1. Natura pomiaru
Pomiar – ilościowe wyrażenie
obserwacji poprzez liczbę, błąd i
jednostkę

2. Natura pomiaru
masa 20 ± 1 g
energia 6.63 ⋅ 10-4 ± 0.02 ⋅ 10-4 J
średnia błąd jednostka

3. Międzynarodowy system miar (SI)
Wł fizyczna Physical Quantity Name Abbreviation
Masa Mass kilogram kg
Długość Length meter m
Czas Time second s
Temperatura Temperature Kelvin K
Prąd elektryczny Electric Current Ampere A
Liczność materii Amount of Substance mole mol
Intensywność Luminous Intensity candela cd
światła

4. SI przedrostki
Prefix Symbol Multiplier Exponential notation
exa- E 1,000,000,000,000,000,000 1018
peta- P 1,000,000,000,000,000 1015
tera- T 1,000,000,000,000 1012
giga- G 1,000,000,000 109
mega- M 1,000,000 106
kilo- k 1,000 103
hecto- h 100 102
deca- da 10 101
deci- d 0.1 10-1
centi- c 0.01 10-2
milli- m 0.001 10-3
micro- µ 0.000 001 10-6
nano- n 0.000 000 001 10-9
pico- p 0.000 000 000 001 10-12
femto- f 0.000 000 000 000 001 10-15
atto- a 0.000 000 000 000 000 001 10-18

5. Niepewność pomiaru
A digit that must be estimated is
called uncertain. A measurement
always has some degree of
uncertainty.

6. Precyzja i dokładność
Dokładność określa zgodność wartości
będącej wynikiem pomiaru danej
wielkości fizycznej z jej prawdziwą
wartością.
Precyzja określa stopień spójności
pomiędzy różnymi wynikami pomiaru tej
samej wielkości fizycznej

7. Precyzja i dokładność
Brak precyzji i dokładności Precyzyjny i niedokładny Precyzyjny i dokładny
Neither precise nor accurate Precise but not accurate Both precise and accurate

8. Rodzaje błędów pomiarowych
Przypadkowy (Random Error, Indeterminate Error) –
ma jednakowe prawdopodobieństwo bycia dużym
lub małym w serii pomiarowej.
Systematyczny (Systematic Error,Determinate Error)
– występuje w każdym pomiarze w serii
powtarzanych pomiarów za każdym razem w tym
samym kierunku. Często wynika z wady danej
techniki pomiarowej.

9. 01_06
mL
Calibration mark 0
indicates 25-mL 1
Niepewność pomiaru
mL volume 2 Calibration mark
100 3 indicates 250-mL
4 volume
90
80 45
70 46
60 47
48
50
49
Przykład 1 pomiar objętości cylindra
40 50
08 Valve (stopcock)
Buret
30
controls the liquid
20 flow
01_06
10 01_06
mL
0 Nr pomiaru Objętość,
100-mL graduated
cylinder
25-mL pipet 50-mL buret
Calibration mark mL
mL
250-mL volumetric flask
0
cm3
10
Calibration mark indicates 25-mL 0 1
Calibration mark
mL
indicatesmL
volume 100
25-mL volume
22.2 mL 1
2
2
Calibration 3
mark1 indicates 250-mL
volume
25.15
3 indicates 250-mL
4
100 20 90 volume
90
80
80
70
4
45
45
46 2 25.75
70 46 47
30 60
60
50
50
40
47
48
48
49 3 25.30
Valve (stopcock) 50
49
40 30
30
40
20
Valve (stopcock)
controls the liquid
50
controls the liquid
flow 4 25.50
20 10 flow
10
50 5 25.80
100-mL graduated 25-mL pipet 50-mL buret 250-mL volumetric flask
100-mL graduated cylinder pipet
25-mL 50-mL buret 250-mL volumetric flask
cylinder

10. Niepewność pomiaru
Przykład 1 pomiar objętości cylindra
Nr pomiaru Objętość,
cm3 ∑V i
1 25.15 V= i
n
2 25.75 V +V +V +V +V
3 25.30 V= 1 2 3 4 5=
5
4 25.50 25.15 + 25.75 + 25.30 + 25.50 + 25.80
5 25.80 =
5
średnia 25.50

11. Niepewność pomiaru
Przykład 1 pomiar objętości cylindra
Nr pomiaru Objętość,
Odchylenie standardowe pomiaru
cm3
1 25.15 ∑ (V − Vi ) 2
2 25.75 σ= i
n −1
3 25.30
σ=
( 25.50 − 25.15) 2 + ( 25.50 − 25.75) 2 + ( 25.50 − 25.30) 2 + ( 25.50 − 25.50) 2 + ( 25.50 − 25.80) 2
4 25.50
5 25.80 4
średnia 25.50 0.28

12. Niepewność pomiaru
Przykład 1 pomiar objętości cylindra
Nr pomiaru Objętość,
Odchylenie standardowe średniej
cm3
1 25.15 ∑ (V − Vi ) 2
2 25.75 σ= i
n ( n − 1)
3 25.30
σ=
( 25.50 − 25.15) 2 + ( 25.50 − 25.75) 2 + ( 25.50 − 25.30) 2 + ( 25.50 − 25.50) 2 + ( 25.50 − 25.80) 2
4 25.50
5 25.80 5⋅ 4
średnia 25.50 0.22

13. Niepewność pomiaru
Przykład 1 pomiar objętości cylindra
V = 25.5 ± 0.2 cm3

14. Jak poradzić sobie z małą
ilością powtórzeń
doświadczeń?

15. Niepewność pomiaru
Rozkład normalny
funkcja rozkładu
krzywa Gaussa
x
liczba realizacji
−( )
 x− x 2 

1  2σ 2 
f ( x) = e  
σ 2π
wynik pomiaru

16. Niepewność pomiaru
Przedział ufności dla średniej
P{ X − tα σ
n
< m < X + tα σ
n
} = 1−α
σ - odchylenie standardowe z próby
tα ,n−1- wartość odczytana z tablic rozkładu Studenta
α - współczynnik ufności, 0-1  Im węższy przedział (różnica między górną i dolną
m -- wartość zmierzona granicą przedziału), tym bardziej precyzyjna jest estymacja
przedziałowa.
 Im wyższa jest wartość współczynnika ufności, tym
szerszy przedział.
http://www.physics.csbsju.edu/stats/
http://home.agh.edu.pl/~bartus/index.php?action=statystyka&subaction=przedzialy_ufnosci

17. Niepewność pomiaru
Przykład 1 pomiar V
wartość średnia i odchylenie std.
V = 25.5 ± 0.2 cm3
przyjmijmy poziom ufności P = 95 %
wówczas wsp. ufności wynosi
P = 0.95 = 1 − 0.05 ⇒ α = 0.05
przedział ufności dla wartości średniej (rozkład Studenta) wynosi:
V − tα σ
n
< m < V + tα σ
n
V − 2.571 ⋅ 0.2 < m < V + 2.571 ⋅ 0.2
V = 25.5 ± 0.5 (0.95)
http://www.physics.csbsju.edu/stats/

18. Prawdopodobieństwo P. % 10 50 90 95 99 99.9
α 0.9 0.5 0.1 0.05 0.01 0.001
Liczba pomiarów
1 0.158 1.000 6.314 12.706 63.656 ######
2 0.142 0.816 2.920 4.303 9.925 31.600
3 0.137 0.765 2.353 3.182 5.841 12.924
4 0.134 0.741 2.132 2.776 4.604 8.610
5 0.132 0.727 2.015 2.571 4.032 6.869
6 0.131 0.718 1.943 2.447 3.707 5.959
7 0.130 0.711 1.895 2.365 3.499 5.408
8 0.130 0.706 1.860 2.306 3.355 5.041
9 0.129 0.703 1.833 2.262 3.250 4.781
10 0.129 0.700 1.812 2.228 3.169 4.587
30 0.127 0.683 1.697 2.042 2.750 3.646
40 0.126 0.681 1.684 2.021 2.704 3.551
50 0.126 0.679 1.676 2.009 2.678 3.496
60 0.126 0.679 1.671 2.000 2.660 3.460
70 0.126 0.678 1.667 1.994 2.648 3.435
80 0.126 0.678 1.664 1.990 2.639 3.416
90 0.126 0.677 1.662 1.987 2.632 3.402
100 0.126 0.677 1.660 1.984 2.626 3.390
∞ 0.126 0.677 1.658 1.980 2.617 3.373

19. Cyfry znaczące
 Wyraź liczbę w notacji naukowej
(potęga dziesiętna)
 Liczba cyfr mnożonych przez
potęgę 10 to liczba cyfr znaczących

20. Cyfry znaczące
Przykład 3
3456 = 3.456⋅103 ⇒ 4 cyfry znaczące
0.0486 = 4.86 ⋅10-2 ⇒ 3 cyfry znaczące
16.07 = 1.607 ⋅101 ⇒ 4 cyfry znaczące
9.300 = 9.300 ⋅100 ⇒ 4 cyfry znaczące

21. Cyfry znaczące w operacjach
matematycznych
Mnożenie i dzielenie: liczba cyfr
znaczących wyniku jest określona
przez najmniejszą liczbę cyfr
znaczących wyników pomiaru
poddanych operacji
6.38 × 2.0 = 12.76 → 13
(2 cyfry znaczące)

22. Cyfry znaczące w operacjach
matematycznych
Dodawanie i odejmowanie: liczba cyfr
znaczących wyniku jest jest równa
liczbie miejsc dziesiętnych w
najmniej dokładnym pomiarze.
6.8 + 11.934 = 18.734 →
18.7 (3 cyfry znaczące)

23. Analiza wymiaru (Dimensional
analysis)
Def. gęstości
m kg g m – masa
d= 3
, 3
V – objętość
n – liczba moli
V m cm S – powierzchnia
l – długość
M – masa molowa
g g
M ⋅ mol
mol M ⋅n mol g
d= n mol = g d= = 3
S ⋅l cm 2 ⋅ m mol 2 ⋅ cm3 S ⋅l cm ⋅ cm cm
2
Nie Tak