Suvremeni pristup učenju i poučavanju matematike nadarenih učenika i učenika s teškoćama u razvoju u razrednoj nastavi

1. mag.rehab.educ.Zdenkica Stanec, prof.def.
Mirnovečka cesta 8/1- Kladje
10 430
SAMOBOR
Tel:
01 / 33 26 570
E_mail: zdenkica.stanec@zg.t-com.hr
_____________________________________________________________________________________
Suvremeni pristup učenju i poučavanju matematike
nadarenih učenika i učenika s teškoćama u razvoju u razrednoj nastavi
Reforme bi trebale u idudih desetak godina približiti hrvatsko školstvo naprednijim uzorima.Koliko de se
u tom skupom poslu uspjeti -ovisi o novcu, ali i političkoj volji za provedbu strategije
U tom bi periodu trebalo prodi ključne reforme da bi se barem donekle približilo skandinavskim
uzorima poput finskog modela. Prema strategiji obrazovanja, znanosti i tehnologije, koja je upravo na
javnoj raspravi, 2018. godine hrvatski de učenici krenuti u drukčiju školu, koja de za njih trajati godinu
duže, ali de promijeniti i naučene obrasce poučavanja . Osim jednakih mogudnosti, kakve danas imaju
mali Finci, i hrvatska bi djeca u školi trebala razvijati kreativnost, inovativnost, autonomiju i odgovornost.
I to po individualiziranom pristupu i za nadarene učenike i za učenike s teškodama u učenju kao i za
učenike s teškodama u razvoju.
U novijoj povijesti nastave razlikuju se dvije globalne didaktičke strategije: nastava usmjerena na učitelja
i nastava usmjerena na učenika. Nastava usmjerena na učenika znači da je nastava shvadena kao
zajednički rad učitelja i učenika te da se očekuje više raznovrsnih aktivnosti učenika, tj. strategije

2. aktivnog učenja u kojima dominira iskustveno i aktivno učenje. Učitelj „predavač” treba biti zamijenjen
učiteljem koji je organizator, mentor, menadžer, instruktor i suradnik. Kompetentni su učitelji stručnjaci
za poučavanje što znači da poznaju brojne metode i postupke i imaju ideje za raznovrsne metodičke
scenarije. Kompetentni učitelji usvojili su vještine za upravljanje učenjem i vremenom kao i vještine za
vođenjem razrednog odjela. S ti m u vezi treba unaprijediti spoznaje iz didaktike i psihologije učenja
koje su potrebne za znanja i kompetencije koje de pomodi u razumijevanju i shvadanju ideja za nastavu
usmjerenu na učenike. Prednost treba davati strategijama aktivnog učenja koji podrazumijeva
raznovrsne aktivnosti subjekata koji uče i njihovo stalno sudjelovanje u raznovrsnim metodičkim
scenarijima u kojima dominira iskustvo i aktivno učenje. Učenici trebaju naučiti kako učiti, odnosno kako
upravljati informacijama. Zahtijevaju se nova znanja, vještine, sposobnosti, vrijednosti, stavovi; odnosno
nove kompetencije koje stavljaju naglasak na razvoj inovativnosti, stvaralaštva, rješavanja problema,
razvoja kritičkog mišljenja, poduzetnosti i informatičke pismenosti.
Suvremena nastava matematike se obično opisuje kao nastava orijentirana prema učenicima što
znači da se dosadašnja dominantna uloga nastavnika stavlja u drugi plan, a povećava se
učenikova aktivnost u nastavi matematike, posebice kroz eksperiment u nastavi (učenje
otkrivanjem). Time nastavnik nije više u poziciji glavnog aktera prijenosa znanja, već postaje
koordinator i organizator nastavnog procesa. Uz to, tendencija je poticati odgovornost učenika za
vlastiti uspjeh i napredovanje u matematici.
Među studijama europskih stručnjaka za metodiku nastave matematike zanimljivo je istaknuti
ideju prof. dr. Rolanda Fischera, suvremenog austrijskog metodičara za nastavu matematike čije
se ideje mogu primijeniti i na druga područja i na širi koncept. Za današnju nastavu matematike
je svojstveno da se snažan naglasak stavlja na znanja operiranja koja su kao posljedica toga često
svedena na gotove recepte bez imalo razumijevanja. Uvodni dijelovi gradiva se u nastavi izvedu
na brzinu, zatim slijedi najveći udio posvećen operiranju, a za poticanje refleksije i diskusija
uglavnom više nema vremena. Prof. Fischer ističe da naglasak u općem obrazovanju treba staviti
na osnovna znanja i na refleksiju, a da čisto operiranje treba prepustiti stručnjacima. Ako
govorimo o primjeni računala u nastavi matematike, operiranja bi najvećim dijelom trebalo
prepustiti „stručnjacima“, tj. računalima ili kalkulatorima, dok bi refleksivna promišljanja o
rješenju opet trebalo prebaciti na učenike i na taj dio stavljati naglasak u nastavi.
Suvremena nastava matematike teži većoj zastupljenosti pitanja otvorenog tipa. Od učenika se
tako očekuju sposobnosti točnog obrazloženja odgovora, argumentacije i dubljeg shvaćanja
matematičkog sadržaja.

3. Računalo u nastavi matematike
Eksperimentalan rad u nastavi matematike posebno može doći do izražaja prilikom upotrebe
računala u nastavi matematike. Mnogo je mogućnosti za njegovu eksperimentalnu primjenu. Za
modele i simulacije često se koriste razni interaktivni alati (Flash, web alati i sl.), ali i softveri
dinamične geometrije, CAS i grafički alati. Ovdje ćemo se zadržati na programu dinamične
geometrije GeoGebra, u kojem ćemo prikazati neke korisne primjere za eksperiment u nastavi
matematike, a koji su nastali u sklopu tečaja Udruge za promicanje nastave matematike
Normala. GeoGebra je program koji posjeduje svojstva programa dinamične geometrije
(animirano pomicanje geometrijskih objekata), ali i mogućnosti CAS-a (prikazivanje u
simboličkom i grafičkom obliku te tablični kalkulator). Uz to, GeoGebra spada u grupu
besplatnih open source programa, vrlo je dostupna za preuzimanje i ima svojstvo da za online
rad s uratcima načinjenim u GeoGebri ne moramo imati instaliranu Geogebru na računalu.
Eksperimentalan rad se, primjerice, može provoditi za ispitivanje svojstava funkcija kroz
promjene raznih parametara, pri čemu se promatraju promjene na grafu i donose zaključci. Tako
se mogu istraživati karakteristike poput monotonosti funkcija, zatim simetričnosti,
karakterističnih točaka i sl. Primjerice, učenik može uspješno eksperimentirati s interaktivnim
materijalom o jednadžbi pravca i grafu linearne funkcije. Za preporuku je i istraživački materijal
o elipsi, gdje učenik može istraživati od najjednostavnijih zanimljivosti vezanih uz elipsu pa sve
do njenih skrivenih svojstava koja zadiru dublje u matematiku.
Također, eksperiment se može provoditi kroz razna ponavljanja računanja ili koraka konstrukcije
kako bi učenik vlastitim tempom i brojem ponavljanja uočio tražena svojstva. Učenik može
otkrivati razna matematička pravila i postupke, primjerice, pravila deriviranja ili integriranja,
pravila računanja s izrazima itd.
Prilikom upotrebe eksperimenta u nastavi matematike, svaki nastavnik kao voditelj treba obratiti
pažnju na dvije važne stvari. Prvo, može se dogoditi da učenici nakon što eksperimentalno utvrde
određena svojstva ili ideje, nemaju potrebu za pravim matematičkim dokazom jer smatraju da je
eksperiment koji su napravili dovoljan dokaz da uočeno pravilo vrijedi općenito. Stoga bi
nastavnik, prema dobi učenika, trebao brižljivo ukazati na potrebu za pravim matematičkim
dokazom, tj. činjenici da heurističke ideje ipak nisu egzaktno provjerene.
Drugo, treba spomenuti da to što se dijelovi nastave odvijaju po heurističkim metodama, ne znači
da ta nastava nije sistematski organizirana. Naprotiv, nastavnik treba dobro organizirati takav sat,
poznavajući prikladne metode i mogućnosti računala. Nastavnik također treba procijeniti je li
određeno gradivo prikladno za eksperimentalni rad ili je prikladnije za neku drugu metodu ili
nastavni oblik.

4. IKT kao sredstvo poučavanja i učenja
Posljednjih godina često se provode istraživanja o upotrebi informacijsko-komunikacijskih
tehnologija (IKT) u obrazovanju, spomenimo samo neke iz Europske Unije i UNESCO-a: The
ICT Impact Report (Balanskat, 2007), ICT in Schools (Balanskat, 2006), Elearning Nordic
(Ramboll, 2006), Information and communication technologies in schools (UNESCO, 2005).
Iz spomenutih istraživanja izdvojili smo nekoliko natuknica koje opisuju neke utjecaje primjene
IKT na obrazovanje:
IKT utječe pozitivno na obrazovna postignuća u osnovnoj školi
Upotreba IKT poboljšala je uspjeh učenika u engleskom jeziku (materinji jezik), znanosti
i tehnologiji naročito kod osnovnoškolskih učenika
Postoji pozitivna veza između duljine perioda upotrebe IKT i uspjeha učenika na PISA
matematičkim testovima
Škole s boljom IKT opremom postižu bolje rezultate od škola sa siromašnijom IKT
opremom
Ulaganje u IKT pokazuje bolje rezultate u školama u kojima je stvorena plodna klima za
svrhovitu upotrebu IKT
86% europskih učitelja kaže da su učenici motiviraniji i pažljiviji kad se u razredu koriste
računala i Internet
Upotreba IKT ima jake motivacijske efekte, pozitivan utjecaj na ponašanja,
komunikacijske vještine i vještine promišljanja
IKT omogućava veće diferenciranje s programima napravljenima prema individualnim
učeničkim potrebama
Učenici preuzimaju veću odgovornost za vlastito učenje kada upotrebljavaju IKT
IKT omogućava učenje djeci s različitim stilovima učenja i sposobnosti
IKT čini učenje uspješnijim uključivanjem više osjetila u multimedijskom kontekstu.
Dakle, primjetan je pozitivan kontekst u kojem se spominje IKT u obrazovanju, iako moramo
napomenuti da to uvelike ovisi o sadržajima i didaktičkim strategijama koje su "upakirane" u
IKT, jer tehnologija sama po sebi ne uči. U istraživanjima se ističe i činjenica da se navike
učitelja još nisu promijenile te da oni najviše upotrebljavaju IKT kada se uklapa u njihov
tradicionalan način poučavanja. Obzirom da IKT ima velike mogućnosti prava "revolucija"
primjene IKT dogodit će se kad se načini poučavanja i učenja preoblikuju tako da iskoriste
maksimume tehnologija.
"I uz najsuvremeniju hipermedijsku obrazovnu tehnologiju mogući su logički, gnoseološki i
didaktički promašaji koji su usporedivi s kritikama nastave shvaćene u tradicionalnom smislu
(frontalna predavačko-prikazivačka nastava u kojoj su učitelji aktivni a učenici sjede, slušaju i
gledaju). Dakle, posebno važna pitanja uz uporabu multimedija i Interneta za učenje i
poučavanje jesu pitanja kriterija za izbor didaktičkog modela te didaktičkih strategija koje su
ugrađene u multimedij." (Matijević, 2004b, str.)

5. Sadržaji trebaju biti oblikovani tako da potiču razvijanje svijesti o osobnom napretku i znanju i
omogućuju samostalan odabir sadržaja u skladu sa sposobnostima – individualizacija kroz
nelinearnu organizaciju sadržaja. Time će se olakšati učenje učenicima s prilagođenim
programom, prosječnim, a i darovitim učenicima. Sadržaji trebaju biti pripremljeni u raznim
oblicima – tekst, slika, animacija, simulacija, audio, video,... kako bi omogućili usvajanje
gradiva učenicima s različitim tipovima učenja (Seufert i Euler, 2005).
Obzirom na uzrast učenika kojima su sadržaji namijenjeni važno je da sadrže dobar omjer
informacija u različitim oblicima, česte povratne informacije (pozitivno ili negativno
potkrepljivanje, interaktivnost) kojima se djeluje na motivaciju, a time i uspješno uči (Matijević,
2002). Pritom upotrijebljene tehnologije trebaju biti dovoljno jednostavne i pouzdane za
upotrebu (Seufert i Euler, 2005).
Osposobljenost učenika za samostalno učenje i samoobrazovanje povećava se tijekom
obrazovanja. Stjecanjem obrazovnog iskustva učenici stječu i intelektualne vještine potrebne za
cjeloživotno učenje. Elemente samoobrazovanja moguće je uočiti već kod učenika u nižim
razredima osnovne škole, kada počinju samostalno učiti iz udžbenika, raditi pokuse, koristiti
različite medije i sl. (Pastuović, 1999).
Koliko god IKT bile pogodne za individualizaciju učenja, suvremene paradigme poučavanja
pokazuju da nije dobro da to bude jedini oblik učenja. Individualizirano poučavanje ne smije
isključivati grupno poučavanje jer bi inače učenici bili uskraćeni za međusobnu komunikaciju,
zajedničko rješavanje problema i suradničko učenje. Uvažavanjem svih mogućnosti IKT otvaraju
se potpuno nove mogućnosti za izvođenje obrazovanja.
Promatrajući e-learning kao kontinuum poučavanja približno u sredini nalazimo kombinirani
model nastave (mixed-mode, blended ili hybrid) u kojem se uspješno spajaju prednosti
tradicionalnog načina poučavanja te poučavanja uz pomoć tehnologija (ELA, 2005).
Kombinirani model nastave najčešće se spominje u kontekstu povezivanja online učenja s
predavanjima i radionicama uživo, no taj model nastave zapravo predstavlja svaku uspješnu
kombinaciju različitih načina poučavanja i različitih tehnologija (Akkoyunlu, 2006).
Pritom se termin "uspješna kombinacija" odnosi na takav spoj u kojem su elementi integrirani te
se koriste dobre, a izbjegavaju loše strane pojedinih elemenata. Dakle, sama definicija obuhvaća
velik raspon kombinacija koje se mogu pojaviti u takvom obliku nastave, a načine kombiniranja
diktiraju sposobnosti učenika, sadržaji i mogućnosti škole. E. A. Baker u članku Techology and
Values opisuje atmosferu u jednom takvom razredu kao poticajnu, suradničku, odgovornu i punu
poštovanja (Baker, 2001).
Vrlo često se u kombiniranom modelu nastave koriste različiti sustavi za dostavljanje sadržaja,
suradnju i komuniciranje, primjerice virtualno okruženje za učenje (Virtual learning
environments – VLEs). Virtualno okruženje za učenje je elektronički sustav koji može pružiti

6. online interakcije različitih vrsta (prikazivanje sadržaja, komunikacija i suradnja) te tako
posredovati između učenika i učitelja (JISC, 2003, Becta, 2005).
Nadareni učenici
Nadareni učenici se ističu stvaralačkim mišljenjem, apstraktnim rasuđivanjem, posjeduju širok
dijapazon interesa i kvalitetu rada. Oni se od ostalih izdvajaju intelektualnim sposobnostima, a
naročito "općom inteligencijom, željom za znanjem, istrajnošću, težnjom za isticanjem, zdravim
razumom, kao i kritičkim uočavanjem" (Terman).
Rad u školama prilagođen je "prosječnom učeniku". Prema tom imaginarnom učeniku pisani su
i udžbenici, koriste se metode i oblici rada.
U razredu pretežno susrećemo nadarene učenike sa izraženim intelektualnim sposobnostima,
koji postižu visok stupanj uspjeha u školi. Najpopularniji su u razredu, komunikativni i socijalno
adaptivni. Vokabular im je bogat, a izražavanje tečno i precizno. Takvog učenika sve zanima i
želi biti angažiran u gotovo svim školskim aktivnostima.
Kako prepoznati nadarenog učenika
Oni posjeduju neke zajedničke karakteristike. Prepoznavanje tih značajki i znanje njihova
otkrivanja u učionici važan je korak u učinkovitom radu.
Neke od značajki ponašanja navedene su u donjoj tablici. Ukoliko učenik posjeduje navedene
značajke, postoji velika vjerojatnost da je nadaren.
Nadaren učenik
- Postavlja puno pitanja i znatiželjan je
- Puno toga zna
- ima dobro pamćenje
- Brzo usvaja nove informacije
- Lako pamti nove informacije
- Zna čitati prije ostale djece
- Pokazuje velike matematičke sposobnosti
Ali...
- Brzo riješava zadatke
- Nestrpljiv je kada nije prozvan na satu
- Lako mu postane dosadno
- Može početi ometati nastavu
- Pokazuje veliki otpor prema aktivnostima ponavljanja

7. - Postiže visoka postignuća
- Brzo dovršava nastavne zadatke
i učenja napamet
- Završava zadatke brzo, ali površno
Nadaren učenik
Ali...
- Sve ga zanima
- Uključuje se u mnogobrojne aktivnosti
- Motiviran je za iskušavanje novih stvari
- Uživa u izazovima
- Može odbijati sudjelovanje u aktivnostima koje nisu u
njegovom području interesa
- Ostavlja projekte nedovršene
- Preuzima previše posla i postaje preoptereden
Nadaren učenik
Ali...
- Razmišlja neovisno
- Izražava posebna i originalna mišljenja
- Motiviran je
- Ne prihvada autoritet
- Ne prihvada dobro kritiku
- Ne odgovara mu grupni rad
Nadaren učenik
Ali...
- Posjeduje vještine više razine razmišljanja
(analiza, sinteza, evaluacija)
- Stvara poveznice koje drugi učenici ne vide
- Uzima u obzir neobične pristupe rješavanju
problema
- Zna biti odsutan duhom kada je riječ o praktičnim
detaljima
- Zaboravlja napraviti zadade
Nadaren učenik
Ali...
- Ima snažan osjedaj za pravdu
- Voli raspravljati o tekudim i problemima iz
svakodnevnog života
- Može biti vrlo kritičan i samokritičan
- Perfekcionist je i to očekuje od drugih
Nadaren učenik
Ali...
- Ima istančan smisao za humor
- Shvada suptilan humor
- Uživa u igrama riječi i satiri
- Lako ga ponese šala
- Naginje tome da postane "razredni klaun"
Nadaren učenik
Ali...
- Posjeduje izvanredne vještine izražavanja
- Suosjedajan je
- Razrađuje ideje
- Pokazuje vještine u glumi, umjetnosti, glazbi,
- Kolege ga ponekad samtraju sveznalicom
- Ponekad naređuje kolegama u grupnom radu

8. jezicima
Učenici s teškodama u razvoju
Pravilnikom o osnovnoškolskom odgoju i obrazovanju učenika s teškoćama u razvoju (NN
23/91) uređuju se oblici integracije učenika s teškoćama u razvoju u osnovne škole.
Osnovno školovanje učenika s lakšim teškoćama u razvoju provodi se u osnovnoj školi prema
organizacijskim oblicima koji osiguravaju njihovu potpunu ili djelomičnu integraciju.
Potpuna odgojno-obrazovna integracija ostvaruje se uključivanjem učenika s lakšim teškoćama u
razvoju u razredne odjele osnovne škole, u pravilu od prvog do četvrtog razreda.
U razredni odjel mogu se uključiti do tri učenika s teškoćama u razvoju, a takav odjel ne može
imati sveukupno više od 25 učenika.
Učenik s teškoćama u razvoju svladavat će redovne ili prilagođene nastavne programe
individualiziranim postupcima i posebnom dodatnom pomoći defektologa odgovarajuće
specijalnosti.
Prilagođeni program primjeren je osnovnim karakteristikama teškoće u djeteta, a u pravilu
pretpostavlja smanjivanje intenziteta i ekstenziteta pri izboru nastavnih sadržaja obogaćenih
specifičnim metodama, sredstvima i pomagalima.
Prilagođeni program izrađuje učitelj u suradnji s defektologom odgovarajuće specijalnosti.
Za učenike sa senzoričkim i motoričkim oštećenjima (vida i sluha; tjelesna oštećenja sa
cerebralnom paralizom) organizira se produženi stručni postupak ovisno o stupnju oštećenja u
djeteta.
Produženi stručni postupak organizira se u posebnim odgojno-obrazovnim grupama nakon
redovne nastave, a ostvaruju ga defektolozi odgovarajuće specijalnosti.
Broj učenika s teškoćama u razvoju u produženom stručnom postupku može biti od šest do deset.
Program produženog stručnog postupka sastavni je dio prilagođenog programa i posebnog
programa prema vrsti i stupnju teškoća u razvoju.

9. Za učenike na stupnju lake mentalne retardacije organizira se i djelomična integracija u
posebnim odgojno-obrazovnim grupama.
U takvim posebnim odgojno-obrazovnim grupama, učenici svladavaju dijelove nastavnog
programa, a preostali program u matičnom razrednom odjelu.
Dijelove nastavnog programa koje učenici ne mogu svladati, svladavaju prema posebnom
nastavnom planu i programu za učenike s lakom mentalnom retardacijom, a preostali program u
matičnom razrednom odjelu, uz maksimalnu individualizaciju.
Rad defektologa u posebnoj odgojno-obrazovnoj grupi ostvaruje se :
1. kao rad sa stalnom grupom u specijaliziranoj učionici od šest do 15 školskih sati do tri dana
tjedno,
2. kao rad s promjenjivom grupom tako što se u specijaliziranoj učionici prema utvrđenom
rasporedu svakog dana preuzima učenike iz matičnih razrednih odjela.
Posebnu odgojno-obrazovnu grupu, u pravilu čine učenici podjednake obrazovne razine, a broj
učenika u grupi može biti od pet do deset.
U posebne odgojno-obrazovne grupe uključuju se, u pravilu, učenici s teškoćama u razvoju od
petog do osmog razreda.
Za učenike s organski uvjetovanim poremećajima u ponašanj,u može se, ovisno o stupnju
oštećenja, organizirati osnovno školovanje u posebnim razrednim odjelima pri osnovnoj školi.
U posebnim razrednim odjelima učenici svladavaju posebni program za učenike s organski
uvjetovanim poremećajima u ponašanju, a ostvaruju ga defektolozi odgovarajuće specijalnosti.
Broj učenika u ovakvim posebnim razrednim odjelima može biti od pet do deset.
U redovnu osnovnu školu može se uključiti do 8% učenika s organski uvjetovanim
poremećajima u ponašanju u odnosu na ukupan broj učenika škole.
Braš Roth, M., Gregurovid, M., Markočid Dekanid, V., Markuš, M. (2008.): PISA 2006.
Prirodoslovne kompetencije za život. Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja –
PISA centar. Zagreb. Pristupljeno 14. 3. 2009. na http://dokumenti.ncvvo.hr/PISA/PISAkompetencije.pdf
Fischer, R. (neobj.): Höhere Allgemeinbildung. Sveučilišna skripta, 15 str. Pristupljeno 14. 3.
2009. na imst2.uni-klu.ac.at/materialien/_design/fischer190901.pdf

10. Glasnovid Gracin, D.: Matematička pismenost (1. dio). Matematika i škola 39 (2007). 155-163.
Element. Zagreb. 2007.
Glasnovid Gracin, D: Matematička pismenost (2. dio). Matematika i škola 40 (2007). 202-210.
Element. Zagreb. 2007.
Glasnovid Gracin, D.: Računalo u nastavi matematike. Teorijska podloga i metodičke smjernice.
(1. dio: Potencijali primjene računala u nastavi). Matematika i škola 46 (2008). 10-15. Element.
Zagreb. 2008.
Glasnovid Gracin, D.: Računalo u nastavi matematike. Teorijska podloga i metodičke smjernice
(2. dio: Promjene u nastavi matematike). Matematika i škola 47 (2008). 81-84. Element. Zagreb.
2008.
Gusid, I. (1995.): Matematički rječnik. Element. Zagreb.
Schneider, E. (2002): Computeralgebrasysteme in einem allgemeinbildenden
Mathematikunterricht. Didaktische Orientierungen – Praktische Erfahrungen. Profil Verlag.
München-Wien.
Šuljid, Š. (2005): Geogebra (2) – Prvi softver dinamične geometrije na hrvatskom jeziku.
Matematika i škola, br. 29, Element. Zagreb.
Šuljid, Š. (2006): Geogebra (6) – S dinamičnim crtežom na Internet. Matematika i škola, br. 33.
Element. Zagreb.
***: Mathematical Literacy. The PISA 2003 Assessment Framework – Mathematics, Reading and
Problem Solving Knowledge and Skills. OECD, 2003.
Samobor, 27.02.2014.