Геометрия. Тригонометрия

1. МАТЕМАТИКА — ЭТО ЛЕГКО

2. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20
Линии, углы, поверхности
и пространство
Геометрия оперирует такими понятиями, как «прямая»,
«угол», «поверхность» (двух и трех измерений), «пло-
щадь», «объем». Кроме того, она изучает движение
в пространстве, например вращение и отражение,
а также системы координат.
4 І Геометрия
реальный мир
Что такое геометрия?
ГЕОМЕТРИЯ — ЭТО РАЗДЕЛ МАТЕМАТИКИ, ИЗУЧАЮЩИЙ
ПЛОСКИЕ ОБЪЕКТЫ, ПОВЕРХНОСТИ И ПРОСТРАНСТВО.
На протяжении тысяч лет геометрия применялась
на практике: при обработке земли, в архитектуре, навигации
и астрономии. Но кроме этого, геометрия является важнейшей
самостоятельной областью математического знания.
Азимут
В навигации для задания направления ис-
пользуются градусы. Их отсчитывают от 0°,
соответствующего направлению на север.
ГЕОМЕТРИЯ В ПРИРОДЕ
Хотя многие думают о геометрии как о чисто математиче-
ской дисциплине, геометрические поверхности и формы
широко распространены в окружающем нас мире. Веро-
ятно, самыми известными примерами являются имеющие
форму шестиугольника медовые соты и снежинки, но есть
и много других. Так, капельки воды, пузырьки газа внутри
жидкости, планеты — все они почти идеально сфериче-
ские. Естественные кристаллы часто имеют форму много-
гранников: кристаллы обыкновенной соли кубические,
а кристаллы кварца часто представляют собой шести-
угольную призму с пирамидальным основанием.
Медовые соты
Ячейки медовых сот имеют
форму шестиугольников.
Они идеально располагаются
рядом друг с другом в виде
мозаики, и между ними не ос-
тается никаких промежутков.
Параллельные прямые
Расстояние между параллельными прямыми всегда одно
и то же. Параллельные прямые никогда не пересекаются.
Углы
Угол формируется в точке пересечения двух прямых. Величина
угла — это количественная мера поворота, производимого
от одной прямой до другой. Она измеряется в градусах.
Круг
Круг представляет собой проведенную вокруг некоторой
точки замкнутую линию, расстояние от которой до этой
точки всегда одно и то же. Длину линии называют длиной
окружности. Диаметр — прямая, проходящая через цент-
ральную точку от одной стороны круга до другой.
Радиус — прямая, проведенная от центра до любой точки
на окружности.
символ для обозначения
параллельных прямых
диаметр (d)
радиус (r)
окружность0 величина
угла
название
угла
вершина
угла
000°
N 22,5°
NNE
45°
NE
67,5°
ENE
292,5°
WNW
315°
NW
337,5°
NNW
90°
E
180°
S
202,5°
SWS
225°
SW
247,5°
WSW
157,5°
SES
135°
SE
112,5°
ESE
270°
W

3. 181716151413121110987654321 19 20
подробнее
Что такое геометрия? І 5
ГРАФИКИ И ГЕОМЕТРИЯ
Графики связывают геометрию с другими разделами
математики. От изображения линий и кривых в виде
графиков на координатной сетке можно перейти
к соответствующим им алгебраическим выражениям
и затем работать с ними. Верно и обратное: алгебра-
ические выражения могут быть представлены в виде
графиков, к которым применимы правила геометрии.
Графическое представление объектов подразумева-
ет задание их положения в пространстве, после чего
становится возможным введение векторов и вычисле-
ние результатов их перемещения, например поворо-
тов и переносов.
Графики
На этом графике представлен прямоугольный треугольник ABC.
Его вершины (углы) имеют координаты А = (1; 1), В = (1; 4) и С = (6; 1).
Куб
Куб — это многоугольник размерности 3 (трехмерный,
иначе о такой геометрической фигуре говорят — объемная),
у которого все грани имеют одинаковую длину. У куба
6 сторон, 12 граней и 8 вершин (углов).
Сфера
Сфера — это совершенная трехмерная фигу-
ра, в которой расстояние от центра до любой
точки на поверхности является одинаковым;
это расстояние есть радиус сферы.
Треугольник
Треугольник — это трехсторонний мно-
гоугольник размерности 2 (двумерный,
т. е. плоский). Все треугольники имеют три
внутренних угла, сумма которых равна 180°.
Квадрат
Квадрат — четырехсторонний многоугольник, или четырех-
угольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину,
а все углы являются прямыми (90°). Его размерность, как
и у треугольника, равна 2.
радиус
сферы
длина
ребра
один из четырех
прямых углов
одна из четырех
равных сторон
1
y
x
2
1 32 40
B
A C
5
3
4
6

4. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20
Инструменты, используемые
в геометрии
Инструменты необходимы для проведения точных
измерений и изображения геометрических фигур.
Основными инструментами являются масштабная
линейка, циркуль и транспортир. Линейку используют
для проведения прямых линий и измерения их длин.
Циркулем рисуют окружность или ее часть, называ-
емую дугой окружности. Транспортир используется
для измерения и рисования углов.
Использование циркуля
Инструмент для рисования окружностей и дуг окружнос-
тей — циркуль состоит из двух ножек, исходящих из обще-
го начала. Зафиксируйте на бумаге иглу (на одной из но-
жек) и поворачивайте карандаш (закрепленный на другой
ножке) вокруг нее. Эта точка будет центром окружности.
6 І Геометрия
Инструменты в геометрии
ДЛЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР И ИЗМЕРЕНИЯ
ИХ ПАРАМЕТРОВ ПРИМЕНЯЮТСЯ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ.
Нарисуйте линию и поставьте точки
по краям — одна из них будет центром
дуги окружности, а другая будет распо-
лагаться на окружности.
Установите расстояние между нож-
ками циркуля, равное длине линии —
радиусу окружности. Зафиксируйте
иглу в одной из точек и нарисуйте
первую дугу.
Нарисуйте вторую дугу, установив иглу
в другую точку. Точка пересечения двух
дуг находится на равном расстоянии
от А и В.
Cмотрте также:
Углы 8—9
Черчение 34—37
Круг 62—63
Установите по линейке
расстояние между ножками,
равное заданному радиусу.
Зафиксируйте иглу и пово-
рачивайте карандаш вокруг
центра.
фиксатор для
карандаша
чтобы нарисовать
окружность или
дугу, используется
карандаш
грифель
карандаша
рисует
окружность
расстояние
между нож-
ками цир-
куля можно
подстроить
под величи-
ну радиуса
игла циркуля
Установите циркуль на
расстояние между двумя
точками.
Удерживая иглу в точке
центра, нарисуйте окруж-
ность.
Рисование окружности известного радиуса
Задайте расстояние между ножками циркуля, соответствующее
нужному значению радиуса, и нарисуйте окружность.
Рисование окружности в случае, когда заданы ее центр
и одна точка на ней
Зафиксируйте иглу циркуля в точке, которая будет являться цент-
ром окружности. Отодвиньте другую ножку циркуля до известной
точки на будущей окружности. Нарисуйте окружность.
Рисование дуг окружностей
Иногда требуется нарисовать только часть
окружности — дугу. Дуги часто используются
при рисовании других, более сложных фигур.
измерьте
радиус при
помощи
линейки
вращайте карандаш
вокруг иглы
радиус
нарисуйте
окружность
радиус
центр
точка на
окружности
нарисуйте
карандашом
дугу
A
точка на окружности B
центр
A
B
радиус
A
B
зафиксируйте
иглу циркуля
точка пересечения
дуг находится на
одинаковом расстоянии
от точек А и B
теперь игла циркуля
зафиксирована
в другой точке

5. 181716151413121110987654321 19 20
Использование линейки
Линейку можно использовать для измерения длин
прямых линий и расстояния между двумя точками.
Кроме того, линейка необходима для задания требу-
емого расстояния между ножками циркуля.
Другие инструменты
В геометрии могут оказаться полезными и другие
инструменты.
Использование транспортира
Транспортир используется для измерения и рисова-
ния углов. Обычно он изготовляется из прозрачной
пластмассы. При измерении углов всегда пользуй-
тесь шкалой, начинающейся с нуля.
Инструменты в геометрии І 7
43210
Угольник
Угольник выглядит как пря-
моугольный треугольник и
используется для рисования
параллельных линий. Суще-
ствует два вида угольников:
один с внутренними углами
90°, 45° и 45°, другой с углами
90°, 60° и 30°.
Калькулятор
Калькулятор предоставляет
дополнительные возмож-
ности для геометрических
вычислений. Например,
такие функции, как синус,
используются для нахож-
дения неизвестных углов
треугольника.
Измерение длин
линий
Используйте линейку для
измерения длин прямых
линий или расстояния
между двумя заданными
точками.
внутренняя шкала
используется при
измерении острых
углов
внешняя шкала
используется при
измерении тупых
углов
Измерение углов
Используйте транспортир для
измерения любого угла, обра-
зованного двумя встретивши-
мися в одной точке прямыми.
Рисование углов
Если величина угла известна,
используйте транспортир,
чтобы точно его отмерить.
В случае необходимости
продолжите прямые.
Нарисуйте прямую и по-
ставьте на ней точку.
Зафиксируйте транспортир
в вершине угла и измерьте
угол, отсчитывая от нуля.
Зафиксируйте транспортир
на прямой. Отсчитывайте зна-
чения градусов от нуля.
Другая шкала используется
для измерений внешнего угла.
Проведите через две точки
линию и обозначьте угол.
A B
Рисование прямых
Линейка используется
для проведения прямых
линий между двумя
точками.
линия АВ
43210
прямая линия
43210
Применение циркуля
Используйте линейку для
измерения и фиксации
необходимого рассто-
яния между ножками
циркуля.
грифель каран-
даша указывает
на требуемую
длину
установите нужное
расстояние между
ножками циркуля
75°
010
20
30
40
50
60
70 80 90 100 110 120
130
140
150
160170180
180170160150
140
130
120 110 100 80 70
60
50
40
30
20
100

6. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20
8 І Геометрия
Углы
УГОЛ ОБРАЗУЕТСЯ В ТОЧКЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПРЯМЫХ.
Углы показывают, насколько был повернут один из лучей, образующих
угол, относительно второго луча. Этот поворот измеряется в градусах,
обозначаемых символом °.
Измерение углов
Величина угла — это величина пово-
рота. Один полный оборот образует
окружность и соответствует 360°.
Полный оборот
Угол, отвечающий полному
обороту, равен 360°. Такой
поворот совмещает обе
стороны угла в один луч.
Пол-оборота
Угол, отвечающий полови-
не оборота, равен 180°. Его
стороны образуют прямую.
Такой угол называют плос-
ким или развернутым.
Четверть оборота
Угол в четверть оборота
равен 90°. Две его стороны
перпендикулярны (имеют
вид ). Этот угол называют
прямым.
Одна восьмая оборота
Угол в одну восьмую пол-
ного оборота равен 45°.
Это половина прямого
угла, а восемь таких углов
дают один полный оборот.
cмотри также
Инструменты в геометрии
6—7
Прямые линии 10—11
Азимут 32—33
360° 180° 90° 45°
180°
360°
90°
45°
а знак угла
линия,
повернутая на 45°
против часовой
стрелки
вершина
угла
Части угла
Пространство между этими двумя
прямыми есть угол. Обычно его
именуют буквой, а значение дают
в градусах. Для обозначения угла
используют символ ∠.
Поворот
В этом примере поворот производит-
ся против часовой стрелки, но он мо-
жет быть осуществлен и по часовой
стрелке.
центр
вращения
буква
обозначает
угол
две
стороны
угла
полный
поворот
пол-оборота
окружности
четверть
оборота
прямая
линия
одна восьмая
оборота

7. 181716151413121110987654321 19 20
Углы І 9
Типы углов
Существуют четыре важнейших типа углов, пока-
занные ниже. Их названия зависят от величины.
Острый угол
Этот угол меньше 90°.
Прямой угол
Прямой угол равен 90°.
Тупой угол
Этот угол больше 90°,
но меньше 180°.
Имена углов
Углы могут иметь собственные имена, а также имена,
отражающие их характеристики.
Углы на прямой линии
Углы на прямой линии образуют половину полно-
го оборота, следовательно, их сумма равна 180°.
В этом примере сумма четырех прилежащих углов
дает 180°, т. е. прямую линию.
Углы из одной точки
Углы, откладываемые от одной точки, или верши-
ны, дают один полный оборот, или 360°. В этом
примере сумма пяти прилежащих углов, отложен-
ных от одной вершины, равна 360°.
Один угол, три имени
Этот угол можно обозначить как а,
как ∠ABC или ∠CBA.
Дополнительные до 90° углы
Два любых угла, сумма которых дает
угол 90°, являются дополнительными
до 90°.
Дополнительные до 180° углы
Два любых угла, сумма которых дает
угол 180°, являются дополнительны-
ми до 180°.
a + d + c + d = 180°
20° + 40° + 90° + 30° = 180°
a + d + c + d + e = 360°
60° + 70° + 90° + 60° + 80° = 360°
b = 40°
a = 20°
c = 90°
d = 30°
b = 70°
c = 90°
d = 60°
e = 80°
a = 60°
все четыре угла
вместе дают
половину полного
оборота
точка или
вершина
углов
прямая
линия
55° 90° 120° 210°
Угол отражения
Угол отражения всегда
больше 180°.
поворот на 55°
поворот на 90° поворот на 120° угол больше 180°
180°
знак
прямого
угла
120°
90° поворот на 60°
у угла может быть
три имени
B C
A
a
90°90°
90°
30°60°
поворот
на 30°
60°
один угол из пары
дополнительных
до 180° углов
прямая
линия
другой угол
из пары
дополнительных
до 180° углов

8. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20
Точки, прямые и плоскости
Наиболее фундаментальные объекты в геометрии —
точки, прямые и плоскости. Точка задает определенное
положение и не имеет ширины, высоты или длины.
Прямая является одномерной и имеет бесконечную
длину в двух противоположных направлениях. Плос-
кость — двумерная ровная поверхность, простирающа-
яся во всех направлениях.
Набор прямых
Две прямые на одной поверхности
или плоскости могут либо пересе-
каться в одной точке, либо быть
параллельными. Если на протяже-
нии всей длины прямых расстояние
между ними одинаковое, то они не
пересекаются и являются параллель-
ными.
Точки
Точка используется для обозначения
точного местоположения. Обычно ее
обозначают заглавной буквой.
10 І Геометрия
подробнее
ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ
Параллелограмм — это гео-
метрическая фигура с четырьмя
сторонами, или четырехугольник,
в котором противолежащие сто-
роны являются попарно парал-
лельными и имеют одну длину.
Прямые линии
ПРЯМУЮ ЛИНИЮ ЧАСТО НАЗЫВАЮТ ПРОСТО ПРЯМОЙ.
ЭТО ВСЕГДА КРАТЧАЙШЕЕ РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ
ТОЧКАМИ НА ПЛОСКОСТИ ИЛИ В ПРОСТРАНСТВЕ.
Прямые
Прямая линия со стрелками означает,
что линия продолжается до бесконеч-
ности в обоих направлениях. Ее можно
обозначить посредством любых двух
точек, через которые она проходит, —
в данном случае это прямая АВ.
Отрезки
Отрезок имеет фиксированную длину,
т. е. на его концах находятся точки, а
не стрелки. Отрезки обозначают по их
конечным точкам — в данном случае
это отрезок CD.
Плоскости
Плоскость чаще всего представлена
двумерной фигурой и обозначается
заглавной буквой. Границы фигуры
могут быть заданы явно, но сама плос-
кость распространяется бесконечно
по всем направлениям.
Параллельные стороны
Стороны AB и DC параллельны,
так же, как и стороны BC и AD.
Стороны AB и BC, а также AD и CD
не являются параллельными — это
показано разным количеством
черточек на них.
Параллельные прямые
Параллельными называют две и более
прямых, которые никогда не пересекаются.
Для обозначения параллельных прямых
используют одинаковые стрелки.
Поперечная
Любая прямая, пересекающая две и более
других прямых, каждую в различных точ-
ках, называется поперечной.
Смотрите также:
Что такое геометрия?
4—5
Инструменты в геометрии
6—7
Черчение 34—37
символ
для обозначения
параллельных прямых
Непараллельные прямые
Расстояние между непараллельными
прямыми не является одинаковым на
протяжении их длин; если их продол-
жить, то они обязательно пересекутся
в какой-нибудь точке.
А
В С
D
А
В С
А B C D
A
эти точки находятся
на прямой
стрелки означают, что
прямая продолжается
бесконечно
точки на концах прямой
показывают, что это отрезок,
т. е. прямая линия имеет
фиксированную длину
поперечная
прямая
поперечная линия
пересекает обе прямые

9. 181716151413121110987654321 19 20
Углы и параллельные прямые
Углы могут быть объединены и поименованы
в зависимости от того, как они относятся к пря-
мым. Когда параллельные прямые пересекает по-
перечная, она образует пары равных по величине
углов — каждая пара обозначается по-разному.
Проведение параллельной прямой
Чтобы нарисовать прямую, которая параллельна
другой прямой, нам понадобятся карандаш, линейка
и транспортир.
Соответствующие углы
Углы в одном направлении, образованные попе-
речной, пересекающий параллельные прямые,
называются соответствующими. Они равны друг
другу.
Вертикальные углы
Когда пересекаются две прямые, то
с противоположных сторон от точки
пересечения образуются равные по
величине углы. Такие углы называются
вертикальными.
Противолежащие углы
Противолежащие углы образуются с двух сторон
от поперечной, пересекающей параллельные
прямые. Эти углы равны.
Прямые линии І 11
Проведите прямую с помощью
линейки. Поставьте точку — это будет
расстояние, на котором наша прямая
пройдет от первоначальной.
Проведите линию через точку и
первоначальную прямую. Это будет
поперечная. Измерьте угол между
двумя прямыми.
Отмерьте такой же угол от попереч-
ной. Проведите с помощью линейки
новую прямую через точку. Эта прямая
параллельна изначальной.
А В
С D
b
d
f
a
c
e
gh
углы с одной дугой на этом
чертеже являются равными
углы с двумя дугами на
этом чертеже являются
равными
cтрелки
показывают, что
прямые AB и CD
параллельны
поперечная пересекает
параллельные прямые
Обозначение углов
Прямые AB и CD параллельны.
Углы, образованные при их пересе-
чении поперечной прямой, обозна-
чаются маленькими буквами.
a
e
b
f
b = f a = e
c
f
d
e
d = e c = f
c
b = c
b
зафиксируйте
точку, через
которую пройдет
вторая прямая
измерьте угол между
первоначальной
прямой и прямой,
проходящей через
точку и эту прямую
эти углы равны

10. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20
Зеркальная симметрия
Плоская (двумерная) фигура обладает зеркальной симметрией,
если каждая ее половина с любой стороны от проведенной через нее
биссектрисы является отражением другой половины.
Плоскости симметрии
Трехмерные фигуры можно разделить «стенами», или плоскостями.
Эти фигуры обладают зеркальной симметрией, если две их стороны,
разделенные плоскостью, являются зеркальным отражением друг друга.
12 І Геометрия
Симметрия
СУЩЕСТВУЕТ ДВА ВИДА СИММЕТРИИ — ЗЕРКАЛЬНАЯ
И ВРАЩАТЕЛЬНАЯ.
Фигура обладает симметрией, если можно провести линию, которая делит
фигуру на две равные части; таких линий может быть несколько.
Смотрите также:
Прямые линии 10—11
Вращения 24—25
Отражения 26—27
Линии симметрии
Это линии симметрии для некоторой плоской двумерной фигуры.
Окружности обладают бесконечным числом линий симметрий.
Равнобедренный треугольник
Эта фигура симметрична относи-
тельно центральной линии — сторо-
ны и углы с двух сторон от нее равны
друг другу, а прямая пересекает
основание треугольника в середине
под прямым углом.
Равносторонний треугольник
В равностороннем треугольнике
линии симметрии проходят через
середины каждой из его сторон,
а не только основания.
Прямоугольная пирамида
Пирамиду, в основании которой лежит
прямоугольник, а стороны являются
треугольными, можно разбить на зер-
кальные части двумя способами.
Прямоугольный параллепипед
Прямоугольный параллепипед
образован тремя парами прямо-
угольников и может быть разделен
на симметричные части тремя
способами.
равнобедренный
треугольник
равносторонний
треугольник
равносторонние
треугольники имеют
три линии симметрии
равнобедренный треугольник
имеет одну линию симметрии,
проходящую через середину
основания
линии
симметрии
прямоугольника
линии
симметрии
квадрата
линии симметрии
правильного
пятиугольника
любая прямая линия, проведенная
через центр круга, является линией
его симметрии
1
2
1 2
3
4
1
2
3
4
5
прямоугольная пирамида обладает
двумя плоскостями симметрии
у прямоугольного
параллепипеда
три плоскости симметрии
1 2
1 2
3

11. 181716151413121110987654321 19 20
Вращательная симметрия
Двумерная геометрическая фигура обладает вращательной сим-
метрией, если она не изменяется при повороте вокруг некоторой
точки, называемой центром вращения. Количество способов, ко-
торыми ее можно таким образом повернуть, называется порядком
вращательной симметрии.
Оси симметрии
Помимо единственной точки в качестве центра вращения трех-
мерные фигуры можно вращать вокруг прямой, называемой осью
симметрии. Фигура обладает вращательной симметрией, если при
таком вращении она остается неизменной.
Равносторонний треугольник
Равносторонний треугольник обла-
дает вращательной симметрией тре-
тьего порядка: его можно повернуть
тремя способами, чтобы он остался
самим собой.
Прямоугольная пирамида
Прямоугольную пирамиду можно
вращать двумя способами вокруг
ее оси.
Цилиндр
Цилиндр можно вращать бесконечным
числом способов вокруг его верти-
кальной оси.
Симметрия І 13
Квадрат
Квадрат обладает вращательной сим-
метрией четвертого порядка: при вра-
щении вокруг его центра он останется
таким же в четырех случаях.
Куб
Куб можно вращать двумя спо-
собами вокруг любой из трех его
осей.
прямоугольная
пирамида обладает
одной осью
вращательной
симметрии
цилиндр имеет
одну вертикальную
ось вращательной
симметрии
куб обладает
тремя осями
вращательной
симметрии
1 2 3 4
1 2 3
центр вращения
направление
вращения
центр
вращения
направление
вращения

12. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20
Знакомство с координатами
Координаты на плоскости задаются парой чисел или
букв (возможно сочетание буквы и цифры). Они всегда
записываются в скобках и разделяются точкой
с запятой. Важен порядок чтения и записи координат.
В этом примере запись (Д; 1) означает четыре клетки
или квадрата направо (по горизонтали) и одну клетку
вниз или, в других случаях, вверх (по вертикали).
14 І Геометрия
Координаты
КООРДИНАТЫ ЗАДАЮТ ПОЛОЖЕНИЕ МЕСТА
ИЛИ ТОЧКИ НА КАРТЕ ИЛИ ГРАФИКЕ.
Смотрите также:
Векторы 18—21
Карта города
Координатная сетка дает нам в руки инструмент для опре-
деления местоположения на карте. Каждая клетка задается
двумя координатами. Местоположение задается сочета-
нием горизонтальной и вертикальной координат. На этой
карте города горизонтальными координатами являются
буквы, а вертикальными — числа. В других картах могут
использоваться только числа.
1
2
3
4
5
6
7
А Б В Г Д Е Ж З И К
на этой карте числа
используются для задания
координат по вертикали
буквы используются для задания
координат по горизонтали
торговый
центр
развлекательный
центр кинотеатр
мэрия
больница
ВЫСОКАЯНА
ГОСПИТАЛЬНЫЙПРОЕЗД
пожарная часть
ЛИПОВАЯАЛЛЕЯ
БЕРЕЗОВАЯАЛЛЕЯ
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПРОСПЕКТ

13. 181716151413121110987654321 19 20
Чтение карты
Первой всегда записывается координата по го-
ризонтали, а второй — по вертикали. На пред-
ставленной ниже карте для задания координат
используются буква и число.
Использование координат
Любое место на этой карте можно найти при по-
мощи координат. При чтении карты помните, что
сначала следует читать вдоль (по горизонтали),
а затем вниз (по вертикали).
Координаты І 15
Торговый центр
Зная координаты (Г; 3), определите место-
положение торгового центра. Сначала най-
дите Г по горизонтали, затем 3 по вертикали.
Кинотеатр
Найдите местоположение кинотеатра, если
известно, что его координаты (Е; 1). Начните
с клетки А и передвиньтесь на 5 клеток
вправо. Затем передвиньтесь на одну клетку
вниз.
Почта
Координаты почты (М; 1). Найдите горизон-
тальную координату М, затем опуститесь
на 1 клетку вниз.
Мэрия
Найдите на карте мэрию по ее координатам
(Ж; 4). От клетки А передвиньтесь на 6 клеток
вправо, а затем опуститесь на 4 клетки вниз.
Развлекательный центр
По заданным координатам (В; 1) опреде-
лите местоположение развлекательного
центра. Сначала найдите В по горизонтали,
а затем спуститесь на 1 клетку вниз.
Библиотека
Координаты библиотеки (О; 3). Сначала
найдите О, затем опуститесь вниз на 3
клетки и найдете библиотеку.
Больница
Больницу можно найти по ее координатам
(З; 6). Чтобы найти координату З по гори-
зонтали, двигайтесь на 7 клеток вправо.
Затем опускайтесь на 6 клеток вниз и най-
дите координату 6 по вертикали.
Пожарная часть
Найдите пожарную часть по координатам
(Б; 4). Двигайтесь вправо до Б, затем
на 4 клетки вниз.
Школа
Координаты школы (О; 4). Найдите сначала
О, затем опуститесь вниз на 4 клетки.
К Л М Н О П
двигайтесь слева направо
для нахождения первой
координаты
двигайтесь сверху вниз
для нахождения второй
координаты
01
библиотека
почта
АБЕРЕЖНАЯ
школа
больница

14. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20
Координаты графиков
Координаты используются для задания точек на гра-
фиках. В этих случаях используются две координат-
ные оси — горизонтальная ось X и вертикальная ось Y.
Координаты точки записываются в соответствии с ее
положением сначала на оси X, а затем на оси Y: (x; y).
Изображение координат
Координаты изображаются на координатной
сетке. Чтобы нарисовать точку с данными коор-
динатами, сначала определите ее положение
по оси X, а затем двигайтесь вверх или вниз
до нужного значения по оси Y.
16 І Геометрия
Чтобы поставить точку, посмотрите, какая у нее ко-
ордината х (первое число) и найдите это число на оси
X. Затем двигайтесь вверх или вниз до координаты у
(второе число).
Нарисуйте тем же способом каждую точку. В случае
отрицательных значений координат процедура та же самая,
просто для координаты х нужно двигаться влево, а не вправо,
а для координаты у — вниз, а не вверх.
Четыре квадранта
Координаты измеряются на осях,
которые пересекаются в точке, назы-
ваемой началом координат. Такие оси
задают четыре квадранта. Положи-
тельные значения на осях находятся
сверху-справа от начала координат,
отрицательные — слева-снизу.
Пусть имеется четыре набора координат. В каждом из них
первым указано значение х, вторым — значение y. Нанесите
эти точки на координатную сетку.
Нарисуйте на бумаге в клеточку пересекающиеся гори-
зонтальную и вертикальную линии — это будут оси X и Y
соответственно. Проставьте на осях с обеих сторон от на-
чала координат числа — положительные и отрицательные.
Координаты точки
Координаты задают положение
точки на каждой оси. Первое число
соответствует положению по оси X,
второе — по оси Y.
12
3 4квадрант
начало
координат
(2;1)
координата у —
положение точки
на вертикальной
оси
координата х — положение
точки на горизонтальной оси
координаты всегда
заключаются
в скобки
A координата у точки А
1 20 3 4−3 −2 −1
1
2
3
−3
−2
−1
x
y
положительные
значения оси X
лежат справа
от начала координат
1 20 3 4−3 −2 −1
1
2
3
−3
−2
−1
x
y
A
1 20 3 4−3 −2 −1
1
2
3
−3
−2
−1
x
y
A = (2; 2) B = (−1; −3)
C = (1; −1) D = (−2; 1)
отрицательные значения
оси Y лежат ниже начала
координат
начало координат
(0; 0) обозначается
просто 0
положительные
значения оси
Y находятся
выше начала
координат
отрицательные
значения оси
X находятся
слева от начала
координат
координата х точки А
D
B
C
точка
с координатами
(2; 2)
у точки С отрицательная
координата у
у точки D
координата х
отрицательная
обе координаты
точки B
отрицательные

15. 181716151413121110987654321 19 20
Уравнение прямой
Прямую на координатной сетке можно представить уравнением.
Например, на прямой, заданной уравнением у = х + 1, любая
точка имеет такую координату у, которая больше соответствующей
координаты х на 1.
Карта мира
Координаты используются для задания местоположения на по-
верхности Земли при помощи параллелей и меридианов. Метод
работает так же, как и в случае осей X и Y на графике. Началом
отсчета является точка, в которой Гринвичский меридиан (нулевой
меридиан) пересекает экватор (нулевая параллель).
Координаты І 17
Уравнение прямой можно найти, если
известно всего несколько координат. Эта
прямая проходит через точки с координа-
тами (−1; 0), (0; 1) и (1; 2).
Графиком уравнения является прямая, проходящая через все
точки, в которых координата у на 1 больше координаты х (у = х + 1).
Это значит, что прямую можно использовать для нахождения и дру-
гих координат, удовлетворяющих данному уравнению.
Меридианы идут от Северного полюса
к Южному. Параллели пересекают их
под прямым углом. Началом отсчета
является точка, в которой экватор (ось
X) пересекает Гринвичский меридиан
(ось Y).
Координаты точки, например A, нахо-
дятся в соответствии с ее удалением
от Гринвичского меридиана на восток
и от экватора на север.
Здесь показано, как выглядит поверх-
ность Земли на карте. Параллели
и меридианы работают так же, как
и оси, — вертикальные линии соответ-
ствуют меридианам, а горизонтальные —
параллелям.
Северный полюс
y = x + 1
координата хкоордината у
Северный полюс
градусы на север
(параллель)
Южный полюс
Северный
полюс
изогнутые
линии
спрямляются на
прямоугольной
координатной
сетке
экватор
меридиан
градусы
на восток
(меридиан)
точку A можно
так же показать
на карте
Южный полюс Южный полюс
Гринвичский
меридиан
экватор
это начало
отсчета
на север от
экватора
параллели
аналогичны
оси Х
на восток от
Гринвичского
меридиана
P
меридианы
аналогичны оси Y
1 20 3 4−3 −2 −1
1
2
3
−3
−2
−1
x
Y
все координаты
находятся на
прямой линии
1 20 3 4−3 −2 −1
1
2
3
−3
−2
−1
x
Y прямая
продолжается
дальше

16. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20
Что такое вектор?
Вектор — это расстояние в определен-
ном направлении. В этом примере путь
пловца (гипотенуза треугольника) яв-
ляется вектором. Две другие стороны
треугольника — расстояние по гори-
зонтали от точки старта до береговой
линии и расстояние вдоль береговой
линии «вниз» от точки, в которую пло-
вец направлялся изначально, до точки,
в которую он приплыл.
Запись векторов
Графически вектор изображается
прямой линией со стрелкой, которые
задают, соответственно, длину векто-
ра и его направление. Существует три
различных способа записи векторов
при помощи букв и чисел.
18 І Геометрия
Векторы
ВЕКТОР — ЭТО ОТРЕЗОК ПРЯМОЙ, У КОТОРОГО ЕСТЬ РАЗМЕР
(АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА) И НАПРАВЛЕНИЕ.
Вектор — это способ представить дистанцию в определенном направлении.
Его часто изображают в виде прямой со стрелкой на конце. Длина прямой
является абсолютной величиной вектора, а стрелка задает направление.
Вектор пути пловца
Человек намеревается переплыть на противо-
положный берег реки шириной 30 м. По мере
того как он плывет, его сносит течение, и он
приплывает на 20 м ниже по течению. Его путь
является гипотенузой треугольника с катетами
30 м поперек реки и 20 м вниз вдоль берега.
→
v — общепринятый символ
для обозначения вектора.
Он используется даже в слу-
чаях, когда размер вектора
неизвестен.
Другой способ представле-
ния вектора — записать его
начальную и конечную точки
со стрелкой над ними.
Размер и направление векто-
ра можно показать, записав
число единиц по горизонтали
над числом единиц
по вертикали.
Смотрите также:
Координаты 14—17
Параллельный перенос
22—23
Теорема Пифагора 52—53
предполагаемое
направление
движения
горизонтальное
направление
конечная точка
вертикальное
направление
точка старта
реальное
направление
движения
вектор определяется
двумя другими
прямыми
точка,
в которую
должен
приплыть
пловец
направление
течения
→
ab
( 6
4
)
a
b
6 единиц
4 единицы
длина прямой — это
размер вектора
стрелка указывает
направление вектора
конечная точка
вектора
число единиц по
горизонтали
число единиц
по вертикали
начальная точка
вектора
→
v
→
→
v

17. 181716151413121110987654321 19 20
Направление векторов
Направление вектора определяется в зависимости
от того, является ли число единиц по горизонтали
и вертикали положительным или отрицательным.
Положительное число по горизонтали означает
Равные векторы
Векторы могут быть равными, даже если они находят-
ся в разных местах координатной сетки, но их числа
по горизонтали и вертикали равны друг другу.
Модуль вектора
В случае диагональных век-
торов, чтобы найти длину
по известным вертикальной
(а) и горизонтальной (b) про-
екциям, нужно применить
теорему Пифагора.
движение вправо, отрицательное по горизон-
тали — движение влево. Положительное число
по вертикали означает движение вверх, отрица-
тельное — движение вниз.
Подставьте в формулу верти-
кальное и горизонтальное значе-
ния вектора.
Найдите значения в квадрате,
умножив каждое из чисел на себя.
Сложите возведенные в квадрат
значения
→
a и
→
b. Их сумма равна
→
c2
(квадрат модуля вектора).
Извлеките квадратный корень
из суммы (45) при помощи каль-
кулятора.
Полученное значение и есть ис-
комый модуль (или длина) вектора.
Векторы І 19
вектор образует
самую длинную
сторону прямо-
угольного тре-
угольника, т. е.
→
с в формуле
3
−6
конец
начало
вектор указывает
вверх и влево
−3
3
Движение влево-вверх
Такому движению соответствует
вектор с отрицательным числом
по горизонтали и положительным
по вертикали.
Движение влево-вниз
Этому движению соответс-
твует вектор с отрицательны-
ми числами по горизонтали
и вертикали.
( −3
3 )
отрицательное число по
горизонтали означает
движение влево
положительное число
по вертикали означает
движение вверх
( −3
−3 )
отрицательное число по
горизонтали означает
движение влево
отрицательное число
по вертикали означает
движение вниз
конец
вектор указывает
вниз и влево
−3
−3
начало
Движение вправо-вверх
Этому движению соответс-
твует вектор с положительны-
ми числами по горизонтали
и вертикали.
( 3
3 )
положительное число
по горизонтали
означает движение
вправо
положительное число
по вертикали означает
движение вверх
конец
вектор указывает
вверх и вправо
3
3
начало
начало
конец
вектор указывает
вниз и вправо
3
−3
Движение вправо-вниз
Этому движению соответствует
вектор с положительным чис-
лом по горизонтали и отрица-
тельным по вертикали.
( 3
−3 )
положительное число
по горизонтали
означает движение
вправо
отрицательное число
по вертикали означает
движение вниз
Равные векторы
Эти два вектора равны друг дру-
гу, потому что они имеют одно
направление и одинаковые
длины соответствующих сторон
треугольников.
Равные векторы
Два этих вектора равны, потому
что они имеют одно направ-
ление и одинаковые длины
соответствующих сторон тре-
угольников.
( 4
2 )
вектор, записанный
в виде числа по
горизонтали над числом
по вертикали
( −1
−5 )
числовая форма записи
обоих векторов
4
2
→
a2
+
→
b2
=
→
c2
−62
+ 32
=
→
c2
36 + 9 =
→
c2
45 =
→
c2
→
c = √4
−
5
−
→
c = 6,7
4
2
−1
−5
−1
−5
векторы
равны
числа по горизонтали
равны и имеют один знак
числа по
вертикали
равны
векторы
равны
числа по
горизонтали равны
и имеют один знак
числа по
вертикали равны
→
а в формуле
→
b в формуле
формула теоремы
Пифагора
→
c2
— квадрат
вектора
с — длина вектора
длина
вектора

18. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20
Сложение и вычитание векторов
Векторы можно складывать и вычитать двумя способами. Первый состоит
в складывании значений горизонтальной и вертикальной проекций. Вто-
рой — в параллельном перемещении одного из векторов так, чтобы его конец
совпал с началом другого вектора. В результате образуется новый вектор.
Умножение векторов
Векторы можно умножать на число, но не на другие векторы. Направление
вектора остается тем же, если он умножается на положительное число, и меня-
ется на противоположное при умножении на отрицательное число. Умножение
можно производить при помощи рисунка или оперируя числовыми проекциями.
Вектор
→
a
Горизонтальная проекция вектора
→
a равна −4, а вертикальная +2. Это
можно показать при помощи запи-
санного или нарисованного вектора,
как показано ниже.
Вектор
→
a умножается на 2
Чтобы умножить вектор
→
a на 2, умножьте
на 2 его горизонтальную и вертикальную
проекции. Для умножения на 2 при по-
мощи рисунка просто продолжите его на
расстояние первоначальной длины.
Вектор
→
a умножается на − 1
2
Для умножения вектора
→
a на − 1
2
умножьте
каждую его проекцию на − 1
2
. Для умноже-
ния на рисунке, нарисуйте вектор в полови-
ну длины первоначального и направленный
в противоположную сторону.
20 І Геометрия
Сложение частей
Чтобы сложить два вектора численно, сло-
жите отдельно верхние числа (горизонталь-
ные проекции) и нижние (вертикальные).
первый
вектор
второй
вектор
3 + (−1) = 2
Вычитание при помощи рисунка
Нарисуйте первый вектор, затем
обращенный второй, начиная от конца
первого. Результатом вычитания бу-
дет вектор, идущий от начала первого
к концу второго.
( 3
2 ) + ( −1
2 ) = ( 2
4 )
( 3
2 ) − ( −1
2 ) = ( 4
0 )
Сложение
Векторы можно склады-
вать двумя способами.
Оба дают одинаковый
результат.
Вычитание
Векторы можно вычи-
тать двумя способами.
Оба приводят к одному и
тому же ответу.
2 + 2 = 4
Вычитание частей
Чтобы вычесть один вектор из другого, произведите
вычитание их вертикальных проекций, а затем сде-
лайте то же для горизонтальных проекций.
первый вектор,
из которого
вычитается
второй
второй вектор,
который
вычитается
из первого
3 − (−1) = 4
2 − 2 = 0
→
a = ( −4
2
)
горизонтальная
проекция
вертикальная
проекция 2 × 2 = 4 − 1
2
× 2 = −1
2
→
a = 2 × ( −4
2
) = ( −8
4
) − 1
–2
→
a = − 1
–2
× ( −4
2
) = ( +2
−1
)
2 × (−4) = −8вектор
→
a
конец
начало
нарисованный вектор
2
конец
начало
вектор 2
→
a в два раза
длиннее вектора
→
a
−8
4
вектор − 1
2
→
a направлен
в противоположную
сторону
2
−1
− 1
2
× (−4) = 2вектор
→
a
Сложение при помощи рисунка
Нарисуйте один из векторов, затем
нарисуйте второй так, чтобы его начало
совпало с концом предыдущего. В ре-
зультате получим новый вектор, иду-
щий от начала первого к концу второго.
конец
начало
второй
вектор (−1
2)
ответом яв-
ляется новый
вектор (2
4), иду-
щий от начала
первого к концу
второго
первый
вектор (3
2)
конец
ответом является вектор
(4
0), идущий от начала
первого в концу второго
для вычитания
векторов второй
вектор (−1
2) меня-
ем на противопо-
ложный (−
1
2)
первый
вектор (3
2)
начало

19. 181716151413121110987654321 19 20
Работа с векторами в геометрии
Векторы можно использовать для доказательства геометрических
утверждений. В этом примере векторы используются для доказательства
того, что прямая, проходящая через середины двух любых сторон тре-
угольника, параллельна третьей стороне и имеет половину ее длины.
−
→
a +
→
b
Векторы І 21
Сначала выберем две стороны треугольника ABC, в этом
примере
→
AB и
→
AC. Переобозначим эти стороны как векторы
→
a и
→
b.
→
BA есть вектор –
→
a , так как
→
BA противоположно
→
AB,
а
→
AC есть просто
→
b . Это значит, что вектор
→
BC есть –
→
a +
→
b.
Далее найдем середины выбранных нами сторон треуголь-
ника (
→
AB и
→
BC). Обозначим середину
→
AB точкой Р, а середину
→
AC точкой Q. Образовалось три новых вектора:
→
AP,
→
AQ и
→
PQ.
Длина
→
AP равна половине длины вектора
→
a , а длина
→
AQ равна
половине длины вектора
→
b .
Теперь воспользуемся векторами 1
2
→
a и 1
2
→
a для на-
хождения длины вектора
→
PQ.
→
PA есть вектор − 1
2
→
a , так
как он противоположен
→
AP, а про
→
AQ уже известно, что
это 1
2
→
b . Таким образом, вектор
→
PQ равен − 1
2
→
a + 1
2
→
b.
Векторы
→
PQ и
→
BC сонаправлены и параллельны. Это значит,
что прямая
→
PQ (проходящая через середины
→
AB и
→
AC) должна
быть параллельна прямой
→
BC. А длина вектора
→
PQ равна по-
ловине длины вектора
→
BC, значит, и длина отрезка
→
PQ должна
быть равна половине
→
BC. Что и требовалось доказать.
А
В
С
→
a
→
b
→
BC = −
→
a +
→
b
знак «минус» поставлен
потому, что
→
BA
противоположно
→
AB
вектор
→
BC
вектор
→
AB
переобозначен
через
→
a
вектор
→
BC можно
выразить и так
А
В
С
1
–2
→
a
1
–2
→
b
→
АP = 1
–2
→
АB = 1
–2
→
a
Р — середина
→
AB
→
АQ = 1
–2
→
АC = 1
–2
→
b
Q
P
Q — середина
→
ACвектор
→
AC
переобозначен через
→
b
А
В
С1
–2
→
a
→
PQ = − 1
–2
→
a + 1
–2
→
b
отрицательное, потому что
→
BA противоположно
→
AB
→
PQ = 1
–2
→
BC
Q
P −
→
a +
→
b
− 1
–2
→
a + 1
–2
→
b
→
BC есть −
→
a +
→
b ,значит
→
PQ
есть половина
→
BC
половина
→
BA половина
→
AC
А
В
СQ
P
−
→
a +
→
b
− 1
–2
→
a + 1
–2
→
a
⎫
вектор
→
PQ
→
BC и
→
PQ
параллельны
вектор
→
BC
− 1
–2
→
a
⎭
⎫
⎭

20. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20
Как работает параллельный перенос
При параллельном переносе геометрический объект просто перемещается
на новое место без поворотов и каких-либо других изменений, например его
размера или формы. В этом примере треугольник ABC переносится так, что его
отображением является треугольник A1
B1
C1
. Обозначим этот параллельный
перенос через Т1
. Затем треугольник A1
B1
C1
снова переносится, а его отобра-
жением становится треугольник A2
B2
C2
. Этот перенос обозначим Т2
.
22 І Геометрия
Смотрите также:
Координаты 14—17
Вектор 18—21
Вращения 24—25
Отражения 26—27
Преобразования подобия
28—29
Параллельный перенос
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС МЕНЯЕТ МЕСТОПОЛОЖЕНИЕ ФИГУРЫ.
Параллельный перенос — это вид отображения. В результате параллельного
переноса геометрический объект перемещается на новое место.
Перемещенный объект называется отображением и имеет те же размер
и форму, что и первоначальный. Параллельный перенос записывают
при помощи векторов.
Т1
перемещает треугольник
ABC на шесть единиц вправо
0
1
2
y
3
4
5
6
7
8
9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
10
A
изначальный треугольник ABC
до его отображения
B
C C1
B1
A1
A2
С2
каждая точка треугольника A2
B2
C2
находится на расстоянии шести единиц
вправо и двух единиц вверх от каждой
соответствующей точки треугольника
A1
B1
C1
каждая точка треугольника
A1
B1
C1
находится на расстоянии
шести единиц вправо от
соответствующей точки
заданного треугольника
T2
T1
15 x
Т2
перемещает треугольник A1
B1
C1
на шесть единиц вправо и две вверх
B2

21. 181716151413121110987654321 19 20
Запись параллельного переноса
Параллельный перенос записывается при помощи векторов. Верхнее число
показывает расстояние по горизонтали, на которое был перемещен объект,
а нижнее — расстояние по вертикали. Эти два числа записывают в скобках.
Каждый перенос можно пронумеровать, например Т1
, Т2
, Т3
, чтобы не запу-
таться в случае нескольких последовательных параллельных переносов.
подробнее
Направление переноса
Числа в векторе переноса могут быть как положитель-
ными, так и отрицательными в зависимости от того,
в каком направлении перемещается геометрическая
фигура. При переносе вправо-вверх эти числа положи-
тельны, а при переносе влево-вниз — отрицательны.
Параллельный перенос І 23
МОЗАИКА В ДЕЙСТВИИ
При помощи мозаики можно заполнить какую-либо
поверхность различными фигурами так, чтобы на
поверхности не осталось пробелов. Используя только
параллельный перенос (без применения вращения),
можно составить мозаику только из двух фигур —
квадрата и правильного шестиугольника. В случае
шестиугольника требуется шесть различных парал-
лельных переносов, а в случае квадрата — восемь.
Перенос Т1
При переносе треугольника ABC на место A1
B1
C1
каждая
его точка перемещается на шесть единиц по горизонтали,
а по вертикали не перемещается вообще. Вектор, соответ-
ствующий такому переносу, записан выше.
T1
T2
T3
T4
T5
T6
требуемые
параллельные
переносы
Шестиугольники
Каждый шестиугольник
с любой стороны от цент-
рального есть его отобра-
жение.
Перенос Т2
Чтобы перенести треугольник A1
B1
C1
на место A2
B2
C2
,
каждую его точку перемещаем на шесть единиц по гори-
зонтали, а затем на две единицы по вертикали. Вектор,
соответствующий такому переносу, записан выше.
T1
= ( 6
0
)
расстояние переноса
по горизонтали
расстояние переноса
по вертикали
номер параллельного
переноса
T6
T5
T7
T8
T1
T2 T3
T4
T1
= ( −3
−1
)
расстояние переноса
по горизонтали (влево)
переносим на
единицу вниз
Перенос Т2
В результате переноса Т1
прямоугольник перемещается
в новое положение A1
B1
C1
D1
. Это записывается в виде
вектора, в котором оба числа отрицательные.
расстояние переноса
по горизонтали (влево)
T2
= ( 6
2
)
расстояние переноса
по горизонтали
расстояние переноса
по вертикали
номер параллельного
переноса
Отрицательный перенос
Прямоугольник ABCD переносится вниз и влево, сле-
довательно, числа соответствующего этому переносу
вектора отрицательны.
y
1
1
2
2 3 4 5 x
A1
B1
C1D1
это перенос Т1
A1
B1
C1D1
переносим на три
единицы влево
первоначальная
фигура
Квадраты
Каждый квадрат с любой
стороны от центрального
есть его отображение.
требуемые
параллельные
переносы

22. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20
Свойства вращения
Вращение происходит вокруг фиксированной точ-
ки, называемой центром вращения, и измеряется
в углах. Любые две соответствующие точки на из-
начальной и повернутой фигурах будут находиться
на одном расстоянии от центра вращения. Центр
вращения может находиться внутри данной фигуры,
за ее пределами или на ее границе. Центр вращения
и угол поворота можно найти при помощи циркуля,
линейки и транспортира.
24 І Геометрия
Смотрите также:
Углы 8—9
Координаты 14—17
Параллельный перенос
22—23
Отражения 26—27
Преобразования подобия
28—29
Черчение 34—37
Вращения
ВРАЩЕНИЕ — ЭТО ВИД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ПРИ КОТОРОМ
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФИГУРА ПЕРЕМЕЩАЕТСЯ ВОКРУГ ЗАДАННОЙ
ТОЧКИ.
Точка, вокруг которой осуществляется вращение, называется точкой
вращения, а расстояние, на которое сдвигается фигура, — углом поворота.
эта точка находится на том
же расстоянии от центра
вращения, что и была вначале
направление
вращения
начальное положение
фигуры
Вращение вокруг точки
Этот прямоугольник поворачивается вокруг
точки, которая лежит за его пределами. Если
вращение происходит на 360°, то он возвра-
щается в свое исходное положение.
Вращение вокруг точки, находящейся внутри фигуры
Геометрическую фигуру можно повернуть вокруг точки,
находящейся внутри нее. Этот прямоугольник повернули
вокруг его центра. При повороте на 180° прямоугольник
совпадет с первоначальным.
Угол поворота
Угол поворота может быть как положительным, так и отри-
цательным. При положительном угле поворота происходит
вращение объекта по ходу часовой стрелки, а при отрица-
тельном — против часовой стрелки.
+ −
положительный
угол поворота
отрицательный
угол поворота
отображение — конечное
положение фигуры
угол поворота
по мере движения
фигуры расстояние
от центра вращения
остается тем же
центр
вращения
направление
вращения
угол поворота
центром
вращения
является
центр фигуры

23. 181716151413121110987654321 19 20
Осуществление вращения
Чтобы произвести вращение, необходимо, чтобы
были заданы геометрическая фигура, а также место-
положение центра вращения и угол поворота.
Нахождение угла поворота
и центра вращения
Если известны первоначальная фигура и ее ото-
бражение, то можно найти центр вращения
и угол поворота.
Вращения І 25
x60−4 −2 1
y
2 4
2
4
A C
B
Пусть заданы треугольник ABC (см. выше) и центр вра-
щения. Требуется повернуть ABC на −90°, т. е. на 90° против
часовой стрелки. Отображение окажется слева от оси Y.
Зафиксируем иглу циркуля в точке вращения и проведем
от точек A, B и C дуги против часовой стрелки (вращение про-
изводится на отрицательный угол). Расположив центр транс-
портира в центре вращения, отмерим от каждой вершины 90°.
Промаркируем точки A1
, B1
и C1
и соединим их, чтобы
получить отображение. Каждая точка нового треугольника
A1
B1
C1
была повернута на 90° против часовой стрелки отно-
сительно соответствующей точки на треугольнике ABC.
Треугольник A1
B1
C1
является отображением треугольника
ABC после вращения. Центр вращения и угол поворота
могут быть найдены, если провести срединные перпенди-
куляры к отрезкам A A1
, BB1
.
При помощи циркуля и линейки проведите срединные
перпендикуляры к отрезкам АА1
, BB1
. Эти перпендикуляры
пересекутся в определенной точке.
Центр вращения — точка пересечения двух срединных
перпендикуляров. Чтобы найти угол поворота, проведите
прямые от точек А и А1
к центру вращения и измерьте угол.
3 5−1−3−5−6
1
3
5 фигура вращения
Координаты этого
треугольника:
А = (1; 1)
(1 по оси X,
1 по оси Y)
B = (1; 5)
С = (3; 1)
центр вращения (0; 0)
x60−4 −2 1
y
2 4
2
4
C
B
3 5−1−3−5−6
5
нарисуем дугу из
каждой вершины
треугольника
угол поворота
x60−4 −2 1
y
2 4
2
4
A C
B
3 5−1−3−5−6
1
3
5 первоначально
заданный
треугольник
повернутый
на −90°
треугольник
A1
C1
B1
A1
C1
B1
1
3 отмерим
от каждой
вершины
угол 90°
B повернули
на −90°
A
C
B
исходный
треугольник
A
A1
C1
B1
отображение
треугольника
C
B
A
C1
B1
срединный
перпендикуляр
к отрезку BB1
делит его
пополам
срединный
перпендикуляр
к отрезку АА1
делит его
пополам
прямая, проведенная
через точки А и А1
прямой угол
A1
C
B
A
C1
B1
измерьте угол
поворота
центр вращения
A1

24. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20
Свойства отражения
Любая точка геометрической фигуры (например, А) и соответствующая
ей точка на отраженной фигуре (например, А1
) находятся на противопо-
ложных сторонах от оси отражения и на одинаковых от нее расстояни-
ях. Отраженная фигура есть зеркальное отображение данной фигуры,
а ее основание совпадает с осью отражения.
два зеркала
это одно из
двух отражений
первоначального
стеклышка
26 І Геометрия
Смотрите также:
Симметрия 12—13
Координаты 14—17
Параллельный перенос
22—23
Вращения 24—25
Преобразования подобия
28—29
Отражения
ОТРАЖЕНИЕ ПРЕОБРАЗУЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ОБЪЕКТ К ЕГО
ЗЕРКАЛЬНОМУ ОТОБРАЖЕНИЮ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ ОТРАЖЕНИЯ.
D1
есть отраженная точка,
соответствующая точке D; она
находится на том же расстоянии
от оси отражения, что и D
Отраженная гора
Гора с точками A, B, C, D и E на ней
обладает зеркальным отражением
с точками A1
, B1
, C1
, D1
и E1
.
окончательное
отражение,
формирующее
картинку
КАЛЕЙДОСКОПЫ
В калейдоскопе используются зеркала и цветные стеклышки
или бусинки. Картинка, которую мы видим в калейдоскопе,
является результатом нескольких отражений стеклышек.
подробнее
A
Простой калейдоскоп состоит из двух
расположенных под углом 90° друг к другу
зеркал и нескольких цветных бусин.
Бусины отражаются в двух зерка-
лах, образуя два отражения.
Каждое из этих двух отражений
отражается еще раз, давая еще
одно отражение.
B
D
C E
A1
B1
D1
C1
E1
точке D соответствует
отражение D1
Соответствующие друг другу точки на
заданной и отраженной фигурах находятся
на одинаковом расстоянии от оси отражения
ось
отражения
эти
расстояния
равны
гора, отраженная в воде озера

25. 181716151413121110987654321 19 20
Построение отражений
Для построения отражений геометрической фигуры необходимо задать положение
оси отражения и самой фигуры. Каждая точка отраженной фигуры будет находиться
на том же расстоянии от оси отражения, что и соответствующая точка первоначаль-
ной фигуры. В этом примере производится отражение треугольника ABC относитель-
но оси отражения y = x (т. е. каждая точка оси имеет равные координаты x и y).
x
Отражения І 27
Сначала нарисуем ось отражения. Поскольку y = x, то эта
прямая проходит через точки с координатами (0; 0), (1; 1),
(2; 2), (3; 3) и т. д. Теперь нарисуем фигуру, которую тре-
буется отразить — треугольник АВС с координатами (1; 0),
(2; 0) и (3; 2). В каждой паре координат первое число — это
значение х, а второе — значение у.
Теперь от каждой из вершин треугольника АВС проведем
прямые линии так, чтобы они пересекали ось отражения под
прямым углом (90°). Координаты вершин отраженного треу-
гольника будут лежать на этих прямых.
Теперь нужно измерить расстояние от вершин треуголь-
ника АВС до оси отражения и отмерить такое же расстояние
с другой стороны от оси. Обозначим каждую новую точку
соответствующей ей буквой с индексом, например A1
.
Наконец, соединим между собой точки A1
, B1
и C1
.
Каждая точка треугольника была зеркально отражена отно-
сительно оси отражения. Каждая точка исходного треуголь-
ника АВС находится на том же расстоянии от оси, что и соот-
ветствующая ей отраженная точка.
60
ось отражения
y = x
1 2 3
3
4
y
4 5
1
2
A B
C
треугольник АВС
x60
ось отражения
y = x
1 2 3
3
4
y
4 5
1
2
A B
C
прямая через точку С,
перпендикулярная оси
отражения
прямой угол
x60
ось отражения
1 2 3
3
4
y
4 5
1
2
A B
C
C1
B1
A1
отраженное
отображение
треугольника АВС —
это треугольник A1
B1
C1
треугольник АВС
x60 1 2 3
3
4
y
4 5
1
2
A B
C
C1
B1
A1
промаркируем точки,
находящиеся на таком
же расстоянии от оси
отражения
координаты точки
С (3; 2)

26. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20
Свойства преобразования подобия
Соотношение между сторонами заданной фигуры и ее
отображения однозначно определяется коэффициен-
том подобия. Например, если коэффициент подобия
равен 5, размеры отображения в 5 раз больше разме-
ров заданной фигуры.
28 І Геометрия
Смотрите также:
Параллельный перенос
22—23
Вращения 24—25
Отражения 26—27
Преобразования подобия
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ — ЭТО ТАКОЙ ВИД
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ПРИ КОТОРОМ СОХРАНЯЕТСЯ ФОРМА
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФИГУРЫ, НО ЕЕ РАЗМЕРЫ ИЗМЕНЯЮТСЯ.
Преобразование подобия можно осуществить через некоторую
фиксированную точку, называемую центром преобразования подобия.
Конечное отображение может быть больше или меньше исходной
фигуры. Изменение размеров определяется числом, которое называется
коэффициентом подобия.
центр
преобразования
подобия
Положительный коэффициент подобия
Если первоначально данная фигура и ее отображение нахо-
дятся с одной стороны от центра преобразования подобия,
то коэффициент подобия положителен, в данном случае +2.
Отрицательный коэффициент подобия
Если первоначально данная фигура и ее
отображение находятся с противоположных
сторон от центра преобразования подобия,
то коэффициент подобия отрицателен,
в данном случае −1,5.
B1
центр
преобразования
подобия
C1
A1
C
A
B
размеры отображения (треугольник)
в 1,5 раза меньше размеров
изначального треугольника
первоначально
данная фигура
(треугольник)коэффициент подобия −1,5
коэффициент подобия 2
C
A
B
D
E
F
C1
A1
B1
D1
E1
F1
первоначальная фигура
(правильный пятиугольник)
соответствующие углы
в первоначально данной
фигуре и ее отображении равны
размеры отображения
(правильный пятиугольник)
в два раза больше

27. 181716151413121110987654321 19 20
Изображение преобразования
подобия
Для изображения преобразования подобия
необходимо задать систему координат на листе
в клеточку или миллиметровке. В этом примере
требуется отобразить четырехугольник ABCD,
если известно, что центром преобразования
подобия является точка (0; 0), а коэффициент
подобия равен 2,5.
Преобразования подобия І 29
Нарисуйте многоугольник ABCD по известным координа-
там его вершин. Отметьте центр преобразования подобия
и проведите прямые линии от этой точки к вершинам
многоугольника.
Теперь найдите координаты A1
, B1
, C1
и D1
, умножив
на 2,5 (коэффициент подобия) расстояния по горизонтали
и вертикали от центра преобразования подобия до каждой
вершины многоугольника.
Зафиксируйте точки, соответствующие вершинам нового
многоугольника. Например, вершине B1
соответствует точка
с координатами (5; 7,5), а вершине C1
точка с координатами (10;
5). Обозначьте эти точки буквами с индексом: A1
, B1
, C1
и D1
.
Соедините между собой вершины нового многоугольни-
ка. Полученное отображение является четырехугольником,
размеры которого в 2,5 раза больше размеров первона-
чальной фигуры, но все соответствующие углы равны.
A1
= (1 × 2,5; 1 × 2,5) = (2,5; 2,5)
расстояние
по горизонтали
от центра
преобразования
подобия до
точки А
расстояние
по вертикали
от центра
преобразования
подобия до
точки А координата х
B1
= (2 × 2,5; 3 × 2,5) = (5; 7,5)
C1
= (4 × 2,5; 2 × 2,5) = (10; 5)
D1
= (4 × 2,5; 1 × 2,5) = (10; 2,5)
Это же правило следует применить ко всем точкам много-
угольника.
коэффициент подобия координата y
x0 1 2 6
6
8
y
8 10
2
4
A
3 4 5 7 9 11
1
3
5
7
9
C
B
D
A1
B1
C1
углы имеют те же
размеры, что и в
первоначальном
многоугольнике
новый многоугольник
в 2,5 раза больше
первоначального
D1
x0 1 2 6
6
8
y
8 10
2
4
A
3 4 5 7 9 11
1
3
5
7
9
C
B
D
B1
C1
координаты точки B1
(5; 7,5)
координаты точки
D1
(10; 2,5)
D1
x0 1 2 6
6
8
y
8 10
2
4
A
3 4 5 7 9 11
1
3
5
7
9
C
B
D
Координаты этого многоугольника:
A(1; 1), B(2; 3), C(4; 2), D(4; 1)
проведите прямые линии
через центр преобразования
подобия и вершины
многоугольника
координаты точки
C1
(10; 5)
координаты точки A1
(2,5; 2,5)
A1
центр преобразования подобия (0; 0)

28. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20
Выбор масштаба
Чтобы нарисовать точный план крупного объекта, например моста, необходимо пропор-
ционально уменьшить его размеры. Прежде всего выберите единицы масштабирования,
например 10 м в каждом сантиметре. Теперь можно записать масштаб в виде отношения.
Как произвести масштабирование
В этом примере требуется изобразить в масштабе
баскетбольную площадку. Ее длина 30 м, а ширина
15 м. В центре площадки расположен круг радиусом
1 м, а вверху и внизу — два полукруга радиусом 5 м.
Сделайте сначала черновой эскиз, выписав действи-
тельные размеры площадки. Затем проведите точное
масштабирование.
Нарисуйте грубый эскиз, выписав действитель-
ные размеры. Определите наибольший размер
(30 м). Выберите подходящий масштаб, оттал-
киваясь от наибольшего размера и размеров
имеющегося для рисунка места.
Выберите подходящий масштаб и преобразуйте его
к отношению, используя удобные единицы, например сан-
тиметры. Теперь приведите к сантиметрам действительные
размеры площадки. Используйте масштаб для определения
соответствующих размеров на рисунке.
Так как требуется уместить 30 м (длина большей
стороны площадки) в пространстве размером менее
10 см, выберем удобную шкалу:
Преобразуем согласно отношению 1 : 500. Теперь
можно провести необходимые измерения.
30 І Геометрия
1 см : 1000 см
Смотрите также:
Преобразования подобия
28—29
Круг 62—63
Единицы измерения 90
Масштабирование
МАСШТАБИРОВАНИЕ ПОЗВОЛЯЕТ ИЗОБРАЗИТЬ
УМЕНЬШЕННЫЙ ИЛИ УВЕЛИЧЕННЫЙ ОБЪЕКТ,
СОБЛЮДАЯ ПРОПОРЦИИ.
действительная длина
(в см) объекта
длина (в см) на
рисунке
Масштаб как отношение
Масштабирование 10 м до
1 см можно записать в виде
отношения. Поскольку в мет-
ре 100 см, то 10 × 100 см =
= 1000 см.
Масштабирование может быть сделано в сторону
уменьшения, как в географической карте, или в сторону
увеличения, как в случае схемы микрочипа.
запись отношения
1 см : 1000 см
длина площадки = 3000 см : 500 = 6 см
ширина площадки =1500 см : 500 = 3 см
радиус центрального круга = 100 см : 500 = 0,2 см
радиус полукруга = 500 см : 500 = 1 см
действительные размеры
баскетбольной площадки
приведены к сантиметрам для
упрощения вычислений
длина на
рисунке
масштаб
единицы измерения
на рисунке
единицы измерения
реальной площадки
60 м
квадраты на
миллиметровой
бумаге
соответствуют
сантиметрам
30 м
3 м
5 м
5 м
радиус
1 м