Probability and statistics

1. Chương 6. Lý thuyết ước lượng
§1. Khái niệm chung về ước lượng.
-Ký hiệu là a,p, hoặc
-Việc dùng kết quả của mẫu để đánh giá 1 tham số nào
đó của tổng thể được gọi là ước lượng
1.Ước lượng điểm:
 2



1.Ước lượng điểm:
Chọn G=G(W),sau đó lấy
1.Không chệch:
2.Vững:
3.Hiệu quả:
4.Ước lượng có tính hợp lý tối đa( ứng với xác suất lớn
nhất-xem SGK)
G
 
( )
E G 

lim
n
G 


( ) min
D G 
1

2. Kết quả: có đủ 4 tính chất trên.
có đủ 4 tính chất trên.
Không chệch
Hợp lý tối đa
2.Ước lượng khoảng:
:
a x

2 2
2 2
:
:
:
p f
S
S






2
2.Ước lượng khoảng:
Định nghĩa: Khoảng được gọi là khoảng ước lượng
của tham số với độ tin cậy nếu:
-độ dài khoảng ước lượng hay khoảng tin cậy.
 
1 2
,
 
 1
 
 
 
1 2 1
   
    
2 1
I  
 

3. Sơ đồ giải: Chọn sao cho G có quy luật
phân phối xác suất đã biết, tìm 2 số
sao cho
 
W,
G 
1 2
,
g g
 
 
1 2
1 2
1 2
1
,
g G g
g g w g


  
    
  
  
3
1 2
  
  
§2. Ước lượng khoảng của tỷ lệ tổng thể p.
Bài toán: từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n có tỷ
lệ mẫu f. Với độ tin cậy ,hãy tìm khoảng tin
cậy của p.
1
 
 

4. Giải: Chọn
Xét
 
 
 

   

0,1 neáu n ñuû lôùn
1
f p n
G U
f f
 
 
1 2
1 2 1 2
1
, 0 :
1
u U u
 
    


  
     
 
 
   
1 1 2 2
2 1
2 1 2
2 2
1
1 1
. .
f p n
Z u u Z
f f
f f f f
f Z p f Z
n n
   
 


     

 
    
4

5.  
1 2 2
1
1) , 0 .
(öôùc löôïng tyû leä toái ña)
f f
p f Z
n

  

      
 
1 2 2
1
2) 0, .
(öôùc löôïng tyû leä toái thieåu)
f f
f Z p
n

  

      
 
 
1
f f
5
(Ước lượng đối xứng)
(Độ dài khoảng tin cậy)
 


  
 
 

1 2
1
.
3) - ñoä chính xaùc
2
f f
Z
n
f p f
 
 
  
2
I 
 
  2
2
1
. 1
f f
n Z 


 
 
 
 

6. .Quy ước: Nếu đề bài không nói rõ thì ta xét ước lượng
0 : n f
  
    0
 

yes
no
STOP
  2
2
0
1
. 1
f f
n Z 


 
 
 
 
6
.Quy ước: Nếu đề bài không nói rõ thì ta xét ước lượng
đối xứng.
Ví dụ 2.1:
Để điều tra số cá trong hồ ,cơ quan quản lý đánh bắt 300
con,làm dấu rồi thả xuống hồ,lần 2 bắt ngẫu nhiên 400
con thấy 60 con có dấu. Hãy xác định số cá trong hồ với
độ tin cậy bằng 0.95.

7. Giải: Gọi N là số cá trong hồ
P là tỷ lệ cá bị đánh dấu trong hồ :
300
N
 
0,05
400, 60 0,15
.(1 ) 0,15.0,85
. .1,96
400
300
? ?

 
   

 
         
n m f
f f
Z
n
f f N
7
? ?
 
         
f f N
N
( (1 )) 1.96: 400
ALPHA ALPHA
SH STO 
   

A A
B
f 
   
ALPHA A ALPHA B
60: 400 SH STO A f
 
Cách bấm máy:
f 
   
ALPHA A ALPHA B

8. Ví dụ 2.2:Cần lập một mẫu ngẫu nhiên với kích
thước bao nhiêu để tỷ lệ phế phẩm của mẫu là
0,2 ;độ dài khoảng tin cây đối xứng là 0,02 và độ
tin cây là 0.95.
Bài giải:
0,95, 0,02, 0,2
I f n
    
 
 
2
2
0,95, 0,02, 0,2
0,02 0,01
0,2.0,8
. 1,96 1
0,01
I f n
I
n


   
  
 
 
 
 
 
8

9. §3. Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể a
Bài toán: Từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n có trung bình
mẫu và phương sai điều chỉnh mẫu . Với độ tin cậy
, tìm khoảng ước lượng của trung bình tổng thể a.
Bài giải.Ta xét 3 trường hợp:
TH1. Đã biết phương sai tổng thể
x 2
S
2

1
 
 
TH1. Đã biết phương sai tổng thể
Chọn
Xét
2

   
~ 0,1
x a n
G U N


 
9
2 1
1,2 1 2 2 2
0: . .
 
 
   
       
x Z a x Z
n n

10. (Ước lượng trung bình tối đa)
(Ước lượng trung bình tối thiểu)
1 2 2
1. , 0 .
a x Z
n


  
      
1 2 2
2. 0, , .
x Z a
n


  
      





 
  
1 2
3. -ñoä chính
. xaùc
2
Z

  
  
1 2
3. -ñoä chính
. xaùc
2
Z
n
 
   
 (öô ùc löô ïn g ñ o ái x öùn g )
x a x
2 - ñoä daøi khoaûng öôùc löôïng ñoái xöùng
I 

10
2
. 1 .
n Z 


 
 
 
 
 
 
 
 

11. TH2. Chưa biết phương sai tổng thể
Chọn:
2
, 30
 
n
   
~ 0,1
x a n
G U N
S
S S

 
11
Kết quả tương tự TH1, thay bằng S ta có:
2 1
1,2 1 2 2 2
0; . .
S S
x Z a x Z
n n
 
   
       


12. .
(Ước lượng trung bình tối đa)
(Ước lượng trung bình tối thiểu)
1 2 2
1. , 0 . 
  
      
S
a x Z
n
1 2 2
2. 0, , . 
  
       
S
x Z a
n


  
   
1 2
3. -ñoä chính aùc
2
. x
S
Z
n

  
   
1 2
3. -ñoä chính aùc
2
. x
Z
n
(öôùc löôïn g ñ oái x öùn g )
x a x
 
    
2 - ñoä daøi khoaûng öôùc löôïng ñoái xöùng
I 

Khoa Khoa Học và Máy Tính 12
Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
12
2
. 1 .


 
 
 
 
 
 
 
 
S
n Z

13. . TH3.Chưa biết phương sai tổng thể
   
 
 
1 2
1 1
t T t
  

     
   
   

  
  
1,2 1 2
~ 1
Xeùt 0;
x a n
Choïn G T T n
S
2
, 30
n
 
13
Kết quả tương tự TH2 , thay bằng ta có:
     
   
1 2
2 1
1 1
2 2
1 1
2 2
.
n n
n n
x a n
T T
S
S S
x T a x T
n n
 
 
 
 

   
    
Z
 
1
n
T


14. .
(Ước lượng trung bình tối đa)
(Ước lượng trung bình tối thiểu)
 
1
1 2 2
1. , 0 . 
   
      
n
S
a x T
n
 
1
1 2 2
2. 0, , . 
   
       
n
S
x T a
n
 


  


  
1
1 2
3. -ñoä chính xa
. ùc
2
n
S
T
   
  
1 2
3. -ñoä chính xa
. ùc
2
T
n
(öôùc löôïn g ñ oái x öùn g )
x a x
 
    
2 - ñoä daøi khoaûng öôùc löôïng ñoái xöùng
I 

Khoa Khoa Học và Máy Tính 14
Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010
14
2
( 1)
. 1.



 
 
 
 
 
 
 
 
n
S
n T

15. Ví dụ 3.1. Hao phí nguyên liệu cho 1 sản phẩm là 1
đại lượng ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn vớí
độ lệch chuẩn Người ta sản xuất thử 36
sản phẩm và thu được bảng số liệu:
Mức hao phí
nguyên liệu(gam)
19,5-19,7 19,7-19,9 19,9-20,1 20,1-20,3
0,03.
 
15
Với độ tin cậy 0,99,hãy ước lượng mức hao phí
nguyên liệu trung bình cho 1 sản phẩm nói trên.
nguyên liệu(gam)
Số sản phẩm 6 8 18 4

16. TH1.
0,01
0,03, 19,91111, 0,01 2,575
0,03
.2,575 0,012875
36
.
x
n
Z
a x
Z
x



 
 
    
 
  



16
Cách bấm máy:
.03 2.575: 36 SH STO A 
  
SH STAT VAR x A x 
   
ALPHA
SH STAT VAR x A x 
   
ALPHA

17. Ví dụ 3.2. Để ước lượng xăng hao phí trung bình
cho 1 loại xe ô tô chạy trên đoạn đường từ A
đến B ,chạy thử 49 lần trên đoạn đường này ta
có bảng số liệu:
Lượng xăng
hao phí(lit)
9,6-9,8 9,8-10,0 10,0-10,2 10,2-10,4 10,4-10,6
17
Với độ tin cậy 0.95,hãy tìm khoảng tin cậy cho
mức hao phí xăng trung bình của loại xe nói
trên.
hao phí(lit)
Số lần 4 8 25 8 4

18. Giải
.
0,05
2: 49 30; 10,1 ; 0,2
1 0,95 1,96
0,2
1,96 0,056
7
10,044 10,1 6
.
5
TH n x S
Z
S
Z
a
n

 

   
    
 
  

10,044 10,1 6
5
a
  
18
Cách bấm máy
1 1.96: 49
SH STAT VAR x n SH STO A
 
   
SH STAT VAR x A x 
   
ALPHA
SH STAT VAR x A x 
   
ALPHA

19. §4. Ước lượng khoảng của phương sai tổng thể
Bài toán: Từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n, có phương
sai hiệu chỉnh mẫu . Với độ tin cậy hãy tìm
khoảng ước lượng của phương sai tổng thể
Bài giải
Chọn
2

2
S 
2

  2
2 2
1,2 1 2
1 .
( 1), 0:
n S
G n
     


     

Chọn
Quy ước: Ta lấy (nếu không cho )
 
   
2 1
1 2
1,2 1 2
2
2 2 2
1
2 2
2
2 2
1
1 1
( 1) ( 1
( 1), 0:
( 1)
)
( 1) 1
G n
n
n S
n
n S
n n
 
 
     

 

 
  

 
     
 

      



1 2
2

 
  1 2
,
 
19

20. Ví dụ 3.1: Để định mức gia công 1 chi tiết máy,người ta
theo dõi quá trình gia công 25 chi tiết máy,và thu được
bảng số liệu sau:
Thời gian gia
công (phút)
15-17 17-19 19-21 21-23 23-25 25-27
Số chi tiết máy 1 3 4 12 3 2
20
a)Với độ tin cậy 0,95 , hãy tìm khoảng tin cậy cho thời gian
gia công trung bình 1 chi tiết máy.
b)Với độ tin cậy 0,95 , hãy tìm khoảng tin cậy cho phương
sai.
Số chi tiết máy 1 3 4 12 3 2

21. Giải
a)TH3
 
( 24 )
0,05 24:0,025
1
25 ; 21, 52 ; 2, 4
0, 95 2, 064
2, 4
.2, 0 4
5
. 6
n
S
T
n
n x S
T t




  
   


b)
5
n
x a x
 
  
 
2 2
0,975 0,025
2 2
2
(24) 12, 40 ; (24) 39,36
24.2, 4 24.2, 4
39,36 12, 40
 

 
  
21