ブラックリッターマン法によるリスクベースポートフォリオの拡張～リスクベースポートフォリオの課題と拡張への取り組み～

1. ブラックリッターマン法によるリスクベースポートフォリオの拡張日本FP協会 SG文京・千代田・新宿 2019/12/16 野村アセットマネジメント株式会社資産運用先端技術研究部クオンツアナリスト～リスクベースポートフォリオの課題と拡張への取り組み～

2. 自己紹介～中川慧【略歴】 2012/3 京都大学経済学部卒業 2015/3 筑波大学大学院ビジネス科学研究科経営システム科学修了(経営学) 2018/2 野村アセットマネジメント株式会社資産運用先端技術研究室 2020/1 筑波大学大学院ビジネス科学研究科システムズマネジメントコース(博士課程) 修了【研究】 https://sites.google.com/keinakagawa.page/homepage/home ✔ 機械学習/人工知能：「金融時系列のための深層t過程回帰モデル」(2018) 人工知能学会金融情報学研究会(2019年人工知能学会研究会優秀賞)など ✔ 金融工学/計量ファイナンス：「Complex Valued Risk Diversification」(2019) Entropyなど内外株式、マルチアセットのクオンツファンドの開発、運用経験。先端的な要素技術の研究開発と資産運用ビジネスへの応用に従事。 2

3. ・平均分散ポートフォリオとその課題・リスクベースポートフォリオとは・研究紹介 –ブラックリッターマン法を用いたリスクベースポートフォリオの拡張・発展的な話題アウトライン 3

5. 平均分散ポートフォリオ ✔ ポートフォリオ理論では、投資家は収益率の期待値(平均)と分散(リスク)にしたがってポートフォリオを決定すると仮定。ニッセイ基礎研年金ストラテジー Vol.103(2005)より ✔ 投資家は効率的フロンティア上のポートフォリオを選択。インプット：期待リターン、リスク、リスク回避度 ↓ リスクとリターンのトレードオフの最適化アウトプット：最適ウェイト ✔ どこを選択するかはリスク回避度次第。 5

6. CAPM ✔ 平均分散モデルに市場均衡条件と下記の仮定を平均分散ポートフォリオに付加すると、 CAPMと呼ばれる、最も重要な資産評価モデルが導かれる。市場の均衡状態では、マーケットポートフォリオMは時価総額加重ウェイトのリスク資産ポートフォリオに一致する。・すべての投資家は証券の期待値、リスク、相関について同質的な期待を持つ。平均分散は個々の投資家についての議論。一方で、CAPMは投資家が平均分散に従って行動した帰結。・無リスク利子率による貸借が無制限に可能。そのとき、個々のリスク資産のリターンは次の式で与えられる。 𝜇𝑖 = 𝑟𝑓 + 𝛽𝑖(𝑟 𝑀 − 𝑟𝑓) 6

7. ✔ Rollの批判：キャッシュフローを生むあらゆる証券(債券、不動産、人、etc)の時価総額加重ポートフォリオは構築不可能 CAPMからAPTへ ✔ アノマリーの発見：サイズ、バリューファクターなどCAPMでは説明できない現象 𝜇𝑖 − 𝑟𝑓 = ෍ 𝑘=1 𝐾 𝛽 𝑘(𝑟𝑘 − 𝑟𝑓) 𝐾個のリスクファクターへ拡張(APT) はじめにリスクファクターを特定し、それらについての(局所)平均分散効率性を検証すればAPTは検証可能！リスクファクターこそが今日のファクター投資の原型である。 7

8. ✔ ファクターとは、リスク・プレミアムとアノマリーの両方に基づく、リターンの源泉である。伝統的なファイナンスと行動ファイナンスの両方を包括する概念。・アノマリー…市場は非効率的であり、投資家の行動バイアスなどがある。多くの投資家が特定のバイアスを示した場合、合理的な投資家が鞘を取ってこのバイアスを解消するには、莫大なコストがかかる。そのため、それが解消されない限りにおいてアノマリーは観察される。・リスク・プレミアム・・・市場は効率的であり、ファクターはそのリスク(エクスポージャー)に対する対価(プレミアム)である。したがって効率的な市場のもとでは、プレミアムは永続する。Ross [1976]→リスクの源泉でもある 8 ファクター投資：概要

9. ファクターリスク・プレミアムとしての整理アノマリーとしての整理バリュー高い財務レバレッジや利益に対する不確実性への対価業績の良い(悪い)企業の過大(過小)評価サイズ流動性やデフォルト・リスクへの対価アナリストが少ない等の情報の非対称性モメンタムマクロ経済(景気)へのエクスポージャーに対する対価ニュースに対する過小反応や投資家の群集心理クオリティ高クオリティ(ROE)の継続に対する不確実性への対価マーケットサイドでみた低リスクをファンダメンタルサイドでみたものがクオリティボラティリティ - ファイナンス理論と矛盾射幸心をあおる高ボラ銘柄の過大評価実務的にも学術的にも有名なファクターを整理する。 9 ファクター投資：概要

10. CAPMの世界 (学術的) 実際のマーケット？ CAPMの世界における「アノマリー」狭義の「アノマリー」 (アルファ)α 超過リターン (ベータ)β 市場全体に連動する部分アノマリー市場の歪み、人間の認知の偏り等に起因するリターンリスクプレミアム各リスクに連動する部分 (ベータ)β 市場全体に連動する部分パッシブスマートベータファクター 10 ファクター投資：概要

11. “… and the cross-section of expected returns“ Harvey et,al. [2016] Review of Financial Studies ✔ 2012年までに少なくとも316のファクターが試され、さらにそれらのファクターの大部分は過去10年のものであることが報告されている。ファクター投資：概要 11 ✔ アセットアロケーションにおいてもファクターの存在が報告されている。

12. 平均分散ポートフォリオの課題 ✔ 平均分散ポートフォリオの代表的な課題として次の3点がある。 (1) Error Maximization (2) 資産集中 (3) 期待リターンの推定の困難性 (4) テールリスク【問題点】【キーワード】 (1) ファクター投資 (2) リスクベース・ポートフォリオ (3) 機械学習・AI 12

13. 平均分散ポートフォリオの課題日本株 12.13% 外国株 15.48% 債券 9.23% ✔ Error Maximizationの例日本株外国株債券日本株 0.02528 0.02098 0.00411 外国株 0.02098 0.05452 0.00085 債券 0.00411 0.00085 0.00487 期待リターン 13.5%以上、リスクを最小にするポートフォリオ。 19.5% 59.3% 21.2% 共分散行列 13.34% +10% 50.3% 35.2% 14.5% +160% 株の年率リスクは20%。 1%の誤差は推定値として非常に優秀だが、、 13 期待リターン最適ウェイト

14. ニッセイ基礎研年金ストラテジー Vol.103(2005)より ✔ 資産集中の例平均分散ポートフォリオの課題 14 フロンティア上にある銘柄のみがポートフォリオに含まれる。

15. ✔ 期待リターンの推定の困難性の例ニッセイ基礎研年金ストラテジー Vol.103(2005)より横軸(リスク)は景気などによらず安定してそう。しかし縦軸(リターン)は？平均分散ポートフォリオの課題 15

16. ✔ テールリスクの例平均分散ポートフォリオの課題森平爽一郎著金融リスクマネージメント入門日経文庫[新書] 日本経済新聞出版学習のための補足資料 16 正規分布に従わない

18. ✔ 推定の難しい期待リターンを直接使用せず、リスクのみを使用するポートフォリオ構築法リスクベース・ポートフォリオとは ✔ 最小分散(MV)、リスクパリティ(RP)、最大分散度(MD)が代表的である。 ✔ リスクベースポートフォリオは実務家が中心になって提案されている。ポートフォリオ論文概要 MV Clarke, et al [2006] 米国市場における最小分散ポートフォリオの実証分析 MV 山田,上崎 [2009] 日本市場における最小分散ポートフォリオの実証分析 RP Qian [2005] リスクパリティ・ポートフォリオの提案とその効率性の検討 RP Maillard, et al [2010] 効率的なリスクパリティ・ウェイトの計算方法の提案 MD Choueifaty and Coignard [2008] 最大分散度ポートフォリオの提案と実証分析 MV,RP,MD Jurczenko, et al [2013] リスクベース・ポートフォリオを一般化して定式化 18 →平均分散法の有力なオルタナティブ

19. ✔ リターンの水準は関係なく、リスクのみを最小化して作られるポートフォリオ分散共分散行列を 𝜮 = E 𝑹 − 𝝁 𝑹 − 𝝁 𝑇 とすると、ポートフォリオの分散は𝜎 𝑃 2 = 𝒘 𝑇 𝜮𝒘と書ける。 𝑹 = 𝑅1, . . . , 𝑅 𝑁 𝑻 : 𝑁個の資産の収益率ベクトル 𝒘 = 𝑤1, … , 𝑤 𝑁 𝑻 : 𝑁個の資産のウェイトベクトル 𝝁 = 𝜇1, … , 𝜇 𝑁 𝑻 : 𝑁個の期待リターンベクトルこのとき、最小分散ポートフォリオは以下を満足するウェイトを持つ。最小分散ポートフォリオ(MV) 𝒘 = 𝜮−𝟏 𝟏 𝟏 𝑇 𝜮−𝟏 𝟏 制約(0 < 𝑤𝑖)がない場合には解析的にウェイトが求まる。 s. t. ; 𝟏 𝐓 𝒘 = 1， 0 < 𝑤𝑖 < 1 min 𝒘 𝜎 𝑃 2 = 1 2 𝒘 𝑇 𝜮𝒘 19

20. ✔ 全ての資産のリスク寄与度(配分)が等しいポートフォリオ Qian [2005] 𝑅𝐶𝑖 = 𝑤𝑖 × 𝑀𝑅𝐶𝑖 リスク寄与度(Risk Contribution; RC)は次のように書ける。 ∵ ෍ 𝑤𝑖 × 𝑀𝑅𝐶𝑖 = 𝜎 𝑃 このリスク寄与度が各資産で等しいポートフォリオをリスクパリティポートフォリオという。 𝑀𝑅𝐶 = 𝜕𝜎 𝑃 𝜕𝒘 = 𝜮𝒘 𝜎 𝑃 , 𝑀𝑅𝐶𝑖 = 𝜮𝒘 𝒊 𝜎 𝑃 ポートフォリオのリスク(𝜎 𝑃)をウェイトで微分した限界リスク寄与(Marginal Risk Contribution;MRC)を以下のように定義する。リスクパリティ・ポートフォリオ(RP) ウェイトで合計するとリスクに！リスクの分解を表す。 20 RPのうち、相関を考慮せずボラティリティのみでリスクパリティにするポートフォリオをボラティリティ・インバース(VI)ポートフォリオという。

21. max 𝒘 DR(𝐰) = 𝒘 𝑻 𝝈 𝜎 𝑃 ✔ 分散効果が最も享受できるポートフォリオ Choueifaty [2008] シャープレシオ最大化ポートフォリオの期待超過リターンの代わりにボラティリティを使用したとも見れる。このとき、最大分散度ポートフォリオは以下の分散度 (Diversification Ratio;DR) を最大化する。ポートフォリオのリスクは𝜎 𝑃 = 𝒘 𝑇 𝚺𝒘 と書ける。また、各資産のボラティリティを 𝝈 = diag 𝚺 とする。最大分散度ポートフォリオ(MD) 相関以外は連動して増減 21

22. (平成26年業務概況書 GPIF HP;http://www.gpif.go.jp/operation/state/pdf/h26_q4.pdf より筆者作成) 各ポートフォリオの比較国内債券国内株式外国債券外国株式標準偏差 4.7 25.1 12.6 27.3 国内債券 1 -0.16 0.25 0.09 国内株式 -0.16 1 0.04 0.64 外国債券 0.25 0.04 1 0.57 外国株式 0.09 0.64 0.57 1 相関係数 ✔ GPIFのリスク見通し(右)の下でのウェイト(上)とリスク寄与度、リスク、分散度(下) GPIFのリスク見通し 22

23. ✔ポートフォリオ構築時点では平均分散効率的ではない！＝フロンティア上にはないしかし事後的には、リスクベース・ポートフォリオは、時価加重型のポートフォリオよりも効率的 (パフォーマンスが良い)であることが実証されている。各ポートフォリオの比較投資対象資産がどういう条件ならリスクベースポートフォリオが平均分散の意味で効率的になるのかを理論的に確認する必要がある。(Lee [2011]) 23

24. ✔ 各リスクベースのポートフォリオ構築方法の比較 (ポートフォリオ間の関係と平均分散の意味で効率的になる条件) 大森,矢野[2013]を参考に筆者作成各ポートフォリオの比較各資産のシャープレシオがだいたい同じで、相関関係も等しい場合にリスクベースポートフォリオは平均分散の意味で効率的。 24

25. ✔ 最小分散以外は推定誤差に関してロバスト。つまりパラメータの推定精度がパフォーマンスにあまり影響しないリスクベースポートフォリオの性質 25 ✔ 共分散行列の推定精度とリスクベースポートフォリオのパフォーマンスの関係（Nakagawa et.al (2018)）ポートフォリオ DCC DCC＋LS DCC＋NLS cDCC cDCC＋LS cDCC＋NLS 最小分散最小分散(制約なし) リスクパリティ最大分散度推定手法(精度)によって各ポートフォリオのパフォーマンスはどう変わるか？推定手法 https://www.mdpi.com/2227-7072/6/2/52

26. リスクベースポートフォリオの一般化 26 ✔ リスクベース・ポートフォリオは統一的に記述できる。 Generalized Risk-Based Investing, Jurczenko(2013) ✔ 高次モーメントまで拡張した定式化リスクベース・ポートフォリオの高次モーメントへの拡張中川(2016) 𝑤𝑖 𝛾 𝜎𝑖 𝛿 × 𝑀𝑅𝐶𝑖 = 𝑤𝑗 𝛾 𝜎𝑗 𝛿 × 𝑀𝑅𝐶𝑗 𝛾 = 0, 𝛿 = 0 → 𝑀𝑅𝐶𝑖 = 𝑀𝑅𝐶𝑗 𝛾 = 0, 𝛿 = 1 → 𝜎𝑖 −1 𝑀𝑅𝐶𝑖 = 𝜎𝑗 −1 𝑀𝑅𝐶𝑗 𝛾 = 1, 𝛿 = 0 → 𝑤𝑖 𝑀𝑅𝐶𝑖 = 𝑤𝑗 𝑀𝑅𝐶𝑗 𝛾 = ∞, 𝛿 = 0 → 𝑤𝑖 = 𝑤𝑗 (MV) (MD) (RP) (EW)

28. 【1】研究の背景 ✔ 別のアプローチとして、ブラックリッターマン法という投資家の見通しを反映させ、期待リターンを補正することで、最適化の結果も極端な解に収束しにくくなり、安定する手法が提案されている。 28 ✔ 有力な代替として運用業界では、平均分散法に代わって、リスクのみに基づきポートフォリオを構築する、リスクベースのポートフォリオ構築方法が注目されている。 ✔ Markowitzの平均分散法は、いくつかの問題点が指摘されている。例えば、一部の資産クラスに片寄った配分結果となる、推定に用いるデータ期間や目標リターンを少し変更しただけで極端に異なる配分結果となるなどがある。 (Michaud [1989]等)

29. 【1】研究の目的 ✔ これらの枠組みを統合した新たなポートフォリオ構築の枠組みの提案 Pros Cons リスクベース・ポートフォリオ良好なパフォーマンスリスク水準や期待リターンを考慮できないブラック・リッターマン法投資家の見通しを反映することができる前提である時価加重型ポートフォリオの妥当性研究の目的、貢献：リスクベース・ポートフォリオにブラックリッターマン法を組み合わせ、期待リターンと見通しを導入し、両者の欠点を補完。 29

30. 【2】先行研究の整理～ブラック・リッターマン法 ✔ 投資家が、「見通し」を持つ場合の最適なポートフォリオを求めることができる。論文概要 Black and Litterman [1991] Black and Litterman [1992] Satchell and Scowcroft [2000] 上記モデルのベイズの定理を用いた記述(定式化) Firoozye and Blamont [2003] パラメータτの直観的解釈と設定方法の提案 Meucci [2006] パラメータΩの解釈および設定方法の提案ブラック・リッターマン法の提案 ✔ 投資家の見通しを反映させ、期待リターンを補正することで、最適化の結果も極端な解に収束しにくくなり、安定する。 ✔ (代表的個人の)資産配分が資産の時価に比例しているという均衡(CAPM)の仮定 30 →ベイジアン・アプローチ

31. 【2】先行研究の整理～ブラック・リッターマン法ビューの分布リスク回避係数 𝛿 共分散行列 𝜮 均衡ウェイト 𝒘 𝐸𝑞 インプライド・均衡期待リターン 𝜫 = 𝛿𝜮𝒘 𝐸𝑞 事前分布 𝑁~(𝜫, 𝜏𝜮) ビュー 𝑸 不確実性 𝜴 ビューと事前分布の合成 𝑁~ 𝜏𝜮 −1 + 𝑷 𝑇 𝜴−1 𝑷 −1 𝜏𝜮 −1 𝜫 + 𝑷 𝑇 𝜴−1 𝑸 , 𝜏𝜮 −1 + (𝑷 𝑇 𝜴−1 𝑷) −1 𝑁~(𝑸, 𝜴) 一般化最小二乗推定量期待リターンを逆算！ 31

32. ✔ そこで、両者を組み合わせることで、互いの欠点を補完する手法を提案する。本手法は、ブラック・リッターマン法を用いたリスクベース・ポートフォリオの拡張と言える。【3】提案手法 ✔ ブラック・リッターマン法はCAPMを前提としている。しかし、実証的に時価総額加重ポートフォリオは効率的ではないため、そこから算出されるインプライド・期待リターンも妥当性を失う。 ✔ リスクベース・ポートフォリオの構築手法は期待リターンを明示的に考慮していない点、そして投資家の見通しを入れることはできない点が課題としてある。 Step 1. リスクベースのポートフォリオ構築手法によってウェイト𝑤 𝑅𝐵を計算する。 Step 2. 当該ウェイトから、インプライド・期待リターン𝛱を導出する。 Step 3. 期待リターン、および分散-共分散行列に見通し𝑄, 𝛺を合成する。 Step 4. 合成されたリターン𝜇 𝑛𝑒𝑤と𝛴 𝑛𝑒𝑤を用いて、平均分散法に基づく最適化をする。 32

33. 【3】提案手法リスクベース・ポートフォリオを利用！ 33

34. ✔ パラメータ𝛺について、Meucci [2006]は対角行列であることを気にせず、𝛺 = 1 𝑐 𝑃𝛴𝑃 𝑇を設定し、𝑐 = 𝜏−1とした。【3】提案手法 𝜫𝝁 インプライド・期待リターンサンプル期間の実績リターン 𝛿:二乗誤差が最小となるような係数 ✔ 各パラメータについて本論文では、簡便のため次の方法を採用する。 ✔ パラメータ𝜏について、Blamont and Firoozye [2003]は、まず𝛱の推定の標準誤差として𝜏𝛴を解釈する。𝜏 = 1/𝑁(観測数) 34

35. 【4】実証分析 ✔ 分析に使用するデータ - 分析対象：日本、米国、英国、欧州の株式および債券指数の月次リターンデータ - 対象期間：2003/1/31-2017/3/31までで、171サンプル ✔ 実装はR(最適化はRsolnpパッケージ)で行った。 ✔ 資産配分を例に提案手法の有効性を検証する。 1. 各インプライド・期待リターンのポートフォリオの比較 2. 各インプライド・期待リターン＋見通しを反映したポートフォリオの比較 35

36. MSCI Japan MSCI US MSCI EMU MSCI UK CITI Japan CITI US CITI EMU CITI UK 年率リターン 7.33% 10.05% 8.77% 8.83% 1.87% 3.66% 4.54% 5.86% 年率標準偏差 18.32% 13.63% 16.54% 12.95% 2.14% 4.35% 4.06% 6.15% 歪度 -0.43 -0.78 -0.48 -0.63 -0.20 0.01 -0.06 0.19 尖度 5.18 6.47 5.34 5.02 5.37 6.32 4.38 4.95 Jarque-Bera統計量 13.88 56.74 17.85 17.72 13.13 35.18 0.90 6.62 p値 0.10% 0.00% 0.01% 0.01% 0.14% 0.00% 63.80% 3.66% サンプル数いずれも171サンプル( 2003/1/31-2017/3/31 ) 【4】実証分析相関行列 MSCI Japan MSCI US MSCI EMU MSCI UK CITI Japan CITI US CITI EMU CITI UK MSCI Japan 1.00 MSCI US 0.63 1.00 MSCI EMU 0.66 0.83 1.00 MSCI UK 0.56 0.82 0.84 1.00 CITIJapan -0.38 -0.16 -0.25 -0.12 1.00 CITIUS -0.35 -0.26 -0.32 -0.18 0.46 1.00 CITIEMU -0.13 -0.12 -0.08 -0.03 0.38 0.63 1.00 CITIUK -0.28 -0.18 -0.19 -0.07 0.43 0.72 0.62 1.00 表1: 使用指数のリターンの基本統計量表2: 使用指数のリターンの相関行列正の歪度正規性が棄却されない債券と株は弱い逆相関関係 36

37. 手順4: 手順3で計算したSRのリスク𝜎𝑆𝑅をターゲット・リスクとして、各インプライド・期待リターンを最大化するように最適化を行う。【4】実証分析～各インプライド・期待リターンの有効性の検証 max 𝑤 𝒘 𝑇 𝜫 max 𝒘 𝒘 𝑇 𝜫 𝒘 𝑇 𝜮𝒘 手順1: 過去12か月の月次リターンから推定した標本分散-共分散行列𝜮を使用し、各指数の時価総額から、時価総額加重ウェイト𝒘 𝑬𝑸と3つのリスクベース・ポートフォリオのウェイト𝒘 𝑹𝑩 を計算する。手順2: 各ウェイトから、インプライド・期待リターン𝜫を算出する。手順3: 時価総額加重ウェイト𝒘 𝑬𝑸から得られたインプライド・期待リターンを使用したSR 最大ポートフォリオを計算し、これをベンチマークとする。 𝑠. 𝑡, 𝒘 𝑇 𝜮𝒘 = 𝜎𝑆𝑅，𝟏 𝑻 𝒘 = 1， 0 < 𝒘 < 1 37

38. MV_E RP_E VI_E MD_E EQ_E SR 年率リターン 5.42% 7.51% 7.02% 5.45% 5.45% 6.04% 年率標準偏差 5.83% 7.30% 6.92% 5.70% 7.52% 7.77% 年率シャープ・レシオ 0.93 1.03 1.01 0.96 0.73 0.78 歪度 0.28 -0.47 -0.51 0.29 -0.68 -1.32 尖度 4.16 4.14 4.21 4.06 4.78 6.76 合計収益 71.79% 99.47% 93.04% 72.26% 72.23% 79.99% MV_E RP_E VI_E MD_E EQ_E SR MSCI Japan 0% 12% 10% 1% 17% 7% MSCI US 0% 11% 6% 2% 12% 37% MSCI EMU 0% 9% 11% 1% 9% 10% MSCI UK 0% 15% 20% 3% 14% 7% 株式合計 0% 47% 46% 8% 52% 60% CITI Japan 1% 19% 12% 1% 19% 11% CITI US 24% 8% 9% 23% 10% 12% CITI EMU 7% 6% 8% 6% 8% 2% CITI UK 68% 20% 25% 62% 11% 14% 債券合計 100% 53% 54% 92% 48% 40% 表3:インプライド・期待リターンを用いたポートフォリオのサマリー表4:インプライド・期待リターンを用いたポートフォリオの平均ウェイト【4】実証分析～各インプライド・期待リターンの有効性の検証 38 MV_E:最小分散 RP_E:リスクパリティ VI_E:ボラティリティインバース MD_E:最大分散度 EQ_E:時価加重 SR:シャープレシオ最大

39. 【4】実証分析～各インプライド・期待リターンのポートフォリオの比較図3:インプライド・期待リターンを用いたポートフォリオの累積収益率の推移 39 RP,EQ,SRに比較的大きなドローダウン

40. 手順4’: 各ポートフォリオのリスク𝜎 𝑃をターゲット・リスクとして合成した期待リターンを最大化するように最適化を行う。【4】実証分析～見通しを反映したポートフォリオの比較手順3’: 各資産の見通し𝑸として、Moskowitz et al.[2012]やAsness et al.[2013]などでも広く知られている直近の月を除いた12カ月のリターンすなわち、モメンタムを使用する。従って、𝑷は単位行列であり、その他のパラメータは𝜏 = 1/ 12(Blamont and Firoozye[2003])、𝜴 = 𝜏𝑷𝜮𝑷 𝑇(Meucci[2006])とした。以上を用いて合成した期待リターン𝝁 𝑛𝑒𝑤と分散-共分散行列𝜮 𝑛𝑒𝑤を計算する。 max 𝑤 𝒘 𝑇 𝝁 𝑛𝑒𝑤 𝑠. 𝑡, 𝒘 𝑇 𝜮 𝑛𝑒𝑤 𝒘 = 𝜎 𝑃，1 𝑇 𝒘 = 1， 0 < 𝒘 < 1 40

41. MV_BL RP_BL VI_BL MD_BL EQ_BL SR_BL MSCI Japan 7% 6% 4% 7% 12% 6% MSCI US 4% 5% 6% 4% 11% 34% MSCI EMU 4% 4% 4% 4% 11% 10% MSCI UK 3% 5% 6% 3% 13% 7% 株式合計 17% 20% 19% 17% 47% 58% CITI Japan 63% 38% 38% 63% 13% 11% CITI US 11% 18% 16% 11% 13% 12% CITI EMU 9% 14% 16% 9% 12% 2% CITI UK 0% 10% 11% 0% 13% 18% 債券合計 83% 80% 81% 83% 53% 42% MV_BL RP_BL VI_BL MD_BL EQ_BL SR_BL 年率リターン 4.16% 4.14% 4.39% 3.96% 6.34% 5.32% 年率標準偏差 3.77% 3.41% 3.99% 3.51% 6.55% 8.09% 年率シャープ・レシオ 1.10 1.21 1.10 1.13 0.97 0.66 歪度 0.41 0.19 -1.42 -1.17 -0.89 -0.74 尖度 7.02 4.80 12.93 8.56 5.30 6.36 合計収益 55.15% 54.82% 58.23% 52.50% 84.00% 70.49% 【4】実証分析～見通しを反映したポートフォリオの比較表5: 見通しを反映させたポートフォリオのサマリー表6: 見通しを反映させたポートフォリオの平均ウェイト 41 MV_BL:最小分散 RP_BL:リスクパリティ VI_BL:ボラティリティインバース MD_BL:最大分散度 EQ_BL:時価加重 SR_BL:シャープレシオ最大

42. 【4】実証分析～見通しを反映したポートフォリオの比較図3:見通しを反映させたポートフォリオの累積収益率の推移 42 EQ,SRに比較的大きなドローダウン

43. 【5】まとめ資産配分を例とした実証分析の結果、 ✔ リスクベース・ポートフォリオから算定したインプライド・期待リターン、および見通しを合成したポートフォリオは良好なパフォーマンスであった。 ✔ もし自身の見通しを合成したい場合には、これを組み合わせることでさらにパフォーマンスの改善が見込める。リスクベース・ポートフォリオにブラックリッターマン法を組み合わせ、期待リターンと見通しを導入し、両者の欠点を補完。研究の目的、貢献： 43

44. 44 (1) Error Maximization (2) 資産集中 (3) 期待リターンの推定の困難性 (4) テールリスクこの研究で解決できる、平均分散ポートフォリオの課題〇〇 × × 【5】まとめ Viewが必要考慮していない

46. ✓ クロスセクション方向(𝑁)：資産数𝑁を十分に超える時点数が利用できない場合、標本共分散行列の固有値がバイアスを持ち、大きな推定誤差が生ずる可能性。 𝑁 𝑇 𝑁(𝑁 − 1)/2個のパラメータ２５０？ 10銘柄: 45個 20銘柄: 190個 50銘柄: 1,225個 100銘柄: 4,950個のパラメータをたった𝑻個のデータで推定！リスクの推定の課題パラメータのほとんどが相関(共分散) 46 ✓ 時系列方向(𝑇)：ボラティリティ・クラスタリングや資産間の相関構造の動的な変化・変動の激しい時期は持続する・相関は同時に高まる主に下落時に・・・リスクの過小評価につながる

47. 経済データの高次元化経済活動のグローバル化に伴い個々の経済データ同士の関係性が強まっている → 経済現象を捉えるために必要な変数の数は増加している複雑に入り組んだ経済現象を記述する主要な変数を抽出 → (1)次元削減 ex) 主成分分析観測された変数の背後に潜む要因を抽出 → (2)潜在変数モデリング ex) ガウス過程潜在変数モデル次元削減元データ変換データ観測データ潜在変数

48. 研究紹介 48 [2] t過程潜在変数モデルによるポートフォリオ生成内山祐介(MAZIN), 中川慧(野村アセットマネジメント) 第23回SigFin→第24回SigFin [1] Uchiyama, Yusuke, Takanori Kadoya, and Kei Nakagawa. "Complex Valued Risk Diversification." Entropy 21.2 (2019): 119.

49. ✔ そこで、リスクパリティについて、リスクの源泉に時間的な構造を加えた拡張を行う。その上で資産配分を例に手法の収益性やリスクを確認する。【1】研究の背景・目的 ✔ 従来のリスクベースポートフォリオは必ずしもリスクの「源泉」を分散していることにはならない。 49 ✔ なぜならば、異なる資産であっても同じリスクの源泉に対するエクスポージャを持っている可能性があるためである。 Ex. Bhansali[2011]は、エマージング債券やハイイールド債券は株式と同様のリスクの源泉としていることを指摘。 ✔ 加えてリスクは静的なものであり、時間的な構造はない。

50. 【2】最大リスク分散ポートフォリオ 50 𝑬 𝑻 𝜮𝑬=𝜦 𝜦 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜆1, … , 𝜆 𝑛)は固有値、𝑬 = (𝒆 𝟏, … , 𝒆 𝒏)対応する固有ベクトル ෥𝒘 = 𝑬−𝟏 𝒘 は主成分ポートフォリオ(互いに独立したリスクの源泉)となる。 𝑉𝑎𝑟 ෨𝑅 = ෍ 𝑖=1 𝑛 ෥𝑤𝑖 𝜆𝑖𝑝𝑖 = ෥𝑤𝑖 𝜆𝑖 𝑉𝑎𝑟 ෨𝑅 ✔ リスクの源泉を分散して作られるポートフォリオ Meucci[2009] 𝐼 𝐷 = exp(− ෍ 𝑖=1 𝑛 𝑝𝑖 𝑙𝑜𝑔(𝑝𝑖)) max 𝑊 𝐼 𝐷 𝐼 𝐷は資産数を𝑛とすると、最大𝑛 、最小1の値をとり、リスクの源泉を実質的に分散できている程度を表す。リスクの源泉の分散度合 𝐼 𝐷を最大化するポートフォリオを最大リスク分散ポートフォリオという

51. 51 【3】最大複素リスク分散ポートフォリオ ✔ 動的なリスクの源泉を分散して作られるポートフォリオ 𝑼 𝑻 𝑯𝑼=𝜦 𝜦 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜆1, … , 𝜆 𝑛)は固有値、𝑼 = (𝒖 𝟏, … , 𝒖 𝟏)対応する固有ベクトルヒルベルト変換した系列に対する共分散行列（エルミート行列） 𝑣𝑖 = 𝜆𝑖 𝑈𝑤 𝑖𝐼 𝐷 = exp(− ෍ 𝑖=1 𝑛 𝑝𝑖 𝑙𝑜𝑔(𝑝𝑖)) max 𝑊 𝐼 𝐶𝐷 𝐼 𝐷は資産数を𝑛とすると、最大𝑛 、最小1の値をとり、動的なリスクの源泉を実質的に分散できている程度を表す。動的リスクの源泉の分散度合 𝐼 𝐶𝐷を最大化するポートフォリオを最大リスク分散ポートフォリオという 𝑝𝑖 = 𝑣𝑖/ ෍ 𝑖=1 𝑛 𝑣𝑖

52. 【3】先行研究の整理 52 対象とする時系列データに内在する時間遅れに関する動的な情報を抽出することができるポートフォリオ分散する対象リスク計測 MV 資産クラス共分散行列 RP リスク共分散行列 MRD リスクの源泉主成分ベースの共分散行列 CVRD 動的なリスクの源泉複素主成分ベースの共分散行列単純な主成分分析がマルチアセットでどのようなリスクを抽出しているかについて解釈。伊藤、中川 (2018)

53. 53 【4】実証分析 ✔ 分析に使用するデータ - 対象期間：2000/5/31-2017/4/30まで、月次サンプル ✔ 資産配分を例に提案手法の有効性を検証する。

54. 【4】実証分析手順1: 毎月末に過去252の日次リターンから推定した標本分散-共分散行列𝜮および複素共分散行列𝑪 𝑧を推定する。手順2: RP、MRD、CVRDのそれぞれのポートフォリオのウェイトを最適化によって求める。 54 手順3: 収益を計算して翌月末へ。

55. 55 【4】実証分析リターンの正/負の割合

56. 【5】まとめ 56 ・対象とする時系列データに内在する時間遅れに関する動的な情報を抽出し、そのリスクの源泉を分散するポートフォリオの構築・各資産の株式指数先物、債券指数先物および為替を用いた分析で良好な結果

57. 57 (1) Error Maximization (2) 資産集中 (3) 期待リターンの推定の困難性 (4) テールリスク〇〇 × 〇【5】まとめこの研究で解決できる、平均分散ポートフォリオの課題考慮していない

58. 研究紹介 58 [2] t過程潜在変数モデルによるポートフォリオ生成内山祐介(MAZIN), 中川慧(野村アセットマネジメント) [1] Uchiyama, Yusuke, Takanori Kadoya, and Kei Nakagawa. "Complex Valued Risk Diversification." Entropy 21.2 (2019): 119.

59. 59 【1】ガウス過程潜在変数モデル 𝑌 𝑋 資産リターン潜在変数観測変数経済状況、センチメント etc… 正規分布ガウス過程潜在変数の事後分布を推定する 𝑁個 𝑄個 𝑄 ≪ 𝑁

60. 60 𝑦 = 𝜙(𝑥) + 𝜖 𝜖 ∼ 𝒩(0, 𝜎0 𝐼)観測誤差：に対応するガウス過程モデル 𝑝(𝑌|𝑋) = 1 (2𝜋) 𝑁𝐷/2|𝐾 𝑋,𝑋| Τ𝐷 2 exp − 1 2 𝑌 𝑇 𝐾 𝑋,𝑋 −1 𝑌 潜在変数とカーネル関数のハイパーパラメータを観測データから推定𝑥 𝜃 𝑦 𝐾𝐿[𝑞|𝑝] = −∫ log 𝑞(𝑋) 𝑝(𝑌|𝑋)𝑝(𝑋) 𝑞(𝑋)d𝑋 + log𝑝(𝑌) 変分推論による最適化変分下界（ELBO)を最大化観測変数： 𝑦 ∈ ℝ 𝑁 𝑥 ∈ ℝ 𝑄潜在変数：【1】ガウス過程潜在変数モデル

61. 【1】経済データと正規分布 61 ガウス過程は正規分布からのサンプリングを前提としている → 経済データは正規分布に従うのか？経済データは正規分布よりも広い裾を持つ分布に従うガウス過程潜在変数モデルを裾の厚い分布(t分布)に拡張する Physica A 526, 120930より引用正規分布観測データ

62. 62 メリット: 外れ値を考慮できる。ガウス過程とほぼ同じ性質があるデメリット: 自由度のパラメータが増える。 t過程ガウス過程 𝐾(𝑠, 𝑡) = min(s, t) ;Wiener processの平均0のガウス過程とt過程(自由度5)を100サンプル生成 𝑇 𝜈, 𝝁, 𝑲 = Γ 𝜈 + 𝑛 2 𝜈 − 2 𝜋 𝑛 2Γ 𝜈 2 det 𝑲 − 1 2 × 1 + 𝒚 − 𝝁 𝑇 𝑲−1 𝒚 − 𝝁 𝜈 − 2 − 𝜈+𝑛 2 t 過程とガウス過程の違い指数関数の定義から 𝜈 → ∞でガウス分布へ収束。・・・𝑛 個のデータを 𝑛 次元t分布として表現【2】t-過程

63. 【3】t-過程潜在変数モデル 63 𝑝(𝑌|𝑋) = Γ 𝜈 + 𝑛 2 [(𝜈 − 2)𝜋] 𝑛 2Γ 𝜈 2 |𝐾 𝑋,𝑋| 1 2 1 + 1 𝜈 − 2 (𝑦 − 𝑚 𝑋) 𝑇 𝐾 𝑋,𝑋 −1 (𝑦 − 𝑚 𝑋) − 𝜈+𝑛 2 𝑦 = 𝜙(𝑥) 観測変数： 𝑦 ∈ ℝ 𝑁 𝑥 ∈ ℝ 𝑄潜在変数：に対応するt-過程モデル 𝑄 < 𝑁次元削減：潜在変数とカーネル関数のハイパーパラメータを観測データから推定𝑥 𝜃 𝑦 𝐾𝐿[𝑞|𝑝] = −∫ log 𝑞(𝑋) 𝑝(𝑌|𝑋)𝑝(𝑋) 𝑞(𝑋)d𝑋 + log𝑝(𝑌) 変分推論による最適化変分下界（ELBO)を最大化

64. 【4】実証分析 ✔ 分析に使用するデータ - 対象期間：1998年1月30日-2019年1月31日（月次、253サンプル） ✔ 株式指数を例に提案手法の有効性を検証する。 SP500指数(US) OMX30指数(Sweden) SPトロント60指数(Canada) SMI指数(Switzerland) FTSE100指数(UK) 日経平均株価(Japan) CAC40指数(France) OBX株価指数(Norway) DAX指数(Germany) 香港ハンセン指数(HongKong) IBEX35指数(Spain) MSCI Singapore指数(Singapore) FTSE MIB指数(Italy) ASX200指数(Australia) AEX指数(Netherlands) 韓国200種株価指数(Korea)

65. 65 株式指数の月次統計量【4】実証分析

66. 【4】実証分析手順1: 毎月末に過去10年分の月次リターンからガウス過程潜在変数モデル、 t過程潜在変数モデルのパラメータを推定する。手順2: 潜在変数から推定した共分散行列に基づいた最小分散ポートフォリオを生成 66 手順3: 収益を計算して翌月末へ。 𝑣 = arg𝑚𝑖𝑛 𝑣 𝑣 𝑇 𝐾 𝑋,𝑋 𝑣 カーネル関数：指数カーネル

67. 67 最小分散ポートフォリオの性能比較【4】実証分析

68. 68 ・ガウス過程潜在変数モデルの拡張として, t-過程潜在変数モデルを提案した・t-過程潜在変数モデルをポートフォリオ生成問題に応用した・上記ポートフォリオはガウス過程潜在変数モデルから生成されたものをアウトパフォームすることを確認した今後の課題・t-過程潜在変数モデルの高速化・t-過程潜在変数モデルの動的変数への拡張・t-過程およびt-過程潜在変数モデルの複素変数への拡張【5】まとめ

69. 69 (1) Error Maximization (2) 資産集中 (3) 期待リターンの推定の困難性 (4) テールリスク〇〇〇〇【5】まとめこの研究で解決できる、平均分散ポートフォリオの課題 RPを構築することで解決

70. 参考文献 70 ・最適投資戦略: ポートフォリオ・テクノロジーの理論と実践小松高広・現代ファイナンス分析資産価格理論 Jean‐Pierre Danthine, John B. Donaldson ・ファイナンスの理論と応用〈1〉-〈3〉石島博・資産運用の本質 -ファクター投資への体系的アプローチアンドリュー・アング・スマートベータの取扱説明書徳野明洋【ポートフォリオ理論】【ファクター投資】【リスクベース・ポートフォリオ】・Introduction to Risk Parity and Budgeting Thierry Roncalli

71. 71 ・A Practitioner's Guide to Asset Allocation William Kinlaw, Mark P. Kritzman, David Turkington ・長期投資の理論と実践: パーソナル・ファイナンスと資産運用安達智彦, 池田昌幸・アセットアロケーションの最適化ポートフォリオの構築とメンテナンスのための統合的アプローチロバート・カーバー, ・戦略的アセットアロケーション―長期投資のための最適資産配分の考え方ジョン・キャンベル, ルイス・ビセイラ, 参考文献【資産配分】・ガウス過程と機械学習持橋大地, 大羽成征・ベイズ推論による機械学習入門須山敦志【ベイズ・ガウス過程】

ブラックリッターマン法によるリスクベースポートフォリオの拡張～リスクベースポートフォリオの課題と拡張への取り組み～

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