Μαθηματικά Δ΄ 7. 45. ΄΄Διαχειρίζομαι σύνθετα προβλήματα΄΄

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής
http://xristx.blogspot.gr/
Μαθηματικά Δ΄- Ενότητα 7η - Μάθημα 45ο
:
 Θεωρία
 Παραδείγματα
 Φύλλα εργασιών
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://xristx.blogspot.gr σελ.1

- 137 -
 ΣΥΝΘΕΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 
Η εκφώνηση του αθλητικού ρεπορτάζ στις βραδινές ειδήσεις
ήταν η παρακάτω:
“Στους προκριματικούς αγώνες βόλεϊ που ξεκίνησαν στις 9.45,
η ομάδα των «ΑΣΣΩΝ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» επικράτησε με
σκορ 3 – 0. Στο πρώτο σετ πέτυχε 12 πόντους περισσότερους
από την αντίπαλη ομάδα, στο δεύτερο σετ πέτυχε 9 πόντους
περισσότερους και στο τρίτο σετ τους πενταπλάσιους πόντους
από τους πόντους των αντιπάλων. Το κάθε σετ τελειώνει
μόλις μία ομάδα φτάσει τους 25 πόντους. Ο διαιτητής του
αγώνα έκανε 3 παρατηρήσεις στον προπονητή της αντίπαλης
ομάδας για διαμαρτυρία. Οι φίλαθλοι της ομάδας των ΑΣΣΩΝ
που παρακολούθησαν τον αγώνα ήταν 388 και οι φίλαθλοι της
αντίπαλης ομάδας ήταν το
4
1
των φιλάθλων των ΑΣΣΩΝ . . .
Οι αντίπαλοι έκαναν 12 αλλαγές μέχρι να τελειώσει το
παιχνίδι, το οποίο τελείωσε στις 11.35 . . . ”
Ζητούμενα:
Πριν προχωρήσεις στην απάντηση των ερωτημάτων
ξαναδιάβασε την εκφώνηση και υπογράμμισε τις πληροφορίες
που θα σου φανούν χρήσιμες για την επίλυση του προβλήματος!
1) Ποιο ήταν το τελικό σκορ σε κάθε σετ;
2) Πόσοι ήταν οι φίλαθλοι της αντίπαλης ομάδας;
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Προπονητής Μαθηματικών - proponitismathimatikon.blogspot.com

- 138 -
*Όταν αξιοποιούμε σωστά τις πληροφορίες του προβλήματος,
αγνοούμε τις άχρηστες και επικεντρωνόμαστε στις σημαντικές,
η λύση του προβλήματος θα είναι απλή, γρήγορη και σίγουρη! ! !
Αφού ξεχωρίσουμε τα ∆Ε∆ΟΜΕΝΑ από τα ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ,
καταστρώνουμε ένα έξυπνο σχέδιο δράσης ! ! !
Βρίσκουμε ποιες πράξεις πρέπει να κάνουμε και με ποια σειρά,
τις λύνουμε και τις επαληθεύουμε όπου είναι εφικτό!
Στο τέλος ελέγχουμε την απάντηση σε σχέση με την ερώτηση,
γιατί μπορεί το αποτέλεσμα να μην είναι πολύ λογικό.
Αν πχ. βρήκαμε ότι τα ρέστα από 50€ είναι 70€… τότε μάλλον
πρέπει να ξαναλύσουμε το πρόβλημα από την αρχή…
         
…ΠΟΝΗΡΟ…
ΠΡΟΒΛΗΜΑ
Ένας από τους παίκτες μας, πήγε στο διάλειμμα να αγοράσει
αναψυκτικά για όλους. Όλοι οι παίκτες (μαζί με αυτόν που
πήγε να αγοράσει τα αναψυκτικά) ήταν συνολικά 123... Στο
κατάστημα, του είπαν πως τα αναψυκτικά πωλούνται μόνο σε
εξάδες! Έτσι αγόρασε 21 εξάδες αναψυκτικά. Στο δρόμο δίψασε
και αποφάσισε να ανοίξει ένα και να το πιεί. Λίγο πριν φτάσει
στο γήπεδο, του πέφτει μια εξάδα αναψυκτικά και χύνεται . . .
Ερώτηση:
Πόσοι από τους παίκτες δεν θα ποιούν αναψυκτικό;;;…………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

- 139 -
Αν στο προηγούμενο πρόβλημα απάντησες «4 παίκτες» σκέψου
τον παίκτη που πήγε για να αγοράσει τα αναψυκτικά και ήπιε το
αναψυκτικό του στο δρόμο και προσπάθησε να το ξαναλύσεις …
Αν απάντησες «3 παίκτες» είσαι σωστός και μόλις έλυσες ένα
πονηρό πρόβλημα που οι περισσότεροι μαθητές μπερδεύονται!!!
Το Πρόβλημα με τα Κύπελλα 
Στα γραφεία τις ομάδας έχουμε ένα δωμάτιο με
ράφια, όπου βάζουμε τα κύπελλα που κερδίζουμε . . .
Όμως με τόσα κύπελλα που έχουμε κερδίσει τα
ράφια γέμισαν, και πριν κερδίσουμε το επόμενο
κύπελλο πρέπει να φτιάξουμε περισσότερα ράφια . . .
Αυτή τη στιγμή το δωμάτιο έχει 36 ράφια και το
κάθε ένα ράφι χωράει ακριβώς 48 κύπελλα . . .
1) Πόσα κύπελλα έχει αυτή τη στιγμή το δωμάτιο;
2) Πόσα επιπλέον ράφια, πρέπει να φτιάξουμε
έτσι ώστε το δωμάτιο να χωράει 2880 κύπελλα;;
Λύση: …………………………… (*Το ερώτημα 2 λύνεται με δύο τρόπους)
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

- 140 -
Αν ακολουθείς προσεκτικά τα παρακάτω 7 βήματα
μπορείς να λύσεις και το ποιο δύσκολο πρόβλημα!!!
* 1 – Αξιολογούμε τις πληροφορίες με προσεκτική ανάγνωση
** 2 – Βγάζουμε τα πρώτα συμπεράσματα από την εκφώνηση
*** 3 – Υπογραμμίζουμε τα δεδομένα - μελετάμε τα ζητούμενα
**** 4 – Θυμόμαστε παρόμοια προβλήματα που έχουμε λύσει
***** 5 – Χωρίζουμε σε υποπροβλήματα και απλοποιούμε
****** 6 – Βρίσκουμε ποιες πράξεις πρέπει να εκτελέσουμε
******* 7 – Εκτελούμε τις πράξεις και τις επαληθεύουμε.
   Το Πρόβλημα με τα ΕΙΣΙΤΗΡΙΑ   
Στον τελευταίο αγώνα ποδοσφαίρου παίξαμε σε ένα γήπεδο το
οποίο χωράει 34.000 θεατές. Τα εισιτήρια που κόπηκαν ήταν:
21.378 κανονικά εισιτήρια αξίας 14 € το καθένα
 9.504 φοιτητικά εισιτήρια αξίας 9 € το καθένα
και όλα τα υπόλοιπα ήταν παιδικά εισιτήρια . . . . .
Αν οι συνολικές εισπράξεις από εισιτήρια ήταν 390.855 €,
και οι κενές θέσεις στο στάδιο ήταν 2.257. . .
1) Πόσα ήταν τα παιδικά εισιτήρια;
2) Πόσες ήταν οι εισπράξεις από παιδικά εισιτήρια;
(επειδή το πρόβλημα είναι δύσκολο και μπορεί να σε δυσκολέψει,
κάνε την προσπάθειά σου, και μετά θα αναλύσουμε τη λύση μαζί…)
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

- 141 -
Πάμε μαζί να λύσουμε το προηγούμενο πρόβλημα βήμα – βήμα:
- Τα δεδομένα (αυτά που γνωρίζουμε) είναι τα εξής:
 Το γήπεδο χωράει συνολικά 34.000 θεατές
 Κόπηκαν 21.378 κανονικά εισιτήρια επί 14 € το καθένα
 Κόπηκαν 9.504 φοιτητικά εισιτήρια επί 9 € το καθένα
 Οι συνολικές εισπράξεις ήταν 390.855 €
 Οι κενές θέσεις ήταν 2.257
- Τα ζητούμενα:
1)Πόσα τα παιδικά εισιτήρια 2)Πόσες οι εισπράξεις από αυτά
 ∆ημιουργούμε υποερωτήματα και υποπροβλήματα:
 Πόσοι ήταν οι θεατές συνολικά;;;
Απ’την χωρητικότητα του σταδίου αφαιρούμε τις κενές θέσεις
34.000
- 2.257
………………  Τόσοι είδαν τον αγώνα συνολικά.
 Πόσοι από αυτούς ήταν παιδιά;;;
Θα βρούμε πόσα ήταν τα κανονικά και τα φοιτητικά μαζί
και θα τα αφαιρέσουμε από τα συνολικά εισιτήρια . . .
21.378 ………………… < (συνολικά εισιτήρια)
+ 9.504 - ………………… < - (κανονικά και φοιτιτικά)
………………  …………………  (ΠΑΙ∆ΙΚΑ εισιτήρια)
 Πόσες οι εισπράξεις από παιδικά εισιτήρια;;;
Θα βρούμε πόσες ήταν οι εισπράξεις από τα κανονικά και τα
φοιτητικά και θα τα αφαιρέσουμε από τις συνολικές εισπράξεις
Κανονικά Φοιτητικά Κανονικά+Φοιτητικά ΠΑΙ∆ΙΚΑ
21.378 9.504 ……………… 390.855
Χ 14 Χ 9 + ……………… - ………………
 ……………… 

Η κακά κνπ θαη ν κπακπάο κνπ δίλνπλ καδί ιεθηά γηα λα αγνξάδνπκε
πνιιά πξάγκαηα. Η κακά κνπ έρεη 18.000 επξώ. Σα 5.500 επξώ ηα
δίλνπκε γηα λα αγνξάδνπκε κπνπγάηζεο, ηα 4.300 επξώ ηα δίλνπκε γηα λα
αγνξάδνπκε θξέπεο θαη ηα 2.800 επξώ ηα δίλνπκε γηα λα αγνξάζνπκε
δεζηή ζνθνιάηα ζηελ θαθεηέξεηα. Πόζα ιεθηά έρεη ν κπακπάο κνπ;
Κώζηαο =; Ρνύια = 18.000 5.500 επξώ 4.300 επξώ 2.800 επξώ
Ο Γήκαξρνο είπε ζηνπο εξγάηεο λα θπηέςνπλ γύξσ από ην πάξθν δέληξα ζε
απόζηαζε 3 κέηξσλ ην έλα από ην άιιν. Πόζα δέληξα θύηεςαλ νη εξγάηεο;
12μ
2μ 2μ
8κ
πάξθν
eva-edu

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:____________________________________________ 22/4/2013
1. Η Κατερίνα, που είναι 25 ετών, θέλει να αγοράσει ένα αυτοκίνητο
που κοστίζει 13.550 €. Έχει συγκεντρώσει µέχρι τώρα το ποσό των
10.590 €. Αν της κάνουν έκπτωση από την αντιπροσωπεία
αυτοκινήτων 450 €, της δώσουν και οι γονείς της άλλα 1.670 €,
πόσα χρήµατα πρέπει να µαζέψει ακόµη για να µπορέσει να το
αγοράσει;
ΛΥΣΗΛΥΣΗΛΥΣΗΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ:______________________________________ΑΠΑΝΤΗΣΗ:______________________________________ΑΠΑΝΤΗΣΗ:______________________________________ΑΠΑΝΤΗΣΗ:______________________________________
2. Ο παππούς του Χάρη έχει περίπτερο σε µια τουριστική
παραθαλάσσια πόλη. Το πρωί της Κυριακής πούλησε 7 κιβώτια που
περιείχαν όλα µαζί 196 κουτάκια αναψυκτικών και το απόγευµα της
ίδιας µέρας άλλα 9 κιβώτια. Πόσα συνολικά αναψυκτικά πούλησε
αυτή την ηµέρα;
ΑΠΑΝΤΗΣΗ:_________________ΑΠΑΝΤΗΣΗ:_________________ΑΠΑΝΤΗΣΗ:_________________ΑΠΑΝΤΗΣΗ:_____________________________________________________________________________________________________
3. Ένα οικόπεδο σχήµατος ορθογώνιου παραλληλόγραµµου έχει
περίµετρο 160 µ. Το µήκος του είναι 50 µ. Πόσα τ.µ. είναι το
εµβαδόν του;

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:____________________________________________ 22/4/2013
Παλάνης Αθανάσιος
4. Οι γονείς του Αντρέα αγόρασαν ένα καινούριο διαµέρισµα στον
τρίτο όροφο µιας µικρής πολυκατοικίας, που κόστισε 198.500 €.
Έδωσαν τα 170.804 € που είχαν συγκεντρώσει και για το υπόλοιπο
ποσό πήραν δάνειο που θα αποπληρώσουν σε 48 ισόποσες
µηνιαίες δόσεις. Πόσα χρήµατα θα δίνουν σε κάθε δόση;
5. Ένα κεντρικό κοσµηµατοπωλείο της Θεσσαλονίκης πούλησε σε
µια εβδοµάδα 15 ακριβά ρολόγια και εισέπραξε 56.700 €. Λίγες
µέρες αργότερα πούλησε άλλα 7 ίδια ρολόγια. Πόσα χρήµατα
εισέπραξε από την πώληση των 7 ρολογιών;
ΑΑΑΑΠΑΠΑΠΑΠΑΝΤΗΣΗ:______________________________________ΝΤΗΣΗ:______________________________________ΝΤΗΣΗ:______________________________________ΝΤΗΣΗ:______________________________________
6. Ο κ. Μιχάλης αγόρασε για το κατάστηµα ηλεκτρονικών ειδών
που έχει 28 υπολογιστές που στοίχισε ο καθένας 980 €. Επίσης
αγόρασε και 75 εκτυπωτές, που του στοίχισαν όλοι µαζί 10.275 €.
Έδωσε στον προµηθευτή του το ποσό των 24.500 € και τα
υπόλοιπα συµφώνησε να του τα δώσει µετά από 3 µήνες. Πόσα
χρήµατα οφείλει να δώσει µετά από 3 µήνες στον προµηθευτή του;
ΑΠΑΝΤΗΣΗ:__ΑΠΑΝΤΗΣΗ:__ΑΠΑΝΤΗΣΗ:__ΑΠΑΝΤΗΣΗ:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ΟΝΟΜΑ: ………………………………………………………………………………………… ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: …………………………….
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
1. Μια ποδοσφαιρική οµάδα χρειάζεται 85€ 2. Με µισό κιλό αλεύρι η µητέρα φτιάχνει
για να αγοράσει 5 φανέλες. Πόσο κοστί- 40 κουλουράκια. Πόσα κουλουράκια
ζουν οι 11 φανέλες; µπορεί να φτιάξει µε 2 κιλά αλεύρι;
(να λυθεί µε αναγωγή στη µονάδα) (να λυθεί µε αναγωγή στη µονάδα)
3. Η Μάρθα αγόρασε από το ζαχαροπλαστείο 4. Ο Νίκος απάντησε σωστά στις 19 ερωτήσεις
ένα τέταρτο (
4
1
) του κιλού παγωτίνια και του τεστ Αγγλικών και πήρε 76 µονάδες.
έδωσε 3€. Πόσα € θα δώσει η Ισµήνη που Η Λένα απάντησε σωστά και στις 25 ερωτή-
θέλει ν’ αγοράσει 2 κιλά παγωτίνια; σεις του ίδιου τεστ. Πόσες µονάδες πήρε
(να λυθεί µε αναγωγή στη µονάδα) Λένα; (να λυθεί µε αναγωγή στη µονάδα)
5. Ο ιδιοκτήτης ενός ξενοδοχείου εισέπραξε 1.184 € απ’ την ενοικίαση 16 δίκλινων δωµατίων .
Αν το ξενοδοχείο έχει 4 ορόφους και κάθε όροφος έχει 34 δίκλινα δωµάτια, πόσα χρήµατα
θα εισπράξει ο ξενοδόχος απ’ την ενοικίαση όλων των δωµατίων;
(προσπαθώ να βρω και να γράψω τα ενδιάµεσα ερωτήµατα και λύνω το πρόβληµα)
6. Ένας τραγουδιστής από µια συναυλία στην Πάτρα είχε έσοδα 86.675 € και από µια άλλη στα
Γιάννενα είχε έσοδα 76.025 €. Η τιµή του εισιτηρίου ήταν και στις δυο συναυλίες 25€.
Σε ποια από τις δυο συναυλίες είχε περισσότερα άτοµα και πόσα;
(προσπαθώ να βρω και να γράψω τα ενδιάµεσα ερωτήµατα και λύνω το πρόβληµα)
Γιάννης Μαυροζούµης

Λύνω σύνθετα προβλήµατα των 4 πράξεων
Τεχνική επίλυσης προβληµάτων
• Λύνω ένα πρόβληµα ακολουθώντας µια σειρά από βήµατα.
• Λύνω σύνθετα προβλήµατα εφαρµόζοντας τις ιδιότητες και τις τεχνικές
των τεσσάρων πράξεων.
Λύνω προβλήµατα
Όταν έχω να λύσω ένα πρόβληµα ακολουθώ µε τη σειρά τα παρακάτω
βήµατα:
Αν δεν είναι γραµµένο, το γράφω γιατί έτσι θα µπορέσω να το µελετήσω
καλύτερα:
∆ιαβάζω (όσες φορές είναι απαραίτητο) µέχρι να µπορώ να πω µε
βεβαιότητα ότι κατάλαβα:
α. Ποια είναι τα γνωστά στοιχεία (δεδοµένα).
β. Ποια είναι τα άγνωστα (ζητούµενα).
Καταστρώνω ένα σχέδιο λύσης και αποφασίζω ποιες πράξεις θα κάνω για
να λύσω το πρόβληµα.
Εκτελώ τις πράξεις µε προσοχή.
Απαντώ στην ερώτηση του προβλήµατος.
Τέλος ελέγχω αν το αποτέλεσµα είναι λογικό. Αν δεν είναι, αρχίζω τα
βήµατα από την αρχή.

Εφαρµογή
Πόσα ρέστα θα πάρω από 25 €, αν πληρώσω 3 εισιτήρια στον
κινηµατογράφο, το καθένα από τα οποία κοστίζει 7,20 €;
Λύση
Βήµα 1: Αφού διαβάσω καλά το πρόβληµα, χωρίζω τα γνωστά από τα
άγνωστα στοιχεία
Ξέρω (γνωστά - γ):
Πόσα εισιτήρια θα αγοράσω (γ1),
πόσο κοστίζει το ένα εισιτήριο (γ2)
και πόσα χρήµατα έδωσα (γ3).
∆εν ξέρω (άγνωστα - α):
Πόσο κοστίζουν συνολικά τα εισιτήρια (α1)
και πόσα ρέστα θα πάρω (α2).
Βήµα 2: Οργανώνω σχέδιο λύσης
Για να βρω πόσα ρέστα θα πάρω (α2) πρέπει να αφαιρέσω το συνολικό
κόστος των εισιτηρίων (α1) από τα χρήµατα που έδωσα (γ3). Άρα πρέπει:
1. Πρώτα να βρω πόσο κάνουν τα εισιτήρια (α1) και µετά
2. Να αφαιρέσω αυτό που θα βρω (α1) από τα χρήµατα που έδωσα (γ3).
Βήµα 3: Κάνω τις πράξεις
1. Για να βρω πόσο κάνουν τα εισιτήρια θα πολλαπλασιάσω το 7,20 µε το 3:
7,20 . 3 = ……… €
2. Για να βρω πόσα ρέστα θα πάρω, θα αφαιρέσω αυτό που βρήκα από το
25:

25 – ……… = ………
25 – 7,20 . 3 = …………… = ………… = ………… €
Απάντηση: Θα πάρω ……
Βήµα 4: Ελέγχω την απάντηση
∆εν ξεχνώ τα 4 βήµατα της
1: χωρίζω τα γνωστά από
2: Οργανώνω σχέδιο λύσης
3: Κάνω τις πράξεις-Απάντηση
4: Ελέγχω την απάντηση
3ο ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΜΕΓΑΡΩΝ
……… = ……… € ή
. 3 = …………… = ………… = ………… €
Θα πάρω …… € ρέστα.
Ελέγχω την απάντηση σε σχέση µε την ερώτηση.
βήµατα της τεχνικής επίλυσης προβληµάτων.
γνωστά από τα άγνωστα στοιχεία
σχέδιο λύσης
Απάντηση
την απάντηση σε σχέση µε την ερώτηση
3ο ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΜΕΓΑΡΩΝ

Σύνθετα προβλήµατα - Επαλήθευση
Προβλήµατα
1. Ο ιδιοκτήτης ενός καταστήµατος ηλεκτρικών ειδών πούλησε το
Σεπτέµβριο 12 ψυγεία και τον Οκτώβριο 9.Αν η τιµή πώλησης κάθε
ψυγείου ήταν 815 ευρώ, πόσα χρήµατα εισέπραξε συνολικά ο
καταστηµατάρχης;
2. Η κυρία Μαίρη έφτιαξε 4,6 κιλά µαρµελάδα ροδάκινο και θέλει να τη
βάλει σε βαζάκια. Αν το κάθε βαζάκι χωράει 2/10 του κιλού µαρµελάδα,
πόσα βαζάκια θα χρειαστεί η κυρία Μαίρη;
3. Ο κ. Στέλιος θέλει να φτιάξει µια βιβλιοθήκη µε 4 ράφια. Υπολόγισε
ότι τα ράφια θα έχουν µήκος 75 εκ. Πόσες σανίδες των 1,50 µ. πρέπει να
αγοράσει, ώστε να φτιάξει τα ράφια που θέλει;

4. Η Τερψιχόρη για να πάει στο σχολείο περπατάει 584 µέτρα. Στα 3/4
της απόστασης είναι το σπίτι της φίλης της Καλλιόπης. Ποια είναι η
απόσταση από το σπίτι της Καλλιόπης µέχρι το σχολείο;
5. Η απόσταση Λάρισα- Φλώρινα είναι 231 χµ. Ο κ. Σταµάτης έχει
διανύσει τα 4/6 της διαδροµής. Πόσα χιλιόµετρα έχει διανύσει και πόσα
του µένουν ακόµα για να φτάσει στον προορισµό του;
6. Ο παππούς του Γρηγόρη έχει 32 κιλά κρασί και θέλει να το βάλει σε
µπουκάλια. Αν το κάθε µπουκάλι χωράει 2/5 του κιλού, πόσα µπουκάλια
θα γεµίσει;
7.Ο Πέτρος µάζεψε από το χαρτζιλίκι του τα 4/5 των 2/3 των 60 ευρώ. Η
Ναταλία µάζεψε το 1/4 των 3/6 των 200 ευρώ. Ποιο παιδί µάζεψε τα
περισσότερα χρήµατα;
Dimitris Zarkadas

ΣΥΝΘΕΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΩΝ 4 ΠΡΑΞΕΩΝ
1) Σε µια κατασκήνωση υπάρχουν 336 παιδιά, τα οποία κοιµούνται
σε σκηνές των 4 ατόµων και σε σκηνές των 8 ατόµων. Αν στην
κατασκήνωση υπάρχουν 26 σκηνές των 8 ατόµων γεµάτες µε παιδιά,
να βρείτε πόσες σκηνές των 4 ατόµων είναι γεµάτες µε παιδιά.
2) Ένας οδηγός πρέπει να διανύσει µια απόσταση 1.735χµ. σε τρείς
ηµέρες. Την πρώτη ηµέρα οδήγησε 8 ώρες και διένυε 75χµ. κάθε
ώρα. Τη δεύτερη µέρα οδήγησε 7 ώρες και διένυε 85χµ. κάθε ώρα.
Πόσες ώρες πρέπει να οδηγήσει την τρίτη ηµέρα για να διανύσει όλη
την απόσταση, αν κάθε ώρα διανύει 90χµ.;
3) Ο Γιάννης έχει τριπλάσια χρήµατα από την Μαρία και η Μαρία
έχει τα µισά χρήµατα από τον Θανάση. Αν ο Θανάσης έχει 936€, τότε
πόσα χρήµατα έχουν και οι τρείς µαζί;
4) Η Λουκία έφτιαξε ένα κοκτέιλ µε χυµούς για το πάρτι της.
Χρησιµοποίησε 8 µπουκάλια των 350ml το καθένα χυµό ανανά, 12
µπουκάλια των 230ml το καθένα χυµό πορτοκάλι και ορισµένα
µπουκάλια των 125ml το καθένα χυµό βατόµουρο. Με το κοκτέιλ που
έφτιαξε υπολόγισε ότι µπορεί να γεµίσει 39 ποτήρια που το καθένα
χωράει 165ml. Πόσα µπουκάλια χυµό βατόµουρο χρησιµοποίησε;
5) Μια ροκ συναυλία την παρακολούθησαν 1.328 άτοµα. Κόπηκαν
741 κανονικά εισιτήρια αξίας 30€ το καθένα, 422 φοιτητικά εισιτήρια
αξίας 22,5€ το καθένα και τα υπόλοιπα ήταν παιδικά εισιτήρια. Αν οι
συνολικές εισπράξεις από τα εισιτήρια ήταν 35.776.5€, πόσα παιδικά
εισιτήρια κόπηκαν και πόσο κόστιζε το καθένα;
6) Έχω 3 βαρέλια µε κρασί. Στο α΄ βαρέλι υπάρχουν 120,5 λίτρα
κρασί, στο β΄ βαρέλι 48,5 λίτρα περισσότερα από το α΄ και
ταυτόχρονα 52,5 λίτρα περισσότερο από το γ΄. Αν έβαλε το κρασί σε
δοχεία των 2,5 λίτρων, πόσα δοχεία χρησιµοποίησε και πόσο κρασί
του περίσσεψε;
ΜΑΚΡΥΓΙΑΝΝΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

ΟΝΟΜΑ: …../…./ 200….
Σύνθετα Προβλήµατα στα Μαθηµατικά
1) Ο πατέρας του Γιάννη είναι οδηγός φορτηγού και στις επόµενες 5 µέρες έχει να
διανύσει 2380 χιλιόµετρα. Τις πρώτες 3 µέρες οδηγούσε 6 ώρες τη µέρα µε ταχύτητα
70 χιλιόµετρα την ώρα. Την τέταρτη µέρα οδήγησε 8 ώρες µε ταχύτητα 80 χιλιόµετρα
την ώρα. Πόσες ώρες πρέπει να οδηγήσει την πέµπτη µέρα µε 80 χιλιόµετρα την ώρα
για να φτάσει στον προορισµό του;
ΣΚΕΨΗ:____________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
ΛΥΣΗ:
ΑΠΑΝΤΗΣΗ:________________________________________________________
2) Ο πατέρας του Γιάννη µόλις γύρισε από το ταξίδι του, δίνει στο Γιάννη τα µισά
χρήµατα που είχε µαζί του. Ο Γιάννης µε τη σειρά του δίνει τα µισά του χρήµατα
στη Μαρία την αδελφή του, η οποία κράτησε 35 ευρώ και αγόρασε και ένα βιβλίο
µε 23 ευρώ. Πόσα χρήµατα είχε ο πατέρας στην τσέπη του;
ΣΚΕΨΗ:_______________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
ΛΥΣΗ:
ΑΠΑΝΤΗΣΗ:___________________________________________________________

3) Ο Γιάννης και ο πατέρας του την επόµενη µέρα πήγαν στην αγορά για να
αγοράσουν έναν Η/ Υ και µια τηλεόραση. Αν πλήρωναν της µετρητής θα έδιναν
2465 ευρώ. Το κατάστηµα τους δίνει τη δυνατότητα να πληρώσουν 650 ευρώ
προκαταβολή και τα υπόλοιπα σε 24 δόσεις των 98 ευρώ. Πόσα χρήµατα θα
πλήρωναν περισσότερα µε τις δόσεις;
ΣΚΕΨΗ:_______________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
ΛΥΣΗ:
ΑΠΑΝΤΗΣΗ:__________________________________________________________
4) Η µητέρα του Γιάννη πήγε και πλήρωσε τους λογαριασµούς του σπιτιού. Για τη
∆ΕΗ πλήρωσε 147,80 ευρώ, για τον ΟΤΕ 134,60 ευρώ, για τα κινητά τηλέφωνα
125,60 ευρώ και για τη δόση του στεγαστικού δανείου 635,20 ευρώ. Θέλει να
αγοράσει και 2 ζευγάρια παπούτσια που το καθένα κοστίζει 63 ευρώ. Είχε µαζί της
1500 ευρώ. Θα της φτάσουν τα χρήµατα; Αν ναι, πόσα θα της περισσέψουν; Αν όχι
πόσα θα χρειαστεί ακόµη για να τελειώσει τις δουλειές της;
ΣΚΕΨΗ:_______________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
ΛΥΣΗ:
ΑΠΑΝΤΗΣΗ:___________________________________________________________
Κοντόπουλος Γεώργιος - Παιδαράκη ∆άφνη

http://taniamanesi.blogspot.gr/
–
–
√
–
–

–
–

Απάντηση:…………………………………….
Απάντηση:…………………………………….
Απάντηση:…………………………………….
Ευνίκη Τοκατλή

277
277
ÁðÜíôçóç óôçí
Üóêçóç 1
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 14
45. Äéá÷åéñßæïìáé óýíèåôá ðñïâëÞìáôá
¢óêçóç 1
Ï ðáôÝñáò ôïõ ÄçìÞôñç, ìÜæåøå ôéò åëéÝò ôïõ êáé Ýâãáëå 1,2
ôüíïõò ëÜäé. Ï ðáôÝñáò ôçò Êáôåñßíáò Ýâãáëå 230 êéëÜ ëÜäé
ëéãüôåñï. Ðüóá êéëÜ ëÜäé Ýâãáëå ï ðáôÝñáò ôçò Êáôåñßíáò;
Ëýóç
Èá ìåôáôñÝøù ôéò ìïíÜäåò Ýôóé þóôå íá åßíáé ßäéåò.
• To ëÜäé ôïõ ðáôÝñá ôïõ ÄçìÞôñç:
1,2 ôüíïé = (1,2 ÷ 1.000) êéëÜ = 1.200 êéëÜ
• To ëÜäé ôïõ ðáôÝñá ôïõ Êáôåñßíáò:
(1.200 – 230) êéëÜ = 970 êéëÜ
• Áîéïëïãïýìå ôéò ðëçñïöïñßåò ôïõ êåéìÝíïõ
• ÅðéëÝãïõìå üóåò áðü ôéò ðëçñïöïñßåò åßíáé áðáñáßôçôåò ãéá í’áðá-
íôÞóïõìå óôï åñþôçìá ôïõ ðñïâëÞìáôïò
• ÄïêéìÜæïõìå äéÜöïñåò óôñáôçãéêÝò! Ìðïñïýìå íá öôéÜîïõìå Ýíá
ðñü÷åéñï ó÷åäéÜãñáììá ãéá íá êáôáíïÞóïõìå êáëýôåñá ôï ðñüâëçìá.
• Ïñãáíþíïõìå ôéò ðëçñïöïñßåò.
• Äéáôõðþíïõìå ôá áðáñáßôçôá åíäéÜìåóá åñùôÞìáôá.
• 7åê. →→→→→ 0,07ì.
Ôï áðïôÝëåóìá ôçò Çñïýò åßíáé ëÜèïò.
1,42
– 0,07
1,35

278
278
Äéá÷åéñßæïìáé óýíèåôá ðñïâëÞìáôá
Üóêçóç 2
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 14 4,80 : 6 = 0,80 Þ 80ëåðôÜ
Ôï áðïôÝëåóìá ôïõ ÍéêÞôá åßíáé ëÜèïò, ôï 1ê. ðáôÜôåò êïóôßæåé 80ëåðôÜ.
¢óêçóç 2
H ìçôÝñá ôïõ Ëåùíßäá áãüñáóå 4 êéëÜ ìÞëá êáé 3 êéëÜ á÷ëÜäéá. Ôï 1 ê.
ìÞëá êüóôéæå 0,8 . ÐëÞñùóå ôï ßäéï ðïóü ôüóï ãéá ôçí áãïñÜ ôùí ìÞëùí,
üóï êáé ãéá ôçí áãïñÜ ôùí á÷ëáäéþí. Ðüóï êüóôéæå ôï 1ê. á÷ëÜäéá;
Ëýóç
Ôï 1ê. ìÞëá êüóôéæå 0,90 . Ãéá ôá 4 ê. ìÞëá ðëÞñùóå: 4 ÷ 0,9 = 3,6
Ãéá 3 ê. á÷ëÜäéá ðëÞñùóå, åðßóçò, 3,6 . ¢ñá 3,6 : 3 = 1,2
Ôï 1 ê. á÷ëÜäéá êïóôßæïõí 1,2 .
Üóêçóç 3
Áðü ôéò ðëçñïöïñßåò äå èá ÷ñåéáóôþ ôçí ðïóüôçôá ôùí
êéëþí ðïõ áãüñáóå ï ðáôÝñáò ôçò Çñþò áëëÜ ìüíï ôá
÷ñÞìáôá ðïõ ðëÞñùóå ç ìçôÝñá ôçò Çñþò.
Ãéá 4 êéëÜ íåñÜôæéá ðëÞñùóå 12 . Áãüñáóå Üëëá 2,5
êéëÜ. Ãéá íá õðïëïãßóïõìå ðüóá åðéðëÝïí ðëÞñùóå,
èá ÷ñçóéìïðïéÞóù ôç ìÝèïäï ôçò áíáãùãÞò óôç ìï-
íÜäá êáé èá âñù ðüóï êüóôéóå ôï 1 êéëü íåñÜôæéá.
Ôï 1 ê. íåñÜôæéá êüóôéóå:
12:4=3
Ãéá ôá 2,5 ê. íåñÜôæéá ðëÞñùóå:
2,5÷3=7,5
ÓõíïëéêÜ ðëÞñùóå:
12+7,5=19,5

279
279
Äéá÷åéñßæïìáé óýíèåôá ðñïâëÞìáôá
Üóêçóç 4
Ôï åéóüäçìá ôïõ ðáôÝñá
åßíáé 18.000
6.600
+ 11.500
15.900
34.000
34.000
– 16.000
18.000
Üóêçóç 5
• Ïé ðëçñïöïñßåò ðïõ ìïõ ÷ñåéÜæïíôáé åßíáé ôá ìÞêç ôùí ðëåõñþí ðåñéìåôñéêÜ ôïõ ïéêïðÝäïõ,
êáé ç áðüóôáóç ìåôáîý ôùí äÝíôñùí.
• Èá õðïëïãéóôåß ç ðåñßìåôñïò êáé áöïý áíÜ 3ì. èá öõôåõôåß Ýíá äÝíôñï, ìå äéáßñåóç èá âñþ
ôïí áñéèìü ôùí äÝíôñùí ðïõ èá öõôåõôïýí.
15 + 9 + 6 + 30 + 6 + 9 = 75ì.
75 : 3 = 25 Èá öõôåõôïýí 25 äÝíôñá ðåñéìåôñéêÜ ôïõ ïéêïðÝäïõ.

Σύνθετα προβλήματα -
επαλήθευση
Γ.Φ.Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://xristx.blogspot.gr σελ.35

1ο Βήμα
• Προτού ξεκινήσω τη λύση ενός προβλήματος,
κάνω μια εκτίμηση για το αποτέλεσμα,
στρογγυλοποιώντας τους αριθμούς
και κάνοντας πράξεις κατά προσέγγιση
(στο περίπου).

2ο Βήμα
• Αφού το λύσω με ακρίβεια, ελέγχω το
αποτέλεσμα σε σχέση με τη εκτίμησή μου.
• Αν η απόσταση είναι αδικαιολόγητα μεγάλη,
προσπαθώ να χρησιμοποιήσω άλλη
στρατηγική (άλλη μέθοδο) για να το λύσω.

Έλεγχος αποτελέσματος
• Φυσικά στο τέλος ελέγχω το αποτέλεσμα με
τη λογική
(π.χ. αν η λύση σε κάποιο πρόβλημα είναι
8,3 επιβάτες, είναι φανερό ότι κάτι δεν έγινε
σωστά).
Γιάννης Φερεντίνος

stam72
Σύνθετα προβλήματα- επαλήθευση

1.Διαβάζω με προσοχή

4 δρομολόγια με πλήρες φορτίο
1 δρομολόγιο με τα 3/10 του φορτίου
Πόσο φορτίο μεταφέρει
σε ένα πλήρες
δρομολόγιο;

Σκέψη:
Ξέρω το ένα πλήρες δρομολόγιο . (12 τόνοι χαλίκι)
Μπορώ να βρώ τα 4 δρομολόγιο με πλήρες φορτίο;

Σκέψη
Ψάχνω πόσα είναι :
Τα 3/10 του επιτρεπόμενου φορτίου
Τα 3/10 του επιτρεπόμενου φορτίου δηλ
Τα 3/10 των 12 τόνων!!! Άρα...

Εκτίμηση
4 επί 12 περίπου 50
3/10 του 12 περίπου 3
Άρα κοντά στους 53
τόνους

Ακρίβεια:
4 x 12 = 48
12 x 3/10 = 3,6
48 + 9 = 51,6

Πώς επαληθεύω τη λύση;

Με τη βοήθεια της εκτίμησης
Είχα εκτιμήσει το
αποτέλεσμα περίπου
53 τόνους χαλίκι
Βρήκα με ακρίβεια
51,6 τόνους χαλίκι
Είμαι κοντά άρα η λύση
μου μοιάζει σωστή!!!

Με μια άλλη στρατηγική
Α’ δρομολόγιο (πλήρες φορτίο)
Β’ δρομολόγιο (πλήρες φορτίο)
Γ’ δρομολόγιο(πλήρες φορτίο)
Δ’ δρομολόγιο(πλήρες φορτίο)
Ε’ δρομολόγιο(3/10 του πλήρους φορτίου)
12
12
12
12
3/10
του
12
12:10
=1,2
1,2x3
=3,6

Με μια άλλη στρατηγική
Α’ δρομολόγιο (πλήρες φορτίο)
Β’ δρομολόγιο (πλήρες φορτίο)
Γ’ δρομολόγιο(πλήρες φορτίο)
Δ’ δρομολόγιο(πλήρες φορτίο)
Ε’ δρομολόγιο(3/10 του πλήρους φορτίου)
12
12
12
12
12
12
12
12
+ 3,6
51,6
3/10
του
12
12:10
=1,2
1,2x3
=3,6

Μαθηματικά Δ΄ 7. 45. ΄΄Διαχειρίζομαι σύνθετα προβλήματα΄΄

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Μαθηματικά Δ΄ 7. 45. ΄΄Διαχειρίζομαι σύνθετα προβλήματα΄΄

Similar to Μαθηματικά Δ΄ 7. 45. ΄΄Διαχειρίζομαι σύνθετα προβλήματα΄΄ (20)

More from Χρήστος Χαρμπής

More from Χρήστος Χαρμπής (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (13)

Μαθηματικά Δ΄ 7. 45. ΄΄Διαχειρίζομαι σύνθετα προβλήματα΄΄