Е.В. Бурнаев "Изменение среднего значения последовательности независимых нормально распределенных случайных величин (Шухарт) и сравнение различных способов выявления разладки", 13.03.2012, место показа МФТИ, Школа анализа данных (ШАД)

1. Изменение среднего значения последовательности независимых нормально
распределенных случайных величин (Шухарт)
0    0   
i   xi   - логарифм отношения правдоподобия
 2
 2 
(дисперсия постоянна)
k
Z k   i
j
i j
 H  ( нет разладки), если Z1N  K   h

dK  

 H 0 ( разладка ), если Z1N  K   h  * 
Z1N ( K )  Z N K 11 , K  1,2,
N
K
Оценка момента разладки в (*) равна    N   K  1  1, N  K 
 

2.   0, 0  3,   1,   1005, N  10

4.   0, 0  2,   1,   1005, N  10

6.   0, 0  0.5,   1,   1005, N  10

8. N  50

9. Изменение дисперсии последовательности независимых нормально распределенных
случайных величин (Шухарт)
 1 1 2  1  x    2 - логарифм отношения
 i  ln   0    2 
  0 

i
правдоподобия (среднее значение постоянно)
k
Z k   i
j
i j
 H  ( нет разладки), если Z1N  K   h

dK  

 H 0 ( разладка ), если Z1N  K   h (*)
Z (K )  Z
1
N N K
N  K 1 1
, K  1,2,
Оценка момента разладки в (*) равна    N   K  1  1, N  K 
 

10.    1,  0  2,   0,   1005, N  10

12.    1,  0  1.5,   0 ,   1005, N  10

14. N  50

15.    1,  0  1.1,   0 ,   1005, N  10

17. N  70

18. Изменение среднего значения последовательности независимых нормально
распределенных случайных величин (геом. скользящее среднее)
Tk  (1   )  Tk 1     k , T0  0 ,    0,1
k
Tk     1   
k i
i
i 1
0    0   
i   xi   - логарифм отношения правдоподобия
 2
 2 
(дисперсия постоянна)
0  
Tk  (1   )  Tk 1     xk    , T0  
2
Оценка момента разладки равна   inf k : Tk  h

19. Физ. смысл геом. скользящего среднего
  3,   1

20. yk  (1   )  yk 1    yk , y0  0
  0.9

21.   0.4

22.   0.1

23.   0, 0  3,   1,   1005,   0.1

25.   0, 0  0.5,   1,   1005,   0.01

27.   0.1

28.   0, 0  0.5,   1,   1005
  0.01 (синим) и   0.1 (красным) и исходный ряд (черным)

29. Изменение дисперсии последовательности независимых нормально распределенных
случайных величин (Шухарт)
Tk  (1   )  Tk 1     k , T0  0
k
Tk     1   
k i
i
i 1
 1 1 2  1  x    2 - логарифм отношения
 i  ln   0    2 
  0 

i
правдоподобия (среднее значение постоянно)
2  2
 2
Tk  (1   )  Tk 1     xk    , T0   2
2 0 
log
0  0 2

Оценка момента разладки равна   inf k : Tk  h

30.    1,  0  1.5,   0 ,   1005,   0.1

32.    1,  0  1.1,   0,   1005,   0.1

34.   0.01

35. Сравнение различных способов выявления разладки
N   , 2    N  0 , 2 
p  y n | 0 
sn  s  yn   log 
p  yn |   
0    0    
  yn  
 2
 2 

36. 0, Z1N  K   h

а) карты Шухарта:   N  min  K : d K  1 , d K   ,
1, Z1  K   h
N

K   Z N K
Z i   ni sn
N j j
Z 1 N  K 11
,
1 i
б) глобальное усреднение:   min i : Z i  h , Z i   s j
j 1
i
, i  min i : Z i  N   h
N *
в) локальное усреднение длины N:   i 
*
2
1
Zi  N   
i
j i  N
s j ,i  N  1
N
г) геометрическое скользящее среднее
  min k : Z k  h , Z k    i 1 1    si
k i

37.   0, 0  0.5,  1, N  50

39. N  100 ,   0.01

44. CUSUM-статистика
N 0,1   N  4,1

45. Поведение значений логарифма отношения правдоподобия

46. График накопленной суммы значений исходного сигнала

47. График накопленной суммы значений логарифма отношения правдоподобия

48. График статистики CUSUM

49. N 1,1   N  2,1

50. Поведение значений логарифма отношения правдоподобия

51. График накопленной суммы значений исходного сигнала

52. График накопленной суммы значений логарифма отношения правдоподобия

53. График статистики CUSUM

54. N 1,1   N 1.25,1

59.    0 
2
  0.0313
2 2

60. N  0,1   N 0,1.12 

61. Z k   i 1 yi2
k