Xác suất thống kê

1. TÓM TẮT MỘT SỐ CÔNG THỨC XÁC SUẤT THỐNG KÊ
1 Phần xác suất
1.1 Các công thức xác suất
Công thức cộng và nhân xác suất:
Với A 1 , . . . , A n là một họ các biến cố đầy đủ:
1.2 Biến ngẫu nhiên (BNN)
1.3 Các hàm phân phối xác suất cơ bản
Phân phối nhị thức
Phân phối siêu bội
Phân phối Poisson
Phân phối mũ
Phân phối chuẩn
Định lý giới hạn trung tâm: Nếu X 1 , . . . , X n là đôi một độc lập và

2. khi n đủ lớn thì
2. Phần thống kê
Các đặc trưng của mẫu tổng quát Các đặc trưng của mẫu cụ thể
Trung bình mẫu:
1
1 n
i
i
X X
n 
  Trung bình mẫu (Mean):
1
1 n
i
i
X X
n 
  hay
1
1 k
i i
i
X n X
n 
 
Phương sai mẫu:  
2
2
1
1 n
i
i
S X X
n 
 

Phương sai mẫu:
2
S ; Độ lệch mẫu: S
 
2
2
1
1 n
i
i
S X X
n 
 
 hay    
2 2
2
2 2
1
1 k
i i
i
S n X X X X
n 
   

Phương sai mẫu hiệu chỉnh:  
2 2
2
1
1
1 1
n
i
i
n
S X X S
n n

  
 

Phương sai mẫu hiệu chỉnh (Sample variance): 2
S
Độ lệch mẫu hiệu chỉnh (SD - Standard Deviation): S
 
2
2
1
1
1
n
i
i
S X X
n 
 

 hay
2
2
1
n
S S
n


Tỉ lệ mẫu:
M
F
n
 Tỉ lệ mẫu:
m
f
n

2.1 Ước lượng tỷ lệ, trung bình, phương sai
Tham số cần ước lượng Phân bố của tổng thể Thông tin bổ sung Khoảng tin cậy khi chọn 1 2
2

 
 
Tỉ lệ p (xác suất) Nhị thức  
1;
B p Mẫu lớn  
30
n   
F 
 trong đó
 
/ 2
1
f f
z
n




Trung bình 
Bất kì Mẫu lớn  
30
n 
 
X 
 trong đó / 2
z
n


 
Nếu không có 2
 thì dùng 2
S thay thế
Chuẩn  
2
;
N   2
 đã biết  
X 
 trong đó / 2
s
z
n

 
Chuẩn  
2
;
N   2
 chưa biết
 
X 
 trong đó
 
1
/ 2
n s
t
n




Nếu mẫu lớn thì có thể dùng / 2
z
thay cho  
1
/ 2
n
t


3. Phương sai 2
 Chuẩn  
2
;
N    chưa biết
2 2
2 2
1
2 2
( 1) ( 1)
;
( 1) ( 1)
n s n s
n n
 
 

 
 
 
 
 
 
 
2.2 Xác định kích thước mẫu
2.2 Kiểm định tham số
2.2.1 Kiểm định tỷ lệ
Giả thiết kiểm định Ho Giả thiết kiểm định H1 Tiêu chuẩn kiểm định Miền bác bỏ Ho với mức ý nghĩa 
BT 1 mẫu  
30
n  o
p p

o
p p

 
1
o
o o
f p
Z n
p p



   
/ 2 / 2
; ;
RR z z
 
    
o
p p
  
;
RR z
  
o
p p
  
;
RR z
 
BT 2 mẫu
 
1 2
30; 30
n n
  1 2
p p

1 2
p p

 
1 2
1 2
1 1
1
f f
Z
f f
n n


 
 
 
 
Mẫu gộp: 1 1 2 2
1 2
n f n f
f
n n



   
/ 2 / 2
; ;
RR z z
 
    
1 2
p p
  
;
RR z
  
1 2
p p
  
;
RR z
 
Ở BT 2 mẫu, khi dùng mẫu cụ thể 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
; ;
m m m m
f f f
n n n n

  


4. 2.2.2 Kiểm định tham số
2.2.2.1 Kiểm định so sánh trung bình 1 tổng thể
Giả thiết kiểm
định Ho
Giả thiết kiểm
định H1
Tiêu chuẩn kiểm định
Bài toán
kiểm
định
trung
bình 1
tổng thể
- Nếu đã biết 2

o
X
Z n




- Nếu chưa biết 2
  
30
n 
o
X
Z n
s



- Nếu chưa biết 2
  
30
n 
o
X
T n
s



- Tổng thể phân phối chuẩn,
đã biết 2
 .
- Hoặc tổng thể tùy ý, kích
thước mẫu 30
n  .
- Tổng thể phân phối chuẩn;
chưa biết 2
 và 30
n  .
(Nếu n >30, có thể dùng RR
như trường hợp bên.
o
 

o
 

   
/ 2 / 2
; ;
RR z z
 
      
   
 
1 1
/ 2 / 2
; ;
n n
RR t t
 
 
    
o
 
  
;
RR z
    
 
1
;
n
RR t

  
o
 
  
;
RR z
   
 
1
;
n
RR t

 
2.2.2.1 Kiểm định so sánh trung bình 2 tổng thể
Dạng bài
Giả thiết
kiểm định Ho
Giả thiết
kiểm định H1
Miền bác bỏ Tiêu chuẩn kiểm định
1
- X1, X2 có phân
phối chuẩn
- Biết phương
sai tổng thể
2 2
1 2
;
 
- 2 mẫu độc lập
- z-test
1 2
 

1 2
 
    
/ 2 / 2
; ;
RR z z
 
    
1 2
2 2
1 2
1 2
X X
Z
n n
 



1 2
 
  
;
RR z
  
1 2
 
  
;
RR z
 
2
- X1, X2 có phân
phối chuẩn
- Chưa biết
phương sai
tổng thể 2 2
1 2
;
 
1 2
 

1 2
 

 
   
 
/ 2 / 2
; ;
df df
RR t t
 
    
1 2
2 2
1 2
1 2
X X
T
s s
n n



Trường hợp X1, X2 có phân
phối bất kì và n1, n2>30 , xem
như  
0;1
T N và miền bác
bỏ sau:
+ 2 phía:
   
/ 2 / 2
; ;
RR z z
 
    
1 2
 

 
 
;
df
RR t
  

5. giả thiết
2 2
1 2
 

- 2 mẫu độc lập
- t-test
1 2
 

 
 
;
df
RR t
 
2 2
1 2
1 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1 2
1 1
s s
n n
df
s s
n n
n n
 

 
 
 

   
   
   
   

 
Làm tròn lên số nguyên
+ Bên trái:
 
;
RR z
  
+ Bên phải:
 
;
RR z
 
Nếu   
 
1
2
0.5;2
S
S
Thì TH
này thành TH3 tức  

2 2
1 2
Trong trường hợp tổng quát thì Ho: 1 2 o
D
 
 
Khi đó Tiêu chuẩn kiểm định thay đổi tương ứng. VD trong dạng 1: 1 2
2 2
1 2
1 2
o
X X D
Z
n n
 
 


Dạng bài
Giả thiết kiểm
định Ho
Giả thiết kiểm
định H1
Miền bác bỏ Tiêu chuẩn kiểm định
3
- X1, X2 có phân phối chuẩn
- Chưa biết phương sai tổng thể
2 2
1 2
;
  giả thiết 2 2
1 2
 

- 2 mẫu độc lập
- t-test
1 2
 

1 2
 

 
   
 
1 2 1 2
2 2
/ 2 / 2
; ;
n n n n
RR t t
 
   
     1 2
2
1 2
1 1
p
X X
T
s
n n


 

 
 
Ở đây phương sai gộp
2 2
2 1 1 2 2
1 2
( 1) ( 1)
2
p
n s n s
s
n n
  

 
1 2
 

 
 
1 2 2
;
n n
RR t
 
  
1 2
 

 
 
1 2 2
;
n n
RR t
 
 
4
- X1, X2 có phân phối chuẩn
- Chưa biết phương sai tổng thể
2 2
1 2
;
 
- 2 mẫu phụ thuộc tương ứng
theo cặp, có cùng kích thước n
- Đặt 1 2
D X X
 
- t-test
0
D
 
0
D
 
 
   
 
1 1
/ 2 / 2
; ;
n n
RR t t
 
 
    
D
D
T n
s

0
D
 
 
 
1
;
n
RR t

  
0
D
 
 
 
1
;
n
RR t

 

6. 2.4 Phân tích phương sai (ANOVA) một nhân tố, cỡ mẫu bằng nhau

8. Phương pháp LSD (the Fisher’s multiple comparision):
Giả thiết không Ho
i j
 

Giả thiết nghiên cứu Ho
i j
 

Giá trị kiểm định (the least significant difference or LSD) tính bởi công thức: / 2
1 1
N k
ij
i j
LSD t MSE
n n


 
 
 
 
 
Nếu i j ij
LSD
 
  thì bác bỏ Ho
2.5 Hồi quy tuyến tính đơn
1. Một số đặc trung mẫu
+ Đối với x:
 
2 2
2
2
2
1
1
x
x x
n
x x
n
s x x








  



 + Đối với y:
 
2 2
2
2
2
1
1
y
y y
n
y y
n
s y y








  



 + Đối với xy:
1
xy xy
n
 
+  
2
2
2 1
xx x
S x x ns
n
  
  +  
2
2
2 1
yy y
S y y ns
n
  
  +
1
xy
S xy x y
n
 
  

9. 2. Covarian và hệ số tương quan của mẫu:
+
xy
S
Covarian xy xy
n
  
+
xy
xy
xx yy x y
S
r
S S
xy xy
s s
 

xy
r là một ước lượng của hệ số tương quan giữa X,Y (the sample correlation).
+ Khi 0.3
xy
r   X, Y không có mối quan hệ tuyến tính hoặc mối quan hệ tuyến tính rất yếu.
+ Khi 0.3 0.5
xy
r
   X, Y có mối quan hệ tuyến tính rất yếu.
+ Khi 0.5 0.8
xy
r
   X, Y có quan hệ tuyến tính trung bình.
+ Khi 0.8 xy
r
  X, Y có quan hệ tuyến tính mạnh.
3. Ước lượng các hệ số 1
;
o
  của đường hồi quy tuyến tính:
Phương trình hồi qui tuyến tính có dạng: 1
o
y x
  
   hay y a bx 
  
Giá trị a là một ước lượng cho hệ số tự do o .
Giá trị b là một ước lượng cho hệ số số góc 1 .



  






  

1 2
xy
xx
x
o
S
b
xy xy
S S
a y bx
Ý nghĩa hộ số b: Khi x tăng (hoặc giảm) 1 đơn vị thì y sẽ tăng (hoặc giảm) b (hay 1 ) đơn vị
4. Sums of squares and Coefficient of determination
Sums of squares
+ The total sum of squares of the response variable: yy
SST S

+ The sum of squares for regression: xy
SSR bS

+ The sum of squares of the residuals: yy xy
SSE SST SSR S bS
   
Hệ số xác định 2
R :
2
100% 1 100%
SSR SSE
R
SST SST
 
    
 
 

10. Hệ số 2
R giải thích trong 100% sự biến động của Y so với trung bình của nó thì có bao nhiêu % là do biến X gây ra.
(About ...% variation of y can be explained by x)
Trong mô hình hồi quy tuyến tính đơn, 2 2
xy
R r
 ( xy
r : hệ số tương quan)
5. Ước lượng độ lệch chuẩn  (sai số chuẩn của ước lượng): 2
 có ước lượng không chệch của nó là
2

2
2 2
SSE SSE
n n
 
  
 
6. Ước lượng các hệ số hồi quy với độ tin cậy 1 

+ Khoảng ước lượng cho tung độ gốc o
 là  
;
o o
a a
 
  với
 
2
2 2 2
2 2 2
/ 2 / 2 / 2
1 1
2 ( 2)
n n n
o
xx xx
x
x
x SSE SSE x
t t t
S n n n n S
S
  
 
  
 
 

       
 
   
 
+ Khoảng ước lượng cho hệ số gốc 1
 là  
1 1
;
b b
 
  với
 
2
2 2 2
1 / 2 / 2 / 2
1
( 2)
2
n n n
xx
xx x
SSE SSE
t t t
n n S
S n S
  

   
     


7. Kiểm định sự phù hợp của đường hồi quy tuyến tính:
SS df (Bậc tự do) MS Tiêu chuẩn kiểm định F Giá trị P
Regression (Hồi quy) SSR 1 
MSR SSR

MSR
F
MSE
Residual (Phần dư) SSE 2
n 
2
SSE
MSE
Total SST 1
n
Kiểm định sự phù hợp của hàm hồi quy tuyến tính đơn:
Giả thiết:


2
2
1
: 0
: 0
o
H R
H R
hoặc




1
1 1
: 0
: 0
o
H
H
(mô hình phù hợp)
Tiêu chuẩn kiểm định: 


2
2
1
2
R
F
R
n
hoặc 
 2
SSR
F
SSE
n
Miền bác bỏ:
 
 


 
1; 2
;
n
RR f

11. Kiểm định sự phù hợp của các hệ số đường hồi quy tuyến tính:
Giả thiết:




1
1 1
:
:
o o
o
H b
H b
Tiêu chuẩn kiểm định:
 


  2
o
x
b b
T
SSE
S n n
Miền bác bỏ:    
 
 
    
2 2
/2 /2
; ;
n n
RR t t
Giả thiết:




1
1 1
:
:
o o
o
H a
H a
Tiêu chuẩn kiểm định:
 



 
2
2
o
x
a a
T
SSE x
S n n
Miền bác bỏ:    
 
 
    
2 2
/2 /2
; ;
n n
RR t t
8. Dự báo giá trị trung bình của Y khi  o
X x (Khoảng ước lượng của  
Y o
f x )
   
 


    
2
2
/2
1 o
n
o
xx
x x
a b x t
n S