Лекцию можно посмотреть вот здесь: http://www.youtube.com/watch?v=tCpAFJQGllI Подробности о курсе: http://uchinovoe.ru/courses/kurs-algebri-8-j-klass http://uchinovoe.ru/ http://vk.com/uchinovoe http://facebook.com/uchinovoe

1. Задачи к лекции № 4
I. Основные задачи
1. Известно, что число a при делении на 5 да¨ет остаток 3, а при делении на 7 — остаток 4. Найдите
остаток от деления числа a на 35.
2. Делится ли число m на число n, если: а) m = 903178476126, n = 6; б) m = −34658630, n = 12;
в) m = 94949492, n = 22; г) m = 347809234535, n = 45?
3. В числе 7862346 напишите последнюю цифру так, чтобы число делилось на 2; 5; 3; 9; 4; 25; 11.
4. Решите в целых числах уравнение (x − 2)(xy + 7) = 1.
5. Существует ли такое целое число, которое при делении на 15 да¨ет остаток 13, а при делении на
9 — остаток 5?
6. Докажите, что при любом натуральном n число n(n + 1)(2n + 1) делится на 6.
7. Докажите, что квадрат неч¨етного числа да¨ет остаток 1 при делении на 8.
II. Дополнительные и творческие задачи
8. Докажите признак делимости на 7: число делится на 7, если число, полученное прибавлением к его
последней цифре утроенного числа, составленного из всех остальных цифр, делится на 7. Пользуясь
этим признаком (возможно, не один раз), докажите, что число 2009 делится на 7.
9. Может ли число вида 4n + 3 быть квадратом некоторого целого числа?
10. На мебельной фабрике изготовляют табуретки с четырьмя и с тремя ножками. На складе име-
ется 717723 ножки. При изготовлении продукции должны быть использованы все ножки. На какое
минимальное число можно изготовить табуреток с четырьмя ножками меньше, чем с тремя?
11. Докажите, что сумма кубов тр¨ех последовательных натуральных чисел делится на 9.
12. Решите в целых числах уравнения: а) x2 − 3xy + 2y2 = 3; б) 3x + 2y = 7; в) x2 − 3y = 17.