Analisi dell'indice brasiliano Bovespa, del il modello che più si adatta alla sua volatilità e l'incidenza sull'indice del rischio geopolitico del brasile e della Cina

1. ~ 1 ~
Università degli Studi di Roma “La Sapienza”
Facoltà di Economia
Corso: Analisi delle serie storiche
A.A. 2019/2020
Edoardo Conte 1708179
Laurentiu Emanuel Bogdanel 1705880
“Analisi dell’indice Bovespa e l’incidenza su di esso dei GPR
del Brasile e della Cina”

2. ~ 2 ~
INDICE
Introduzione 3
Analisi descrittiva dell’indice 4
Modelli di stima e risultati empirici 9
Rischio geopolitico e analisi GARCH-MIDAS 13
Conclusioni 16

3. ~ 3 ~
Introduzione
Il seguente lavoro ha lo scopo finale di valutare e verificare l’incidenza del
rischio geopolitico del Brasile e della Cina sull’indice brasiliano Bovespa
attraverso l’utilizzo di un modello esteso del GARCH, il GARCH-MIDAS.
Numerosi studi affermano che il GPR possa avere influenza sugli indici di
mercato del paese di riferimento ma anche sugli indici di mercato di altri
paesi.
Prima di arrivare a questa conclusione verranno analizzate le caratteristiche
descrittive dell’indice in questione, in particolare verrà analizzato il suo
andamento, ossia se la serie e stazionaria o se presenta trend o stagionalità.
Come vedremo successivamente, più che all’andamento dell’indice siamo
interessati ai sui rendimenti, ossia ai guadagni o alle perdite che si possono
conseguire. Di conseguenza trasformeremo la nostra serie storica del prezzo
di chiusura dell’indice in una serie di rendimenti, che analizzeremo dal
punto di vista descrittivo. Nello specifico verificheremo se vi è la presenza
di stazionarietà e di normalità, osservazioni utili per la realizzazione del
progetto.
Sarà poi necessario applicare un’ulteriore trasformazione alla nostra serie,
considerando i rendimenti in valore assoluto, che sarà la nostra proxy per
l’analisi di alcuni metodi di stima.
La metodologia applicata ha come obiettivo la stima della volatilità della
serie. Utilizzeremo i modelli ARCH e GARCH verificando quale sia il più
parsimonioso e adeguato. Successivamente faremo un’analisi più
approfondita, utilizzando dei modelli Extended-GARCH come il GJR che
permette di catturare il leverage effect attraverso una componente
aggiuntiva.
Infine, introdurremo il rischio geopolitico del Brasile e della Cina e
utilizzando il modello GARCH-MIDAS, che attraverso le sue componenti
e in particolare quella di lungo periodo riesce a catturare e valutare
l’incidenza della Macro Variable, valuteremo come questi due indici
influenzino la serie dei rendimenti di partenza, ottenendo una risposta
concreta all’obiettivo prefissato.

4. ~ 4 ~
1) Analisi descrittiva dell’indice
Per la realizzazione del nostro project è stato preso come riferimento il prezzo di
chiusura dell’indice Bovespa. Del quale vediamo la realizzazione grafica nella
seguente figura:
Notiamo la presenza di un trend che è inizialmente decrescente e successivamente
crescente, è altamente probabile già da un’analisi visiva dell’indice che la serie sia
non stazionaria in media.
La non stazionarietà della serie è confermata anche dal relativo correlogramma:
Esso rappresenta la funzione di autocorrelazione (ACF), in particolare definisce la
presenza di correlazione di un “valore” del processo con quello precedente ed
indica l’ampiezza e la durata della memoria del processo. Si può assumere che una
serie sia stazionaria se approssimativamente il 95% dell’autocorrelazione sia
compresa nell’intervallo ±1.96/√T, le linee blu rappresentano proprio i valori degli
intervalli di confidenza. Valori all’esterno dell’intervallo vengono giudicati
significativamente diversi da zero mentre quelli all’interno dell’intervallo invece
suggeriscono che l’autocorrelazione stimata potrebbe essere in realtà dovuta al
caso. L’ACF è definita come:
𝜌(ℎ) =
𝑐𝑜𝑣(𝑋𝑡+ℎ, 𝑋𝑡)
(𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑡+ℎ))0.5(𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑡))0.5
Nel correlogramma dei nostri prezzi di chiusura le bande sono tutte al di fuori
degli intervalli di confidenza e decrescono lentamente. Ciò è indicativo del fatto che
la serie non è stazionaria.

5. ~ 5 ~
Come anticipato nell’introduzione, la nostra attenzione si concentra sui rendimenti
dell’indice piuttosto che sui suoi prezzi di chiusura, perciò è stata eseguita la
differenza logaritmica per ottenere la serie dei rendimenti, attraverso la seguente
funzione:
𝒚𝒕 = 𝐥𝐨𝐠(
𝒑 𝒕
𝒑 𝒕−𝟏
) = 𝐥𝐨𝐠(𝒑 𝒕) - 𝐥𝐨𝐠(𝒑𝒕−𝟏)
Questo è stato effettuato per poter approfondire la nostra analisi su una serie che
presenti una stazionarietà in senso debole e cioè che il valore atteso, la varianza e la
covarianza non dipendano del variare di t.
Questa condizione ci permette di eliminare il trend che abbiamo notato in
precedenza.
A questo punto procediamo di nuovo ad un’analisi grafica e descrittiva per vedere
come si comporta la serie:
Nel grafico dei rendimenti si può notare come la serie sia ora stazionaria in media,
ossia i valori osservati oscillano intorno a un numero, che altro non è che la media
della serie. Dall’analisi descrittiva possiamo verificare, come potevamo aspettarci,
un’asimmetria negativa e la leptocurticità della serie, caratteristiche comuni delle
serie finanziarie.
A conferma di questa ipotesi di non-normalità effettuiamo il test di Jarque-
Bera(1980) il quale serve per verificare se la serie è distribuita normalmente.
Esso si basa sulla differenza fra i valori dell’asimmetria e della curtosi calcolati sulla
serie con quelli noti della v.c Normale.
Media SD Min Max Ass. Curt
0 0.021 -0,162 0,095 -0,254 2.892

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Il test JB è calcolato tramite il seguente sistema di ipotesi:
{
h0 : La serie è normale
h1 : La serie è non − normale
La statistica test è data da: 𝐽𝐵 =
𝑇−𝑔
6
(𝑆2
+
(𝐾−3)2
4
)~𝛸2
2
Dove:
g = numero di parametri stimati,
S e K = asimmetria e curtosi della serie.
I risultati del test sono: X-squared = 888.8806, Asymptotic p-value < 2.2e-16
A conferma di ciò che avevamo ipotizzato.
I risultati ottenuti confermano l’ipotesi di non-normalità della serie è ciò implica
che rendimenti grandi e piccoli in valore assoluto si presentano con una frequenza
superiore rispetto a quella attesa nel caso normale; questo aspetto, di significato
apparentemente solo statistico, ha invece una grande rilevanza economica perché è
proprio in corrispondenza di rendimenti grandi in valore assoluto che si hanno
grandi guadagni e grandi perdite.
Per poter continuare nell’analisi del nostro progetto è necessario che la serie dei
rendimenti presi in considerazione sia un White Noise, formalmente: Xt~WN(0; 𝜎2
),
cioè un processo stocastico a media 0 e varianza costante, quindi indipendente dal
tempo. Per verificare che la serie sia White Noise effettuiamo l’analisi delle ACF e
PACF. La prima, come detto, misura l’autocorrelazione dei prezzi tra i vari lag, la
seconda detta autocorrelazione parziale misura la correlazione tra 𝑋𝑡+ℎ e 𝑋𝑡 al netto
dell’effetto esercitato dalle variabili intermedie 𝑋𝑡+𝑥 con x = 1,2…h-1.

7. ~ 7 ~
Possiamo confermare che si tratti di un WN poiché dall’ACF e dalla PACF risulta
che le bande sono all’interno dell’intervallo di confidenza.
Il test di Box-Pierce e di Ljung-Box vengono effettuati per verificare ancora più
concretamente se la serie dei rendimenti è WN. Tuttavia il test LB ha una
convergenza più rapida alla distribuzione asintotica e, per tale motivo, risulta
preferibile al test BP .
Il test LB è calcolato tramite il seguente sistema di ipotesi:
{
h0 : dati incorrelati
h1 : dati correlati
La statistica test è data da : LBm = T(T+2)∑
𝝆 𝟐
𝒆
𝑻−𝒉
𝒎
𝒉=𝟏
Dove:
• T è la dimensione del campione dei dati
• m è il numero di autocorrelazioni prese in esame
• h è il lag
• 𝑝 𝑒 è la funzione di autocorrelazione campionaria al ritardo k
I risultati del test sono: X-squared = 26.795, df = 20, p-value = 0.1411 a conferma di
ciò che avevamo ipotizzato.
Se avessimo ottenuto il risultato opposto, ossia nel caso in cui la nostra serie dei
rendimenti ottenuta grazie alla differenza logaritmica non fosse stata un WN,
sarebbe stato necessario utilizzare i modelli MA, AR o ARMA da cui si sarebbero
ottenuti dei residui, che a loro volta sarebbero dovuti essere dei WN per poter
procedere con il project. I modelli appena citati sono dei modelli lineari che
evolvono nel tempo secondo una dinamica in cui i valori odierni dipendono dai
valori passati.
- The MA(q) model
Nel modello MA(q) si suppone che il valore corrente della variabile aleatoria Xt
dipenda dalla sommatoria di shocks, con media zero e varianza costante,
parametrati con un coefficiente, formalmente:
𝑋𝑡=∑ 𝜃𝑗
𝑞
𝑗=0 𝜀𝑡−𝑗 con 𝜃0 = 1 e 𝜀𝑡−𝑗 ~ WN (0; 𝜎2
)
Il processo MA(q) è sempre stazionario ed inserendo l’operatore di lag cioè
B𝑋𝑡=𝑋𝑡−1 e risolvendo l’equazione precedente troviamo il polinomio caratteristico
Θ(𝐵)𝜀𝑡. Ed uguagliando a 0 e risolvendo troviamo i risultati delle q radici che
devono essere in modulo maggiore di 1 per assicurare l’invertibilità del processo.

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Dato un processo stazionario è possibile calcolare in modo univoco la sua ACF e la
sua PACF. È vero il contrario se e solo il processo è sia stazionario che invertibile.
- The AR(p) model
Nel modello AR(p) si suppone che il valore corrente della variabile aleatoria Xt
dipenda da fino a p lag di Xt, e da una componente accidentale, formalmente:
𝑋𝑡=∑ (𝜑𝑗
𝑝
𝑗=1 𝑋𝑡−𝑗) + 𝜀𝑡 con 𝜀𝑡 ~ WN (0; 𝜎2
)
Il processo AR(p) è sempre invertibile ed inserendo l’operatore di lag come in
precedenza e risolvendo l’equazione precedente troviamo il polinomio caratteristico
ϕ(𝐵)𝑋𝑡. Uguagliando a 0 e risolvendo troviamo i risultati delle q radici che devono
essere in modulo maggiore di 1 per assicurare la stazionarietà del processo.
- The ARMA(p,q) model
Il modello ARMA (p,q) permette di essere più parsimoniosi poiché consente di
ridurre il numero di parametri del modello; in questi processi compare sia una
parte AR che una MA, formalmente:
ϕ(𝐵)𝑋𝑡 = Θ(𝐵)𝜀𝑡 con 𝜀𝑡 ~ WN (0; 𝜎2
)
Un processo ARMA(p, q) è stazionario quando la parte AR è stazionaria, ovvero
quando le radici dell'equazione ϕ (B) = 0 sono fuori dal cerchio di raggio unitario
ed invertibile quando la parte MA è invertibile, ovvero quando le radici
dell'equazione Θ (B) = 0 sono fuori dal cerchio di raggio unitario.
Riassumendo:
Processo ACF PACF Stazionarietà Invertibilità
AR(p) Decrescono a 0 più o
meno lentamente
Nulle dopo il lag p
Le p radici
dell’equazione
caratteristica ϕ (B) = 0
devono essere fuori dal
cerchio di raggio unitario
Sempre
MA(q) Nulle dopo il lag q Decrescono a 0 più o
meno lentamente
Sempre
Le q radici
dell’equazione
caratteristica Θ (B) = 0
devono essere fuori dal
cerchio di raggio
unitario
ARMA(p,q) Nulle dopo il lag q Nulle dopo il lag p
Le p radici
dell’equazione
caratteristica ϕ (B) = 0
devono essere fuori dal
cerchio di raggio unitario
Le q radici
dell’equazione
caratteristica Θ (B) = 0
devono essere fuori dal
cerchio di raggio
unitario

9. ~ 9 ~
2) Modelli di stima e risultati empirici
2.1) The ARCH model
Il modello AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH, Engle 1982) di
ordine p assume che la funzione sia una combinazione lineare dei rendimenti al
quadrato passati:
Dove:
- 𝜔 𝑒 𝛼𝑖( 𝑖 = 1, … . . 𝑝) sono coefficienti che devono essere stimati.
- 𝜔 > 0 𝑒 𝛼𝑖( 𝑖 = 1, … . . 𝑝) ≥ 0
Come possiamo vedere il modello ARCH può essere anche scritto come un AR(p)
per 𝑟𝑡
2
.
Assumendo che: 𝑟𝑡
2
= 𝜎𝑡
2
+ 𝑣𝑡, dove 𝑣𝑡 è il termine di errore con media zero
Possiamo riscrivere la funzione come:
𝑟𝑡
2
= 𝜔 + ∑ 𝛼𝑖 𝑟𝑡−𝑖
2
𝑝
𝑖=1
+ 𝑣𝑡
Ed eseguendone il valore atteso e con opportuni passaggi algebrici otteniamo:
𝑉𝑎𝑟( 𝑟𝑡) =
𝜔
1−∑ 𝛼𝑖
𝑝
𝑖=1
Il modello ARCH è stazionario in covarianza se le radici del polinomio
(1 − ∑ 𝛼𝑖
𝑝
𝑖=1 ) sono fuori dal cerchio unitario.
Questo modello presenta due grossi limiti:
• Non tiene conto dell’effetto del volatility clustering, per il quale periodi di
alta volatilità tendono a persistere nel tempo e ad essi seguono periodi di
relativa stabilità anch’essi persistenti.
• Hanno bisogno spesso di un numero elevato di parametri per stimare
correttamente, e ciò va contro il principio di parsimonia.
2.2) The GARCH model
Il modello Generelized AutoRegressive Conditional Heterosketasticity (GARCH,
Bollerslev 1986) è basato su un numero limitato di parametri ma comunque
permette di riprodurre situazioni di lunga memoria. È quindi un’estensione del
modello ARCH.

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Questa flessibilità si ottiene considerando la varianza condizionata allo stesso modo
del modello ARCH riuscendo, con una componente aggiuntiva, a catturare la
variabilità degli 𝑟𝑡 facendo dipendere la conditional variance di oggi da quella del
giorno precedente:
𝜎𝑡
2
= 𝜔 + ∑ 𝛼𝑖 𝑟𝑡−𝑖
2
𝑝
𝑖=1
+ ∑ 𝛽𝑗 𝜎𝑡−𝑗
2
𝑞
𝑗=1
Come per l’ARCH(p) il GARCH(p,q) può essere scritto come un ARMA(p*,q) per
𝑟𝑡
2
con p*=max(p,q):
Assumendo che: 𝑟𝑡
2
= 𝜎𝑡
2
+ 𝑣𝑡, dove 𝑣𝑡 è il termine di errore con media zero
Possiamo riscrivere la funzione come:
𝑟𝑡
2
= 𝜔 + ∑(𝛼𝑖 + 𝛽𝑖) 𝑟𝑡−𝑖
2
𝑝∗
𝑖=1
+ 𝑣𝑡 − ∑ 𝛽𝑗
𝑞
𝑗=1
𝑣𝑡−𝑖
Dove: 𝛼𝑖, 𝛽𝑗 = 0 𝑝𝑒𝑟 𝑖 > 𝑝 𝑒 𝑗 > 𝑞
Ed eseguendone il valore atteso e con opportuni passaggi algebrici otteniamo:
𝑉𝑎𝑟(𝑟𝑡) =
𝜔
1−(∑ 𝛼𝑖+∑ 𝛽𝑗)
𝑞
𝑗=1
𝑝
𝑖=1
Il modello GARCH è stazionario in covarianza se le radici del polinomio
(1 − ∑ 𝛼𝑖
𝑝
𝑖=1 + ∑ 𝛽𝑗)
𝑞
𝑗=1 sono fuori dal cerchio unitario.
Questo modello presenta un limite, non tiene conto del Leverage Effect e perciò
assume che i termini di errore postivi e negativi abbiano un effetto simmetrico sulla
volatilità. In realtà in questi casi la volatilità agisce asimmetricamente al segno degli
shock, in particolare l’effetto dei rendimenti passati negativi sulla volatilità stessa è
più alto di quello dei rendimenti passati positivi.
2.3) The GJR model
Il modello Glosten-Jagannathan-Runkle GARCH (GJR, 1993) si ottiene
considerando la varianza condizionata allo stesso modo del modello GARCH
riuscendo, con una componente aggiuntiva, a catturare il Leverage Effect:
𝜎𝑡
2
= 𝜔 + ∑ 𝛼𝑖 𝑟𝑡−𝑖
2𝑝
𝑖=1 + ∑ 𝛽𝑗 𝜎𝑡−𝑗
2𝑞
𝑗=1 + ∑ 𝛾𝑖
𝑝
𝑖=1 𝑟𝑡−𝑖
2
I(𝑟𝑡−𝑖 < 0)
Dove: I(A) è una funzione indicatrice: I(A) = 1 se 𝑟𝑡−𝑖 < 0
I(A) = 0 se 𝑟𝑡−𝑖 ≥ 0
se γ𝑖
= 0, otteniamo sempre uno standard GARCH.

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2.4) Stima e risultati empirici
Poiché i rendimenti di un titolo, e più in generale di un'attività finanziaria, non
sono costanti, il fattore di rischio dal significato intuitivo è dato dalla loro
variabilità. Infatti, tanto maggiore è la variabilità, tanto più elevati sono i
rischi di perdite e le opportunità di profitti.
Siccome i nostri rendimenti sono WN e quindi non sono autocorrelati, prendiamo
in considerazione il loro valore assoluto come proxy di volatilità. Questo perché
nella serie dei rendimenti in valore assoluto è presente autocorrelazione:
Ciò implica che il valore assoluto della volatilità oggi è informativo sul valore della
volatilità di domani, giacché la volatilità è una misura di rischio finanziario riuscire
a prevederla risulta estremamente importante.
Entrando nello specifico del nostro project, sono stati stimati diversi modelli e in
particolare dei modelli ARCH con diversi parametri, ARCH(1), ARCH(2),
ARCH(10); successivamente il modello GARCH(1,1) ed infine il modello GJR, con
l’obiettivo di verificare quale tra questi modelli fosse il più adatto ad adeguarsi alla
proxy scelta.
Per verificare ciò gli indicatori utilizzati sono stati:
- AIC : Akaike’s information criterion(1971), è un metodo per la valutazione e
confronto tra modelli statistici; fornisce una misura della qualità della stima
tenendo conto sia della bontà di adattamento che della complessità del
modello. È definito come:
AIC = 2K-2ln(L)
Dove:
k = n° dei parametri
L = valore massimizzato della funzione di verosimiglianza

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- MSE : Mean Squared Error, indica la discrepanza quadratica media fra i
valori de dati osservati ed i valori dei dati stimati, ci da quindi una misura
per giudicare la qualità di uno stimatore in termini della sua variazione e
della sua distorsione. È definito come:
MSE =
∑ (𝑋𝑖−𝑋)2𝑛
𝑖=1
𝑛
Dove 𝑋𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑎𝑡𝑖𝑙𝑖𝑦
𝑋 = 𝑝𝑟𝑜𝑥𝑦 𝑑𝑖 𝑣𝑜𝑙𝑎𝑡𝑖𝑙𝑖𝑡à
Ottenendo i seguenti risultati:
Dagli indicatori presi in considerazione e dai risultati ottenuti è evidente che i
modelli ARCH si adattano male alla proxy di riferimento, infatti seppur vero che
aumentando il numero di parametri migliora la stima, si può notare che il modello
GARCH(1,1) sia già più adatto, ancor più perché utilizza un numero inferiore di
parametri e quindi rispetta il criterio di parsimonia. Inoltre, il GJR risulta tra tutti il
modello che meglio si approssima alla proxy, come confermato graficamente:

13. ~ 13 ~
3) Rischio geopolitico e analisi GARCH-MIDAS
3.1) The GARCH-MIDAS model
Il modello Generelized AutoRegressive Conditioal Heterosketasticity-Mixing Data
Sampling (GARCH-MIDAS, 2013) affronta il problema della frequenza mista
lasciando che la componente di breve periodo vari con la stessa frequenza della
variabile dipendente, mentre la componente di lungo periodo filtra le osservazioni
della Macro Variabile a frequenza più bassa.
Il modello GARCH-MIDAS è definito da:
𝑟𝑖,𝑡 = √ 𝜏 𝑡 ∗ 𝑔𝑖,𝑡 𝑧𝑖.𝑡 𝑐𝑜𝑛 𝑖 = 1, … … . , 𝑁𝑡,
Dove:
- 𝑟𝑖,𝑡 rappresenta il log-return per il giorno i del periodo t;
- 𝑁𝑡 è il numero di giorni del periodo t
- 𝑧𝑖.𝑡|𝐼𝑖−1,𝑡~𝑁(0,1) dove 𝐼𝑖−1,𝑡 tiene conto delle informazioni del giorno i-1 del
periodo t;
- 𝑔𝑖,𝑡 è la componente di breve periodo ed è data da: (1 − 𝛼 − 𝛽) + 𝛼
(𝑟 𝑖−1,𝑡)2
𝜏 𝑡
+ 𝛽𝑔𝑖−1,𝑡.
- 𝜏 𝑡 è la componente di lungo periodo ed è data da: exp (𝑚 + 𝜃 ∑ 𝛿 𝑘(𝜔)𝑋𝑡−𝑘
𝐾
𝑘=1 ).
Dove:
- m è l’intercetta
- 𝜃 è il coefficiente di interesse
- 𝛿 𝑘(𝜔) è una funzione che «pesa»
le precedenti K realizzazioni di X
3.2) GPR Brasile e risultati empirici
Introduciamo il rischio Geo-politico del Brasile per analizzarne e commentarne la
sua incidenza sull’indice Bovespa.
La serie storica del GPR risulta non stazionaria in media, di conseguenza
applicando la differenza prima riusciamo ad ottenere una serie stazionaria
utilizzabile per l’analisi in questione, come risulta dal grafico sottostante.

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Per procedere alla stima dei parametri del GARCH-MIDAS è stata massimizzata la
seguente funzione di log-likelihood:
lnԼ = −
1
2
∑ ∑ [log(2𝜋) + log (
𝑁𝑡
𝑖=1
𝑇
𝑡=1 𝑔𝑖,𝑡 𝜏 𝑡)+
(𝑟 𝑖,𝑡)2
𝑔 𝑖,𝑡 𝜏 𝑡
]
Sono stati considerati poi i coefficienti di quasi massima verosimiglianza (QMLE),
la funzione che viene massimizzata per formare i coefficienti del QMLE è una
forma semplificata della tradizionale funzione di log-verosimiglianza.
Essi sono:
Con le relative significatività:
Dall’analisi effettuata, constatiamo che i coefficienti del GARCH-MIDAS sono tutti
significativi ad eccezione del Theta che risulta non significativo e ciò ci permette di
affermare che il GPR Brasiliano non incide in maniera significativa sull’indice
Bovespa.
Vediamo graficamente, per completezza, come il modello si adatta alla proxy di
volatilità

15. ~ 15 ~
3.3) GPR Cina e risultati empirici
Allo stesso modo, introduciamo il rischio Geo-politico della Cina per analizzarne e
commentarne la sua incidenza sull’indice Bovespa.
La serie storica del GPR risulta anche in questo caso non stazionaria in media, di
conseguenza applicando la differenza prima otteniamo una serie stazionaria come
risulta dal grafico:
Analogamente a quanto fatto con il GPR brasiliano, attraverso la funzione del
GARCH-MIDAS analizziamo e commentiamo il valore e la relativa significatività
dei coefficienti del QMLE
Riscontriamo una situazione molto simile alla precedente, il coefficiente w2 è
leggermente meno significativo e il coefficiente Theta risulta non significativo, il
che ci permette di confermare che anche il GPR Cinese non influenza
significativamente l’indice Bovespa.
Anche in questo caso vediamo graficamente come il modello si adatta alla proxy

16. ~ 16 ~
Conclusioni
In questo lavoro sono state acquisite competenze nell’utilizzo di R
per studiare una serie storica dei prezzi nelle sue componenti
descrittive e si è riusciti inoltre a studiare e ad effettuare delle analisi
statistiche attraverso l’utilizzo di diversi modelli di stima. Sono stati
studiati alcuni modelli fondamentali per la stima della volatilità
come i modelli ARCH e GARCH per poi approfondire, attraverso dei
modelli estesi, alcune particolarità della seria storica analizzata,
riuscendo gradualmente a trovare il modello più adatto per
modellare la serie stessa.
Due approfondimenti particolarmente interessanti sono dovuti alla
stima del GJR-GARCH che attraverso una componente aggiuntiva
risolve alcuni dei limiti del modello GARCH, e la stima del modello
GARCH-MIDAS la quale ci ha permesso di valutare l’influenza di
due Macro Variable nell’indice di riferimento.
Quest’ultima analisi, obiettivo finale del lavoro in questione, non ha
riportato un risultato che ci consentisse di dare una risposta positiva
alla tesi, tuttavia la non incidenza dei due GPR sull’indice in
questione rimane risultato di un’analisi approfondita.