1. ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
1.Построение доверительного интервала для
математического ожидания случайной величины при
известной дисперсии
2.Построение доверительного интервала для
математического ожидания случайной величины при
неизвестной дисперсии
3.Доверительный интервал для дисперсии нормального
распределения
Полученная точечная оценка a = a ( x1 , x2 ,...,xn ) параметра а (даже
если она является несмещенной и эффективной) не позволяет судить о
том, как точно найденная оценка воспроизводит истинное значение
параметра а.
Так как оценка a является случайной величиной, то невозможно
также точно определить и величину разности а – a , характеризующую
отклонение оценки a параметра от его истинного значения а.
- - 230
2. Однако, поскольку разность а – a представляет собой случайную
величину, то с точки зрения теории вероятностей можно найти некоторую
область реализации оценки a , которая с вероятностью, близкой к
единице, P 1 (требуемой степенью надежности) содержит истинное
значение параметра а. Эту область можно определить соотношением
P{| a a | t / 2 } 1 ,
где величина t / 2 говорит о том, что вероятность того, что
абсолютная величина | a a | превысит t / 2 , равна . В зависимости от
решаемых задач величина полагается равной 0,05, 0,01, 0,001. Иногда
ее выражают в процентах и называют процентным уровнем значимости.
Заменим неравенство | a a | t / 2 равносильным ему двойным
неравенством t / 2 | a a | t / 2 или a t / 2 a a t / 2 , тогда
P{a t / 2 a a t / 2 } 1 .
Положительная величина t / 2 характеризует точность оценки a ,
вероятность P 1 – надежность, а интервал a t / 2 a a t / 2 ,
который покрывает неизвестный параметр а с заданной надежностью ,
называют доверительным интервалом.
Наверх
Построение доверительного интервала для математического
ожидания случайной величины при известной дисперсии
Рассмотрим оценку x математического ожидания m x нормально
распределенной случайной величины Х с известной дисперсией 2 :
1 n
x xi .
n i 1
- - 231
3. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то
выборочное среднее x (согласно центральной предельной теореме) будет
также распределено по нормальному закону с математическим ожиданием
M ( x ) mx и дисперсией D( x ) 2 /n :
1 (m x x ) 2 p(t)
p( x ) exp
n .
1–ε
2
2 2
ε /2 ε /2
2
n
Введем случайную величину t / 2 0 t / 2 t
Рис.9.1
m x
t x ,
/ n
которая имеет нормированное нормальное распределение с нулевым
математическим ожиданием и единичной дисперсией. Тогда вероятность
P 1 того, что случайная величина t (рис. 9.1) не отклонится от своего
математического ожидания на величину, больше чем t / 2 находится по
формуле
2
t / 2 t
1
P(t / 2 t t / 2 ) е 2 dt Ф* (t / 2 ) Ф* (t / 2 ) 1
2 t / 2
Принимая во внимание, что функция распределения Ф* (t ) связана с
функцией Лапласа Ф(t) соотношениями (рис. 9.1):
Ф(t) = 0,5 + Ф* (t ) , Ф (– t) = 0,5 – Ф(t),
получим P(t / 2 t t / 2 ) 2Ф(t / 2 ) 1 .
z2
1 t
Поскольку функция Ф(t ) е
2 0
2 dz непрерывна и возрастает на
интервале [0, ∞) от 0 до 0,5, то для любого числа ε, удовлетворяющего
неравенству 0 < 1 – ε < 1, существует единственное число t / 2 такое, что
1
Ф( t / 2 ) = (1 ) .
2
- - 232
4. Для заданной вероятности P 1 по таблице значений функции
Лапласа Ф(t) можно найти соответствующее значение t / 2 . Тогда,
используя это значение и определение величины t, получим:
m x
P( t / 2 t t / 2 ) P t / 2 x t / 2 =
/ n
= P t / 2 mx x t / 2
n n
= P x t / 2 mx x t / 2 1 .
n n
Отсюда следует, что с надежностью P 1 можно утверждать, что
доверительный интервал x t / 2 mx x t / 2 покрывает
n n
неизвестный параметр m x с точностью t / 2 .
n
Таким образом, доверительным интервалом называется такой
интервал, относительно которого можно с заранее определенной, близкой
к единице вероятностью утверждать, что он содержит не известное нам
истинное значение параметра m x :
x t / 2 mx x t / 2 .
n n
Из этого соотношения видно что, чем точнее при данном значении
мы хотим оценить среднее значение, тем больше n экспериментов
необходимо провести. С увеличением надежности (уменьшением )
доверительный интервал расширяется, т.е. точность уменьшается. Если
задать точность и вероятность , то можно найти минимальный объем
t
2
выборки n, который обеспечит заданную точность : n / 2
- - 233
5. Поскольку концы интервала представляют собой случайные
величины, то их называют также доверительными границами.
Если величина Х распределена не по нормальному закону, то
поскольку величина x представляет собой сумму независимых, одинаково
распределенных случайных величин, согласно предельной теореме при
достаточно больших n (n ≥ 30) ее закон распределения близок к
нормальному.
Пример: Оценить среднюю точность изготовления внешнего
контура крыла m x с известным стандартным отклонением 1 мм. по
выборке замеров n = 58 .
Решение. На основе замеров рассчитывается оценка x = 0,45мм. Так
как n = 58 > 30 , то закон распределения измерений x можно считать
1
нормальным . Задаемся = 0,05 и находим Ф( t / 2 ) = (1 ) = 0,475.
2
Затем по таблице значений функции Лапласа Ф(t) находим t / 2 = 1,96.
1
Определяем t / 2 1,96 0,26 .
n 58
Следовательно, средняя точность изготовления внешнего контура
крыла m x лежит в пределах 0,45 0,26 .
Наверх
Построение доверительного интервала для математического
ожидания случайной величины при неизвестной дисперсии
Рассмотрим оценку x математического ожидания m x нормально
распределенной случайной величины Х с неизвестной дисперсией 2 :
- - 234
6. 1 n
x xi .
n i 1
Для оценивания дисперсии 2 используем оценку
1 n
S2 ( xi x ) 2 .
n 1 i 1
Величина
mx x
t ,
S/ n
при этих условиях имеет t-распределение (распределение Стьюдента)с
числом степеней свободы k = n – 1.
Для нахождения доверительного интервала значения m x задаемся
надежностью P = 1 – по таблице t-распределения для уровня
значимости /2 (соответствующего односторонней критической области
см. рис.9.1), из условия P{|t | t / 2 } 1 определяем значение t / 2 и
строим доверительный интервал:
S S
x t / 2 mx x t / 2 .
n n
Пример: Оценить прочность сотового заполнителя из материала
А1Т толщиной 0,08 мм по данным 19 испытаний на сжатие.
Решение. Предполагая, что разброс предела прочности подчиняется
нормальному закону распределения и по результатам испытаний
определяется x = 2,37, S 2 = 3,12 . Для /2 = 0,025 (соответствующего
односторонней критической области) и для k = n – 1 = 18 степени свободы
по таблице t-распределения определяем t / 2 = 2,1 и находим величину
S 3,12 1,766
t / 2 2,1 2,1 0,85 .
n 19 4,36
- - 235
7. Таким образом, с надежностью 0,95 (или 95%) можно утверждать,
что среднее значение прочности сотового заполнителя находится в
пределах 12,37 ± 0,85.
Наверх
Доверительный интервал для дисперсии нормального распределения
Рассмотрим построение доверительного интервала дисперсии
нормально распределенной случайной величины Х при неизвестном
математическом ожидании. Для этого используем соотношение
1 n 2 2
S 2
( xi x ) n 1 ,
n 1 i 1
2
p( )
2 1–ε
откуда имеет место
ε /2 ε /2
(n 1) S 2
2
2 2 2
0
2
2
1
с k = n – 1 степенями свободы. Рис.9.2
Таким образом, если математическое ожидание случайной
величины Х неизвестно, то случайная величина 2 распределена по
закону 2 с k = n – 1 степенями свободы. Уменьшение числа степеней
свободы обусловлено тем, что выборочные значения связаны между
собой линейной зависимостью через оценку математического ожидания.
Так как случайная величина 2 неотрицательна, а плотность
распределения p( 2 ) несимметричная (рис.9.2), то доверительный ин –
тервал будем определять из условия
P{ 1 2 2 } 1 ,
2 2
или
- - 236
8. 2 (n 1) S 2 2
P 1 2 1 ,
2
откуда получаем
(n 1) S 2
(n 1) S 2
P
2
1 .
2
2
1
2
Следовательно, интервал
(n 1) S 2 (n 1) S 2
;
2
1
2
2
есть доверительный интервал для дисперсии 2 с надежностью P 1 ,
а интервал
S n 1 S n 1
;
2
1
2
2
доверительный интервал для стандартного отклонения с надежностью
P 1 .
Определим 1 , 2 по таблицам распределения 2 из условия
2 2
P{ 2 1 } P{ 2 2 } / 2 .
2 2
Если таблица 2 построена из расчета P{ 2 } 1 , то
2
значения 1 , 2 определяются из условий (см. рис.9.2):
2 2
P{ 2 1 } / 2 1 (1 / 2 ), P{ 2 2 } 1 / 2 .
2 2
Действительно:
P{ 1 2 2 } F ( 2 ) F ( 1 )
2 2 2 2
= P{ 2 2 } P{ 2 1 }
2 2
=1 / 2 1 (1 / 2) 1 .
- - 237
9. Если таблица 2 построена из условия P{ 2 } , то значения
2
21 , 2 определяются из условий (см. рис.9.1):
2
P{ 2 1 } 1 / 2 , P{ 2 2 } / 2 .
2 2
Покажем, что в этом случае также имеет место
P{ 1 2 2 } F ( 2 ) F ( 1 )
2 2 2 2
= P{ 2 2 } P{ 2 1 }
2 2
=1 P{ 2 2 } 1 P{ 2 1 }
2 2
=1 / 2 1 (1 / 2) 1 .
Пример: Вычислим с надежностью P = 0,95 доверительный
интервал для дисперсии нормального распределения прочности сотового
заполнителя по результатам испытаний, рассмотренных в предыдущем
примере, где выборочная дисперсия S 2 = 3,12 вычислена по выборке
объема n = 19.
Решение. По таблице, определенной из условия P{ 2 } для
2
k = n – 1 = 18 степеней свободы и доверительного уровня значимости
/2 = 0,025 определяем 2 = 31,5,. Для вероятности Р = 1 / 2 = 0,975 и
2
числа степеней свободы k = n – 1 = 18 определяем 1 = 8,23 .
2
Следовательно, доверительный интервал с надежностью 0,95 для
дисперсии будет (18 S 2 /31,5 ; 18 S 2 /8,23) или (1.78 ; 6.82), а для
стандартного отклонения 18 S 2
/ 31,5 ; 18 S 2 / 8,23 или (1,33 ; 2,61).
Наверх
- - 238
