In questa breve presetazione si definisce cos'è la riassicurazione, quali sono i soggetti riassicuratori, le teorie ed i metodi matematici per valutare un contratto riassicurativo. Inoltre si fa una breve panoramica sul mercato di tale settore, presentando il lavoro di una tra le maggiori imprese riassicuratrici al mondo: la Swiss Re.

1. LA RIASSICURAZIONE
Pietro Di Leo
Albulena Bytyqi
Rangel Mitrovic
Anno Accademico
2019/2020

2. COSA È LA RIASSICURAZIONE?
➤ Pratica assicurativa che riguarda solo i rapporti tra le
compagnie assicurative (non per l’assicurato);
➤ L’obiettivo è la copertura dai rischi, molto diversificati tra loro
(credito, insolvenza, catastrofi naturali ed artificiali, ecc.);
➤ Mercato strategico e fondamentale per l’intera struttura
finanziaria.

3. MODALITÀ DI GESTIONE DEL RISCHIO
➤ Strumenti per la gestione dei rischi sono:
POOL
COASSICURAZIONERIASSICURAZIONE

4. RIASSICURAZIONE: GLI ATTORI
ASSICURATO
RISCHIO
100 %
ASSICURATORE
RISCHIO
100% - X%
RIASSICURATORE
RISCHIO
X%

5. FORME DI RIASSICURAZIONE
Esistono 3 forme di riassicurazione:
FACOLTATIVA
PER SINGOLI RISCHI
OBBLIGATORIA
GAMMA DI RISCHI VASTA
FACOB
MIX TRA LA FACOLTATIVA
E L’OBBLIGATORIA
L’assicuratore può cedere
le quote di rischio
che ritiene opportune e
l’assicuratore può decidere
di accettare o meno la cessione.
È facoltativa per l’impresa
che cede (assicuratrice),
obbligatoria per il
riassicuratore.
Le parti stipulano un
contratto in cui si assumono
due obbligazioni differenti:
obbligo di trasferimento
ed obbligo di assunzione.

6. RIASSICURAZIONE
PROPORZIONALE
(ripartizione ex ante dei rischi)
EXCESS OFLOSS STOP LOSSQUOTA SHARE SURPLUS
RIASSICURAZIONE NON
PROPORZIONALE
(ripartizione ex post dei danni)
il riassicuratore interviene solo
per quei rischi, i cui capitali
assicurati eccedono il pieno di
conservazione della cedente,
e solo per quella parte.
viene ceduta una percentuale
identica di tutti i rischi sottoscritti.
Il riassicuratore condivide tutti i
sinistri proporzionalmente.
l’intervento del riassicuratore
è previsto,
nei limiti della portata,
se la competenza sinistri
dell’anno
supera un prefissato
ammontare od una
predeterminata percentuale dei
premi di competenza dell’anno.
la cessionaria si
impegna ad
indennizzare la
cedente di quella
parte di ogni
sinistro che
supera una
somma fissa
convenuta.
&

7. POLITICHEDI RITENZIONEOTTIMALEDEIRISCHI
Le compagnie di assicurazione devono definire le proprie politiche di gestione dei
rischi, al fine di:
• Individuare la necessità di cedere rischi
• Definire la quantità ottimale dei rischi da cedere
Esistono 2 criteri per affrontare tale tematica:
Criterio della probabilità dirovina Criterio dell’utilitàattesa
Incentrato sulla preoccupazione di
vedere azzerato il capitale iniziale
Ispirato alla ricerca di
condizioni che realizzino
una situazione di
vantaggiosità in termini di
utilità

8. PROBABILITÀ DI ROVINA
Un giocatore con patrimonio finito R affronta infinite perdite,
Le cui vincite sono variabili iid.
Secondo il modello di De Finetti, se il guadagno medio per singola partita è ≥0,
La probabilità di rovina è <1; a parità di altre condizioni essa è una
Funzione decrescente del guadagno medio:
Dove :
• m = guadagno medio per singola partita
• R = patrimonio iniziale
• = varianza

9. PROBABILITÀ DI ROVINA
Interpretando le variabili come grandezze relative al mondo assicurativo abbiamo che;
• m = caricamenti di sicurezza
• R = patrimonio dell’assicuratore
• =varianza del patrimonio
Se m=0, cioè in assenza di caricamenti, la probabilità di rovina è 1 ( non è conveniente
fare l’assicuratore).
L’obbiettivo è dunque quello di tenere sotto controllo P, mantenendola su valori il più
possibile bassi.

10. PROBABILITÀ DI ROVINA
Per far diminuire P si può:
•Aumentare il numeratore del rapporto (lasciando invariata la
varianza), e quindi
Aumentare il patrimonio o il caricamento di sicurezza, cosa non
facile per motivi concorrenziali.
•Diminuire (lasciando invariato mR), e cioè cedere rischi che
risultano essere troppo onerosi
per l’impresa.

11. CRITERIO DELL’UTILITA’ATTESA
Seguiamo un modello di utilità esponenziale:
B è il reciproco della misura di avversione al rischio. Indichiamo poi con G(r) il guadagno
aleatorio successivo alla riassicurazione, ovvero:
G(r) = P + C − Pr − Γ
Premio Assicuratore Provvigioni Premio Riassicuratore Quota di ritenzione
Max di Min di

12. CRITERIODELL’UTILITA’ATTESA
'
Indicando con 𝜑𝐺 𝑟 −B
la speranza matematica.
Passiamo alla minimizzazione del logaritmo di tale funzione sotto opportuni
VINCOLI, ovvero
O0 ≤ 𝑎 ≤1
0 ≤ 𝐿 ≤ 𝑀
dove M rappresenta il
massimale.
Usufruendo dell’ESPANSIONE DI TAYLOR,cioè:
ln 𝜑 𝐺 𝑟 𝜆 = 𝐾1 𝜆+'
𝐾2 𝜆2+ '
𝐾3 𝜆3+↓↓↓↓↓↓↓+ '
𝐾 𝑛 𝜆 𝑛
& Z! ^!
BDove: 𝜆= −'
e K: cumulante o semi-variante
Approssimazione al TERZO ordine: 𝐾 1 = 𝔼(𝐺 𝑟 ) ; 𝐾 2= 𝕍 𝕒𝕣 𝐺 𝑟 ; 𝐾3 = 𝜇3(𝐺(r))

13. CRITERIODELL’UTILITA’ATTESA
In considerazione di tutte le ipotesi:
OBIETTIVO trovare una quota di “a” o una quota di “L” che ci permettono
di
−
1
𝐵
Minimizzare il funzionale:
𝜓 𝐺 𝑟 =ln 𝜑 𝐺 𝑟
ovvero massimizzare ilfunzionale:
𝜓 𝐺( 𝑟) =6B2 𝔼 𝐺 𝑟 −3𝐵𝕍𝕒𝕣 𝐺 𝑟 + 𝜇3 𝐺 𝑟

14. RIASSICURAZIONE PROPORZIONALE
Specificando i parametri:
• Γ = 𝑎 𝑋
• 𝑃 = 𝔼 𝑋 + 𝑚
• 𝑃𝑟− 𝐶 = 𝔼 1− 𝑎 𝑋 + 𝐺𝑟 𝐺𝑟 = 1− 𝑚 r
In cui:
▪ 𝐺𝑟=“sacrificio di guadagnomedio”.
▪ 𝑚 𝑟 = guadagno del riassicuratore se ritenesse il rischio per intero.
Sostituendo i parametriotteniamo:
GUADAGNO ALEATORIOATTESO 𝔼 𝐺(𝑟) = 𝑚 − 1− 𝑎 𝑚 𝑟
𝑎 =6𝐵2 𝑚 − 1− 𝑎 𝑚 𝑟 −3𝐵𝑎2 𝜎2 − 𝑎3 𝜇3
Quindi il funzionale da massimizzare sarà: 𝜓 𝐺 𝑟
dove è il così detto
“COEFFICIENTE DI ASIMMETRIA”
𝛾=0
𝛾>0
𝛾<0
𝛾

15. RIASSICURAZIONENON PROPORZIONALE
Nel caso di ECCESSO DI SINGOLO SINISTRO (Excess of loss) assumiamo che:
con L priorità fissata dall’assicuratore e x risarcimento aleatorio globale
La funzione di guadagno aleatorio sarà dunque:
5
𝐺 𝑟 = 𝑃 + 𝐶 − 𝑃𝑟−Γ = 𝑃 − 1− 𝜂 𝔼 𝑁 ¶
~
𝐻 𝑦 𝑥 𝑑𝑥 −Γ
Il parametro L* che ottimizza il funzionale:
𝜓 𝐺 𝑟
𝐿 = 6𝐵2 𝑚 − 𝜂 𝔼(𝑁)¶ 𝑦
5
~
𝐻 𝑥 𝑑𝑥 −6B𝔼(𝑁 ) ¶
𝑥𝐻
𝑦 𝑦 𝑥 𝑑𝑥
~
𝑥 𝑑𝑥 −3𝔼(𝑁) ¶ 𝑥2 𝐻
Ä
~
Ä
Deve essere compreso nell’intervallo [0;L]
La soluzione di tale ottimizzazione sarà quindi: 𝐿
∗
=Ç 𝐵
∗
1+2𝜂−1
𝑀
≅ 𝐵𝜂 𝑠𝑒 𝐿 < 𝑀
𝑠𝑒 𝐿
∗
≥ 𝑀

16. RIASSICURAZIONENON PROPORZIONALE
Nel caso di ECCESSO GLOBALE (stop loss) abbiamo che:
Intervallo nonfinito 0≤ 𝐿≤ ∞
Il funzionale (espansione di Taylor al secondo ordine) sarà:
La quota ottimale di L sarà data dalla soluzione della seguente equazione:
~
𝐿−¶ 𝐻 𝑦 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐵𝜂
Ä
∗
𝐿 =(2𝔼 𝑥 𝐵𝜂)
'
&
Soluzione approssimata

17. PROCEDIMENTI IN USO NELLA PRATICA PER IL CALCOLO DEI PREMI DEL
RIASSICURATORE.
Il trasferimento del rischio dall’assicuratore al riassicuratore comporta anche il trasferimento del
premio, ricevuto dall’assicuratore, come prezzo per l’attività svolta dal riassicuratore.
Il calcolo del premio può essere distinto ai casi di riassicurazione proporzionale e non proporzionale:
1) i𝑃𝑟=(1−𝑎)𝑃𝑖 (QUOTA SHARE)
2) i𝑃𝑟=(1−𝑎𝑖)𝑃𝑖 (QUOTA SURPLUS)
RIASSICURAZIONE PROPORZIONALE

18. RIASSICURAZIONE NON PROPORZIONALE
Il calcolo del premio del riassicuratore viene effettuato tenendo conto dell’importo rimasto a carico del
riassicuratore per la copertura dei sinistri relativa ad un anno di trattato (BURNING COST).
Definendo 𝐶1,𝐶2,...,𝐶𝑘 gli esborsi del riassicuratore nei k anni precedenti l’esercizio attuale e P1, P2,…..,
Pk il premi di tariffa incassati dalla cedente in quegli anni il Burning cost può essere indicato come segue;
Aggiungendo ad esso il caricamento per spese e sicurezza , otteniamo un tasso
τ’=τ∗(1+η) che, applicato al monte premi dell’esercizio attuale, fornisce il premio del riassicuratore.
Con η solitamente pari a 45%.

19. Un’interessante forma riassicurativa non proporzionale che cerca di ovviare, in una certa
misura, agli inconvenienti derivanti dagli effetti inflativi è stata proposta dall’attuario
francese Thépaut ed è nota col nome ECOMOR (excedent du cont moyen relatif).
Alla chiusura del periodo contrattuale i sinistri (di maggiore entità) registrati
dall’assicuratore sono classificati in ordine decrescente dell’ammontare di risarcimento.
Il riassicuratore copre l’eccesso di ciascuno dei primi n rispetto all’n-esimo (dove n è
fissato all’inizio del periodo), mentre il premio da corrispondere al riassicuratore viene
fatto dipendere dall’ammontare del risarcimento dello n-esimo sinistro nella detta
graduatoria.

20. Se assumiamo che la distribuzione del singolo sinistro sia (almeno sulla “coda”) una distribuzione di
Pareto, ovvero che:
E indicando con X il valore osservato come realizzazione di Yn , l’eccesso medio di un sinistro di entità
superiore a Xn risulta uguale a;
Pertanto il premio da corrispondere al riasicuratore per la copertura degli eccessi dei
primi n-1 sinistri sopra la priorità x(n) risulta uguale a (n-1)en

21. POLITICHE GESTIONALI AD ORIZZONTE INFINITO. IL MODELLO DELLA “TEORIA COLLETTIVA DEL RISCHIO”
Poniamoci su un orizzonte temporale infinito. In questo caso è necessario confrontare possibili politiche
di costituzione di un fondo o riserva libera di sicurezza iniziale, R, di caricamento di sicurezza dei premi
equi e di riduzione della varianza dei rischi, scegliendo quella particolare politica o una di quelle per le
quali riesce non superiore ad un prefissato livello la probabilità che R=0 (ROVINA DELLA COMPAGNIA).
La riserva di sicurezza R evolve nel tempo secondo il processo stocastico 𝑹𝒕; 𝒕 ≥ 𝟎 ove Ro=R è la riserva
iniziale e t è scandito dall’ingresso nel portafoglio dei premi equi. Ad un monte premi equi t corrisponde
l’importo Ct dei premi caricati, ovvero al tempo t l’impresa avrà introitato l’importo:
𝜸= coefficiente di caricamento di sicurezza.
Per contro l’importo aleatorio St misuri il danno che si sarà cumulato nell’intervallo 𝟎, 𝒕 cioè a carico dei
Monti premi equi t cosi che E St = t .
L’entita del fondo al tempo t, valutata in t =0 sarà pertanto pari a ;

22. • In t1 e t2 sono stati pagati risarcimenti per importi globali SI e SII rispettivamente.
• In t2 i premi incassati ammontavano a Ct2 e riusciva 𝑹 + 𝑪𝒕𝟐> 𝑺𝒕𝟐= 𝑺𝑰+ 𝑺𝑰𝑰
• In t3 invece, per effetto del pagamento SIII, il fondo è sceso sotto il livello zero facendo
registrare una perdita (si è verificata la “rovina”)
OSSERVANDO IL GRAFICO, POSSIAMONOTARE UNA POSSIBILETRAIETTORIA DI RT:.

23. L’importo aleatorio 𝑆𝑡 misura il danno cumulato nell’intervallo [0,𝑡] a carico del monte premi equi
t, cosi che, in previsione, risulta E[St]=t.
L’entita della riserva al tempo t, valutata in t=0 sarà pertanto pari a :
A noi interessa valutare la probabilità attuale che 𝑅𝑡 si azzeri. Si assume che 𝑆𝑡 sia
un processo di Poisson del tipo:
N(t): processo Poissoniano all’arrivo dei sinistri
Yh: entità del risarcimento dell’h-esimo sinistro (IID) -> il processo St ha incrementi IID
Otteniamo:

24. Per quanto riguarda la probabilità asintotica di rovina, essa è data dalla:
Dove:
• 𝑚 = γ𝐸 𝑆1 = γ ∗ 1 indica il guadagno medio per caricamenti di sicurezza(nell’unità di tempo)
• σ2 ; varianza del guadagno (nell’unità di tempo)

25. ESPERTOGLOBALEINMATERIADIRISCHI:
SWISSREGROUP
Swiss Re Group, fondata nel 1863, è uno dei principali fornitori mondiali di riassicurazioni,
assicurazioni e altre forme di trasferimento del rischio basate sull’assicurazione.
MISSIONE
Anticipare e gestire i rischi (il 75% dei rischi assicurati, es. catastrofi
naturali, cambiamenti climatici, invecchiamento della popolazione e
criminalità non è riassicurato).
Attraverso la ricerca, la conoscenza e l’utilizzo di una vasta gamma di
competenze tecniche sempre aggiornate.
STRUMENTI

26. CREAZIONE DI UNLEADERMONDIALE
-Swiss Re iniziò a diffondere i suoi rischi a livello internazionale già nel 1864, ma all'epoca
l'ambiente della riassicurazione era poco noto e si è rivelò difficile ottenere una solida base
all'estero. I cambiamenti avvennero con il terremoto e l’incendio di San Francisco nel 1906
dove Swiss Re si affermò in tutto il mondo.
-Gli anni '90 hanno visto importanti cambiamenti strutturali nel settore assicurativo,
principalmente guidato dalla deregolamentazione e dalla liberalizzazione dei mercati, portando
a un'ondata di fusioni e acquisizioni, la crescente globalizzazione del settore e una forte
crescita nel attività di assicurazione sulla vita.
-Mentre la tradizionale attività di riassicurazione di Swiss Re ha resistito bene alla crisi
finanziaria di 2008/2009, la società ha registrato una perdita netta per l'intero anno 2008 a
causa delle sue attività di servizi finanziari e operazioni di investimento. Nel 2009 Swiss Re è
tornata a un utile netto e ha ripristinato la sua solidità patrimoniale.

27. STRATEGIADIRIASSICURAZIONE
La strategia di Business Unit riassicurazione rimane focalizzata sulla differenziazione e sulla
crescita redditizia attraverso l'allocazione del capitale a pool di rischi sia esistenti che nuovi.
Fattori macroeconomici come i cambiamenti demografici e il previsto aumento del PIL
globale continueranno ad espandere questi pool di rischi sia nella riassicurazione
immobiliare che nel ramo danni.
DIFFERENZIAZIONE E RELAZIONE CON I CLIENTI
La segmentazione della clientela è un elemento fondamentale dell’approccio alla
differenziazione e si basa su una profonda comprensione dei clienti, che a sua volta facilita la
consegna di offerte su misura.
RUOLO DELLATECNOLOGIA
Sfruttamento della tecnologia e dei dati per comprendere meglio i rischi, migliorare la
sottoscrizione e i prezzi e aumentare l'efficienza. Per aiutare i clienti a migliorare le loro
prestazioni, Swiss Re ha sviluppato nuove soluzioni come una piattaforma telematica end-
to-end, analisi predittive per identificare i non fumatori e piattaforme di sottoscrizione
mobile per l'assicurazione sulla vita.

29. BIBLIOGRAFIA;
•Daboni Luciano, Lezione di tecnica attuariale delle assicurazioni
contro i danni,
Edizione LINT Trieste, 1988
•Straub Erwin, non- life insurance mathematics, association of Swiss
actuaries, zurigo, 1988
•www.swissre.com