3. Κυριότερα Αριθμοσύμολα 1
Φυσικοί Αριθμοί
  { 0 ,1,2 ,3 , }   { 1,2 ,3 , }

Ακέραιοι Αριθμοί
  { 0 ,1,2 ,3 , }    { 1,2 ,3 , }
Ρητοί Αριθμοί
m  m 
   : m   ,n       : m   ,n   
 
n  n 

4. Κυριότερα Αριθμοσύμολα 2
Άρρητοι Αριθμοί
2 , 3 , 5 ,
Πραγματικοί Αριθμοί
    0 }
{
Μιγαδικοί Αριθμοί
   a  bi : a , b   , i 2  1
    { 0 }

5. Δυμάμεις 1
 n    
    
 
n         
 m n   m  n
 
m n
 m n
(  )n   n  n

6. Δυμάμεις 2
n
  n m
m
0  1  0
1
 n

 n
m
 0
n
 
m n

7. Βασικές Σαυτότητες 1
(    )2   2  2   2
(    )    2  
2 2 2
(    )2   2  2   2

8. Βασικές Σαυτότητες 2
 2   2  (    )2  2
 2   2  (    )2  2
 2   2  (    )2  2

9. Βασικές Σαυτότητες 3
(    )3   3  3 2   3 2   3
(    )3   3  3 2   3 2   3
(    )    3   3  
3 3 2 2 3

10. Βασικές Σαυτότητες 4
(    )3   3  3(    )   3
(    )    3(    )  
3 3 3
(    )3   3  3(    )   3

11. Βασικές Σαυτότητες 5
 2   2  (    )(    )
 3   3  (    )(  2     2 )

          1    2       2    1 

12. Βασικές Σαυτότητες 6
 3   3  (    )(  2     2 )
    (    )  3(    )
3 3 3
 2  1   2  1       2   2 1      2 1   2 

13. Βασικές Σαυτότητες 7
(      )2   2   2   2  2(      )
(  1   2     n )2 
  1   2     n  2(  1 2     1 n     n1 n )
2 2 2

14. Βασικές Σαυτότητες 8
(    )2  (    )2  2(  2   2 )
(    )2  (    )2  4
       
2 2
     
 2   2 
    (    )2  4

15. Βασικές Σαυτότητες 9
      
4 4 2
   2 
2 2 2

 (  2   2   2 )(  2   2   2 )

16. Βασικές Σαυτότητες 10
(      )3 
  3   3   3  3 2 (    )  3 2 (    )  3 2 (    )  6
  3   3   3  3(    )(    )(    )
 2 (    )   2 (    )   2 (    )  2  (    )(    )(    )

17. Σαυτότητα Lagrange 1
 
2
(    )( x  y )  (  x   y ) 
2 2 2 2 2
x y
 
 y x
x y

18. Σαυτότητα Lagrange 2
(  2   2   2 )( x 2  y 2  z 2 )  (  x   y   z )2 
     
2 2 2
  
x y x z y z

19. Σαυτότητα Euler
 3   3   3  3 
 (      )(  2   2   2       )
1

 (      ) (    ) 2  (    )2  (    )2
2


20. Σαυτότητα De Moivre
      2   2   2   
4 4 4 2 2 2 2 2 2
 (      )(      )(      )(      )

21. Αθροίσματα στους Φυσικούς
n( n  1 )
1  2  3   n 
2
n( n  1 )( 2 n  1 )
1  2  3   n 
2 2 2
6
2
 n( n  1 ) 
1  2  3   n  
3 3 3

 2 
n( n  1 )( n  2 )
1  2  2  3  3  4    n( n  1 ) 
3

22. Σριώμυμο 1
 x   x    0  ,  ,     0
2
    4
2

23. Σριώμυμο 2
0
     
1  , 2 
2 2
 x 2   x     ( x   1 )( x   2 )

24. Σριώμυμο 3
0

1   2   
2
 x 2   x     ( x   )2

25. Σριώμυμο 4
0
 i   i 
z1  , z2 
2 2
 x 2   x     ( x  z1 )( x  z2 )

26. Σριώμυμο 5
Αμ
     0
τότε:

1  1 ,  2 

 
 x   x     ( x  1 ) x  
2
 

27. Vieta 1
 x   x    0  ,  ,     0
2

1   2  


1  2 


28. Vieta 2
 x   x   x    0  ,  ,  ,     0
3 2

1   2   3  


1  2  1  3   2  3 


1  2  3  


29. Παράδειγμα 1
Να παραγομτοποιηθούμ οι παραστάσεις:
A  2 2   3 2 
 ( 2   3 )
  5 n  10 n 1   20 n 2  2 
 5 n ( 1  2  4 2  2 )

30. Παράδειγμα 2
Να παραγομτοποιηθεί η παράσταση:
  3 x( y  1 )2  6 x 2 ( y  1 )2  3 x( y  1 ) 
 3 x( y  1 ) y  1  2 x( y  1 )  1 
 3 x( y  1 ) y  1  2 xy  2 x  1 
 3 x( y  1 ) y  2 xy  2 x 

31. Παράδειγμα 3
Να παραγομτοποιηθεί η παράσταση:
  ax  ay  bx  by 
 ( ax  ay )  ( bx  by ) 
 a( x  y )  b( x  y ) 
 ( x  y )( a  b )

32. Παράδειγμα 4
Να παραγομτοποιηθεί η παράσταση:
B  a 2 x 2  b 2 x 2  2 xa 2  2 xb 2 
 ( a 2 x 2  b 2 x 2 )  ( 2 xa 2  2 xb 2 ) 
 x 2 ( a 2  b 2 )  2 x( a 2  b 2 ) 
 ( a 2  b 2 )( x 2  2 x ) 
 x( x  2 )( a 2  b 2 )

33. Παράδειγμα 5
Να παραγομτοποιηθεί η παράσταση:
  a 2 x 2  b2 
 ( a x )2  b 2 
 ( a x  b )( ax  b )
 2   2  (    )(    )

34. Παράδειγμα 6
Να παραγομτοποιηθεί η παράσταση:
B  x6  y4 
 x    y 
3 2 2 2

 ( x 3  y 2 )( x 3  y 2 )

35. Παράδειγμα 7
Να παραγομτοποιηθεί η παράσταση:
  16 x 4  81 y 4 
 ( 4 x 2 )2  ( 9 y 2 )2 
 ( 4 x 2  9 y 2 )( 4 x 2  9 y 2 ) 
 
 ( 2 x )2  ( 3 y )2 ( 4 x 2  9 y 2 ) 
 ( 2 x  3 y )( 2 x  3 y )( 4 x 2  9 y 2 )

36. Παράδειγμα 8
Να παραγομτοποιηθεί η παράσταση:
A  9 x 2  30 xy  25 y 2 
 ( 3 x )2  2( 3 x )( 5 y )  ( 5 y )2 
 ( 3x  5 y )2
(    )2   2  2   2

37. Παράδειγμα 9
Να παραγομτοποιηθεί η παράσταση:
B  x 2n  2 x n yn  y 2n 
 ( x n )2  2( x n )( y n )  ( y n )2 
 ( xn  yn ) 2
(    )2   2  2   2

38. Παράδειγμα 10
Να παραγομτοποιηθεί η παράσταση:
  ( 4 x 2  5 y )2  ( 3 y  6 x 2 )2 
 ( 4 x 2  5 y  3 y  6 x 2 )( 4 x 2  5 y  3 y  6 x 2 ) 
 ( 2 x 2  2 y )( 10 x 2  8 y ) 
 4( x 2  y )( 5 x 2  4 y )
(    )(    )   2   2

39. Παράδειγμα 11
Να παραγομτοποιηθεί η παράσταση:
A  16 x 2  24 xy  9 y 2  4 z 2 
 ( 4 x  3 y )2  4 z 2 
 ( 4 x  3 y  2 z )( 4 x  3 y  2 z )

40. Παράδειγμα 12
Να παραγομτοποιηθεί η παράσταση:
A  25 x 2  y 2  2 yz  z 2 
 25 x 2  ( y 2  2 yz  z 2 ) 
 ( 5 x )2  ( y  z )2 
 ( 5 x  y  z )( 5 x  y  z )

41. Παράδειγμα 13
Να παραγομτοποιηθεί η παράσταση:
A  x4  4 y4 
 ( x 2 )2  ( 2 y 2 )2  4 x 2 y 2  4 x 2 y 2
 ( x 2  2 y 2 )2  ( 2 xy )2 
 ( x 2  2 y 2  2 xy )( x 2  2 y 2  2 xy )

42. Παράδειγμα 14
Να παραγομτοποιηθεί η παράσταση:
A   4   2 2   4 
  4  2 2  2   4   2  2 
 (  2   2 )2  (  )2 
 (  2   2   )(  2   2   )

43. Επαγωγή
Να αποδειχθεί ότι μία πρόταση που
αμαφέρεται στους φυσικούς αριθμούς
ισχύει (είμαι αληθής) για κάθε φυσικό
αριθμό μεγαλύτερο ή ίσο από έμα
συγκεκριμέμο φυσικό αριθμό.

44. ΢χήμα Horner
Να παραγομτοποιηθεί το Πολυώμυμο:
P ( x )  x 4  5 x 3  4 x 2  10 x  12
1 5  4 10  12 1
1 6 2 12 P ( x )  ( x  1 )( x 3  6 x 2  2 x  12 )
1 6 2 12 0
1 6 2 12  6
 6 0  12 P ( x )  ( x  1 )( x  6 )( x 2  2 )
1 0 2 0

45. Άσκηση 1
Αμ
 ,  ,
Είμαι ομόσημοι πραγματικοί αριθμοί και
ισχύει η ισότητα
(    )2   (    )2   (    )2  4(  2  2   2 2   2 2 )
τότε:
   

46. Άσκηση 2
Αμ
x, y,z
Είμαι πραγματικοί αριθμοί και ισχύει η
ισότητα
( x  y )2  ( y  z )2  ( z   )2  4( xy  yz  z )
τότε:
x yz

47. Άσκηση 3
Να παραγομτοποιηθεί η παράσταση:
A   2 (    )   2 (    )   2 (    )  2 
  2 (    )  (  2   )  (  2   2 )  (  2   ) 
  2 (    )  (    )   (    )   (    ) 
 (    )(  2       ) 
 (    ) (    )   (    ) 
 (    )(    )(    )

48. Άσκηση 4
Να παραγομτοποιηθεί η παράσταση:
A  xy( x  y )  yz ( y  z )  zx( z  x ) 
 xy( x  y )  y 2 z  yz 2  z 2 x  zx2
 
 xy  x  y  z x 2  y2  z 2  x  y
 xy x  y  z x  yx  y  z 2 x  y

  x  y xy  zx  zy  z 2 
  x  y x  y  z  z  y  z
  x  y y  zx  z

49. Άσκηση 5
Να παραγομτοποιηθεί η παράσταση:
A  x3 ( y  z )  y 3 ( z  x )  z 3 ( x  y )
 x3 ( y  z )  y 3 z  y 3 x  z 3 x  z 3 y
    
 x3  y  z  y3z  z3 y  z3x  y3x  x3  y  z  yz y2  z 2  x z3  y3   
 x3  y  z  yz  y  z y  z  x  y  z  y2  yz  z 2 
  y  z x 3  yz  y  z  x  y  yz  z    y  z x 3  y2 z  yz 2  xy2  xyz  xz 2 
2 2
   
         
  y  z  x3  xy2  y2 z  xyz  yz 2  xz 2    y  z x x 2  y2  yz x  y  z 2 x  y
 
  y  z x  x  y x  y  yz x  y  z 2 x  y
 
 
  y  z x  y x 2  xy  yz  z 2   y  z x  y x 2  z 2  xy  yz
 
  y  z x  y x  zx  z  y x  z   y  z x  yx  zx  y  z