Βασικες γνωσεις μαθηματικων απο το Γυμνασιο

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αποστόλου Γεώργιος
Μαθηµατικός
apgeorge2004@yahoo.com

ΙΩΑΝΝΙΝΑ
12 ∆εκεµβρίου 2013

Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com

ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013

1 / 59


Βασικές Γνώσεις



2 / 59


Περιεχόµενα

1

Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ



2 / 59


Για την πρόσθεση
www.study4maths.gr



3 / 59


Ερώτηση 1η
Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης ;



4 / 59


Ιδιότητες της πρόσθεσης



5 / 59


α+β =β+α
π.χ.

αντιµεταθετική ιδιότητα
2+3=3+2=5



5 / 59


α+β =β+α


π.χ.

2+3=3+2=5

α + (β + γ) = (α + β) + γ
π.χ.

προσεταιριστική ιδιότητα

2 + (3 + 4 ) = (2 + 3 ) + 4 = 9



5 / 59


α+β =β+α


π.χ.

2+3=3+2=5

α + (β + γ) = (α + β) + γ
π.χ.

α+0=0+α=α
π.χ.

προσεταιριστική ιδιότητα

2 + (3 + 4 ) = (2 + 3 ) + 4 = 9
το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης.
2+0=0+2=2



5 / 59





6 / 59


α + (−β) = α − β
π.χ.

αφαίρεση.
3 + (−2) = 3 − 2



6 / 59


α + (−β) = α − β
π.χ.

α − α = −α + α = 0
π.χ.

αφαίρεση.
3 + (−2) = 3 − 2
αντίθετοι αριθµοί είναι αυτοί που έχουν άθροισµα 0.
2 − 2 = −2 + 2 = 0



6 / 59


Ερώτηση 2η
Ποιες είναι οι ιδιότητες του πολλαπλασιασµού ;



7 / 59


Ιδιότητες πολλαπλασιασµού



8 / 59


Αντιµεταθετική ιδιότητα
π.χ.

α⋅β =β⋅α
2⋅3=3⋅2=6



8 / 59


π.χ.

Προσεταιριστική ιδιότητα
π.χ.

α⋅β =β⋅α
2⋅3=3⋅2=6

α ⋅ (β ⋅ γ) = (α ⋅ β) ⋅ γ
2 ⋅ (3 ⋅ 4) = (2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 24



8 / 59


π.χ.

π.χ.

α⋅β =β⋅α
2⋅3=3⋅2=6

α ⋅ (β ⋅ γ) = (α ⋅ β) ⋅ γ
2 ⋅ (3 ⋅ 4) = (2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 24

α⋅0=0⋅α=0
π.χ.

2⋅0=0⋅2=0



8 / 59


π.χ.

π.χ.

α⋅β =β⋅α
2⋅3=3⋅2=6

α ⋅ (β ⋅ γ) = (α ⋅ β) ⋅ γ
2 ⋅ (3 ⋅ 4) = (2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 24

α⋅0=0⋅α=0
π.χ.

2⋅0=0⋅2=0

Το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασµού
π.χ.
2⋅1=1⋅2=2


α⋅1=1⋅α=α


8 / 59





9 / 59


∆ιαίρεση
π.χ.

α
1
α⋅( )= .
β
β
1
2
2⋅( )=
3
3



9 / 59


∆ιαίρεση
π.χ.

α⋅
π.χ

α
1
α⋅( )= .
β
β
1
2
2⋅( )=
3
3

1

α

=

1

α

⋅α=1

αντίστροφοι αριθµοί είναι αυτοί που έχουν γινόµενο 1.
2⋅

1
2

=

1
2

⋅2=1



9 / 59


∆ιαίρεση
π.χ.

α⋅
π.χ

α
1
α⋅( )= .
β
β
1
2
2⋅( )=
3
3

1

α

=

1

α

⋅α=1

αντίστροφοι αριθµοί είναι αυτοί που έχουν γινόµενο 1.
2⋅

1
2

=

1
2

⋅2=1

Επιµεριστική ιδιότητα

α ⋅ (β + γ) = α ⋅ β + α ⋅ γ
(α + β)(γ + δ) = α ⋅ γ + α ⋅ δ + β ⋅ γ + β ⋅ δ



9 / 59


Ερώτηση 3η
Ποιοι είναι οι κανόνες των προσήµων στην πρόσθεση και τον
πολλαπλασιασµό ;



10 / 59


Πρόσηµα στην Πρόσθεση



11 / 59


Για να προσθέσουµε 2 πραγµατικούς αριθµούς διακρίνουµε τις περιπτώσεις :



11 / 59


Αν είναι οµόσηµοι, ϐάζουµε το κοινό πρόσηµο και τους προσθέτουµε
π.χ.
2 + 3 = 5 − 2 − 3 = −5



11 / 59


Αν είναι οµόσηµοι, ϐάζουµε το κοινό πρόσηµο και τους προσθέτουµε
π.χ.
2 + 3 = 5 − 2 − 3 = −5
Αν είναι ετερόσηµοι, ϐάζουµε το πρόσηµο του µεγαλυτέρου και τους
αφαιρούµε
π.χ.
−2 + 3 = 1 2 − 3 = −1



11 / 59


Πρόσηµα στον πολλαπλασιασµό



12 / 59


Για να πολλαπλασιάσουµε 2 πραγµατικούς αριθµούς διακρίνουµε τις
περιπτώσεις :



12 / 59


Αν είναι οµόσηµοι, ϐάζουµε πρόσηµο + και τους πολλαπλασιάζουµε
π.χ.
2 ⋅ 3 = 6 (−2) ⋅ (−3) = 6



12 / 59


Αν είναι οµόσηµοι, ϐάζουµε πρόσηµο + και τους πολλαπλασιάζουµε
π.χ.
2 ⋅ 3 = 6 (−2) ⋅ (−3) = 6
Αν είναι ετερόσηµοι, ϐάζουµε πρόσηµο - και τους πολλαπλασιάζουµε
π.χ.
(−2) ⋅ 3 = −6 (2) ⋅ (−3) = −6



12 / 59


Ερωτηση 4η
Πως ορίζεται η δύναµη ενός αριθµού ;



13 / 59


Ορισµός των δυνάµεων



14 / 59


Η δύναµη αν µε το α που ονοµάζεται ϐάση και είναι πραγµατικός αριθµός και
µε το ν που ονοµάζεται εκθέτης και είναι ϕυσικός αριθµός µε ν ≥ 2 είναι το
γινόµενο που αποτελείται από ν παράγοντες του α



14 / 59


Η δύναµη αν µε το α που ονοµάζεται ϐάση και είναι πραγµατικός αριθµός και
µε το ν που ονοµάζεται εκθέτης και είναι ϕυσικός αριθµός µε ν ≥ 2 είναι το
γινόµενο που αποτελείται από ν παράγοντες του α

αν = α ⋅ α ⋅⋯ ⋅α
ν, παράγοντες



14 / 59





15 / 59


Επίσης ορίζουµε :



15 / 59


Επίσης ορίζουµε :

α1 = α
α 0 = 1, α ≠ 0
α−ν =

1

αν

, α≠0



15 / 59


Ερώτηση 5η
Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάµεων ;



16 / 59


Ιδιότητες των δυνάµεων



17 / 59


Ιδιότητες των δυνάµεων
1.

αµ ⋅ αν = αµ+ν
αµ
= αµ−ν
αν

3.

αµ⋅ν = (αµ )

ν

αν ⋅ β ν = (α ⋅ β)ν

5.

2.

4.

αν
α ν
=( )
ν
β
β

6.

α
β
( ) =( )
β
α

ν


−ν


17 / 59


Παράδειγµα 1ο



18 / 59


Να γίνουν οι πράξεις



18 / 59


3−5 ⋅ 37 =
1
35

⋅ 37 =
37
35

(ιδιότητα α−ν =

1

αν

)

=

37 −5 =

(ιδιότητα

32 =

αµ
= αµ−ν )
αν

9.



18 / 59


Παράδειγµα 1ο ϐ τρόπος



19 / 59


Παράδειγµα 1ο ϐ τρόπος
3−5 ⋅ 37 =
3−5 +7 =

(ιδιότητα αµ ⋅ αν = αµ+ν )

32 =
9.



19 / 59





20 / 59


5
25 ⋅ ( )
2

−2

−1

⋅ (2−3 )

=

2

2
−1
25 ⋅ ( ) ⋅ (2−3 ) =
5
2

25 ⋅ ( ) ⋅ 2(−3)⋅(−1) =
5
2

α
(ιδιότητα ( )
β

−ν

ν

β
=( ) )
α

(ιδιότητα αµ⋅ν = (αµ )

)

ν

2

2
25 ⋅ ( ) ⋅ 23 =
5
25 ⋅
52 ⋅

22
52

22
52

⋅ 23 =

ν

α
αν
(ιδιότητα ( ) = ν
β
β

)

⋅ 23 = 23



20 / 59


Ερώτηση 6η
Τι ονοµάζουµε τετραγωνική ρίζα ενός µη αρνητικού αριθµού α ;



21 / 59


Τετραγωνική ϱίζα



22 / 59



√

Τετραγωνική ϱίζα ενός µη αρνητικού αριθµού α συµβολίζεται µε α και είναι ο
µη αρνητικός αριθµός, που αν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α.



22 / 59



√

΄Αρα µπορούµε να πούµε ότι :
√
Αν α ≥ 0, η α παριστάνει τη µη αρνητική λύση της εξίσωσης x 2 = α.



22 / 59



√

΄Αρα µπορούµε να πούµε ότι :
√
Αν α ≥ 0, η α παριστάνει τη µη αρνητική λύση της εξίσωσης x 2 = α.

√

π.χ. 25 = 5

γιατί 52 = 25



22 / 59


Ερώτηση 7η
Ποιες είναι οι ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας ;



23 / 59





24 / 59


√

α2 = α , α ∈ R



24 / 59


√
√

α2 = α , α ∈ R
α = α, α ≥ 0
2



24 / 59


√
√

α2 = α , α ∈ R

α = α, α ≥ 0
√
√ √
α β = αβ, α, β ≥ 0
2



24 / 59


√
√

α2 = α , α ∈ R

α = α, α ≥ 0
√
√ √
α β = αβ, α, β ≥ 0
√
√
α
α
√ =
, α ≥ 0, β > 0
β
β
2



24 / 59


Ερώτηση 8η
Πως γίνεται η απαλοιφή παρενθέσεων ;



25 / 59


Απαλοιφή παρενθέσεων



26 / 59


΄Οταν έχουµε µια παράσταση µέσα σε παρενθέσεις και ϑέλω να απαλλαγώ
από την παρουσία τους, για να συνεχίσω τις πράξεις, τότε εξετάζω να δω σε
ποια από τις παρακάτω περιπτώσεις ϐρίσκοµαι :



26 / 59


Αν µπροστά από την παρένθεση έχω +, τότε διώχνω το + και την παρένθεση και
τα γράφω όλα µε το πρόσηµό τους όπως είναι.
π.χ. 2 + (3 − 4 + 5) = 2 + 3 − 4 + 5



26 / 59


π.χ. 2 + (3 − 4 + 5) = 2 + 3 − 4 + 5
Αν µπροστά από την παρένθεση έχω -, τότε διώχνω το - και την παρένθεση και
τα γράφω όλα µε αλλαγµένο πρόσηµο.
π.χ. 2 − (3 − 4 + 5) = 2 − 3 + 4 − 5



26 / 59


π.χ. 2 + (3 − 4 + 5) = 2 + 3 − 4 + 5
Αν µπροστά από την παρένθεση έχω -, τότε διώχνω το - και την παρένθεση και
τα γράφω όλα µε αλλαγµένο πρόσηµο.
π.χ. 2 − (3 − 4 + 5) = 2 − 3 + 4 − 5
Αν µπροστά από την παρένθεση έχω πολλαπλασιασµό, τότε κάνω
επιµεριστική ιδιότητα.
π.χ. 2 ⋅ (3 − 4 + 5) = 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5



26 / 59


Ερώτηση 9η
Με ποια σειρά εκτελούνται οι πράξεις ;



27 / 59


Προτεραιότητα των πράξεων



28 / 59


Για τον υπολογισµό της τιµής µιας αριθµητικής παράστασης κάνουµε τις πράξεις
µε τη σειρά που ϐλέπουµε παρακάτω :



28 / 59


Κάνουµε τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις



28 / 59


Κάνουµε τις δυνάµεις



28 / 59


Κάνουµε πολλαπλασιασµούς και διαιρέσεις



28 / 59


Κάνουµε πολλαπλασιασµούς και διαιρέσεις
Στο τέλος κάνουµε προσθέσεις και αφαιρέσεις



28 / 59


Ερώτηση 10η
Τι είναι η αλγεβρική παράσταση ;



29 / 59


Αλγεβρική παράσταση



30 / 59


Είναι µια µαθηµατική σχέση µεταξύ µεταβλητών και αριθµών, που συνδέονται
µεταξύ τους µε τις 4 πράξεις.



30 / 59


Είναι µια µαθηµατική σχέση µεταξύ µεταβλητών και αριθµών, που συνδέονται
µεταξύ τους µε τις 4 πράξεις.
π.χ. x 3 + 1,

2xy,

√

2x + y 2 + 6



30 / 59


Ερώτηση 11η
Τι ονοµάζουµε αριθµητική τιµή της αλγεβρικής παράστασης ;



31 / 59


Αριθµητική τιµή



32 / 59


Αν σε µια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουµε τις µεταβλητές µε αριθµούς
και κάνουµε τις πράξεις, τότε ο αριθµός που προκύπτει λέγεται, αριθµητική τιµή
της αλγεβρικής παράστασης.



32 / 59


π.χ. 2x + 3y 2 + 1 για x = 0 και y = 1 είναι : 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 12 + 1 = 4



32 / 59


π.χ. 2x + 3y 2 + 1 για x = 0 και y = 1 είναι : 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 12 + 1 = 4
Προσοχή!!! Μια αλγεβρική παράσταση, δεν ορίζεται πάντα για όλες τις τιµές
των µεταβλητών
x
δεν ορίζεται για y = 2 γιατί αυτή η τιµή µηδενίζει
π.χ. η παράσταση
y −2
τον παρονοµαστή. √
π.χ. η παράσταση x − 1 δεν ορίζεται για x = 0 γιατί αυτή η τιµή δίνει
αρνητικό υπόριζο.



32 / 59


Ερώτηση 12η
Ποια είδη αλγεβρικών παραστάσεων έχουµε ;



33 / 59


Είδη αλγεβρικών παραστάσεων



34 / 59


΄Αρρητη αλγεβρική παράσταση, είναι αυτή, που τουλάχιστον µια µεταβλητή
είναι κάτω από ϱίζα.
√
π.χ. 2 x − 1 + y 2 − 9, x ≥ 1



34 / 59


√
π.χ. 2 x − 1 + y 2 − 9, x ≥ 1
Ρητή αλγεβρική παράσταση, είναι αυτή, που καµιά µεταβλητή δεν είναι κάτω
από ϱίζα.
2x
π.χ.
+ 2x − y 2 , y ≠ 3
y −3
π.χ. 2xy + x 3 + y − 2



34 / 59


√
π.χ. 2 x − 1 + y 2 − 9, x ≥ 1
από ϱίζα.
2x
π.χ.
+ 2x − y 2 , y ≠ 3
y −3
π.χ. 2xy + x 3 + y − 2
Κλασµατική, είναι η ϱητή αλγεβρική παράσταση, που τουλάχιστον µια
µεταβλητή είναι στον παρονοµαστή.
2x
+ 2x − y 2 , y ≠ 3
π.χ.
y −3



34 / 59


√
π.χ. 2 x − 1 + y 2 − 9, x ≥ 1
από ϱίζα.
2x
π.χ.
+ 2x − y 2 , y ≠ 3
y −3
π.χ. 2xy + x 3 + y − 2
Κλασµατική, είναι η ϱητή αλγεβρική παράσταση, που τουλάχιστον µια
µεταβλητή είναι στον παρονοµαστή.
2x
+ 2x − y 2 , y ≠ 3
π.χ.
y −3
Ακέραια, είναι η ϱητή αλγεβρική παράσταση, που δεν είναι κλασµατική.
π.χ. 2xy + x 2 + y − 2.



34 / 59


Ερώτηση 13η
Τι είναι το µονώνυµο ;



35 / 59


Μονώνυµο



36 / 59


Μονώνυµο
Είναι µια ακέραια αλγεβρική παράσταση, στην οποία σηµειώνονται µόνο
πολλαπλασιασµοί µεταξύ των αριθµών και των µεταβλητών.



36 / 59


Μονώνυµο
Είναι µια ακέραια αλγεβρική παράσταση, στην οποία σηµειώνονται µόνο
πολλαπλασιασµοί µεταξύ των αριθµών και των µεταβλητών.
√
1
π.χ. 3x 2 y , − xyz , 2xy 3 .
2



36 / 59


Ερώτηση 14η
Τι είναι το πολυώνυµο ;



37 / 59


Πολυώνυµο



38 / 59


Πολυώνυµο
Είναι κάθε αλγεβρική παράσταση, που είναι άθροισµα µη όµοιων µονωνύµων.



38 / 59


Πολυώνυµο
Είναι κάθε αλγεβρική παράσταση, που είναι άθροισµα µη όµοιων µονωνύµων.
π.χ. x 2 − 3x − 9



38 / 59


Ερώτηση 15η
Τι είναι ταυτότητες ;



39 / 59


Ταυτότητες



40 / 59


Είναι ισότητες που περιέχουν µεταβλητές και επαληθεύονται για όλες τις τιµές
των µεταβλητών.



40 / 59


Ερώτηση 16η
Ποιες είναι οι βασικές ταυτότητες ;



41 / 59


Βασικές ταυτότητες



42 / 59


(α + β)2 = α2 + 2αβ + β 2



42 / 59


(α + β)2 = α2 + 2αβ + β 2
(α − β)2 = α2 − 2αβ + β 2



42 / 59


(α + β)2 = α2 + 2αβ + β 2
(α − β)2 = α2 − 2αβ + β 2
(α − β)(α + β) = α2 − β 2



42 / 59





43 / 59


α3 + β 3 = (α + β)(α2 − αβ + β 2 )



43 / 59


α3 + β 3 = (α + β)(α2 − αβ + β 2 )
α3 − β 3 = (α − β)(α + αβ + β 2 )



43 / 59


α3 + β 3 = (α + β)(α2 − αβ + β 2 )
α3 − β 3 = (α − β)(α + αβ + β 2 )
(α + β)3 = α3 + 3α2 β + 3αβ 2 + β 3



43 / 59


α3 + β 3 = (α + β)(α2 − αβ + β 2 )
α3 − β 3 = (α − β)(α + αβ + β 2 )
(α + β)3 = α3 + 3α2 β + 3αβ 2 + β 3
(α − β)3 = α3 − 3α2 β + 3αβ 2 − β 3



43 / 59


Ερώτηση 17η
Τι είναι η παραγοντοποίηση ;



44 / 59





45 / 59


Είναι η διαδικασία µε την οποία µια παράσταση που είναι άθροισµα,
µετατρέπεται σε γινόµενο παραγόντων λέγεται παραγοντοποίηση.



45 / 59


Ερώτηση 18η
Με ποιους τρόπους γίνεται η παραγοντοποίηση ;



46 / 59


Κοινός παράγοντας



47 / 59


΄Οταν όλοι οι όροι µιας αλγεβρικής παράστασης έχουν κοινό παράγοντα, τότε
αυτή µετατρέπεται σε γινόµενο µε τη ϐοήθεια της επιµεριστικής ιδιότητας.
Ισχύει ότι : αβ + αγ = α(β + γ)



47 / 59





48 / 59


Η εύρεση του κοινού παράγοντα γίνεται ως εξής :
Βρίσκουµε τον Μ.Κ.∆. των συντελεστών κάθε όρου
Βρίσκουµε τον µικρότερο εκθέτη της µεταβλητής ή µεταβλητών που είναι
κοινές σε κάθε όρο.
Ο κοινός παράγοντας είναι το γινόµενο των δύο παραπάνω όρων.



48 / 59


Η εύρεση του κοινού παράγοντα γίνεται ως εξής :
Βρίσκουµε τον Μ.Κ.∆. των συντελεστών κάθε όρου
Βρίσκουµε τον µικρότερο εκθέτη της µεταβλητής ή µεταβλητών που είναι
κοινές σε κάθε όρο.
Ο κοινός παράγοντας είναι το γινόµενο των δύο παραπάνω όρων.
Παράδειγµα : Να παραγοντοποίησετε την παράσταση :
2x 5 + 4x 4 y + 6x 2
Ο Μ.Κ.∆. των συντελεστών των όρων 2, 4, 6 είναι ο αριθµός 2.
Η κοινή µεταβλητή είναι το x και ο µικρότερος εκθέτης που συναντάται είναι ο 2.
΄Αρα η παραγοντοποίηση είναι η εξής :
2x 5 + 4x 4 y + 6x 2 = 2x 2 (x 3 + 2x 2 y + 3)
.



48 / 59


Κοινός παράγοντας κατά οµάδες



49 / 59


΄Οταν οι όροι µια παράστασης δεν έχουν κοινό παράγοντα, τότε τους χωρίζουµε
σε οµάδες, ϕροντίζοντας ώστε :
Κάθε οµάδα που δηµιουργούµε να έχει κοινό παράγοντα
Οι παραστάσεις που µένουν µετά την εξαγωγή του κοινού παράγοντα να είναι
οι ίδιες



49 / 59





50 / 59


3x + αx + 3y + αy
1ος τρόπος : 3x + αx + 3y + αy = 3(x + y ) + α(x + y ) = (x + y )(3 + α)



50 / 59


3x + αx + 3y + αy
1ος τρόπος : 3x + αx + 3y + αy = 3(x + y ) + α(x + y ) = (x + y )(3 + α)
2ος τρόπος : 3x + αx + 3y + αy = x (3 + α) + y (3 + α) = (3 + α)(x + y )



50 / 59





51 / 59


Με τη βοήθεια ταυτοτήτων



51 / 59


Χρησιµοποιούµε από το 2ο προς το 1ο µέλος τις ταυτότητες :



51 / 59



(α + β)2 = α2 + 2αβ + β 2 ,



51 / 59



(α + β)2 = α2 + 2αβ + β 2 ,
(α − β)2 = α2 − 2αβ + β 2



51 / 59



(α + β)2 = α2 + 2αβ + β 2 ,
(α − β)2 = α2 − 2αβ + β 2
(α + β)3 = α3 + 3α2 β + 3αβ 2 + β 3 ,



51 / 59



(α + β)2 = α2 + 2αβ + β 2 ,
(α − β)2 = α2 − 2αβ + β 2
(α + β)3 = α3 + 3α2 β + 3αβ 2 + β 3 ,
(α − β)3 = α3 − 3α2 β + 3αβ 2 − β 3



51 / 59





52 / 59


Παραδείγµατα



52 / 59


Να παραγοντοποίησετε τις παραστάσεις :



52 / 59


x 2 − 6x + 9 = x 2 − 2 ⋅ 3 ⋅ x + 32 = (x − 3)2



52 / 59


x 2 − 6x + 9 = x 2 − 2 ⋅ 3 ⋅ x + 32 = (x − 3)2

( x − 1 )3 − 3 (x − 1 )2 y + 3 (x − 1 )y 2 + y 3 = (x − 1 + y )3



52 / 59


∆ιαφορά τετραγώνων



53 / 59


α2 − β 2 = (α − β)(α + β)



53 / 59


α2 − β 2 = (α − β)(α + β)
Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων ή τις ταυτότητες :

(α + β)2 = α2 + 2αβ + β 2 ,
(α − β)2 = α2 − 2αβ + β 2
εµφανίζω διάφορα τετραγώνων.



53 / 59





54 / 59


25 − x 2 = 52 − x 2 = (5 − x )(5 + x )



54 / 59


25 − x 2 = 52 − x 2 = (5 − x )(5 + x )
x 2 − 4 = x 2 − 22 = (x − 2)(x + 2)



54 / 59


25 − x 2 = 52 − x 2 = (5 − x )(5 + x )
x 2 − 4 = x 2 − 22 = (x − 2)(x + 2)
x 2 y 2 − 81z 4 = (xy )2 − (9z 2 ) = (xy + 9z )(xy − 9z )



54 / 59


΄Αθροισµα ή διαφορά κύβων



55 / 59


α3 + β 3 = (α + β)(α2 − αβ + β 2 ),



55 / 59


α3 + β 3 = (α + β)(α2 − αβ + β 2 ),
α3 − β 3 = (α − β)(α + αβ + β 2 )



55 / 59


α3 + β 3 = (α + β)(α2 − αβ + β 2 ),
α3 − β 3 = (α − β)(α + αβ + β 2 )

(α + β)3 = α3 + 3α2 β + 3αβ 2 + β 3 ,



55 / 59


α3 + β 3 = (α + β)(α2 − αβ + β 2 ),
α3 − β 3 = (α − β)(α + αβ + β 2 )

(α + β)3 = α3 + 3α2 β + 3αβ 2 + β 3 ,
(α − β)3 = α3 − 3α2 β + 3αβ 2 − β 3
εµφανίζω άθροισµα ή διαφορά κύβων.



55 / 59





56 / 59


x 3 + 8 = x 3 + 23 = (x − +2)(x 2 − 2x + 22 ) = (x + 2)(x 2 − 2x + 4)



56 / 59


x 3 + 8 = x 3 + 23 = (x − +2)(x 2 − 2x + 22 ) = (x + 2)(x 2 − 2x + 4)

(x + 1)3 − 125y 3 = (x + 1)3 − (5y )3

= (x + 1 − 5)[(x + 1)2 + (x + 1)5y + (5y )2 ]

= (x − 4)(x 2 + 2x + 1 + 5xy + 5y + 25y 2 )

= (x − 4)(x 2 + +25y 2 + 2x + 1 + 5xy + 5y )



56 / 59


Τριώνυµο



57 / 59


Τριώνυµο
Τριώνυµο της µορφής αx 2 − β x + γ



57 / 59


Τριώνυµο
Τριώνυµο της µορφής αx 2 − β x + γ
Για να παραγοντοποιήσουµε ένα τριώνυµο ϐρίσκουµε τη διακρίνουσα
∆ = β 2 − 4αγ . Αν :

√
−β + − ∆
∆ > 0, τότε αx 2 − β x + γ = α(x − x1 )(x − x2 ) όπου x1,2 =
2α
−β
2
2
∆ = 0, τότε αx − β x + γ = α(x − x1 ) µε x1 =
2α
∆ < 0, τότε το τριώνυµο δεν παραγοντοποιείται.

Ειδική περίπτωση :
x 2 − (α + β)x + α ⋅ β = (x − α)(x − β)
x 2 + (α + β)x + α ⋅ β = (x + α)(x + β)



57 / 59


Τριώνυµο



58 / 59


Τριώνυµο
Ειδική περίπτωση :
x 2 − (α + β)x + α ⋅ β = (x − α)(x − β)
x 2 + (α + β)x + α ⋅ β = (x + α)(x + β)



58 / 59


Τριώνυµο



59 / 59


Τριώνυµο
Να παραγοντοποίησετε τη παράσταση x 2 − 5x + 6.



59 / 59


Τριώνυµο
Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα ∆ = β 2 − 4αγ = (−5)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = 25 − 24 = 1 > 0.
΄Αρα ϐρίσκουµε ότι :

√
√
−β + ∆ −(−5) + 1 5 + 1 6
x1 =
=
=
= =3
2α
2⋅1
2
2
√
√
−β − ∆ −(−5) − 1 5 − 1 4
x1 =
=
=
= =2
2α
2⋅1
2
2

οπότε

x 2 − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2).



59 / 59


Τριώνυµο



60 / 59


Τριώνυµο
Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα ∆ = β 2 − 4αγ = (−6)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 9 = 36 − 36 = 0,
−β −(−6) 6
άρα x1 =
=
= = 3.
2α
2⋅1
2
οπότε
x 2 − 6x + 9 = (x − 3)2 .



60 / 59

Βασικες γνωσεις μαθηματικων απο το Γυμνασιο

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Βασικες γνωσεις μαθηματικων απο το Γυμνασιο