2. Promieniowanie elektromagnetyczne
gamma
07_94 X ultrafiolet podczerwień mikrofale radiowe
widzialne
Wavelength in meters
10-12 10-10 10-8 4 x 10-7 7 x 10-7 10-4 10-2 1 102 104
Gamma X rays Ultraviolet Infrared Microwaves Radio waves
Visible
rays
FM Shortwave AM
4 x 10-7 5 x 10-7 6 x 10-7 7 x 10-7
Film_fala elektromagnetyczma.MOV 2
3. Promieniowanie elektromagnetyczne
1 second
λ1
duża długość fali
mała częstość
ν 1 = 4 cycles/second = 4 hertz
λ2
ν 2 = 8 cycles/second = 8 hertz
λ3
mała długość fali
duża częstość
ν 3 = 16 cycles/second = 16 hertz
3
4. Promieniowanie elektromagnetyczne
1 second
λ1
λ
ν 1 = 4 cycles/second = 4 hertz c = = λ ⋅ν [ ]
m
s
λ2 T
λ− długość fali, m
ν 2 = 8 cycles/second = 8 hertz
ν − częstość, 1/s
λ3
Τ− okres, s
c – prędkość światła, m/s
1
ν= [ 1s = Hz ]
T
ν 3 = 16 cycles/second = 16 hertz
4
5. Promieniowanie elektromagnetyczne
Przykład 1 Wyznaczenie częstości światła z długości fali
Jaka jest częstość promieniowania podczerwonego stosowanego w
dalmierzu (autofocus) aparatu fotograficznego, jeżeli długość fali tego
promieniowania wynosi 1.00 µm?
pamiętając, że λ ⋅ ν = c i przeliczając długość fali na
metry, tak aby c i λ były wyrażone w tych samych
jednostkach, długość fali wynosi:
10-6
λ = 1.00 µm ⋅ = 1.00⋅10-6 m
1µm
c 3.00⋅108 m/s
ν= ⇒ ν= = 3.00⋅1014 1
/s
λ 1.00⋅10-6 m
3.00⋅1014 Hz
5
6. Fakty eksperymentalne
1. Rozkład energii w widmie ciała doskonale
czarnego
2. Efekt fotoelektryczny
3. Efekt Comptona
4. Widma atomowe
5. Okresowość
6
7. Fakty eksperymentalne
1. Rozkład energii w widmie ciała doskonale czarnego
Max Planck 1900
kwanty energii
E = hν
h = 6.626 ⋅ 10−34 J ⋅ s
7
http://www.mhhe.com/physsci/astronomy/applets/Blackbody/frame.html
8. Fakty eksperymentalne
2. Efekt fotoelektryczny
Albert Einstein 1905
hν e
bilans energii
Ekwantu = Ekinetyczna el . + Φ praca wyjscia el .
hν = 1 me v 2 + Φ
2
me – masa elektronu
v – prędkość
ν – częstość
Φ – praca wyjścia
8
9. Fakty eksperymentalne
Przykład 2 Wyznaczenie energii fotonów
Jaka jest energia (w kilodżulach na mol) fotonów światła żółtego o częstości 5.2⋅1014 Hz?
Każdy foton ma energię, która odpowiada częstości światła, zgodnie
z równaniem E=hν. Z równania tego należy obliczyć tą energię,
a następnie pomnożyć ją przez stałą Avogadra, by wyznaczyć energię
na mol fotonów (w kilodżulach na mol 1kJ = 103 J, 1Hz = 1/s).
E = hν = (6.63⋅10-34 J⋅s) ⋅ (5.2⋅1014 1/s) = 6.63 ⋅ 5.2 ⋅ 10-20 J
(6.63 ⋅ 5.2 ⋅ 10-20 J) ⋅ (6.022⋅1023/mol) ⋅ (1 kJ/103J) = 2.1⋅102 kJ/mol
9
10. Fakty eksperymentalne
zasada zachowania pędu
3. Efekt Comptona
pi = ps + pe
ps
= cos θ
pi pi
ps θ równanie de Broglie’a
pe
h
p=
h h h λ λi
= + = cos θ
pi
λi λs λ p λs
λi = λe (1− cos θ )
10
11. Fakty eksperymentalne
Przykład 3 Obliczenie długości fali obiektu
Przypuśćmy, że elektron w atomie porusza się z prędkością
2.2⋅106 m/s. Jaka jest długość fali de Broglie’a elektronu?
Równanie λ = h/mυ podaje zależność między długością fali
a masą i prędkością obiektu. Aby z niego skorzystać
musimy znać masę elektronu i wartość h (jednostki: kilogram,
metr, sekunda).
me= 9.109 ⋅ 10-28 g = 9.109 ⋅ 10-31 kg
h
Fala de Broglie λe =
me ⋅υe
6.63⋅10-34 J⋅s
λ= = 3.3 ⋅ 10-10 m
(9.109⋅10 kg) ⋅ (2.2⋅10 m/s)
-31 6
⋅m
1J = 1kg11 2/s2 ; 330 pm
12. Fakty eksperymentalne
Przykład 3 Obliczenie masy fotonu
Jaką masę mają fotony pochodzące ze światła o długości fali 500 nm?
Równanie mυ = h/λ podaje zależność między
masą i prędkością obiektu a długością fali.
h
mf =
λ ⋅c
6.63 ⋅10 -34 Js
mf = = 4 ⋅10 −37 kg
8 m
5 ⋅10 m ⋅ 3 ⋅10
-7
s
me=9 ⋅10-31 kg
12
13. Fakty eksperymentalne
07_97
VIBG
YO R
4. Widma atomowe (a) +
Continuous
spectrum
Detector
- Slit (photographic plate)
Electric arc
(white light
source)
Prism
Detector
(b) + (photographic plate)
Arc
1 1 1 High
= Ro 2 − 2 n > 2 voltage
λ 2 n Slit
-
Hydrogen gas Prism
410 nm 434 nm 486 nm 13 656 nm
14. Fakty eksperymentalne
5. Okresowość
02_29 Noble
Alkaline gases
1 earth metals Halogens 18
1A 8A
1 2
H 2 13 14 15 16 17 He
2A 3A 4A 5A 6A 7A
3 4 5 6 7 8 9 10
Li Be B C N O F Ne
11 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Na Mg Transition metals Al Si P S Cl Ar
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
Alkali metals
K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr
37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe
55 56 57 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86
Cs Ba La* Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn
87 88 89 104 105 106 107 108 109 110 111
Fr Ra Ac† Unq Unp Unh Uns Uno Une Uun Uuu
58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71
*Lanthanides Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103
14
† Actinides
Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr
15. Osobliwości świata w małej skali
1. Kwantowanie energii
2. Dualizm korpuskularno-falowy
3. Nieoznaczoność położenia i pędu (Heisenberga)
15
17. Dualizm korpuskularno-falowy
Które efekty dominują i dlaczego?
własności światło elektrony
korpuskularne efekt Comptona promieniowanie katodowe
efekt fotoelektryczny promieniowanie beta
falowe dyfrakcja dyfrakcja
interferencja interferencja
Fala de Broglie’a
h
λe =
me ⋅υ e
Przykład: proces fotograficzny
17
http://www.kutl.kyushu-u.ac.jp/seminar/MicroWorld1_E
20. Paradoks dziadka
Być może, jak na razie cieszą się entuzjaści
możliwości podróży w czasie. Istnienie
wszechświatów równoległych rozwiązuje
paradoks dziadka: podróżnik cofa się do
przeszłości i zabija swojego dziadka, zanim
ten począł jego ojca - mamy problem: jak
podróżujący może w ogóle istnieć skoro
jego ojciec się nie narodzi? Odpowiedź:
cofając się w czasie, przenosi się do
równoległego wszechświata, w którym się
nie narodzi.
20
21. Dualizm korpuskularno-falowy
Elektrony cechy fali i cząstki
Zgodnie z relacją de Broglie’a cząstka o określonej
prędkości jest falą, której długość określa równanie:
h
λe =
me ⋅υe
Gdzie zatem znajduje się elektron?
Fala rozciąga się w przestrzeni, jest wszędzie.
Jednak elektrony są jednocześnie falą i materią
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
21
22. Dualizm korpuskularno-falowy
Światło cechy fali i cząstki
energia E f = hν
hν
masa mf = 2
c
hν h
pęd pf = =
c λ
h - stała Plancka = 6.62 . 10-34 J.s
ν – częstość, s-1
λ - długość fali, m
22
c – prędkość światła 3.108 m/s
23. Zasada nieoznaczoności Heisenberga
jeżeli znamy prędkość cząstki, to nie możemy określić jej
położenia
gdy znamy położenie cząstki, wówczas nie wiemy nic o jej
prędkości
tzn. znając położenie cząsteczki, nie możemy opisać jej jako fali o określonej długości
∆x ⋅ ∆p ≥ h
Czy są sytuacje, że zasada nieoznaczoności nie działa?
nie, w opisie makroskopowym świata falowe właściwości materii nie
odgrywają praktycznie roli i można je zaniedbać
23
24. Kwantowy opis atomu
1. Kwantowanie energii
interpretacja efektu fotoelektrycznego i rozkładu widma ciała
doskonale czarnego
E = hν
2. Dualizm korpuskularno-falowy
każda poruszająca się cząstka (foton, elektron) emituje falę
o długości:
h
λ=
p
3. Zasada nieoznaczoności
nie można dokładnie ustalić położenia i pędu cząstki
∆x ⋅ ∆p ≥ h 24
25. Kwantowy opis atomu
4. Równanie Schrödingera
funkcję Ψ znajdujemy rozwiązując równanie różniczkowe:
ˆ
Hψ = Eψ
5. Gęstość prawdopodobieństwa
można natomiast ustalić prawdopodobieństwo P przebywania cząstki w określonej objętości dV.
Prawdopodobieństwo w danej objętości definiujemy jako gęstość prawdopodobieństwa Ψ2:
P
2
ψ =
dV gdzie Ψ oznacza25
funkcję falową.
26. Kwantowy opis atomu
Definicje
Co to jest funkcja falowa?
z P – prawdopodobieństwo
Ψ– funkcja falowa
ρ – gęstość prawdopodobieństwa
2
ψ =ρ
∫ψ
2
y =1
x
P
ρ= = ρ ( x , y , z , t ) ≈ ρ ( x, y , z )
dV
26
27. Kwantowy opis atomu
Definicje
Co to jest operator w matematyce?
dowolna operacja matematyczna, jak na przykład:
d
+ × sin
dx
Co to jest zagadnienie własne?
^
jeżeli w wyniku działania jakiegoś operatora G na funkcję f
otrzymamy tą samą funkcję przemnożoną przez liczbę g:
ˆ
Gf = g ⋅ f
^
wówczas liczbę g nazywamy wartością własną operatora G
27
28. Kwantowy opis atomu
Równanie Schrödingera
zasada zachowania energii
Energia w atomie - bilans
operator energii kinetycznej operator energii potencjalnej
−
h d 2
d d
2+ 2+ 2
2 2 2
ˆ ˆ ˆ
H =T +V −
Z ⋅ e2
2m dx
dy dz
4πε 0 r
energia kinetyczna energia przyciągania ładunków (Coulomba)
elektronów i jąder jądro-elektron, elektron-elektron, jądro-jądro
m – masa cząstki Z – ładunek jądra ε0 – stała dielektryczna próżni
h – stała Plancka E – ładunek elektronu r – promień 28
29. Mechanika kwantowa
Równanie Schrödingera
jeżeli cząstka porusza się w jednym wymiarze x
to operator Hamiltona ma postać w stanie nieważkości:
ˆ h2 d 2
H =−
2m dx 2
a w trzech wymiarach x, y, z:
ˆ h2 d 2 d2 d2
H =− 2+ 2+ 2
2m dx dz
m – masa cząstki
dy h – stała Plancka
29
30. Mechanika kwantowa
Równanie Schrödingera
Rozwiązując równanie Schrödingera otrzymuje się funkcje
Rozwiązując równanie Schrödingera otrzymuje się funkcje
falowe i iodpowiadające im wartości energii E. O poprawności
falowe odpowiadające im wartości energii E. O poprawności
rozwiązania świadczy jego zgodność z wartościami E
rozwiązania świadczy jego zgodność z wartościami E
wyznaczonymi doświadczalnie.
wyznaczonymi doświadczalnie.
http://www.paranormalne.pl/index.php?showtopic=15446
30
31. Kot Schroedingera
Odniesienia do Kota Schrödingera pojawiły się wielokrotnie w filmach (np. w anime Toaru
Majutsu no Index, Hellsing, Umineko no Naku Koro ni a także serialu Wzór oraz w filmie
braci Coen Poważny człowiek), w filmie Repo Man, serialach (Dr House,Teoria wielkiego
podrywu, Gwiezdne wrota, FlashForward: Przebłysk jutra), powieściach (np. Kot w stanie
czystym Terry'ego Prachetta czy Endymion Dana Simmonsa) i grach komputerowych
31
33. Mechanika kwantowa
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)
x=0 x=L x
równanie Schrödingera ma postać:
h2 d 2
− 2
ψ ( x ) = Eψ ( x )
2m dx
33
34. Mechanika kwantowa
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)
h2 d 2 Ψ
− 2
= E Ψ( x)
2m dx
rozwiązanie równania ma postać ogólną:
Ψ( x) = A sin kx + B cos kx
gdzie
1
(2mE ) 2 h
k= i =
2π
E – energia cząstki
A, B – stałe całkowania 34
35. Mechanika kwantowa
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)
Uwzględniając warunki brzegowe cząstki w pudle dla:
x=0 to Ψ=0 i x=L to Ψ=0
bo cząstka nie przebywa na ściankach pudła.
Podstawiając x=0 do równania ogólnego otrzymamy:
Ψ(x=0)=Asin (k⋅0)+Bcos(k⋅0)=0
zauważmy, że: sinkx=0 i coskx=1
wówczas B=0
Podstawiając x=L do równania ogólnego otrzymamy:
Ψ(x=L)=Asin (k⋅L)=0
wówczas A=0 lub sin (k⋅L)=0
jednak A=0 wykluczamy, bo cząstka istnieje35
(Y(x)= 0 dla 0 < x< L)
36. Mechanika kwantowa
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)
Zatem dalej:
sin (k⋅L)=0
π 2π 3π
wtedy i tylko wtedy, gdy
k=n⋅π i n jest liczbą naturalną
Podstawmy do wzoru na k
1
(2mE )2
k= = nπ n = 1,2 ...
Z tego otrzymamy wzór na energię E
2 2 Energia cząstki jest kwantowana,
n h
E= n =1,2... a jej wartość zależy od liczby
8mL2 kwantowej n
36
37. Mechanika kwantowa
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)
energia
n2h2
E= n =1,2...
8mL2
poziomy energetyczne cząstki
E n2 n
25 5
16 4
9 3
4 2
1 1
0 37
38. Mechanika kwantowa
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)
funkcja falowa
dla stanu podstawowego n=1
dla stanu wzbudzonego n>1
L
można wykazać,
że z warunku ∫
0
Ψ 2 ( x)dx = 1
1
2 2 nπx
Ψn ( x) = sin
L L
38
określający funkcję własną dla n-tego poziomu energetycznego
39. Mechanika kwantowa
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)
funkcja falowa i energia E n2 n ψ
1 9 3
2
2 nπx
Ψn ( x) = sin
L L
n2h2
E= 2
8mL 4 2
1 1
0 39
x=0 x=L
40. Mechanika kwantowa
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)
funkcja falowa E n2 n ψ ψ2
1
9 3
2 2 nπx
Ψn ( x) = sin
L L
gęstość prawdopodobieństwa
2
2 2 nπx
Ψn ( x) = sin
L L 4 2
i energia
2 2
nh
E= 2
8mL 0
1 1
40
x=0 x=L
