The document discusses cubic equations and their applications. It provides examples of solving cubic equations by factorizing them into linear factors using the rational root theorem or Cardano's formula. The key steps are factorizing the equation, setting each factor equal to zero to find the roots, and determining the number of solutions. The document also presents theorems regarding the relationship between the number of roots and solutions, and the sums and products of the roots.
Definición de sucesiones numéricas, término general de una sucesión,término general de una progresión geométrica, ejemplos de progresiones aritmétiicas
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Comparative analysis of x^3+y^3=z^3 and x^2+y^2=z^2 in the Interconnected Sets Vladimir Godovalov
This paper introduces an innovative technique of study z^3-x^3=y^3 on the subject of its insolvability in integers. Technique starts from building the interconnected, third degree sets: A3={a_n│a_n=n^3,n∈N}, B3={b_n│b_n=a_(n+1)-a_n }, C3={c_n│c_n=b_(n+1)-b_n } and P3={6} wherefrom we get a_n and b_n expressed as figurate polynomials of third degree, a new finding in mathematics. This approach and the results allow us to investigate equation z^3-x^3=y in these interconnected sets A3 and B3, where z^3∧x^3∈A3, y∈B3. Further, in conjunction with the new Method of Ratio Comparison of Summands and Pascal’s rule, we finally prove inability of y=y^3. After we test the technique, applying the same approach to z^2-x^2=y where we get family of primitive z^2-x^2=y^2 as well as introduce conception of the basic primitiveness of z^'2-x^'2=y^2 for z^'-x^'=1 and the dependant primitiveness of z^'2-x^'2=y^2 for co-prime x,y,z and z^'-x^'>1.
Similar to Semana 13 ecuaciones polinomiales ii álgebra-uni ccesa007 (20)
Embracing GenAI - A Strategic ImperativePeter Windle
Artificial Intelligence (AI) technologies such as Generative AI, Image Generators and Large Language Models have had a dramatic impact on teaching, learning and assessment over the past 18 months. The most immediate threat AI posed was to Academic Integrity with Higher Education Institutes (HEIs) focusing their efforts on combating the use of GenAI in assessment. Guidelines were developed for staff and students, policies put in place too. Innovative educators have forged paths in the use of Generative AI for teaching, learning and assessments leading to pockets of transformation springing up across HEIs, often with little or no top-down guidance, support or direction.
This Gasta posits a strategic approach to integrating AI into HEIs to prepare staff, students and the curriculum for an evolving world and workplace. We will highlight the advantages of working with these technologies beyond the realm of teaching, learning and assessment by considering prompt engineering skills, industry impact, curriculum changes, and the need for staff upskilling. In contrast, not engaging strategically with Generative AI poses risks, including falling behind peers, missed opportunities and failing to ensure our graduates remain employable. The rapid evolution of AI technologies necessitates a proactive and strategic approach if we are to remain relevant.
Model Attribute Check Company Auto PropertyCeline George
In Odoo, the multi-company feature allows you to manage multiple companies within a single Odoo database instance. Each company can have its own configurations while still sharing common resources such as products, customers, and suppliers.
Operation “Blue Star” is the only event in the history of Independent India where the state went into war with its own people. Even after about 40 years it is not clear if it was culmination of states anger over people of the region, a political game of power or start of dictatorial chapter in the democratic setup.
The people of Punjab felt alienated from main stream due to denial of their just demands during a long democratic struggle since independence. As it happen all over the word, it led to militant struggle with great loss of lives of military, police and civilian personnel. Killing of Indira Gandhi and massacre of innocent Sikhs in Delhi and other India cities was also associated with this movement.
Normal Labour/ Stages of Labour/ Mechanism of LabourWasim Ak
Normal labor is also termed spontaneous labor, defined as the natural physiological process through which the fetus, placenta, and membranes are expelled from the uterus through the birth canal at term (37 to 42 weeks
Safalta Digital marketing institute in Noida, provide complete applications that encompass a huge range of virtual advertising and marketing additives, which includes search engine optimization, virtual communication advertising, pay-per-click on marketing, content material advertising, internet analytics, and greater. These university courses are designed for students who possess a comprehensive understanding of virtual marketing strategies and attributes.Safalta Digital Marketing Institute in Noida is a first choice for young individuals or students who are looking to start their careers in the field of digital advertising. The institute gives specialized courses designed and certification.
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3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Entre las aplicaciones de la ecuación
cubica nos permite describir el
mundo real en términos matemáticos,
como por ejemplo, las variaciones de
la temperatura, el movimiento de los
planetas, las ondas cerebrales, los
ciclos comerciales, el ritmo cardíaco y
el crecimiento de la población entre
otros. También sirve para detectar la
anemia
En 1545 publica su obra más importante, Ars Magna. En
esta obra da los métodos de resolución de las
ecuaciones de tercer y cuarto grado.
Su Ars Magna sin embargo tuvo una influencia en todos
los matemáticos posteriores. En esta obra, además se
expresan diversos teoremas que relacionan raíces y
coeficientes
El Ars Magna presenta una
explicación completa de la
ecuación cúbica
También se publica la
resolución de la ecuación
general de cuarto grado,
debida a su alumno, Ferrari
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OBJETIVOS
✓ Aplicar el teorema de la
paridad de raíces.
✓ Aplicar el teorema de Cardano en
una ecuación de cúbica.
✓ Reconocer la diferencia entre
raíces y soluciones.
𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0
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TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
Toda ecuación polinomial de grado 𝑛 ≥ 1, con
coeficientes complejos, posee al menos una raíz
compleja.
COROLARIO:
Toda ecuación polinomial de grado 𝑛 ≥ 1, con
coeficientes complejos, tiene exactamente n raíces.
Ejemplos:
En las ecuaciones polinomiales tenemos:
2𝑥 − 3 = 0 tiene 1 raíz
𝑥2
+ 2𝑥 − 3 = 0 tiene 2 raíces
4𝑥3 − 7𝑥 + 9 = 0 tiene 3 raíces
Ejemplo: Resolver: 𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0
𝑥2
− 4𝑥 + 4 = 0
(𝑥 − 2)2
(𝑥 − 2)2 = 0
𝑥 − 2 𝑥 − 2 = 0
𝑥 − 2 = 0 𝑥 − 2 = 0
∨
𝑥 = 2 𝑥 = 2
Raíces: 2; 2 (raíz doble)
C.S = 2; 2 = 2 (una solución)
Tenemos:
La ecuación tiene 2 raíces pero 1 solución
𝑁° 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 ≥ 𝑁° 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
En general:
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Ejemplo:
Resolver: 𝑥 − 8 3. 𝑥 − 7 2 . 2𝑥 − 3 = 0
Tenemos: 𝑥 − 8 𝑥 − 8 𝑥 − 8 𝑥 − 7 𝑥 − 7 2𝑥 − 3 = 0 Teorema: 𝑎. 𝑏 = 0 → 𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0
𝑥 − 8 = 0 ∨ 𝑥 − 8 = 0 ∨ 𝑥 − 8 = 0 ∨ 𝑥 − 7 = 0 ∨ 𝑥 − 7 = 0 ∨ 2𝑥 − 3 = 0
𝑥 = 8 𝑥 = 8 𝑥 = 8 𝑥 = 7 𝑥 = 7 𝑥 =
3
2
∨ ∨ ∨ ∨ ∨
(raíz) (raíz) (raíz) (raíz) (raíz)
Raíces: 8; 8; 8; 7; 7 ;
3
2
C.S= 8; 8; 8; 7; 7;
3
2
= 8; 7;
3
2
(raíz)
Hay 6 raíces Hay 3 soluciones
𝑁° 𝑑𝑒 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 ≥ 𝑁° 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
Raíz triple Raíz doble
Raíz simple
En general ¿Cuándo son iguales?
7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Ejemplo:
Al resolver la ecuación:
𝑥 + 1 2
. 𝑥3
− 𝑥 = 0
Tenemos que:
Resolución:
M= suma de raíces
Encuentre el valor de M-N.
N= suma de soluciones
Tenemos que:
𝑥3 − 𝑥 = 𝑥 𝑥2 − 1 = 𝑥 𝑥 − 1 𝑥 + 1
Entonces, nos queda:
𝑥 + 1 2. 𝑥3 − 𝑥 = 0
𝑥 + 1 2
. 𝑥 𝑥 − 1 𝑥 + 1 = 0
𝑥 + 1 3. 𝑥 𝑥 − 1 = 0
𝑥 + 1 𝑥 + 1 𝑥 + 1 . 𝑥 𝑥 − 1 = 0
= 0 = 0 = 0 = 0 = 0
Raíces: −1; −1; −1; 0; 1
M= Suma de raíces:
= −1 − 1 − 1 + 0 + 1
𝑀 = −2
𝐶. 𝑆 = −1; 0; 1
N= suma de soluciones
= −1 + 0 + 1
𝑁 = 0
∴ 𝑀 − 𝑁 = −2
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Ejemplo:
Construir una ecuación polinomial que tiene:
✓ −7 como raíz triple
✓ 5 como raíz doble
Resolución:
Sea la ecuación polinomial 𝑃 𝑥 = 0, como:
✓ −7 es raíz triple de 𝑃 𝑥 , 𝑥 + 7 3
✓ 5 es raíz doble de 𝑃 𝑥 , 𝑥 − 5 2
✓ −6 como raíz simple
✓ −6 como raíz simple de 𝑃 𝑥 , 𝑥 + 6
La ecuación es:
𝑃 𝑥 = 𝑥 + 7 3
. 𝑥 − 5 2. 𝑥 + 6 . 𝑞 𝑥 = 0
un factor es
un factor es
un factor es
Ejemplo:
Construir una ecuación polinomial de mínimo grado,
que tiene:
✓ 5 como raíz triple
✓ 4 como raíz simple
Resolución:
Sea la ecuación polinomial 𝑃 𝑥 = 0, como:
✓ 5 es raíz triple de 𝑃 𝑥 , un factor es 𝑥 − 5 3
✓ 4 es raíz simple de 𝑃 𝑥 , un factor es 𝑥 − 4
Luego:
𝑃 𝑥 = 𝑥 − 5 3
. 𝑥 − 4 . 𝑞 𝑥 = 0
Mínimo grado 𝑞 𝑥 = 𝑘
𝑥 − 5 3
. 𝑥 − 4 = 0
La ecuación es:
𝑘.
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ECUACIÓN CÚBICA
𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 ; 𝑎 ≠ 0
Tienen la siguiente forma
Para resolverlo:
I) Se factoriza (generalmente por el método
de divisores binómicos)
II) Se aplica el teorema
𝑎𝑏 = 0 → 𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0
III) Se encuentran las raíces
IV) Se encuentran su conjunto solución
Ejemplo Resolver: 𝑥3 − 3𝑥 + 2 = 0
Resolución: Factorizando:
1 0 2
−3
1
1
1
1
1
−2
−2
0
𝑥 − 1 𝑥2
+ 𝑥 − 2 = 0
𝑥
𝑥
+2
−1
𝑥 − 1 𝑥 − 1 𝑥 + 2 = 0
= 0 = 0 = 0
𝑥 − 1 = 0 𝑥 − 1 = 0 𝑥 + 2 = 0
Raíces: 1; 1; −2 (3 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠)
C.S = 1; −2 (2 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠)
∨ ∨
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Ejemplo Resolver: 𝑥3
− 3𝑥2
+ 2𝑥 = 0
Resolución: Factorizando:
𝑥3
− 3𝑥2
+ 2𝑥 = 0
𝑥 𝑥2
− 3𝑥 + 2 = 0
𝑥
𝑥
−2
−1
𝑥 𝑥 − 2 𝑥 − 1 = 0
𝑥 = 0 ∨ 𝑥 − 2 = 0 𝑥 − 1 = 0
∨
Raíces: 0; 2; 1 (3 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠)
C.S = 2; 2𝑖; −2𝑖 (3 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠)
Ejemplo Resolver: 𝑥3
− 2𝑥2
+ 4𝑥 − 8 = 0
Resolución: Factorizando:
1 −2 −8
4
2
1
2
0
0
4
8
0
𝑥 − 2 𝑥2
+ 4 = 0 𝑥 − 2 = 0 ∨ 𝑥2
+ 4 = 0
𝑥 = 2 ∨ 𝑥2
= −4
𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = 2𝑖 ∨ 𝑥 = −2𝑖
Raíces: 2; 2𝑖; −2𝑖 (3 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠)
C.S = 0; 2; 1 (3 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠)
NOTA Si el T.I es cero, una raíz es cero.
NOTA
Toda ecuación cúbica con coeficientes reales
tiene al menos una raíz real..
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TEOREMA DE CARDANO - VIETTE
Si 𝑥1; 𝑥2; 𝑥3 son las raíces de la ecuación
𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0
Se cumple que:
𝐼) 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −
𝑏
𝑎
𝐼𝐼) 𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥3𝑥1 =
𝑐
𝑎
𝐼𝐼𝐼) 𝑥1. 𝑥2. 𝑥3 = −
𝑑
𝑎
(De 1 en 1)
(De 2 en 2)
(De 3 en 3)
Ejemplo 1
Si 𝑚; 𝑛; 𝑝 son las raíces de la ecuación
4𝑥3
+ 7𝑥2
− 5𝑥 − 9 = 0
Entonces, por el teorema de Cardano - Viette:
𝐼) 𝑚 + 𝑛 + 𝑝 = −
𝑏
𝑎
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
= −
7
4
𝐼𝐼) 𝑚𝑛 + 𝑚𝑝 + 𝑛𝑝 =
𝑐
𝑎
=
(−5)
4
= −
5
4
𝐼𝐼𝐼) 𝑚. 𝑛. 𝑝 = −
𝑑
𝑎
= −
(−9)
4
=
9
4
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− −
+
+
− −
+
+
; 𝑎 ≠ 0
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Ejemplo 2
Si 𝑥1; 𝑥2; 𝑥3 son las raíces de la ecuación
2𝑥3 − 5𝑥2 + 3𝑥 + 7 = 0
Entonces, por el teorema de Cardano - Viette :
𝐼)𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −
𝑏
𝑎
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
= −
(−5)
2
𝐼𝐼) 𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥3𝑥1 =
𝑐
𝑎
=
3
2
𝐼𝐼𝐼) 𝑥1. 𝑥2. 𝑥3 = −
𝑑
𝑎
= −
7
2
Ejemplo 3
Si 𝛼; 𝛽; 𝜃 son las raíces de la ecuación
3𝑥3 + 𝑛𝑥2 − 4𝑥 + 2𝑛 − 1 = 0
Entonces, por el teorema de Cardano - Viette :
𝐼) 𝛼 + 𝛽 + 𝜃 = −
𝑏
𝑎
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
= −
𝑛
3
𝐼𝐼) 𝛼𝛽 + 𝛽𝜃 + 𝛼𝜃 =
𝑐
𝑎
=
(−4)
3
= −
4
3
𝐼𝐼𝐼) 𝛼. 𝛽. 𝜃 = −
𝑑
𝑎
= −
(2𝑛 − 1)
3
=
5
2
− −
+
+ − −
+
+
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Ejemplo 4
Si 𝑚; 𝑛; 𝑝 son las raíces de la ecuación
3𝑥3
− 5𝑥2
− 4𝑥 + 7 = 0
Calcule el valor de:
𝐼) 𝑚 + 𝑛 + 𝑝 = −
𝑏
𝑎
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
= −
(−5)
3
𝐼𝐼) 𝑚𝑛 + 𝑚𝑝 + 𝑛𝑝 =
𝑐
𝑎
=
(−4)
3
= −
4
3
𝐼𝐼𝐼) 𝑚. 𝑛. 𝑝 = −
𝑑
𝑎
= −
7
3
− −
+
+
𝐽 =
1
𝑚
+
1
𝑛
+
1
𝑝
Resolución
Entonces, por el teorema de Cardano - Viette :
=
5
3
Nos piden:
𝐽 =
1
𝑚
+
1
𝑛
+
1
𝑝
=
𝑛𝑝 + 𝑚𝑝 + 𝑚𝑛
𝑚𝑛𝑝
=
−
4
3
−
7
3
𝐽 =
1
𝑚
+
1
𝑛
+
1
𝑝
=
4
7
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TEOREMAS DE LA PARIDAD DE RAÍCES
1) En toda ecuación polinomial con coeficientes
racionales y grado 𝑛 ≥ 2, se cumple que:
𝑎 + 𝑏 es raíz ↔ 𝑎 − 𝑏 es raíz
Ejemplos:
𝑎 ∧ 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 ; 𝑏 es irracional
Donde:
Sea una ecuación polinomial con coeficientes
racionales y grado 𝑛 ≥ 2, donde:
𝑖) 𝑠𝑖 2 + 3 es raíz ↔ 2 − 3 es raíz
𝑖𝑖) 𝑠𝑖 4 − 5 es raíz ↔ 4 + 5 es raíz
𝑖𝑖𝑖) 𝑠𝑖 7 es raíz ↔ − 7 es raíz
Ejemplos:
Encuentre una ecuación de segundo grado, con
coeficientes enteros, si una raíz es 3 + 5
Resolución:
Como los coeficientes son enteros, eso implica que
son racionales ℤ ⊂ ℚ .
Como una raíz es 3 + 5, por paridad otra raíz es
3 − 5 . Por reconstrucción, tenemos
𝑆 = (3 + 5) + (3 − 5) = 6
𝑃 = 3 + 5 . (3 − 5) = 32 − 5
2
= 9 − 5 = 4
La ecuación es:
𝑥2
− 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0
𝑥2
− 6𝑥 + 4 = 0
15. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
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TEOREMAS DE LA PARIDAD DE RAÍCES
2) En toda ecuación polinomial con coeficientes
reales y grado 𝑛 ≥ 2, se cumple que:
𝑎 + 𝑏𝑖 es raíz ↔ 𝑎 − 𝑏𝑖 es raíz
Ejemplos:
𝑎 ∧ 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 ; 𝑏 ≠ 0
Donde:
Sea una ecuación polinomial con coeficientes
reales y grado 𝑛 ≥ 2, donde:
𝑖) 𝑠𝑖 7 + 4𝑖 es raíz ↔ 7 − 4𝑖 es raíz
𝑖𝑖) 𝑠𝑖 6 − 𝑖 es raíz ↔ 6 + 𝑖 es raíz
𝑖𝑖𝑖) 𝑠𝑖 3𝑖 es raíz ↔ −3𝑖 es raíz
Ejemplos:
Encuentre una ecuación de segundo grado, con
coeficientes enteros, si una raíz es 2 + 𝑖
Resolución:
Como los coeficientes son enteros, eso implica que
son reales ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ .
Como una raíz es 2 + 𝑖, por paridad otra raíz es
2 − 𝑖 . Por reconstrucción, tenemos
𝑆 = (2 + 𝑖) + (2 − 𝑖) = 4
𝑃 = 2 + 𝑖 . (2 − 𝑖) = 22
− 𝑖2
= 4 − −1 = 5
La ecuación es:
𝑥2
− 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0
𝑥2
− 4𝑥 + 5 = 0
; 𝑖 es la unidad imaginaria
16. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
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TEOREMAS DE LA PARIDAD DE RAÍCES
3) En toda ecuación polinomial con coeficientes
racionales y grado 𝑛 ≥4, se cumple que:
𝑎 + 𝑏 es raíz
− 𝑎 + 𝑏
− 𝑎 − 𝑏
Ejemplo:
↔ 𝑎 − 𝑏 son raíces
Sea una ecuación polinomial con coeficientes
racionales y grado 𝑛 ≥ 4, donde:
3 + 2 es raíz ↔
− 3 + 2
− 3 − 2
3 − 2 son raíces
Ejemplo:
Encuentre una ecuación de cuarto grado, con
coeficientes enteros, donde 3 + 2 es una raíz
Resolución:
Podemos formar la ecuación, a partir de su raíz
𝑥2
− 2 3𝑥 + 3 = 2
𝑥 − 3 = 2
2 2
𝑥 = 3 + 2
𝑥2
+ 1 = 2 3𝑥
2 2
𝑥4
+ 2𝑥2
+ 1 = 12𝑥2
𝑥4
− 10𝑥2
+ 1 = 0
En general: 𝑘(𝑥4
− 10𝑥2
+ 1) = 0 ; 𝑘 ≠ 0
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Ejemplo:
Si 1 + 3 es raíz de la ecuación
2𝑥3
− 3𝑥2
+ 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
Donde 𝑎, 𝑏 son enteros. Encuentre la raíz racional de
la ecuación
Resolución:
Como los coeficientes son enteros, entonces son
racionales ℤ ⊂ ℚ
Si 𝑥1 = 1 + 3 es raíz entonces por paridad
𝑥2 = 1 − 3 es raíz
Como la ecuación es cúbica (tercer grado), presenta
3 raíces: 𝑥1; 𝑥2; 𝑥3
Por el teorema de Cardano – Viette, tenemos
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 =
3
2
=
3
2
Como:
𝑥1 = 1 + 3 𝑥2 = 1 − 3
∧
𝑥1 + 𝑥2 = 1 + 3 + 1 − 3 = 2
Luego:
= 2
𝑥3 = −
1
2
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −
(−3)
2
(Raíz racional)
¿Cómo calcularías el valor de 𝑎 𝑦 𝑏?
18. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e