第28回SigFinの発表資料

1. Neural Fractional SDE-Netによる
金融時系列生成
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2022.3.12 第28回 人工知能学会 金融情報学研究会（SIG-FIN）
林晃平1*，中川慧2
1 東京大学大学院数理科学研究科
2 野村アセットマネジメント株式会社

2. 発表内容
• 研究背景
- ニューラルネットワークによる金融時系列生成
- 連続時間ニューラルネットモデル（ODE-Net, SDE-Net）
• 提案手法：
- 時系列データの長記憶性，非整数階Brown運動
- Neural Fractional SDE-Netの導入
• 生成結果（人工データ，実データ）
• まとめと展望
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3. 発表内容
• 研究背景
- ニューラルネットワークによる金融時系列生成
- 連続時間ニューラルネットモデル（ODE-Net, SDE-Net）
• 提案手法：
- 時系列データの長記憶性，非整数階Brown運動
- Neural Fractional SDE-Netの導入
• 生成結果（人工データ，実データ）
• まとめと展望
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4. ニューラルネットワークによる金融時系列生成
目的：株価や為替などの金融時系列データを人工的に生成．
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金融時系列の特徴：
• パスは1本のみ．
• 離散データ．
• 観測値は不規則にサンプリングされる．
（金融データの観測は営業日のみ．）
• ランダムネスを持つ．
• 複雑性 -> 予測の困難さ
（長期記憶性，短期間でのラフさ，etc.）
深層学習の活用：
• ニューラルネットワーク（NN）は関数を表現できる：𝑥𝐿
= 𝑓NN 𝜃, 𝑥0
．
• 時系列の背後にある構造（漸化式）を学習し，予測や生成を行いたい．
図：金融時系列の例
NNで金融時系列を生成する際の問題点：
不規則にサンプリングされ，ランダムネス・複雑性を持つ．
-> 時間一様かつ決定論的なモデルでは学習が困難な場合がある．

5. 先行研究：連続時間ニューラルネットモデル
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飛び越えて伝播
ResNet [He+, 2016]
連続化
ランダムネスの導入
Neural ODE [Chen+, 2018, NeurIPS]
Neural SDE [Liu+, 2019+]
𝑓(𝑥𝑡)
𝑥𝑡
𝑥𝑡+1 = 𝑥𝑡 + 𝑓(𝑥𝑡)
𝑑𝑥𝑡
𝑑𝑡
= 𝑓(𝑡, 𝑥𝑡)
𝑑𝑥𝑡
𝑑𝑡
= 𝑓 𝑡, 𝑥𝑡 + 𝜀𝑡
+
• ネットワーク構造を
常微分方程式 (ODE) で記述できる．
• ODEのソルバーを使うことで
計算量・メモリの削減が可能．
• ネットワーク構造を
確率微分方程式 (SDE) で記述できる．
• SDEのソルバーを使うことで
計算量・メモリの削減が可能．
問題点：標準Brown運動では金融時系列の複雑性を再現するのに不十分．
本研究：ノイズを非整数階Brown運動へ一般化した．

6. 発表内容
• 研究背景
- ニューラルネットワークによる金融時系列生成
- 連続時間ニューラルネットモデル（ODE-Net, SDE-Net）
• 提案手法：
- 時系列データの長記憶性，非整数階Brown運動
- Neural Fractional SDE-Netの導入
• 生成結果（人工データ，実データ）
• まとめと展望
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7. 時系列の長期記憶性と非整数階Brown運動
定義：𝐻 ∈ 0,1 ：Hurst指数． Var(𝐵𝑡
𝐻
− 𝐵𝑠
𝐻
) = 𝑡 − 𝑠 2𝐻
を満たす平均ゼロの連続ガウス過程
𝐵𝑡
𝐻
𝑡≥0を非整数階Brown運動（fractional Brownian motion, fBm）という．
• 𝐻 = 1/2のとき標準Brown運動となる．
• 𝐻 ≠ 1/2のときセミマルチンゲールでない．Hurst指数が小さいほどパスの正則性は低い．
• 数理ファイナンスと関連：裁定取引の存在，パスのラフさ．
• 𝐻 > 1/2のとき，fBmの増分は長期記憶性を持つ．
ここで，確率過程{𝑋𝑡}𝑡≥0に対し，その増分𝑋𝑠,𝑡 = 𝑋𝑡 − 𝑋𝑠が長期記憶性を持つとは次が成り立つこと：
෍
𝑛∈ℕ
Cov 𝑋0,ℎ, 𝑋 𝑛−1 ℎ,𝑛ℎ = ∞, ∀ℎ > 0.
• 金融データや自然言語などの時系列に対し長期記憶性が観測されている．
• SDE-Netの拡張としてfBm (H>1/2) で駆動されるニューラルネット (fSDE-Net) を考え，長期記憶性を持
つパスを生成する．
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H=0.25 H=0.5 H=0.75
図：非整数階Brown運動 (fBm) のサンプルパスの例

8. Neural Fractional SDE-Netの導入
• 前提：時系列データ𝑋 = {𝑋𝑡}𝑡∈ 0,𝑇 が次の確率微分方程式に従うと仮定．
𝑑𝑋𝑡 = 𝑏 𝜃, 𝑋𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎 𝜃, 𝑋𝑡 𝑑𝐵𝑡
𝐻
, 𝐻 > 1/2.
輸送項𝑏，拡散項𝜎はパラメータ𝜃のニューラルネットワークで与える．
• ネットワーク設計：Multi-layer perceptron (MLP)
𝑥ℓ+1 = tanh 𝑊ℓ𝑥ℓ + 𝑏ℓ , ℓ = 1, … 𝐿
• 数値計算スキーム：陽的Euler法
𝑋(𝑖+1)/𝑛
𝑛
= 𝑋𝑖/𝑛
𝑛
+ 𝑏 𝑋𝑖/𝑛
𝑛 1
𝑛
+ 𝜎 𝑋𝑖/𝑛
𝑛
(𝐵(𝑖+1)/𝑛
𝐻
− 𝐵𝑖/𝑛
𝐻
)
を解き，𝑋𝑡
𝑛
= 𝑋 𝑛𝑡 /𝑛
𝑛
, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇と定義する．
• fSDE-Netにより時系列 ෠
𝑋𝑡
𝜃
𝑡≥0
を生成し，対数尤度を最大化するように
パラメータ𝜃を最適化．
𝐿 𝜃 =
1
𝑇
෍
𝑡=0
𝑇
log 𝑝𝜃(𝑡, log(𝑋𝑡+1/𝑋𝑡)) .
ここで，𝑝𝜃は対数リターンlog( ෠
𝑋𝑡+1
𝜃
/ ෠
𝑋𝑡
𝜃
)の確率密度関数．
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主定理：𝐻 > 1/2と仮定する．上記のfSDE-Netの生成器は一意解を持ち，更に
陽的Euler法により数値的に解くことができる．

9. 発表内容
• 研究背景
- ニューラルネットワークによる金融時系列生成
- 連続時間ニューラルネットモデル（ODE-Net, SDE-Net）
• 提案手法：
- 時系列データの長記憶性，非整数階Brown運動
- Neural Fractional SDE-Netの導入
• 生成結果（人工データ，実データ）
• まとめと展望
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10. 数値実験
実験設定：次の2種類のデータに対し，fSDE-Netによる生成を行う．
• 人工データ：fractional Ornstein-Uhlenbeck（fOU）過程
𝑑𝑋𝑡 = 𝛼𝑋𝑡𝑑𝑡 + 𝛽𝑑𝐵𝑡
𝐻
ただし，𝛼 = −0.05, 𝛽 = 0.1, 𝐻 = 0.9とする．
𝐻 = 0.9のfSDE-Netで生成を行う．
• 実データ：S&P500指数の終値（2000.1-2021.11）．
R/S統計量によるこの観測区間でのHurst指数の推定値は0.591(>0.5)．
𝐻 = 0.6のfSDE-Netで生成を行う．
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fOU SPX

11. 実験結果
• RNN，SDE-Netで生成したデータとの比較を表に示す（太字は最良値）．
• Hurst指数についてはfSDE-Netが最良となった．
• 決定係数の低さは予測の難しさを示している．
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Original SDE-Net fSDE-Net
図：生成したfOUのサンプルパスの例

12. まとめ
• 複雑性を持つ金融時系列を生成するため，金融市場のデータと関連の深
い非整数階Brown運動（fBm）を用いた生成モデルを提案した．
• 𝐻 > 1/2の場合について，数値解法の精度保障を行った．
• fSDE-Netによる生成データは，Hurst指数で評価したときの長期記憶性を
うまく再現していた．
展望
• 短期間観測ではパスがラフであり，𝐻 < 1/2の場合が重要．
• 𝐻1 > 1/2, 𝐻2 < 1/2として，多次元モデルへの拡張：
𝑑𝑋𝑡 = 𝑏 𝑋𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎1 𝑋𝑡 𝑑𝐵𝑡
𝐻1
+ 𝜎2 𝑋𝑡 𝑑𝐵𝑡
𝐻2
• 多資産の場合に対応するため，次元削減．(cf. 潜在空間モデル)
ご清聴ありがとうございました．
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