Luận văn: Mô phỏng sóng cơ truyền trong cấu trúc đa lớp, HAY

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
NGUYỄN THỊ VÂN ANH
MÔ PHỎNG SÓNG CƠ TRUYỀN TRONG CẤU TRÚC
ĐA LỚP VÀ ỨNG DỤNG TRONG SIÊU ÂM ĐỊNH LƯỢNG
XƯƠNG
LUẬN VĂN THẠC SỸ
Hà Nội, tháng 10/2019

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
MÔ PHỎNG SÓNG CƠ TRUYỀN TRONG CẤU TRÚC
ĐA LỚP VÀ ỨNG DỤNG TRONG SIÊU ÂM ĐỊNH LƯỢNG
XƯƠNG
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số chuyên ngành: 8 44 01 03
Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thị Lâm Hoài.
Hà Nội, tháng 10 năm 2019

LUẬN VĂN THẠC SỸ Nguyễn Thị Vân Anh
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết
quả mới được công bố trong luận văn là trung thực và chưa được ai công bố trong bất
kỳ công trình nào khác.
Tác giả:

ii
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình học tập và làm việc tại Học viện khoa học và công nghệ Việt
Nam, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Lâm Hoài, tôi đã học hỏi được rất
nhiều kiến thức Vật lý, Toán học. Để hoàn thành được Luận án Thạc sĩ này và để có
thể trở thành một người có khả năng độc lập nghiên cứu Khoa học, tôi xin gửi đến
người thầy hướng dẫn trực tiếp của tôi lời cảm ơn sâu sắc nhất với tất cả tình cảm yêu
quý cũng như lòng kính trọng của mình. Một lần nữa tôi xin cảm ơn các thầy và TS.
Nguyễn Thị Lâm Hoài đã giúp đỡ tôi hoàn thành nội dung chính của luận án Thạc
Sĩ.
Tôi xin cảm ơn Trường THPT Yên Khánh B - Khánh Cư – Yên Khánh - Tỉnh
Ninh Bình nơi tôi công tác, đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành việc học tập
và nghiên cứu trong thời hạn 2 năm.
Tôi xin chân thành cảm ơn Học viện khoa học và công nghệ Việt Nam đã tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu tại học viện, phòng sau đại học đã
hỗ trợ tôi hoàn thành các thủ tục bảo vệ luận án.
Cuối cùng, tôi xin được dành tất cả những thành quả trong học tập của mình
dâng tặng những người thân trong gia đình mà hằng ngày dõi theo từng bước chân
tôi.

iii
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
Chương 1. TÍNH CHẤT CƠ HỌC CỦA XƯƠNG..................................................... 3
1.1 Vai trò và cấu tạo của xương ..................................................................... 3
1.1.1 Vai trò, chức năng của bộ xương...................................................................... 3
1.1.2 Phân loại xương................................................................................................. 4
1.1.3 Cấu trúc vi mô của xương ................................................................................. 6
1.2 Các đại lượng cơ học đặc trưng cho xương............................................ 7
1.2.1 Độ cứng và giới hạn chịu lực ............................................................................ 7
1.2.2 Ứng suất, sức căng và độ đàn hồi ..................................................................... 8
1.2.3 Suất đàn hồi thể tích và hệ số Poisson............................................................. 8
1.2.4 Tính dị hướng .................................................................................................... 9
1.2.5 Độ xốp................................................................................................................. 9
1.3 Các bệnh về xương....................................................................................... 9
1.3.1 Loãng xương ...................................................................................................... 9
1.3.2 Gãy xương ........................................................................................................ 10
1.4 Kĩ thuật siêu âm và vai trò của nó trong chẩn đoán và điều trị các
bệnh liên quan đến xương..................................................................... 10
1.4.1 Các kĩ thuật siêu âm......................................................................................... 10
1.4.2 Định lượng siêu âm xương ............................................................................. 12
Chương 2. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN............................................. 15
2.1 Phương pháp phần tử hữu hạn .............................................................. 15
2.1.1 Lịch sử phát triển của phương pháp phần tử hữu hạn................................. 15
2.1.2 Các khái niệm và kĩ thuật cơ bản của FEM .................................................... 15
2.2 Phương pháp trọng số thặng dư và Garlerkin FEM............................ 18
2.2.1 Phương pháp trọng số thặng dư .................................................................... 18
2.2.2 Phương pháp Galerkin cho phần tử hữu hạn................................................ 20
2.3 Quy trình thực hiện Galerkin FEM.......................................................... 22
2.3.1 Giải phương trình vi phân đơn giản bằng Galerkin FEM.............................. 22

iv
2.3.2 Tóm lược quy trình giải thuật Galerkin FEM ................................................ 26
Chương 3. SỰ TRUYỀN CỦA SÓNG DẪN SIÊU ÂM TRONG CẤU TRÚC ĐA LỚP
MÔ TẢ XƯƠNG DÀI ......................................................................... 28
3.1 Sóng dẫn và phép định lượng sóng dẫn siêu âm trong xương dài... 28
3.2 Mô hình đa lớp cho xương dài ................................................................ 32
3.3 Phương trình truyền sóng ....................................................................... 33
3.3.1 Phương trình truyền sóng trong chất rắn ..................................................... 33
3.3.2 Phương trình truyền sóng trong chất lỏng.................................................... 34
3.3.3 Các điều kiện biên............................................................................................ 34
3.4 Giải phương trình bằng phương pháp phần tử hữu hạn bán giải tích
..................................................................................................................... 35
3.5 Các tham số dùng trong mô phỏng ......................................................... 36
3.6 Bản xương phẳng đặt trong không khí.................................................. 37
3.6.1 Tín hiệu miền thời gian................................................................................... 37
3.6.2 Biến đổi Randon và hệ thức tán sắc ............................................................... 38
3.6.3 Ảnh hưởng của tần số sóng siêu âm............................................................... 39
3.6.4 Ảnh hưởng của độ dày bản xương ................................................................. 41
3.6.5 Ảnh hưởng của vị trí nguồn............................................................................ 42
3.7 Bản xương phẳng phủ bởi lớp mô mềm ............................................... 43
Kết luận chung....................................................................................................... 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................................... 46

1
MỞ ĐẦU
Các sóng siêu âm Y học với tần số từ 1-10MHz (Medical Ultrasounds),
có đóng góp rất lớn trong lĩnh vực chăm sóc sức khỏe con người, phổ biến nhất
là trong lĩnh vực tim mạch và sản khoa. Khoảng gần 20 năm gần đây, một
hướng nghiên cứu ứng dụng mới của sóng siêu âm: SIÊU ÂM ĐỊNH LƯỢNG
XƯƠNG được các nhà khoa học trên thế giới quan tâm phát triển nhằm mục
đích chế tạo các linh kiện siêu âm y học mới với mục đích chẩn đoán và theo
dõi các bệnh lý liên quan đến xương (loãng xương, gãy xương), dần dần thay
thế cho phương pháp chẩn đoán xương truyền thống sử dụng X-ray. Lợi thế lớn
nhất của siêu âm định lượng xương (Bone QUS) so với X-ray là QUS không
gây ion hóa tế bào sống, vì vậy có thể dùng cho cả trẻ em và phụ nữ mang thai.
Mặt khác, do bản chất là các dao động cơ học, sóng siêu âm được đánh giá là
có khả năng phản ánh tốt hơn các tính chất cơ học của xương mà X-ray không
thể đo được, ví dụ như độ đàn hồi của xương. Ngoài ra thiết bị vi mô thường
có thể thiết kế nhỏ gọn, có thể cầm tay được với giá thành không cao. Đến nay
Bone-QUS đã đạt được một số thành tựu tương đối quan trọng trong việc đo
mật độ xương ở các vị trí nơi xương thường có hình dạng có thể coi là phẳng
và cấu trúc xốp như gót chân, ngón tay, xương hông. Một số thiết bị vi mô dạng
này đã được thương mại hóa và bán ra thị trường.
Có ba kĩ thuật đo chính được sử dụng trong siêu âm xương: Cấu hình đo
xung-phản xạ, cấu hình truyền qua và cấu hình truyền dọc. Các phép đo có thể
được thiết lập trên các mẫu vật liệu giả xương (phantom), trên mẫu xương chết
(in vitro) hay trực tiếp trên các cơ thể sống (in vivo). Nguồn phát phát ra xung
siêu âm truyền qua mẫu vật tới nguồn thu. Về mặt lý thuyết, tín hiệu thu được
có chứa đầy đủ thông tin về tính chất của xương như mật độ, độ đàn hồi…. Tuy
nhiên do tính chất phức tạp của mẫu xương việc đoán nhận cũng như phân tích
tín hiệu để lấy ra được các thông tin này là không hề đơn giản. Bởi vậy, sự hiểu

2
biết về sự truyền của sóng vi mô trong các cấu trúc xương này là hết sức cần
thiết để làm cơ sở cho việc phân tích và đoán nhận tính chất của tín hiệu vi mô
thu được trong các phép đo.
Trong luận văn này, chúng tôi quan tâm đến sóng dẫn siêu âm (ultrasonic
guided wave UGW) truyền trong cấu trúc xương dài. Các nghiên cứu về sóng
dẫn trong xương dài qua cấu hình truyền dọc rất được quan tâm phát triển gần
đây với các nhóm nghiên cứu mạnh nằm ở các nước Phần Lan, Pháp, Canada
và Trung Quốc. Mục đích của luận văn là mô phỏng tín hiệu sóng siêu âm thu
được trong cấu hình đo truyền dọc dựa trên mô hình toán học cho sóng truyền
trong các cấu trúc xương dài, và khảo sát sự phụ thuộc của tín hiệu vào các
thông số của phép đo.
Về mặt phương pháp, chúng tôi mô hình hóa cấu trúc xương như một vật
liệu đa lớp rắn/lỏng xen kẽ. Phần xương cứng được mô tả như vật liệu rắn trong
khi đó phần da và tủy xương mang tính chất của chất lỏng. Chúng tôi sử dụng
phương pháp phần tử hữu hạn bán giải tích (SAFE) được phát triển bởi tiến sĩ
Nguyễn Vũ Hiệu và cộng sự để tính toán sự truyền của sóng siêu âm trong
trong các mô hình này.
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm 3 chương:
Chương 1: Trình bày cấu trúc, chức năng và tính chất cơ học của xương
Chương 2: Giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn
Chương 3: Mô phỏng sự truyền của sóng siêu âm trong cấu trúc đa lớp
xương

3
Chương 1. TÍNH CHẤT CƠ HỌC CỦA XƯƠNG
1.1 Vai trò và cấu tạo của xương
1.1.1 Vai trò, chức năng của bộ xương
Bộ xương giúp tạo hình và đảm bảo cho hoạt động của cơ thể. Các xương
liên kết với nhau tạo thành khung cứng và điểm tựa để nâng toàn bộ cơ thể,
giúp cho người có tư thế đứng thẳng. Xương kết hợp với cơ tạo nên hệ đòn bẩy
mà điểm tựa là các khớp xương, đảm bảo cho hoạt động của cơ thể. Sự tăng
trưởng về chiều cao và khả năng hoạt động của con người phụ thuộc rất lớn vào
khung xương.
Hình 1.1 Cấu tạo bộ khung xương của con người [1]
Bộ xương có chức năng bảo vệ cho các cơ quan nội tạng. Thật vậy những
khoảng trống tạo bởi bộ xương là nơi giữ các cơ quan nội tạng nội tạng: hộp
sọ giữ bộ não; xương sống chứa tủy sống; xương sườn tạo thành hộp bảo vệ hai

4
cơ quan quan trọng là phổi và tim…Xương là nơi dự trữ các chất mỡ, các muối
khoáng, đặc biệt là Canxi và phốt pho và điều hòa các khoáng chất trong cơ thể
khi cần thiết. Tủy xương là nơi tạo ra huyết cầu cho cơ thể. Trung bình, có 2,6
triệu tế bào hồng cầu được sản xuất từ tủy xương.
1.1.2 Phân loại xương
a) Phân loại xương theo hình dạng
Dựa theo hình dạng, ta có thể phân biệt các loại xương như sau:
Xương phẳng (hay xương dẹt): Là các xương có dạng bản phẳng ta có thể
tìm thấy các xương này ở hộp sọ, xương bả vai, xương chậu hay xương gót
chân. Xương ức, xương sườn cũng có thể coi là xương phẳng. Các xương này
thường có cấu trúc xốp và tương đối nhẹ.
Hình 1.2 Cấu trúc xương phẳng và xương dài
Xương ống (hay xương dài): Có cấu trúc dạng ống, khoảng trống ở giữa
được lấp đầy bởi tủy bao gồm xương ở các chi trên (xương cánh tay, xương
cẳng tay, xương đốt bàn tay) và xương ở các chi dưới (xương đùi, xương cẳng
chân, xương mác, xương đốt bàn chân). Xương dài có chức năng hỗ trợ trọng
lượng của cơ thể và tạo điều kiện cho việc di chuyển (Hình 1.2).
Xương ngắn: Thường gặp ở các khớp nối như xương cổ tay, cổ chân, bàn
tay, bàn chân. Chúng có kích thước ngang, dọc, trước, sau gần bằng nhau.
Xương đặc
Vỏ xương
Xương xốp

5
Xương ngắn gộp lại với nhau có thể chịu được áp lực rất lớn, là nơi chịu trách
nhiệm chính cho các vận động phức tạp của cơ thể (Hình 1.3).
Hình 1.3 Xương ngắn ( xương bàn tay bàn chân) và xương có hình dạng
bất định (xương sống)
Xương có hình dạng bất định: là các xương có hình dạng khá phức tạp, có
thể gặp ở xương đốt sống (Hình 1.3) và một số xương trong vùng chậu như
pubis, ilium và ischium.
Ngoài ra còn có xương vừng và xương có hốc khí: Các xương vừng là
những cấu trúc xương nhỏ, tròn bám vào các gân gấp của bàn chân và thường
ở vị trí rất gần so với khớp. Xương giúp giảm ma sát và áp lực của gân gấp khi
gân qua đoạn gần khớp. Xương có hốc khí có chứa không khí bên trong như
xương trán, xương hàm, thân xương bướm
b) Phân loại xương theo thành phần cấu tạo
Xương đặc: Chiếm 70% khối lượng xương của cơ thể, có cấu trúc rắn chắc,
và khối lượng riêng lớn. Xương đặc là loại xương chủ yếu cấu tạo nên thân của
xương dài.
Xương xốp: Thường gặp ở các đầu các xương ống, các xương ngắn và xương
dẹt. Ở các xương dài cũng có một lớp mỏng xương xốp nằm ở phần trong của
ống xương, tiếp giáp với tủy sống. Xương xốp có cấu tạo gồm các lá xương
đan chéo vào nhau tạo ra nhiều hốc lớn, thông nhau và chứa đầy tủy sống.

6
1.1.3 Cấu trúc vi mô của xương
Ở thang nano mét, xương được hợp thành bởi các phân tử collagen được
xắp xếp thành các sợi nhỏ. Các sợi nhỏ này lại được xếp lại tạo thành các sợi
xơ. Các tinh thể khoáng xương được sắp hàng xen kẽ với các sợi xơ và các sợi
sơ đã khoáng hóa này xắp xếp thành phiến xương có độ dày đặc trưng khoảng
vài micro mét. Định hướng của các sợi xơ phụ thuộc vào các phiến xương và
có thể thay đổi trong các lớp phụ của phiến.
Hình 1.4 Cấu trúc vi mô của xương [2]
Cách tổ chức này giống như kiểu cấu trúc gỗ dán xoắn. Một osteon tương
đương một cấu trúc hình trụ với đường kính 100‐300 micrometters bao gồm
một số lá xương xắp xếp quanh kênh Haversian chứa các mạch máu và dây
thần kinh. Một osteon còn được gọi là một cấu trúc đơn vị (BSU) của xương.
Tại vùng ngoại vi của mỗi osteon, giữa khoảng cách của các osteons với osteons
liền kề hoặc mô kẽ, có dòng chảy của chất khoáng, rất giàu proteoglycan. Trong
xương xốp, mỗi bản xương có độ dày dao động quanh 100 micrometters được
tạo thành từ các sợi xương sắp xếp song song.

7
1.2 Các đại lượng cơ học đặc trưng cho xương
1.2.1 Độ cứng và giới hạn chịu lực
Tác dụng một lực vào mặt cắt của xương sao cho hướng của lực song song
với trục xương, ta thấy độ biến thiên của chiều dài xương phụ thuộc vào lực tác
dụng theo dạng đồ thị sau ( hình 1.5):
Hình 1.5 Sự phụ thuộc chiều dài của xương vào lực tác dụng lên xương
Hệ số góc của phần tuyến tính trên đồ thị là độ cứng của xương. Độ cứng
phản ánh khả năng chịu tác dụng lực của xương, có độ lớn phụ thuộc nhiều vào
cấu trúc hình học của xương. Độ cứng được tính bởi: , ở đó F là độ lớn
lực tác dụng lên xương (tính bằng N), và ∆l là độ biến dạng của xương (tính
bằng mm).
Giới hạn chịu lực của xương được định nghĩa là lực tối đa mà xương chịu
được mà không bị gãy, hỏng, được xác định bằng giá trị của lực tại điểm cực
trị của đường cong trên. Các xương khác nhau có giới hạn chịu lực khác nhau.
Giá trị của độ cứng và giới hạn chịu lực của một số xương trong cơ thể người
được thể hiện dưới Bảng 1.1.

8
Loại xương Độ cứng (N/m) Giới hạn chịu lực (N)
Xương đùi
Ép đứng 5568(1597),{4937-
16948},9039(3412)a
Ép bên 4000{1100-8700},2586(1146)a
Cột sống
Nén {2602-5802}
Uốn trước 3109(1234) 630-2907},2098(815)
Xương quay
Nén 12946(3644)
Bảng 1.1 Độ cứng và giới hạn chịu lực của một số loại xương[2]
1.2.2 Ứng suất, sức căng và độ đàn hồi
Ứng suất  là lực tác dụng lên một đơn vị diện tích (A), được xác định
bởi công thức: ¾ = F=A¾ = F=A
Sức căng  được tính bằng tỷ lệ giữa độ biến dạng (∆l) và chiều dài ban
đầu (lo) của xương: 0/l l   .
Độ đàn hồi (E) hay suất Young phản ánh khả năng đàn hồi của xương
được định nghĩa bằng độ dốc của tiếp tuyến trên đường cong ứng suất:
2
(N/ mm )E



1.2.3 Suất đàn hồi thể tích và hệ số Poisson
Suất đàn hồi thể tích đo lường khả năng chịu nén của khối vật chất theo
tất cả các hướng, xác định bởi
P
V
V

  

. Ở đó, P là áp suất và V là thể tích
của mẫu.
Khi chịu lực, xương có khả năng bị biến dạng theo cả hai hướng dọc theo
và vuông góc với phương của lực tác dụng. Hệ số Poisson được định nghĩa là

9
tỉ số giữa sức căng theo phương vuông góc với phương tác dụng lực và sức
căng song song với phương truyền lực:
( l / l )
( / )
OT OT T
T T Ll l




  

Hệ số nén khối K quan hệ với suất Young (E) và hệ số Poisson ( ) bởi công
thức sau:
(1 2 )
E
K
 


1.2.4 Tính dị hướng
Tính chất cơ học của xương là khác nhau theo các hướng khác nhau, bởi
vậy xương có tính dị hướng. Có một số yếu tố tạo nên tính dị hướng cơ học của
xương, bao gồm định hướng của BSU và mạng lưới xốp Havers, định hướng
của lamellae và sự liên kết của các sợi collagen và tinh thể hydroxyapatite.
Thường người ta coi xương có tính dị hướng trực giao, tức là tính chất xương
biến thiên dọc theo trục vuông góc với trục xương.
1.2.5 Độ xốp
Độ xốp được định nghĩa là tỉ số phần thể tích rỗng trên tổng thể tích xương
/rV V V . Độ xốp là khác nhau cho từng loại xương. Xương đặc có độ xốp rất
thấp cỡ 2-3% trong khi xương xốp có độ xốp cỡ 70-80%. Ngoài ra độ xốp còn
phu thuộc vào độ tuổi và bệnh lý của xương. Ví dụ: xương người già có độ xốp
lớn hơn xương của người trẻ; xương của người bị loãng xương có độ xốp lớn
hơn xương người khỏe mạnh.
1.3 Các bệnh về xương
1.3.1 Loãng xương
Loãng xương (còn được gọi xốp xương hay thưa xương) là một bệnh lý
của hệ thống xương, đặc trưng bởi sự giảm tỷ trọng khoáng chất của xương
(Bone Mineral Density‐BMD) hay giảm trọng lượng của một đơn vị thể tích
xương (Bone Mass Content – BMC), đồng thời với sự giảm bề dày lớp vỏ
xương. Loãng xương thường xảy ra âm thầm, các triệu chứng lâm sàng không

10
thể hiện các một cách tức thời và rõ ràng. Loãng xương khiến cho sức chống
đỡ và chịu lực của xương giảm đi, xương sẽ trở nên mỏng mảnh, dễ gãy, dễ lún
và dễ xẹp, đặc biệt ở các vị trí chịu lực của cơ thể như: cột sống, cổ xương đùi,
đầu dưới xương quay, xương dần trở nên mỏng mảnh, yếu và dễ gãy khi bị
chấn thương dù rất nhẹ, thậm chí không rõ chấn thương.
Loãng xương do nhiều nguyên nhân khác nhau gây ra, bao gồm: kém phát
triển thể chất từ khi còn nhỏ, còi xương, suy dinh dưỡng; có tiền sử gia đình
cha, mẹ bị loãng xương hoặc gãy xương; ít hoạt động thể lực, ít hoạt động ngoài
trời, bất động quá lâu ngày do bệnh tật hoặc do nghề nghiệp; có thói quen sử
dụng nhiều rượu, bia, cà phê, thuốc lá; bị mắc một số bệnh hoặc đang sử dụng
dài hạn một số thuốc có tác dụng phụ gây ảnh hướng đến sức khỏe của xương.
1.3.2 Gãy xương
Gãy xương là tình trạng tổ chức xương bị phá hủy do tác động cơ học, có thể
là một vết nứt nhỏ trên thân xương hay tình trạng xương bị phá hủy hoàn toàn.
Nguy cơ bị gãy xương phụ thuộc một phần vào lứa tuổi. Xương gãy khá phổ
biến ở trẻ nhỏ, tuy nhiên gãy xương ở trẻ em thường ít phức tạp hơn gãy xương
ở người lớn. Người lớn tuổi có xương giòn hơn dẫn đến nguy cơ gãy xương do
té ngã. Người bị loãng xương cũng có nguy cơ gãy xương cao hơn người khỏe
mạnh. Gãy xương nghiêm trọng có thể có các biến chứng nguy hiểm nếu không
được điều trị kịp thời; các biến chứng có thể bao gồm tổn thương mạch máu hoặc
dây thần kinh và nhiễm trùng xương ( viêm tủy xương ) hoặc mô xung
quanh. Thời gian phục hồi khác vết gãy phụ thuộc vào độ tuổi và sức khỏe của
bệnh nhân và mức độ nghiêm trọng của vết gãy.
1.4 Kĩ thuật siêu âm và vai trò của nó trong chẩn đoán và điều trị các bệnh
liên quan đến xương
1.4.1 Các kĩ thuật siêu âm
Siêu âm (Ultrasound/Sonography) là một kỹ thuật chẩn đoán hình ảnh
không xâm lấn, áp dụng phổ biến trong y tế, phương pháp tạo ảnh là sử dụng

11
sóng siêu âm (sóng âm tần số cao) để xây dựng và tái tạo hình ảnh về cấu trúc
bên trong cơ thể hỗ trợ chẩn đoán và điều trị bệnh. Do hình ảnh siêu âm được
ghi nhận theo thời gian thực nên nó có thể cho thấy hình ảnh cấu trúc và sự
chuyển động của các bộ phận bên trong cơ thể kể cả hình ảnh dòng máu đang
chảy trong các mạch máu. Siêu âm thường được dùng để khảo sát các mô mềm
và cơ quan nội tạng trong cơ thể, và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực y
học như sản khoa, tim mạch.
Hiện các thiết bị siêu âm y học thường dùng một đầu dò có cả hai chức
năng phát/thu để tiến hành siêu âm. Sóng siêu âm phát ra từ đầu dò truyền vào
bên trong cơ thể. Do trở kháng âm của các phần cơ thể là không đồng nhất một
phần sóng siêu âm bị hấp thụ, một phần truyền qua và một phần bị phản xạ trở
lại trở lại đầu dò. Đầu dò thu nhận sóng âm phản hồi, qua quá trình xử lý số
liệu sẽ cho ra các hình ảnh siêu âm mà chúng ta nhìn thấy qua hiển thị màn
hình.
Các kĩ thuật siêu âm phần mềm [3]
Siêu âm kiểu A (A-mode): ghi lại sóng phản hồi bằng những xung nhọn,
mà vị trí tương ứng với chiều sâu và biên đô tỷ lệ thuận với cường độ của âm
vang (echo). Kiểu A ít có giá trị về chẩn đoán mà thường dùng để kiểm tra sự
chính xác của máy siêu âm.
Siêu âm kiểu B (B-mode) mỗi sóng xung kiểu A đều được ghi lại bằng
một chấm sáng nhiều hay ít tùy theo cường độ của âm dội. Sự di chuyển của
đầu dò trên da bệnh nhân cho phép ghi lại cấu trúc âm của các mô trong cơ thể
nằm trên mặt phẳng quét của chùm tia, đây là phương pháp siêu âm cắt lớp
(Echotomography). Hình thu được từ các âm vang này sẽ được lưu trữ trong bộ
nhớ và chuyển thành tín hiệu trên màn truyền bằng các chấm trắng, đen, xám.
Siêu âm kiểu B này được ứng dụng trong các loại máy siêu âm xách tay đen
trắng hay siêu âm phủ màu xách tay.
Siêu âm kiểu Động (M-mode) là một kiểu hai chiều với tốc độ quét
nhanh, tạo nên hình ảnh theo thời gian thực (real time). Với siêu âm kiểu M âm

12
vang sẽ ghi lại theo kiểu A, nhưng chuyển động theo thời gian nhờ màn hình
quét ngang thường xuyên. Do đó những cấu trúc đứng yên trên màn hình là một
đường thẳng, còn những cấu trúc chuyển động là một đường cong ngoằn nghèo
tùy theo sự chuyển động của cơ quan thăm khám. Siêu âm kiểu này thường
dùng để khám tim.
Siêu âm kiểu Doppler sử dụng hiệu ứng Doppler để đánh giá và quan sát
các dòng máu chảy trong mạch máu, đặc biệt được ứng dụng trong chẩn đoán
các bệnh tim mạch. Với siêu âm kiểu 3D hiện nay có 2 loại, đó là loại tái tạo
lại hình ảnh nhờ các phương pháp dựng hình máy tính và một loại được gọi là
3D thực sự (Live 3D, 3D real time, 4D). Siêu âm 3D do một đầu dò có cấu trúc
khá lớn, mà trong đó người ta bố trí các chấn tử nhiều hơn theo hình ma trận,
phối hợp với phương pháp quét hình theo chiều không gian nhiều mặt cắt, các
mặt cắt theo kiểu 2D này được máy tính lưu giữ lại và dựng thành hình theo
không gian 3 chiều.
1.4.2 Định lượng siêu âm xương
Rất nhiều ứng dụng của kĩ thuật siêu âm đã được triển khai trên các mô
mềm sinh học, tuy nhiên chỉ đến 20 năm gần đây người ta mới bắt đầu nghiên
cứu để ứng dụng siêu âm trong việc chẩn đoán và chữa trị các bệnh về xương,
mở ra sự phát triển của ngành định lượng siêu âm định lượng xương (QUS) [4-
8]. Đến nay, QUS đã đạt được một số các thành tựu nhất định như có thể chẩn
đoán mật độ xương với độ chính xác tương đương với kỹ thuật đo mật độ tia X
[9,10], hay theo dõi sự hồi phục của vết nứt xương, gãy xương[11]. Những lợi
thế như không chứa các tia có khả năng ion hóa tế bào nên có thể dùng cho cả
trẻ sơ sinh và phụ nữ có thai [12], rẻ tiền, nhỏ gọn, dễ di chuyển khiến cho QUS
trở thành đối tượng nghiên cứu hấp dẫn do tính ứng dụng cao trong việc chăm
sóc sức khỏe con người.
Trong QUS, có ba kĩ thuật đo chính được sử dụng là [2]:
Kĩ thuật đo xung – phản xạ: giống như siêu âm phần mềm, kĩ thuật đo
xung phản xạ sử dụng một đầu dò đơn hoạt động như cả nguồn phát và nguồn

13
thu. Đầu dò này phát các xung sóng siêu âm truyền vào trong xương và thu lại
phần tính hiệu bị phản xạ. Vận tốc truyền sóng phản ánh tính chất của xương
do vậy có thể tính được dựa vào độ dày xương và thời gian trễ của tín hiệu phản
xạ v = 2d=tv = 2d=t với d là độ dày của xương [3]
Kỹ thuật đo truyền ngang: sử dụng một cặp đầu dò phát/ thu đặt trên
hai mặt đối diện nhau của mẫu xương. Đầu phát phát ra tín hiệu siêu âm, đi
qua mẫu xương. Tín hiệu truyền qua được ghi lại bởi đầu thu. Qua việc so sánh
tính hiệu này với một tín hiệu qua môi trường tham chiếu (thường được chọn
là nước), người ta có thể rút ra được các thông số quan trọng của mẫu xương
như vận tốc khối và hệ số suy giảm tần rộng [13-16].
Hình 1.7: Kĩ thuật đo truyền ngang trong định lượng siêu âm xương[2]
Kĩ thuật đo truyền dọc là kĩ thuật định lượng siêu âm sử dụng một tập
hợp các các đầu dò phát và thu được xếp thẳng hàng với nhau dọc theo trục
xương. Thông số quan trọng trong phép đo này là thời gian tới (TOF) và vận
tốc của tín hiệu tới đầu tiên (FAS). Tần số sóng siêu âm sử dụng trong câú hình
này nằm trong khoảng 100 kHz đến 2.0 MHz, thấp hơn đáng kể so với tần số
lâm sàng được sử dụng trong siêu âm thông thường của các mô mềm.

14
Hình 1.8: Kĩ thuật đo truyền dọc trong định lượng siêu âm xương [2]
Kĩ thuật đo truyền dọc thường được dùng trong các phép đo định lượng
siêu âm trên xương dài. Qua các phép đo, người ta có thể ước lượng mật độ,
chiều dày cũng như độ đàn hồi của xương [17-20]

15
Chương 2. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
2.1 Phương pháp phần tử hữu hạn
2.1.1 Lịch sử phát triển của phương pháp phần tử hữu hạn
Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method -FEM) hay
nhiều khi còn gọi là giải tích phần tử hữu hạn (Finite Element Analysis - FEA)
được phát triển vào cuối những năm 1940, ban đầu để phục vụ nhu cầu phát
triển của kĩ thuật hàng không trong việc tạo ra những cấu trúc cho máy bay có
khả năng chịu lực cao khi bay với tốc độ lớn. Do chưa có sự hỗ trợ của máy
tính hiện đại, các kĩ sư đã phát triển một phương pháp dựa trên các ma trận để
tính các lực tác động vào các phần của cấu trúc bay khi biết độ dịch chuyển/biến
dạng của cấu trúc đó, và ngược lại, để tính độ dịch chuyển của cấu trúc khi biết
lực là các phương pháp tiền thân của phương pháp phần tử hữu hạn. Thuật ngữ
phần tử hữu hạn (FEM) được dùng đầu tiên bởi Clough [21] vào năm 1960 khi
nghiên cứu ứng suất phẳng và được dùng phổ biến đến hiện nay. Trong các
thập kỉ 60-70, FEM được phát triển và ứng dụng trong rất nhiều các lĩnh vực
của khoa học kĩ thuật. FEM là phương pháp tính toán số nặng, sử dụng các ma
trận với số chiều cao. Một trong những phần mềm sử dụng FEM đầu tiên -
NASTRAN - được phát triển vào những năm 1960 phục vụ chương trình thám
hiểm không gian của Mỹ. Hiện nay cũng có rất nhiều phần mềm tính toán được
phát triển sử dụng FEM, có thể kể đến ANSYS ,ALGOR, hay COSMOS/M.
Với năng lực của máy tính hiện nay, hầu hết các phần mềm này đều chạy được
trên máy tính cá nhân, giải quyết rất nhiều bài toán tĩnh học hay động học của
các cấu trúc, bài toán truyền nhiệt, sự chảy của chất lỏng, các bài toán điện từ,
sóng trong các môi trường đàn hồi hay sóng địa chất…
2.1.2 Các khái niệm và kĩ thuật cơ bản của FEM
Giả sử ta có một miền vật liệu với những tính chất vật lý xác định. Để
cho dễ hình dung ta xét trường hợp miền có dạng phẳng (Hình 2.2). Nguyên
tắc tính toán của FEM dựa trên việc chia nhỏ miền xác định của bài toán thành

16
nhiều vùng con với kích thước hữu hạn, được gọi là các “phần tử”. Hình 2.2b
cho thấy một phần tử hình tam giác bao phủ một vùng con hữu hạn của miền
xác định. Ta thấy “phần tử” có thể có hình dạng bất kì. Các đỉnh của phần tử
được đánh số, các điểm ở đỉnh gọi là các nốt (nodes). Một nốt là một điểm mà
giá trị của biến trường sẽ được tính tường minh trong FEM. Các nốt nằm trên
biên của phần tử được mô tả ở trên được gọi là các nốt ngoài và có thể giúp
phần tử liên kết với các phần tử lân cận khác. Ngoài ra ta cũng có thể lấy các
nốt không nằm trên biên phần tử được gọi là các nốt trong và không thể liên
kết với bất cứ phần tử khác nào. Hình 2.2 b biểu diễn các phần tử tam giác chỉ
có các nốt ngoài.
Hình 2.2 Sự chia nhỏ miền khảo sát với phần tử hình tam giác trong
phương pháp phần tử hữu hạn [22].
Nhìn vào hình 1c, ta thấy một phần tử bất kì đều liên kết với các phần tử
khác qua nốt ngoài của chúng (element connectivities). Điều kiện rằng, các biến
trường của hai phần từ có giá trị như nhau tại mọi nốt liên kết hai phần tử đó
cho phép ta thiết lập phương trình FEM cho tất cả các nốt trong toàn vùng. Điều
kiện này được gọi là điều kiện liên tục của biến trường, đảm bảo cho tính vật
lý của nghiệm và sự thiết lập phương trình cho các nốt trên toàn vùng được gọi
là sự ghép nối (assembling). Có thể thấy độ chính xác của phương pháp phụ

17
thuộc vào việc định nghĩa các phần tử. Số phần tử càng nhiều, số nốt càng lớn
thì độ chính xác càng cao. Một số ví dụ kinh điển về thiết lập FEM trong tính
toán chính xác các kết cấu tĩnh học trong chương 2,3,4 của tài liệu tham khảo
[22], ở đó người ta quan tâm tới lực và độ dịch chuyển tại một số điểm gián
đoạn của cấu trúc cơ học. Tuy vậy, trong các bài toán truyền sóng, truyền
nhiệt…ta cần tìm trường vật lý biểu diễn quá trình tại mọi điểm
thuộc miền xác định. Phương pháp Galerkin-FEM được phát triển [23,24] nhằm
giải quyết vấn đề này. Nội dung chính của phương pháp sẽ được trình bày chi
tiết ở mục 2.2. Điểm mấu chốt của Galerkin FEM là sử dụng các hàm ngoại
suy đã biết để mô tả sự biến thiên của các biến trường tại một điểm bất kì nằm
trong phần tử. Giá trị gần đúng của biến trường tại một điểm bất kì có tọa độ
(x,y) được suy ra từ các giá trị biến trường tại các nốt. Ví dụ, cho phần tử ba
nốt biểu diễn trên đây, giả sử giá trị của trường được xác định tại các nốt 1, 2,
và 3 lần lượt được xác định là và , ta có thể tìm biến trường bằng biểu
thức gần đúng dưới đây:
Á(x;y) = N1(x;y)Á1 + N2(x;y)Á2 + N3(x;y)Á3Á(x;y) = N1(x;y)Á1 + N2(x;y)Á2 + N3(x;y)Á3 (1)
Trong đó và là các hàm ngoại suy (interpolation functions) hay
hàm định dạng (shape functions) thỏa mãn một số điều kiện nhất định tại các
nút. Thông thường, người ta sử dụng các hàm ngoại suy dạng đa thức. Nếu các
biến trường là vô hướng (như nhiệt độ trong bài toán truyền nhiệt chẳng hạn),
thì các phần tử tam giác cho bởi phương trình (1) được gọi là có 3 bậc tự do.
Nếu biến trường là một véc tơ, ví dụ như véc tơ độ dịch chuyển trong phương
trình truyền sóng 2 chiều thì các phần tử tam giác này có 6 bậc tự do. Tóm lại,
số bậc tự do của phần tử bằng tích của số nốt của phần tử với số giá trị cần tính
của biến trường tại một nốt.
Một chương trình tính toán sử dụng FEM thường có 3 giai đoạn:
a) Giai đoạn tiền xử lý, cần có những thủ tục:
-Định nghĩa vùng xác định hình học của bài toán
-Định nghĩa loại phần tử sẽ được sử dụng

18
-Định nghĩa tính chất hình học của phần tử
-Định nghĩa tính chất vật liệu cho phần tử
-Định nghĩa liên kết giữa các phần tử để tạo lưới (assembling)
-Định nghĩa các điều kiện ràng buộc vật lý (điều kiện biên)
b) Thiết lập tính toán
-Tính toán các biến trường cơ bản
-Tính toán các biến trường thứ phát
c) Hậu xử lý
-Kiểm tra tính hội tụ của nghiệm
-Kiểm tra tính vật lý của nghiệm
2.2 Phương pháp trọng số thặng dư và Garlerkin FEM
Vấn đề mà luận văn này quan tâm tới cũng giống như phần lớn các bài
toán trong khoa học và kĩ thuật đều được quy định bởi một phương trình vi đối
với biến vật lý tương ứng, thỏa mãn những điều kiện biên nhất định. Trong một
số trường hợp đơn giản ta có thể tìm nghiệm chính xác của bài toán (lời giải
mạnh strong formulation). Tuy nhiên, trong đại đa số các trường hợp, sự phức
tạp của phương trình vật lý cùng với sự phức tạp trong cấu trúc hình học của
miền xác định và điều kiện biên khiến cho khả năng tìm được nghiệm chính
xác là thấp, ta phải phát triển những kĩ thuật để tìm nghiệm gần đúng của
phương trình và Galerkin FEM là một trong những kĩ thuật này. Galerkin FEM
được phát triển dựa trên một kĩ thuật gần đúng cơ bản hơn: Phương pháp trọng
số thặng dư.
2.2.1 Phương pháp trọng số thặng dư
Phương pháp trọng số thặng dư là phương pháp gần đúng để giải quyết
các phương trình vi phân bằng cách sử dụng một tập hợp hàm cơ bản được chọn
thỏa mãn trước các điều kiện biên, và sử dụng một tích phân để tối thiểu hóa
sai số trung bình trên toàn bộ miền xác định của bài toán. Để đơn giản, chúng
tôi trình bày ở đây một ví dụ. Xét phương trình vi phân một chiều

19
(2)
với điều kiện biên
(3)
Phương pháp trọng số thặng dư tìm nghiệm gần đúng của phương trình
dưới dạng:
(4)
Với là nghiệm gần đúng, được biểu diễn dưới dạng một tổ hợp của các
tích giữa hằng số cần được xác định với hàm thử . Điều kiện tiên quyết
với hàm thử là chúng liên tục trên vùng đang được xét và thỏa mãn chính xác
các điều kiện biên. Thay nghiệm ở phương trình (4) vào phương trình (2) ta
định nghĩa sai số thặng dư như sau:
(5)
ở đó là phần thặng dư. Chú ý rằng thặng dư cũng là một hàm
của các hệ số . Phương pháp trọng số thặng dư đòi hỏi rằng, các hệ số được
tìm sao cho
(6)
với là tập hợp hàm trọng số ngẫu nhiên. Ta thấy rằng, tích phân
trên cho ta một hệ n phương trình tuyến tính với cho n ẩn số . Phương trình
(6) đòi hỏi rằng tổng các sai số với trọng số bất kì trên toàn bộ miền xác định
là bằng 0. Chúng ta cần chú ý rằng, do điều kiện rằng các hàm thử thỏa mãn
điều kiện tại các biên, nên lời giả là chính xác tại biên, tuy vậy tại một điểm bất
kì, lời giải có sai số khác 0. Phương pháp trọng số thặng dư có thể tìm thấy lời
giải trùng với nghiệm chính xác trong một số trường hợp đặc biệt, nhưng do
“may mắn” hơn là có tính quy luật. Trong các trường hợp 2, 3 chiều việc tìm
ra các hàm thử thích hợp cho phương trình vi phân cũng là việc tương đối khó
khăn. Ta có thể thấy một số các biến thể của phương pháp trọng số thặng dư
như phương pháp lặp điểm, lặp vùng con, bình phương tối thiểu hay phương

20
pháp Galerkin. Trong phương pháp Galerkin, hàm trọng số được chọn trùng
với hàm thử:
(7)
Bởi vậy, các ẩn số được xác định bởi n phương trình:
(8)
2.2.2 Phương pháp Galerkin cho phần tử hữu hạn
Phương pháp trọng số thặng dư đã trình bày trong phần trên sử dụng các
hàm thử có tính toàn cục, tức là mỗi hàm thử được sử dụng trong toàn miền và
từng hàm đều thỏa mãn điều kiện biên. Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày
sự ứng dụng của phương pháp này trong FEM.
Giả sử chúng ta xem xét phương trình vi phân một chiều
(9)
thỏa mãn điều kiện biên
(10)
Chia miền xác định thành M “phần tử” bởi M+1 điểm chia sao cho
và . Ta tìm nghiệm của phương trình dưới dạng
(11)
ở đó là lời giải tại nốt thứ ( ) cần phải tìm trong bài toán và
là hàm thử tương ứng. Ở đây có sự khác biệt lớn hàm thử trong FEM: Các hàm
chỉ nhận giá trị khác 0 trong khoảng . Hàm thử đơn giản
nhất có dạng đa thức bậc nhất được định nghĩa như sau:
(12)

21
Ta thấy rõ ràng rằng các hàm thử không gì khác chính là các hàm ngoại
suy tuyến tính sao cho nghiệm trong khoảng [ ] là tổ hợp tuyến tính
của các giá trị nốt lân cận và . Ví dụ, trong khoảng ta có:
(13)
Chú ý rằng các hàm thử ở đây được chọn là tuyến tính. Các hàm ngoại suy
dạng đa thức bậc cao hơn cũng có thể được sử dụng. Thay biểu thức của
vào phương trình (9), ta có biểu thức của thặng dư :
(14)
Áp dụng phương pháp trọng số thặng dư Galerkin, lấy các hàm trọng số
giống hệt các hàm thử, ta thu được
(15)
với . Chú ý rằng trong khoảng chỉ có hai hàm thử
là khác 0, do vậy phương trình trên chuyển thành
(16)
Tính tích phân trên ta được hệ phương trình cho giá trị cần
tính của các giá trị nốt . Công thức này gọi là công thức yếu (weak
formulation) với ý nghĩa nghiệm là gần đúng. Việc thiết lập công thức yếu cho
hệ đang khảo sát làthao tác quan trọng nhất của phương pháp Galerkin FEM.
Công thức 16 có thể viết lại dưới dạng ma trận:
(17)
[K] được gọi là ma trận độ cứng của hệ (stiffness matrix), {y} là véc tơ
“dịch chuyển” ở các nốt và {F} là véc tơ “lực” tại các nốt. Phương trình 17 là
dạng hình thức của Galerkin FEM, bao gồm cả bước tính toán cho từng phần
tử và bước kết nối các phần tử. Như đã nói ở trên, phương trình 17 biểu diễn
một cách nguyên tắc phương pháp Galerkin FEM. Trong các tính toán thực tế

22
khi số phần tử là rất lớn, ma trận độ cứng có số chiều lớn và không thể tính toán
trực tiếp được. Người ta thường tính ma trận độ cứng cho từng phần tử và dùng
kĩ thuật kết nối để tạo ma trận độ cứng toàn cục.
2.3 Quy trình thực hiện Galerkin FEM
2.3.1 Giải phương trình vi phân đơn giản bằng Galerkin FEM
Để minh họa, chúng tôi sẽ các bước ứng dụng của phương pháp Galerkin
FEM để giải một phương trình vi phân, từ đó tóm lược các bước thực hiện
Galerkin FEM. Để tiện so sánh kết quả, ta chọn phương trình vi phân đơn giản
có nghiệm giải tích
(18)
thỏa mãn điều kiện biên
(19)
Phương trình này có nghiệm giải tích là . Bây giờ ta sẽ giải
phương trình này bằng phương pháp Galerkin FEM
Thiết lập công thức yếu cho bài toán
Lấy là hàm thử thỏa mãn các điều kiện biên
(20)
Nhân phương trình với và lấy tích phân trên miền xác định, ta có
(21)
Lấy tích phân từng phần ta được:
(22)
Do điều kiện biên , ta thu được
(23)
Đây là công thức yếu (weak formulation) của phương trình.
Phần tử và nốt

23
Ta chia miền xác định [0,1] thành N đoạn thẳng bằng nhau, mỗi đoạn
thẳng có độ dài . Định nghĩa các điểm nốt
(24)
Lúc đó, đoạn thẳng thứ k được giới hạn bởi , ta định nghĩa
đây là phần tử thứ k. Tập hợp các nốt và phần tử được gọi là một lưới phần tử.
Hình 2.3 Biểu diễn các phần tử và các nốt cho trường hợp N=5.
Hình 2.3 Lưới các phần tử của bài toán trong miền xác định [0,1]
Hàm cơ sở
Với phép chia lưới phần tử như ở trên, ta có:
(25)
Bởi vậy các hàm thử là
(26)
(27)
(28)
Thiết lập hệ phương trình tuyến tính
Ta tìm lời giải dưới dạng
(29)
Do tính chất của các hàm thử, ta có thể thấy các lời giải ở nốt thỏa mãn
(30)
Đạo hàm của lời giải là

24
(31)
Thay vào công thức yếu, ta được
(32)
hay
(33)
hoặc dưới dạng ma trận:
(34)
ở đó
(35)
(36)
. Các phần tử ở hàng thứ nhất (i=1) là
(37)
(38)
Đóng góp địa phương của từng phần tử và ráp nối toàn cục (assembling)
Ta có thể viết
(39)
(40)
Ta có thể thấy đóng góp cho từ phần tử k là
(41)

25
Ta thấy rằng trong khoảng [ ] chỉ có các hàm là khác 0, bởi
vậy tích phân trên chỉ đóng góp các số hạng khác 0 vào các phần tử
. Ma trận 2x2 này được gọi là ma trận độ cứng địa
phương của phần tử thứ k . Tuy vậy do dạng của hàm thử và cách chia
phần tử là đồng nhất nên ta thấy ma trận này không thay đổi với mọi phần tử.
Thay giá trị của hàm cơ sở vào ta tính được:
(42)
Tương tự ta có
(43)
Việc thiết lập ma trận toàn cục từ từng phần tử được gọi là kỹ thuật ghép
nối (assembling). Sự thành lập ma trận độ cứng toàn cục được minh họa theo
quy tắc dưới bảng sau.
Chỉ số trong ma trận
độ cứng cục bộ
Chỉ số trong ma trận
độ cứng toàn cục
Chỉ số trong véc
tơ lực cục bộ
Chỉ số trong
véc tơ lực cục
bộ
Hàng Cột Hàng Cột Cột Cột
1 1 k k 1 k
1 2 k k+1
2 1 k+1 k 2 k+1
2 2 k+1 k+1
Bảng 2: Vị trí của các phần tử của ma trận độ cứng và véc tơ lực cục bộ
trong biểu diễn toàn cục
Giải hệ phương trình
Lời giải FEM của phương trình tương ứng với số phần tử khác nhau cho
lưới được biểu diễn trong Hình 2.3 so sánh với lời giải giải tích. Ta thấy số
phần tử càng lớn thì lời giải FEM càng tiệm cận lời giải giải tích.

26
Hình 2.3 Lời giải FEM với số phần tử bằng 2 (đường liền nét, màu vàng),
bằng 5 (liền nét, màu đỏ) và bằng 10 (đường chấm trắng) so sánh với lời giải
giải tích (đường liền nét, màu xanh) của phương trình
2.3.2 Tóm lược quy trình giải thuật Galerkin FEM
Qua ví dụ trên ta có thể tóm lược lại các bước giải thuật Galerkin FEM
như sau:
Bước 1: Thiết lập công thức yếu (weak formulation) với hàm thử thỏa mãn
điều kiện biên của phương trình vật lý.
Bước 2: Định nghĩa lưới các phần tử hữu hạn bằng cách chia miền xác
định thành những phần nhỏ và xác định các nốt của các phần tử.
Bước 3: Dựa trên định nghĩa phần tử và vị trí các nốt, thiết lập công thức
cho hệ các các hàm cơ sở.
Bước 4: Biến đổi công thức yếu của bài toán để xác định hệ phương tình
tuyến tính mà hệ phải thỏa mãn.
Bước 5: Tính toán đóng góp địa phương của các phần tử và thực hiện ráp
nối toàn cục.

27
Bước 6: Giải hệ phương trình tuyến tính và lấy ra nghiệm của phương
trình.

28
Chương 3. SỰ TRUYỀN CỦA SÓNG DẪN SIÊU ÂM
TRONG CẤU TRÚC ĐA LỚP MÔ TẢ
XƯƠNG DÀI
3.1 Sóng dẫn và phép định lượng sóng dẫn siêu âm trong xương dài
Như đã trình bày trong chương 1, cấu hình đo truyền dọc thường được
sử dụng để khảo sát tính chất của các xương dài [17]. Cấu hình này sử dụng
một hay một tập hợp các điện cực thu và một hay một tập hợp các điện cực thu
nằm trên một trục song song với trục xương và trên cùng một mặt phẳng của
cấu trúc xương. Mặt trên của lớp xương có thể được phủ một lớp da, mặt dưới
của bản xương có thể tiếp xúc với lớp tủy sống. Sóng siêu âm phát ra từ nguồn
phát (transmitter), truyền đi trong cấu trúc xương, và được ghi lại bởi các điện
cực thu (receivers) tại các vị trí khác nhau bằng cách di chuyển điện cực thu
dọc theo trục của xương hoặc sử dụng một mảng các điện cực thu offset.
Hình 3.1 Sơ đồ cấu hình đo truyền dọc trong phép định lượng siêu âm
xương
Sự hiểu biết lý thuyết sóng là cần thiết để phân tích và đoán nhận tín hiệu.
Từ góc độ toán học, sóng truyền trong xương là nghiệm của phương trình sóng
trong môi trường đàn hồi. Phương trình sóng này được rút ra tử phương trình
định luật 2 Newton (biểu diễn mối liên quan giữa lực tác dụng và đạo hàm bậc
2 theo thời gian của độ dịch chuyển của các phần tử vật chất) và định luật
Hook’s (liên hệ tensor nén với tensor độ biến dạng thông qua tensor đàn hồi).
Xét trường hợp khi môi trường là đồng nhất và đẳng hướng, phương trình này
Nguồn phát
Nguồn thu

29
gọi là phương trình Navier [25]. Cho các môi trường kích thước vô cùng lớn
và không bị giới hạn bởi các mặt phân cách, phương trình sóng viết được thành
hai thành phần độc lập:
(44)
(45)
ở đó
(46)
ở đó và lần lượt là các hệ số Lamé liên quan đến các tensor stress và strain
và là khối lượng riêng của môi trường. Nghiệm của phương trình sóng cho ta
hai loại sóng độc lập: Một sóng dọc thường được gọi là L-wave truyền với vận
tốc , và một sóng ngang thường được gọi là wave truyền với
vận tốc . Khi xét đến tính không đồng nhất của môi trường, phương
trình sóng trở thành phương trình Christoffel [25]. Số nghiệm thu được cho các
sóng khối là 3: một sóng dọc L-wave có vận tốc pha lớn nhất và hai sóng ngang
nằm trên mặt phẳng vuông góc với phương truyền sóng dọc là các sóng SH và
SV truyền theo phương Ox. Trong trường hợp tổng quát môi trường các sóng
khối là giả dọc hay giả ngang.
Mẫu xương trong thực tế không phải là môi trường vô hạn mà nó có kích
thước nhất định và phân cách với môi trường bên ngoài bởi các mặt phân cách.
Lúc đó, sóng truyền trong xương không những bị quy định bởi phương trình
sóng (các phương trình Navier, Christoffel như đã nói ở trên) mà còn bị ràng
buộc bởi một loạt các phương trình biểu diễn điều kiện biên. Điều kiện biên
cứng (nghĩa là sự triệt tiêu của véc tơ độ dịch chuyển và tensor độ nén tại mặt
phân cách) hoặc điều kiện biên liên tục (nghĩa là sự liên tục của véc tơ độ dịch
chuyển và của tensor độ nén khi đi qua mặt phân cách) thường được sử dụng
trong các bài toán. Một số hiện tượng vật lý xảy ra tại mặt phân cách có thể

30
hiểu như là biểu hiện vật lý của điều kiện biên: phản xạ, tán xạ và hiện tượng
đổi modes. Hiện tượng đổi modes xảy ra khi sóng tới đến theo một góc xiên
với mặt phân cách. Giả sử sóng dọc tới chạm tới mặt phân cách dưới một góc
khác trực giao, tồn tại một thành phần áp lực song song với mặt phân cách có
thể gây ra dịch chuyển của các hạt dẫn đến sự hình thành sóng ngang, đây chính
là hiện tượng chuyển mode sóng. Theo đó, cho sóng L‐wave tới, ta có thể có
sóng phản xạ kiểu L và kiểu S và sóng tán xạ trong môi trường thứ hai kiểu L
hay kiểu S. Do các biên sóng truyền trong môi trường hữu hạn là chồng chập
tuyến tính của các sóng khối L và S sau một cơ số các lần bị phản xạ, tán xạ và
chuyển modes tại mặt phân cách, gọi là các sóng dẫn. Ta thấy, vật rắn với kích
thước vô hạn chỉ cho một số hữu hạn các kiểu sóng được truyền đi (1 L-wave
và 2 S-waves). Ngược lại, vật có kích thước hữu hạn cho phép vô số các kiểu
(mode) sóng truyền trong nó.
Bó sóng trong bản phẳng đồng nhất đẳng hướng là bài toán tiêu biểu về
sóng dẫn. Các sóng dẫn trong bản phẳng đồng nhất được gọi là sóng Lambs
Các modes sóng trong sóng Lamb chia làm hai loại tùy theo tính chất của dao
động: loại thứ nhất là các modes sóng đối xứng kí hiệu là , với
và loại thứ hai là kiểu bất đối xứng kí hiệu , Liên hệ giữa vận
tốc pha và tần số của các kiểu sóng Lamb được rút ra từ nghiệm thực của các
phương trình:
(47)
Cho kiểu sóng đối xứng và
(48)
cho kiểu sóng phản xứng. Ở đây, , với là vận tốc pha của bó sóng.
, và là vận tốc của các sóng khối kiểu
dọc và kiểu ngang, h là độ dày bản xương
Định nghĩa vận tốc nhóm của bó sóng bằng biểu thức

31
vg =
d!
dk
= c2
p
µ
cp ¡ !
dcp
d!
¶¡1
vg =
d!
dk
= c2
p
µ
cp ¡ !
dcp
d!
¶¡1
(49)
Vận tốc nhóm thường được hiểu như là vận tốc của năng lượng hoặc các
thông tin truyền đi được theo phương truyền của sóng

Hình 3.2 Hệ thức tán sắc của các sóng dẫn Lamb đối xứng An và phản
xứng Sn
Sự phụ thuộc của vận tốc pha và vận tốc nhóm vào độ lớn của tần số được
gọi là hệ thức tán sắc được biểu diễn trên Hình 3.2
Sự thay đổi trên các hệ thức tán sắc của sóng dẫn có thể phản ánh sự thay
đổi hình dạng hay tính đẳng hướng/ bất đẳng hướng của môi trường, chính vì
Vận
tốc
pha
(km/s)
Vận
tốc
nhóm
(km/s)
Tần số x Độ dày bản xương [f(MHZ) x d(mm)]
Tần số x Độ dày bản xương [f(MHZ) x d(mm)]

32
vậy, sóng dẫn trong xương là một đối tượng nghiên cứu khá hấp dẫn. Trong
cấu hình đo truyền dọc, người ta thấy rằng tín hiệu tới đầu tiên là thành phần
tần số thấp của sóng , tiếp sau đó đến các thành phần tương ứng với vận tốc
sóng khối kiểu L rồi tiếp đến là sóng kiểu [18,26]. Người ta cũng thấy rằng
sóng tới với biên độ rất nhỏ trong khi tới với biên độ lớn hơn nhiều. Tại
miền tần số thấp, modes sóng ít bị tán sắc và vận tốc của mode sóng
này là một hằng số phụ thuộc vào khối lượng riêng của môi trường tuy nhiên
lại không phụ thuộc nhiều vào độ dày của bản xương phẳng. Ngược lại, sóng
lại phản ánh tương đối tốt sự phụ thuộc vào độ dày bản xương và ít nhạy
cảm với tính dị hướng hay không đồng nhất của vật liệu xương.
Sự phức tạp của cấu trúc hình học, tính không đồng nhất và không đẳng
hướng của xương thường làm cho việc giải bài toán bó sóng trở nên phức tạp
và trong hầu hết các trường hợp, chúng ta chỉ có các lời giải số hoặc bán giải
tích. Nhu cầu hiểu biết về sự đóng góp của các mode sóng Lamb vào tín hiệu
siêu âm là động lực khiến chúng tôi thực hiện tính toán số mô phỏng sự truyền
của sóng dẫn siêu âm trong cấu trúc xương trong luận văn này.
3.2 Mô hình đa lớp cho xương dài
Hình 3.3 Mô hình đa lớp mô tả xương dài
Thông thường trong các thí nghiệm, người ta xem xét mẫu xương dài mặt
trên được phủ hoặc không bởi một lớp da mềm và mặt dưới có thể tiếp xúc hay
không với một lớp tủy sống. Về mặt vật lý, bản xương có thể coi như một môi
Nguồn phát Đầu thu
Tủy sống (lỏng)
Xương đặc (rắn)
Da mềm (lỏng)

33
trường rắn trong khi da và tủy sống mang tính chất của chất lỏng. Mô hình của
xương dài bởi vậy có thể coi như một cấu trúc đa lớp gồm một lớp chất rắn
kẹp giữa hai lớp chất lỏng (da) và (tủy) như Hình 3.3. Cho cấu hình
truyền dọc, các nguồn phát và thu được đặt ở trên mặt trên của lớp chất lỏng
. Mặt dưới của lớp tủy tiếp xúc với không khí. Ta gọi các biên giữa
và lần lượt là và . Các biên với không khí lần lượt là .
3.3 Phương trình truyền sóng
3.3.1 Phương trình truyền sóng trong chất rắn
Tín hiệu sóng siêu âm thu được là lời giải của phương trình truyền sóng
cho chuyển động của các phần tử trong hệ mô tả ở phần 3.1 dưới tác động của
nguồn phát. Phương trình truyền sóng trong lớp rắn được cho bởi:
(50)
ở đó là khối lượng riêng của môi trường rắn. là véc tơ hai
thành phần cho độ dịch chuyển, là toán tử vi phân được biểu diễn dưới dạng:
(51)
ở đó và:
(52)
là biểu diễn rút gọn của ten xơ ứng suất . Biểu diễn
rút gọn của ten xơ biến dạng liên hệ với độ dịch chuyển
bởi:
(53)
Phương trình liên hệ giữa ứng suất và độ biến dạng là:
(54)
Với

34
C =
0
@
c11 c12 c16
c12 c22 c26
c16 c26 c66
1
A ; ´ =
0
@
´11 ´12 ´16
´12 ´22 ´26
´16 ´26 ´66
1
A ;C =
0
@
c11 c12 c16
c12 c22 c26
c16 c26 c66
1
A ; ´ =
0
@
´11 ´12 ´16
´12 ´22 ´26
´16 ´26 ´66
1
A ; (55)
tương ứng là ten xơ độ cứng và độ nhớt. Với giả thiết môi trường là đồng
nhất và đẳng hướng, ta chỉ có các phần tử là khác không, liên hệ
với nhau bởi Các phần tử có độ lớn phụ thuộc vào
khối lượng riêng của chất rắn và các vận tốc sóng nén, sóng trượt theo công
thức:
(56)
Ten xơ độ nhớt cho phép ta đưa vào tính toán sự hấp thụ sóng siêu âm
của vật liệu theo cách đơn giản nhất. Các phần tử của ma trận này liên hệ với
các hệ số suy giảm của sóng nén và sóng trượt theo công thức:
(57)
Trong đó , là tần số ở đó người ta đo hệ số suy giảm.
3.3.2 Phương trình truyền sóng trong chất lỏng
Trong các lớp chất lỏng , phương trình truyền sóng là
(58)
đó là áp suất chất lỏng trong các môi trường . và tương
ứng là hệ số khối và khối lượng riêng của chất lỏng. là tín hiệu nguồn phát.
Vận tốc sóng âm truyền trong các chất lỏng được tính bằng:
(59)
3.3.3 Các điều kiện biên
Điều kiện biên diễn tả sự liên kết giữa các lớp của mô hình. Điều kiện
biên đòi hỏi sự liên tục của thành phần trực giao của vận tốc và của ứng suất
khi đi qua mặt phân cách rắn/ lỏng và sự triệt tiêu của chúng tại các mặt biên
tự do:
(60)
(61)

35
(62)
Một cách tường minh, các điều kiện biên này được viết:
(63)
(64)
3.4 Giải phương trình bằng phương pháp phần tử hữu hạn bán giải tích
Để giải các phương trình sóng đã trình bày trong phần 3.1, trong lĩnh
vực siêu âm xương, người ta dùng hai phương pháp số truyền thống. Phương
pháp biến phân hữu hạn miền thời gian ( Finite Difference Time Domain-
FDTD) được ứng dụng trong các công trình kinh điển của siêu âm xương. Dựa
trên phương pháp FDTD, một số các phần mềm, cả thương mại lẫn miễn phí,
được thiết kế phát triển dành riêng cho mô phỏng xương, như Wave2000‐3000
(@Cyber Logic) or Simsonic (simsonic.fr). Tuy nhiên, điểm yếu của FDTD là
tính toán bị sai số khá lớn khi cấu trúc hoặc tính chất của xương là phức tạp.
Phương pháp thứ 2 là phương pháp phần tử hữu hạn như mô tả trong chương
2, linh hoạt trong việc mô tả hình dạng xương và cho phép bao gồm trong tính
toán tính chất hấp thụ sóng của xương. Bởi vậy cho đến nay, FEM là phương
pháp phù hợp nhất để mô phỏng xương. Tuy vậy, FEM có nhược điểm là đòi
hỏi thời gian tính toán rất lớn. Trong công trình [27], tiến sĩ Nguyễn Vũ Hiệu
cùng với cộng sự đã đề xuất kết hợp FEM với biến đổi Fourrier-Laplace để
giúp giảm thời gian tính toán xuống rất thấp. Phương pháp này gọi là phần tử
hữu hạn bán giải tích (SAFE). Các bước chính của phương pháp SAFE có thể
được tóm tắt lại trong các bước sau:
Bước 1: Áp dụng phép biến đổi Laplace trên biến thời gian t và phép biến
đổi Fourier trên biến không gian x cho áp suất chất lỏng và véc tơ độ dịch
chuyển (x,y,t) :

36
(65)
(66)
với lần lượt là các biến Laplace và Fourier. Các phương trình truyền sóng
được đưa về phương trình vi phân một chiều với biến y.
Bước 2: Thực hiện các quy trình của phương pháp phần tử hữu hạn mô
tả trong chương 2 trên phương trình vi phân một chiều trên miền tần số vừa thu
được ở bước 1. Theo đó, cho mỗi giá trị ( ), các nghiệm nốt cho áp suất và
độ dịch chuyển được tính toán bằng cách giải phương trình:
(67)
ở đó
(68)
Ta thấy trong ma trận độ cứng toàn cục này, các số hạng ngoài đường
chéo thể hiện sự liên kết giữa các lớp chất lỏng và chất rắn. Chi tiết về sự thiết
lập công thức yếu, đóng góp địa phương của từng phần tử và sự kết nối phần
tử thành ma trận toàn cục có thể tham khảo trong các tài liệu [27-29].
Bước 3: nghiệm không thời gian trên miền ( ) được tìm lại bằng cách
sử dụng hai phép biến đổi ngược: biến đổi Fourrier ngược sử dụng kĩ thuật FFT,
và biến đổi ngược Laplace sử dụng phương pháp tích chập cầu phương.
3.5 Các tham số dùng trong mô phỏng
Trong luận văn này chúng tôi thực hiện mô phỏng cho hai trường hợp: (i)
một lớp xương phẳng đặt trong không khí và (ii) xương phẳng được phủ một
lớp mô mềm đặt trong không khí. Chúng tôi chọn các tham số cho mô phỏng
như trong tài liệu tham khảo [30], ở đó tính chất của cấu trúc tương tự như tính
chất của xương ống bò. Các thông số cho mẫu xương được trình bày trong Bảng
3.1.

37
Nguồn phát có kích thước rộng 0.7mm phát ra tín hiệu dạng sin với biên
độ biến điệu kiểu Gaussian, tới nghiêng một góc ®® với pháp tuyến bản xương:
s(t) = Asin(2¼fct)e¡4[fct¡1]2
s(t) = Asin(2¼fct)e¡4[fct¡1]2
(69)
ở đó fcfc là tần số trung tâm của nguồn phát. Đầu thu có dạng điểm gồm 64 phần
tử nằm cách đều nhau và hai đầu thu liên tiếp nằm cách nhau 0.0704mm và ở
đây ta giả thiết rằng góc thu tín hiệu là đồng bộ với góc chiếu. Tín hiệu thu
được được tính bằng hình chiếu của véc tơ độ dịch chuyển các phần tử môi
trường tại điểm đặt đầu thu lên trục của đầu thu.
Các thông số cho phần tử hữu hạn như sau: Các biến phân theo trục x có giá
trị khoảng 1/10 bước sóng ngắn nhất của hệ và biến phân thời gian được chọn
lần lượt là là mm và . Độ dài của xương được chọn đủ lớn
để tránh các sóng phản xạ lại từ biên. Độ dày xương 6.5mm và lớp mô
hf = 4hf = 4mm được chia làm 20 phần tử mỗi lớp. Phần tử có dạng 3 nốt. Trường
sóng được mô phỏng trong khoảng thời gian .
Xương Da/tủy
Độ dày 6.5 mm 4.0 mm
Khối lượng riêng 1850 kg/m3
1000 kg/m3
Vận tốc sóng nén 4000 m/s 1500 m/s
Vận tốc sóng trượt 1800 m/s 0
Hệ số hấp thụ sóng nén 5 dB/cm 0
Hệ số hấp thụ sóng trượt 11 dB/cm 0
Bảng 3.1 Các thông số của bản xương dùng trong mô phỏng
3.6 Bản xương phẳng đặt trong không khí
3.6.1 Tín hiệu miền thời gian
Chúng tôi biểu diễn trong mục này kết quả mô phỏng cho mô hình chỉ
gồm một lớp xương phẳng đặt trong không khí. Hình 3.4 biểu diễn tập hợp 32

38
tín hiệu sóng theo thời gian với góc tới và góc thu tín hiệu là 30 độ. Mỗi tín
hiệu đều đã được chuẩn hóa bằng cách chia cho biên độ lớn nhất của chúng và
chúng tôi không áp dụng phương pháp lọc sóng nào. Ta có thể phân biệt được
hai nhóm sóng: Nhóm thứ nhất có vận tốc khá lớn tuy nhiên có biên độ suy
giảm nhanh theo khoảng cách, và nhóm thứ hai có vận tốc chậm hơn và sự suy
giảm biên độ cũng nhỏ hơn. Nhóm thứ nhất có thể đoán nhận là các sóng khối
tần số cao, trong khi đó nhóm thứ hai là các sóng dẫn với tần số thấp và độ suy
giảm thấp hơn [30]. Ngoài ra chúng ta quan sát thấy một sóng có cường độ rất
mạnh và gần như không bị suy giảm, truyền với vận tốc khoảng 1.7km/s gần
bằng vận tốc của sóng bề mặt Rayleigh.
Hình 3.4 Bản xương phẳng trong không khí: tín hiệu miền thời gian
3.6.2 Biến đổi Randon và hệ thức tán sắc

39
Hình 3.5: Các modes sóng Lamb được kích thích
Để có được thông tin chính xác về vận tốc của các kiểu sóng dẫn, chúng
ta sử dụng biến đổi Randon [31] để biểu diễn phổ biên độ sóng theo vận tốc và
tần số của chúng. Kết quả được đưa ra trên Hình 3. 4.
Ta thấy có nhiều kiểu sóng dẫn đồng thời được kích thích bởi nguồn sóng
và truyền trong xương trong một khoảng giá trị khá lớn của vận tốc. Đường
màu trắng biểu diễn hệ thức tán sắc theo lý thuyết của sóng Lamb cho thấy sự
phù hợp giữa kết quả mô phỏng và lý thuyết truyền sóng thông thường, khẳng
định sự đúng đắn của chương trình tính toán.
3.6.3 Ảnh hưởng của tần số sóng siêu âm
Bây giờ chúng ta sẽ đi khảo sát sự ảnh hưởng của tần số nguồn phát lên
sự hình thành của các kiểu sóng dẫn. Để làm vậy, chúng tôi giữ nguyên chiều
dày của xương, vị trí các nguồn thu và góc chiếu của chùm tới và thay đổi tần
số trung tâm của tín hiệu tới, lần lượt là và 1.25 MHz. Kết
quả được biểu diễn trên Hình 3.6 (a‐d). Ta thấy số kiểu sóng dẫn được kích
thích tăng dần theo tần số của nguồn phát. Tại =250KHz, ta thấy chỉ có ba
kiểu sóng bậc thấp và của sóng Lamb được kích thích. Ta cũng thấy
trên hình 3.6a rằng sóng dẫn có vận tốc lớn nhất xấp xỉ giá trị của sóng khối
dạng nén P-wave, có khả năng đóng vai trò sóng tới đầu tiên (FAS) trong phép
Vận
tốc
pha
(km/s)
Tần số (MHz)

40
đo chính là sóng dẫn kiểu A1. Sóng dẫn có vận tốc lớn thứ hai là sóng Lamb
kiểu A0, được sinh ở tần số quanh 200Khz và có vận tốc cỡ 2km/s. Tại 500
KHz, có 5 kiểu sóng bao gồm các kiểu sóng phản xứng và các kiểu sóng
đối xứng được kích thích. Tuy nhiên kiểu sóng được kích thích ở
vùng vận tốc thấp hơn và ít tán sắc hơn.
Tại các tần số cao hơn nữa, ta thấy các kiểu sóng dẫn bậc thấp dường như
“chuyển” bớt năng lượng của chúng để tạo ra các kiểu sóng dẫn bậc cao: ta thấy
có khoảng 7 kiểu sóng được tạo tại tần số 750MHz và 9 kiểu sóng được tạo tại
tần số 1.25Mhz.
Tần số (MHz)
Vận
tốc
pha
(km/s)
Vận
tốc
pha
(km/s)
Tần số (MHz)
Tần số (MHz)

41
Hình 3.6 Các sóng dẫn siêu âm hình thành trong xương với các tần số
trung tâm khác nhau của nguồn phát
3.6.4 Ảnh hưởng của độ dày bản xương
Giữ nguyên tần số bằng 1MHz, góc chiếu 30 độ, vị trí của các nguồn phát
và thu giống như trong phần 3.6.1 và thay đổi độ dày của xương, ta thấy số kiểu
sóng được kích thích là giảm theo độ dày của xương. Với độ dày xương bằng
2mm, chỉ có 3 kiểu sóng đầu tiên là , and có thể được quan sát. Cho
bản xương dày 4mm, 5 kiểu sóng và được quan sát và như ta đã
thấy có 7 kiểu sóng được quan sát khi độ dày xương là 6.5mm. Đồng thời, phần
Vận
tốc
pha
(km/s)
Vận
tốc
pha
(km/s)
Tần số (MHz)
Tần số (MHz)
Vận
tốc
pha
(km/s)
Tần số (MHz)

42
tán sắc của kiểu sóng có thể được quan sát tốt hơn trong xương mỏng còn
phần không tán sắc của nó sẽ rõ hơn trong xương dày (Hình 3.7).
Hình 3.7 Các sóng dẫn siêu âm trong các bản xương có độ dày khác
nhau
3.6.5 Ảnh hưởng của vị trí nguồn
Giữ tần số sóng tới ở 1MHz, độ dày xương 6.5mm và góc chiếu của sóng
tại 300
. Tịnh tiến toàn bộ mảng đầu thu dọc theo trục x. Hình 3.8 biểu diễn các
trường hợp khi các đầu thu nằm trong khoảng [10-55] mm (a) và [35-80] (b)
tính từ nguồn phát. Ta thấy rõ ràng rằng độ phân giải tốt hơn cho bảng tán sắc
thu được với khoảng cách đầu phát-đầu thu nhỏ hơn.
Vận
tốc
pha
(km/s)
Vận
tốc
pha
(km/s)
Tần số (MHz)
Tần số (MHz)

43
Hình 3.8 Ảnh hưởng của vị trí nguồn thu lên sự quan sát các kiểu sóng
dẫn trong xương.
3.7 Bản xương phẳng phủ bởi lớp mô mềm
Trong mục này chúng tôi trình bày kết quả mô phỏng với mô hình xương gồm có 3
lớp: Lớp mô mềm có độ dày 4mm, lớp xương có độ dày 6.5mm và lớp tủy có độ dày
vô hạn, có thể coi như một nửa mặt phẳng. Các thông số của nguồn phát, đầu thu
được lấy giống như trong mục 3.6.1.
Tần số (MHz)
Tần số (MHz)
Vận
tốc
pha
(km/s)
Vận
tốc
pha
(km/s)

44
Hình 3.9 Tín hiệu miền thời gian và hệ thức tán sắc của tín hiệu thu được
trong trường hợp có mặt lớp mô mềm và tủy sống
Tập hợp 32 tín hiệu miền thời gian và hệ thức tán sắc của sóng dẫn siêu âm
trong trường hợp này được biểu diễn trên Hình 3.9. Ta nhận thấy rằng các kiểu
sóng dẫn dường như được kích thích tại cùng một giá trị vận tốc khoảng
4000m/s, tương đương với sóng đầu (head-wave) [32]. Do sự có mặt của lớp
mô mềm, khả năng quan sát các kiểu sóng dẫn siêu âm kém hơn hẳn trong
trường hợp chỉ có bản xương và không có lớp mô.

45
Kết luận chung
Trong luận văn này, chúng tôi đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn bán
giải tích (SAFE) để mô phỏng sự hình thành các sóng dẫn siêu âm trong xương
trong phép đo định lượng siêu âm sử dụng cấu hình đo truyền dọc. Các đóng
góp chính của luận văn là:
 Áp dụng thành công phương pháp SAFE cho hai mô hình: xương như
một bản rắn phẳng và xương như một cấu trúc 3 lớp lỏng/rắn/lỏng. Ở đây
lớp rắn mô tả xương có tính chất đàn hồi –nhớt. Mô tả được tập hợp các
tín hiệu thu được tương tự như dữ liệu thực nghiệm và dùng phép biến
đổi Randon để khảo sát sự tán sắc của trường sóng được mô phỏng. Sự
phù hợp gần như tuyệt đối với kết quả tính toán lý thuyết khẳng định sự
chính xác của chương trình mô phỏng.
 Khảo sát khả năng hình thành và quan sát các kiểu sóng dẫn vào một số
thông số của phép đo như tần số nguồn phát, độ dày bản xương, khoảng
cách giữa các đầu dò thu-phát.
Các kết quả mô phỏng có thể ứng dụng để thiết kế bộ tham số tối ưu trong phép
đo định lượng siêu âm cho xương dài.
Tuy vậy, do lý thuyết truyền sóng trong mô hình đa lớp là tương đối phức tạp
nên sự phân tích, đoán nhận kết quả mô phỏng trong phần 3.7 của luận văn còn
tương đối hạn chế. Chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu và khảo sát tác động của
các lớp chất lỏng đại diện cho da và tủy sống lên trường sóng thu được trong
thời gian sắp tới.

46
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] https://vi.wikipedia.org › wiki › Hệ_vận_động
[2] Haiat G. and Laugier P., Bone quantitative utrasound, Springer, 2006.
[3] W.N. McDicken, “Diagnostic ultrasonics”, John Wiley and Sons (1981).
[4] C. M. Langton, S. B. Palmer, and S. W. Porter, “The measurement of
broadband ultrasonic attenuation in cancellous bone,” Eng Med 13(2), 89–91
(1984).
[5] K. E. Fredfeldt, “Sound velocity in the middle phalanges of the human hand”
Acta Radiol Diagn 27, 95–96 (1986).
[6] D. Hans, S. Srivastav, C. Singal, R. Barkmann, C. Njeh, E. Kantorovich, et
al., “Does combining the results from multiple bone sites measured by a new
quantitative ultrasound device improve discrimination of hip fracture?,” J Bone
Miner Res 14, 644–651 (1999).
[7] A. J. Foldes, A. Rimon, D. D. Keinan, and M. M. Popovtzer, “Quantitative
ultrasound of the tibia: a novel approach assessment of bone status,” Bone 17(4),
363–367 (1995).
[8] . P. H. Nicholson, R. M¨ uller, G. Lowet, X. G. Cheng, T. Hildebrand, P. R¨
uegseger, G. van der Perre, J. Dequeker, and S. Boonen, “Quantitative ultrasound
measurement reflect structure independently of density in human vertebral
cancellous bone”, Bone 23(5), 425–431 (1998).
[9] C. Simonelli, R.A.Adler, G.M.Blake, J.P.Caudill, A.Khan, E.Leib,
M.Maricic, J.C.Prior, S.R.Eis, C.Rosen, and D.L.Kendler, “Dual-Energy X-Ray
Absorptiometry Technical issues: the 2007 ISCD Official Positions,” J Clin Densitom
11(1), 109-122 (2008).
[10] C. Simonelli, R.A.Adler, G.M.Blake, J.P.Caudill, A.Khan, E.Leib,
M.Maricic, J.C.Prior, S.R.Eis, C.Rosen, and D.L.Kendler, “Dual-Energy X-Ray
Absorptiometry Technical issues: the 2007 ISCD Official Positions,” J Clin Densitom
11(1), 109-122(2008).
[11] C. C. Gl¨ uer, R. Eastell, D. M. Reid, D. Felsenberg, C. Roux, R.
Barkmann, W. Timm T. Blenk, G. Armbrecht, A. Stewart, J. Clowes, F. E.

47
Thomasius, and S. Kolta, “Association of five quantitative ultrasound devices and
bone densitometry with osteoporotic vertebral fractures in a population-based
sample: the OPUS Study,” J Bone Miner Res 19(5), 782–793
(2004).
[12] H. McDevitt and S. F. Ahmed, “Quantitative ultrasound assessment of
bone health in the neonate,” Neonatology 91(1), 2–11 (2007).
[13] S. Chaffai, F. Peyrin, S. Nuzzo, R. Porcher, G. Berger, and P. Laugier,
“Ultrasonic characteriza tion of human cancellous bone using transmission and
backscatter measurements: relationships to density and microstructure,” Bone 30(1),
229–237 (2002).
[14] T. Otani, I. Mano, T. Tsujimoto, T. Yamamoto, R. Teshima, and H. Naka,
“Estimation of in vivo cancellous bone elasticity,” Jap J Appl Phys 48 (7)(2009).
[15] R. Barkmann, P. Laugier, U. Moser, S. Dencks, M. Klausner, F. Padilla,
G. Haiat, M. Heller and C. C. Gl¨ uer, “In vivo measurements of ultrasound
transmission through the human proximal femur,” Ultrasound Med Biol 34(7), 1186–
1190 (2008).
[16] F. Padilla, F. Jenson, and P. Laugier, “Estimation of trabecular thickness
using ultrasound ultrasonic baclkscatter,” Ultrasonic Imaging 28, 3–22 (2006).
[17]A.J. Foldes, A. Rimon, D. Keinan, M. Popovtzer,“Quantitative ultrasound
of the tibia: a novel approach for assessment of bone status”, Bone, 17, 363-
367 (1995).
[18] E. Bossy, M. Talmant, F. Peyrin, L. Akrout, P. Cloetens, and P. Laugier,
“An in vitro study of the ultrasonic axial transmission technique at the radius: 1-MHz
velocity measurements are sensitive to both mineralization and intracortical
porosity,” J Bone Miner Res 19(9), 1548–1556. Epub 2004 Jun 1542 (2004).
[19] K. Raum, I. Leguerney, F. Chandelier, E. Bossy, M. Talmant, A. Saied, F.
Peyrin, and P. Laugier, “Bone microstructure and elastic tissue properties are
reflected in QUS axial trans mission measurements,” Ultrasound Med Biol 31(9),
1225–1235 (2005).
[20] K. Raum, I. Leguerney, F. Chandelier, E. Bossy, M. Talmant, A. Saied, F.
Peyrin, and P. Laugier, “Bone microstructure and elastic tissue properties are

48
reflected in QUS axial trans mission measurements,” Ultrasound Med Biol 31(9),
1225–1235 (2005).
[21] Clough, R. J. “A Stiffness Method for the Analysis of Thin Plates in
Bending”, Journal of Aerospace Sciences, 28, no.1 (1961).
[22] David. V. Hutton, “Fundamental of Finite Element Method”, Elizabeth A.
Jones, 2004.
[23] Stasa F. L, Applied Element Analysis for Engineers. New York: Holt,
Riehart, and Winston, 1985.
[24] Burnett, D.S. Finite Element Analysis. Reading, MA: Addison-Wesley,
1987
[25] J. L. Rose, "Ultrasonic Wave in Solid Media", Chap. 1-12, Cambridge
University Press (2004).
[26] Nicholson PH, Moilanem P, Karkkainen T, Timonen “Guided ultrasonic
waves in long bones: modelling, experiment and in vivo application”, Physiol Meas.
23(4), 755-768 (2002).
[27] V.-H. Nguyen and Salah Naili, “Ultrasonic wave propagation in
viscoelastic cortical bone plate coupled with fluids: a spectral finite element study”
Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering 16, 693 (2013).
[28] V.-H. Nguyen and Salah Naili, “Simulation of ultrasonic wave
propagation in anisotropic poroelastic bone plate using hybrid spectral/finite
element method”, International Journal for Numerical Method in Biomedical
Engineering 28, 861 (2012)
[29] V.-H. Nguyen and S. Naili, “Simulation of transient ultrasonic wave
propagation in fluid-loaded heterogeneous cortical bone” Vietnam Journal of
Physics 33,225 (2011).
[30] L. H. Le, Y. J. Gu, Y. Li, and C. Zang, “Probing long bones with ultrasonic
body waves”, Applied Physics Letter 96, 114120 (2010).
[31] Tho N. H. T. Tran, Lawrence H. Le, Mauricio D. Sacchi,Vu-Hieu Nguyen
and Edmond H. M. Lou, “Multichannel filtering and reconstruction of ultrasonic
guided wave fields using time intercept-slowness”, J. Acoust. Soc. Am 136, 248
(2014).

49
[32] Ngô Đức Thiện, “Mô phỏng truyền sóng siêu âm trong bản xương đặc với
cấu hình đo truyền dọc”, Luận văn thạc sĩ (2015).

Luận văn: Mô phỏng sóng cơ truyền trong cấu trúc đa lớp, HAY

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Luận văn: Mô phỏng sóng cơ truyền trong cấu trúc đa lớp, HAY

Similar to Luận văn: Mô phỏng sóng cơ truyền trong cấu trúc đa lớp, HAY (20)

More from Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864

More from Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (18)

Luận văn: Mô phỏng sóng cơ truyền trong cấu trúc đa lớp, HAY