九州数学教育会第6回算数・数学教育研究会 (於. 代々木ゼミナール福岡校) 2013年4月21日

1. グラフデータ構造と５色定理
九州大学マス・フォア・インダストリ研究所
溝 口 佳 寛
http://www.slideshare.net/yoshihiromizoguchi/
2013年4月21日(日)
九州数学教育会第6回算数・数学教育研究会 (於.代々木ゼミナール福岡校)
1
1

2. はじめに
世の中の問題を計算機を用いて解きたい
数理モデルによる問題の定式化が必要
計算機で扱えるデータ構造の知識も必要
数理モデルで定式化された問題は,
数学の問題としても面白いかも
2
2

3. 九州地図の色分け
 各県に色を塗りたい
 隣接県は異なる色にする
 少ない色数で配色したい
プログラム(計算機)を用いて配色したい!
3
3

4. 複雑な交差点での信号機の設計
 CとEは一方通行である.
 AB,AC,AD,...,EDと全部で13通りの進み方
がある.
 ADとEBは同時に進めない(同時に信号を
青に出来ない)
 ABとECは同時に進める. Ａ Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
同時に進めない進み方を行わずに,
かつ,
効率の良い交差点を設計したい! 4
4

5. プログラミング以前の問題
 九州地図の何をどのように計算機にどう覚えさせるか?
 隣り合った県を異なる色に塗るとは?
 交差点の何をどのように計算機に覚えさせるか?
 同時に進めないことを計算機にどう覚えさせるか?
解くべき問題がはっきりすれば,
それは殆ど解決されている.
5
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6. グラフ・データ構造
グラフGの頂点と辺の接続関係を0,1の数字を保存した行列で実現する.
１ ５
３
４
２
G
6
6

7. グラフに対する問題
１ ５
３
４
２
G 
各頂点に色を塗る

辺で結ばれた両端の頂点
は異なる色を塗る

出来るだけ少ない色で配
色したい
行列表現されたグラフに対する上記の操作や条件は
厳密にプログラム化出来る.
7
7

8. 九州地図の色分け(再び)
 各県に色を塗りたい
（各頂点に色を塗りたい)
 隣接県は異なる色にする
(辺の両端の頂点は異なる色にする)
 少ない色数で配色したい
グラフの頂点の彩色
==
地図の色分け
8
8

9. 交差点での信号機の設計(再)
 AB,AC,AD,...,EDと全部で13通りの進み方が
ある.
(1つの進み方をグラフの1つの頂点と考える)
 ADとEBは同時に進めない(同時に信号を青
に出来ない)
(同時に進めない頂点間を辺で結ぶ)
Ａ Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
AD EBBA
9
9

10. 信号機の設計とグラフの色分け
Ａ Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ ＡＢ ＡＣ ＡＤ
ＢＡ ＢＣ ＢＤ
ＤＡ ＤＢ ＤＣ
ＥＡ ＥＢ ＥＣ ＥＤ
10
10

11. まとめ(計算機で問題を解くとは?)
① 実際の問題(地図や交差点の...)
② モデル化(グラフなどを使って定式化)
③ 抽象データ型(グラフとその操作)を用いてアル
ゴリズムを考える.
④ データ型の実現方法を決め, プログラムとして
③が出来た時点で殆ど完成している. 11
11

12. 平面グラフの辺と頂点と面の数の関係
１
2
3
4
5
6
|V|=8
|E|=12
|F|=6
|F|+|V|=|E|+2
12
12

13. Euler Polyhedron Formula (証明)
|F|+|V|=|E|+
2
1
+
2
=
1
+
2
辺の追加,
頂点は1つ増加
|F|+(|V|+1)=(|E|+1)+2
辺の追加,
頂点数は不変
|E|=1
(|F|+1)+|V|=(|E|+1)+2 13
13

14. 連結平面グラフG(V,E)に対して, ¦E¦ ≦ 3¦V¦ - 6
 FiをGの面とし, |Fi|を構成する辺の数とする
と, |Fi|≧3 (i=1,…,|F|)より,Σ|Fi|≧3|F|
 一方, 1つの辺は2つの面に対して構成辺とな
り得るのでΣ|Fi|=2|E|. よって, 2|E|≧3|F|
=3(|E|+2-|V|).
 これを整理して,|E|≦3|V|-6 が導かれる.
14
14

15. 頂点の次数
deg(v)={e∈E|(v,w)∈E,
w∈V}
v
deg(v)=
8
15
15

16. 連結平面グラフG(V,E)に対して, min{deg(v)¦v∈V}≦5
 全ての頂点viの次数deg(vi)が6以上とすると,
Σdeg(vi)≧6|V|
 一方, 次数の和は辺の2倍なので, Σdeg(vi)=2|E|
 これらから, |E|≧3|V|が導かれるが, これは, 先の
命題 |E|≦3|V|-6に反する.
16
16

17. G
-
v
５色定理(1)
v
G
-
v
deg(v)
<=
4
deg(v)
=
5
v
17
17

18. ５色定理(2)
v
v1
v2v3
v4 v5
時計廻りに番号をつける
H(i,j)
i
j
18
18

19. H1(1,3)≠H3(1,3)
v v1
v2v3
v4 v5
H1(1,3)
H3(1,3)
H1(1,3)
≠
H3(1,3)
19
19

20. H1(1,3)≠H3(1,3) (解決法)
v v1
v2v3
v4 v5
H1(1,3)
H3(1,3)
H1(1,3)
≠
H3(1,3)
20
20

21. H1(1,3) = H3(1,3)
v v1
v2v3
v4 v5
H1(1,3)
H3(1,3)
H1(1,3)
=
H3(1,3)
21
21

22. H1(1,3) = H3(1,3) (解決法)
v v1
v2v3
v4 v5
H1(1,3)
=
H3(1,3)
H2(2,4)
≠
H4(2,4)
H4(2,4)
H2(2,4)
22
22

23. H1(1,3) = H3(1,3) (解決)
v v1
v2v3
v4 v5
H1(1,3)
=
H3(1,3)
H2(2,4)
≠
H4(2,4)
H4(2,4)
H2(2,4)
23
23

24. ま と め
定理 1 (Euler Polyhedron Formula)
連結平面グラフ G(V, E) に対して |F| を面の総数とするとき,
|F| + |V | = |E| + 2
が成り立つ.
定理 2 (Minimum Degree Bound)
連結平面グラフ G(V, E) に対して
min{deg(v)|v ∈ V } ≤ 5
が成り立つ. ただし, deg(v) = |{e ∈ E|∃w ∈ V ; (v, w) ∈ E}| とする.
定理 3 (Five Color Theorem)
全ての連結平面グラフ G(V, E) は 5 彩色可能である.
24
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25. おまけ (1) ４色定理
Wikipedia (←リンク)
1879年 ケンプが部分的に証明
1976年 アッペルとハーケンが1405個の不可避集合に対してコ
ンピュータによる演算を利用して証明
1996年 ロバートソンがアルゴリズムとプログラムを改良(不可
避集合を633個へ)
2004年 ゴンティエが定理証明支援系Coqを用いた検証可能な
証明を与えた
A computer-checked proof of the Four Color Theorem
25
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26. おまけ (2) MAP2012
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2012年3月ソフィア・アンティポリス(フランス)でFormalization of Mathematics
(MAP2012)という春の学校が定理証明支援系Coqの開発元であるフランス国立情報学
自動制御研究所(INRIA)でありました. 以下は主な招待講演リストです.
Vladimir Voevodsky (ミルナー予想の解決等で2002年にフィールズ賞受賞)
現在, Univalent foundations projectと称して 検証可能な数学証明を構成する
ためのホモトピー型の形式化に着手しています.
Thomas Callister Hales (1998年ケプラー予想解決)
ケプラー予想とは「3次元空間に球を最も密度高く詰める配置は六方充填配置で
ある」という予想で1998年にHalesにより計算機を使って全ての場合を調べ尽く
して証明されたと言われているが, それが正しいのかは未だに判定されていない.
cf. As Math Grows More Complex, Will Computers Resign?
(Wired 2013/03/04)
Georges Gonthier (マイクロソフト研究所, INRIA)
Coqの拡張Ssrreflectの開発や検証可能な数学証明を完成.
４色定理(2004年), 奇数位数定理(2012年).
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27. おまけ (3) 関連リンク
私の関係する数理科学振興のための活動へのリンクです. 順不同です.
NPO法人「数理の翼」
大川セミナー2013 (2013/8/16-8/19)
大分舞鶴高校SSH
大分スーパーサイエンスコンソーシアム2012
次世代科学者養成講座 (九州大学理学部)
2009年数学セミナー (坂内英一先生と球充填問題を考える)
E. Bannai, T. Sato(高校生), J. Shigezumi,
Maximal m-distance sets containing the representation of
the Johnson graph J(n,m), Discrete Mathematics, 312(22),
3283-3292, 2012. 27
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28. 28
おまけ (4) 長方形と同じ面積の正方形 (1)
長方形の折紙の四分の一の長方形の長辺をa, 短辺をbとします.
(a+b)/2 と (a-b)/2 の折り目を作ります.
(a+b)/2 の折り目の所に赤いマークを付けておきます.
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29. 29
おまけ (4) 長方形と同じ面積の正方形 (2)
マーカーが(a-b)/2の線に重なるように折り, 長辺に平行な折り目をつけます.
長辺に平行な折り目を辺とする正方形の面積は折紙全体の四分の一の面積.
cf. インド天文学・数学集「シュルバスートラ」
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