, per semplicità espositiva ci limiteremo ancora al
contesto del modello di Black e Scholes.







Se si adotta la tecnica della variabile antitetica, in ogni
simulazione si devono determinare due valori.
Il primo valore è quello calcolato nel modo consueto...
...mentre il secondo valore viene calcolato cambiando
segno a tutti i campioni estratti casualmente dalle
distribuzioni normali standardizzate.






I due stimatori hanno chiaramente le stesse proprietà
statistiche essendo estratti dallo stesso campione (in
particolare hanno la stessa varianza).
Il valore campionario del derivato calcolato in ogni
simulazione è la media di questi due valori e la sua varianza è
data da

~
 Ci + Ci  1
~
Var 
 = Var Ci + Ci
 2  4
1
~
= Var ( Ci ) + Cov Ci , Ci
2

[

[

]

(

)]


Pertanto se

avremo

.

Comunque occorre tenere presente che questa procedura richiede un numero di
simulazioni doppio rispetto al caso standard per cui è necessario ragionare in termini di
efficienza.
Se supponiamo che la generazione dei numeri casuali richieda un tempo trascurabile
rispetto al calcolo del prezzo allora possiamo affermare che il tempo impiegato
utilizzando le variabili antitetiche sia all’incirca doppio di quello richiesto nel caso
standard.
In questo caso il metodo delle variabili antitetiche è preferibile in termini di efficienza
rispetto al metodo standard se si verifica la condizione


Questa condizione è equivalente a richiedere che

Verifichiamo se questa condizione è valida.
Indichiamo con ϕ la funzione definita dalla relazione
; supponiamo che ϕ sia
la composizione di due funzioni monotone, la prima è quella che lega il valore del
sottostante alla variabile aleatoria Z, la seconda è la funzione che calcola il payoff come
valore massimo fra 0 e la differenza fra il prezzo del sottostante e lo strike price. In
queste condizioni anche ϕ è monotona.


Utilizzando una disuguaglianza standard possiamo allora verificare che

da cui segue immediatamente

Quindi il metodo delle variabili antitetiche è più efficiente del metodo standard a patto
che siano verificate le condizioni di monotonicità citate.
Nel caso di payoff non monotoni il metodo non necessariamente fornisce prestazioni
migliori del Monte Carlo standard, anzi, in alcune condizioni i risultati sono
sensibilmente peggiori.


Moment Matching
Il metodo dei momenti moment matching) comporta l’aggiustamento
campioni estratti da una(distribuzione normale standardizzata in modo
dei
da assicurare l’uguaglianza tra i momenti campionari (in genere il primo e
il secondo) e i corrispondenti momenti della distribuzione probabilistica.

 Indichiamo con Z

i campioni estratti da una distribuzione normale
usati per calcolare la variazione di valore di una certa variabile in un certo
periodo di tempo. Per assicurare l’uguaglianza dei primi due momenti
calcoliamo la media campionaria m e la deviazione standard campionaria
s. Quindi definiamo nel modo seguente i campioni aggiustati
i

Zi − m
Z =
s
'
i


Esempio Excel
Esempio Excel

Confronto fra alcuni metodi di
Confronto fra alcuni metodi di

Riduzione della Varianza
Riduzione della Varianza


Greek Letters: Differenze Finite


Consideriamo il problema legato al calcoloZ’ del due estrazioni indipendenti da una
Ze
sono Delta di un’opzione
normale standard
europea

∆=


∂C
∂S0

Un approccio diretto al problema può consistere nella generazione di
due prezzi finali, il primo

ST = S0e

( r −σ 2 / 2)T +σ T Z

a partire dal valore S0 , e il secondo a partire dal valore perturbato S0 +
ε

ST = ( S 0 + ε )e

( r −σ 2 / 2)T +σ T Z '


Greek Letters


Per ogni valore del prezzo finale possiamo poi calcolare il valore
dell’opzione corrispondente

C ( S 0 ) = e −rT max(0, S T − K )

C ( S 0 + ε ) = e − rT max(0, S T (ε ) − K )

~ C ( S0 + ε ) − C ( S0 )
∆=
ε

Greek Letters

( )

~
−2
−2
Var ∆ = ε {Var[ C ( S0 + ε )] + Var[ C ( S0 )]} = O (ε )


Problema




Poiché i valori per ST e ST(ε) sono generati indipendentemente
l’uno dall’altro la varianza di delta diverge al diminuire del
valore di ε.
Per ottenere uno stimatore che converga verso il valore
effettivo del Delta occorre diminuire in maniera graduale (e
lenta) il valore di ε all’aumentare di n. Complessivamente
questo rallenta la velocità di convergenza fino a livelli del tutto
inaccettabili.


Greek Letters


Una stima migliore può essere ottenuta utilizzando il metodo dei Numeri
Casuali Comuni (Common Random Numbers) che nella fattispecie si
traduce nell’utilizzare lo stesso numero casuale Z sia nel calcolo di S0 che
di S0 + ε.



Se denotiamo con ∆^ la stima del Delta così calcolata; per un valore di ε
fissato, la media di un campione di repliche indipendenti di ∆^ converge
al valore effettivo di Delta ma il calcolo della varianza ora fornisce un
valore diverso in quanto C(S0) e C(S0 + ε) non sono più indipendenti

()

ˆ
Var ∆ = ε −2 {Var [ C ( S 0 )] + Var [ C ( S 0 + ε )] − 2Cov[ C ( S 0 ), C ( S 0 + ε )]}
Cov > 0

 C ( S0 + ε ) − C ( S0 ) 
Var 
 = O (1)
ε



Esempio Excel
Esempio Excel

Common Random Numbers
Common Random Numbers

Stima del Delta
Stima del Delta


Variabile di controllo


Il metodo della variabile di controllo mantiene inalterata la funzione
di distribuzione campionata, il miglioramento dell’efficienza si
ottiene in questo caso ricorrendo ad una funzione ausiliaria v(z)
correlata a k(z) di cui è noto esattamente l’integrale

ℑC = ∫ v( z )dF ( z )
Z



Il metodo della variabile di controllo funziona bene quando
quest’ultima ha un elevato grado di correlazione con la variabile
che intendiamo stimare. Una situazione di questo tipo si presenta
quando vogliamo conoscere il prezzo di un’opzione asiatica se
utilizziamo come variabile di controllo il prezzo dell’opzione asiatica
a media geometrica corrispondente.




Un esempio pratico: il pricing di un’opzione asiatica



Le opzioni asiatiche sono opzioni il cui valore finale dipende dal
prezzo medio dell’attività sottostante osservato, almeno in parte,
durante la vita dell’opzione.



Il valore finale di una call scritta sul prezzo medio (average price
call) è max(0,Save-X) e quello di una put scritta sul prezzo medio
(average price put) è pari a max(0, X – Save) essendo il prezzo medio
calcolato in un periodo determinato (Hull, 2000).



Le opzioni average price sono meno care delle opzioni ordinarie in
quanto il calcolo della media diminuisce di fatto la volatilità del
sottostante.


Variabile di Controllo






Se si assume che il prezzo dell’attività sottostante, S, sia distribuito
in modo log-normale e che Save sia una media geometrica degli S,
possiamo utilizzare delle formule analitiche per valutare le opzioni
asiatiche di tipo europeo.
Ciò dipende dal fatto che la media geometrica di un insieme di
variabili distribuite in modo log-normale è anch’essa log-normale.
Si può dimostrare che in un mondo neutrale verso il rischio il prezzo
di un’opzione asiatica scritta su una media geometrica calcolata su
m periodi temporalmente equidistanziati...



G =  ∏ St j 


 j =1 
m

1/ m

è pari a ...

1 2
 

CG = exp( − rT ) exp µ G + σ G  N ( d 1 ) − KN ( d 2 )
2

 




dove

1 2T +h

µG = ln ( S 0 ) +  r − q − σ 
2  2

2
σ G = σ 2h

( 2m + 1)( m + 1)
6m

2
µ G − ln( K ) + σ G
d1 =
σG

d 2 = d1 − σ G


h =T /m

Nella sim ulazione Mont ee Carlo st andar d ilil prezzo dell’opzione
Nella sim ulazione Mont Carlo st andard
prezzo dell’opzione
viene calcolat oocom ee
viene calcolat com

[[

]]

− rT
C ( i()i )==ee − rT Emax( A( i()i )−−K ,00), ,
E max( A
C
K, )

i i== 1 , , n
1, ,  n

dove A( i)i)èèla m edia arit m et ica discret aacam pionat aa
dove A(
la m edia arit m et ica discret cam pionat
11 mm ( i )
A == ∑ SS ( it)jt
A
j
m j∑
m =1
(i )
(i )

j =1

calcolat aasu un insiem eediscret oodi punt i i
calcolat su un insiem discret di punt

T
hh== T, ,
t0 ==00,
j j== 1,2 , , m
1,2, ,  m
t0 ,
m
m
ed nnèèililnum ero di sim ulazioni. Quest oopor t aaallo st im at ore
ed
num ero di sim ulazioni. Quest port allo st im at ore
t t ==t t−1 ++hh,
,
j
j
j
j −1

n
n
ˆ ˆ= 11∑ C ( i()i )
C =
C n ∑C
ni =i1 1
=


Ut ilizzando ilil m et odo della variabile di cont rollo olt re alle
Ut ilizzando
m et odo della variabile di cont rollo olt re alle
variabili descrit t t e sopra dobbiam oo calcolare la m edia
variabili descrit e
sopra dobbiam
calcolare la m edia
geom et rica per ogni sim ulazione
geom et rica per ogni sim ulazione
1/ m

 mm ( i ) 1 / m
(i )
( i )= 
G = SSj ( i )
∏ t 
G
=1
 j∏ t j 
 j =1


eeililvalore cam pionat oodell’opzione asiat ica aam edia geom et rica
valore cam pionat dell’opzione asiat ica m edia geom et rica
(
CGi()i )==exp( −− rT ) max( Gi()i )−−K ,00)
rT ) max( G (
CG
exp(
K, )

Quest aavolt aaperò ut ilizzerem oolo st im at ore
Quest volt però ut ilizzerem lo st im at ore
n

(
ˆ 1 n
Cˆ== 1∑ (C ( i()i )−−CGi()i )++CG ) )
C n ∑ (C
CG C G
ni =i1 1
=


25,00
25,00

Asiatica Aritmetica
Asiatica Aritmetica
Europea Black & Scholes
Asiatica Geometrica
Asiatica Geometrica

20,00
20,00

15,00
15,00

10,00
10,00

5,00
5,00

0,00
0,00
0,05
0,05

0,10
0,10

0,15
0,15

0,20
0,20

0,25
0,30
0,25
0,30
Volatilità Sottostante

0,35
0,35


0,40
0,40

0,45
0,45

0,50
0,50

35,00
35,00

30,00
30,00

Asiatica Aritmetica
Asiatica Aritmetica
Asiatica Geometrica
Asiatica Geometrica

25,00
25,00

20,00
20,00

15,00
15,00

10,00
10,00

5,00
5,00

0,00
0,00
0,5
0,5

1,0
1,0

1,5
1,5

2,0
2,0

2,5
3,0
2,5
3,0
Tempo a Scadenza
Tempo a Scadenza

3,5
3,5


4,0
4,0

4,5
4,5

5,0
5,0

0,8000
0,8000

MC Standard
MC Standard

MC Controllo
MC Controllo

MC Antithetic
MC Antithetic

0,7000
0,7000

0,6000
0,6000

0,5000
0,5000

0,4000
0,4000

0,3000
0,3000

0,2000
0,2000

0,1000
0,1000

0,0000
0,0000
0,05
0,05

0,10
0,10

0,15
0,15

0,20
0,20

0,25
0,25

0,30
0,30


0,35
0,35


0,40
0,40

0,45
0,45

0,50
0,50

0,8000
0,8000

MC Standard
MC Standard
MC Antithetic
MC Antithetic

MC Controllo
MC Controllo

0,7000
0,7000

0,6000
0,6000

0,5000
0,5000

0,4000
0,4000

0,3000
0,3000

0,2000
0,2000

0,1000
0,1000

0,0000
0,0000
0,5
0,5

1,0
1,0

1,5
1,5

2,0
2,0

2,5
2,5

3,0
3,0

Tempo a Scadenza
Tempo a Scadenza

3,5
3,5


4,0
4,0

4,5
4,5

5,0
5,0

Esempio Excel
Esempio Excel

Pricing di un’Opzione Asiatica
Pricing di un’Opzione Asiatica


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