W świecie fraktali

W świecie fraktali
Zbigniew Galias
Katedra Elektrotechniki
Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków
12 maja 2018, Kraków
Z. Galias W świecie fraktali

Co to są fraktale?
“Fraktal” — pojęcie wprowadzone przez
Benoit Mandelbrota w latach 70., zbiór
Mandelbrota (1975).
Własności fraktali wg. Benoit Mandelbrota:
są określone zależnością rekurencyjną,
mają cechę samopodobieństwa, część jest podobna do
całości,
wymiar nie jest liczbą całkowitą.
Różne definicje pojęcia “fraktal”.
Definicja intuicyjna: fraktal to obiekt geometryczny o
ułamkowym (niecałkowitym) wymiarze.
definicja wymaga doprecyzowania: co to jest wymiar i
dlaczego może być niecałkowity.
istnieją fraktale o wymiarze całkowitym,
Formalna definicja: fraktal to obiekt, którego wymiar
fraktalny jest większy od wymiaru topologicznego.

Własności fraktali
ułamkowy wymiar, “zwykłe” obiekty mają wymiar
całkowity, odcinek lub okrąg mają wymiar 1, kwadrat lub
koło mają wymiar 2, itd.,
nieskończone samopodobieństwo, tzn. dowolnie mały
kawałek odpowiednio powiększony przypomina do
złudzenia cały zbiór lub znaczną jego część,
prosty algorytm konstrukcji, zwykle rekurencyjny, fraktale
często są otrzymywane przez powtarzanie nieskończenie
wiele razy tej samej operacji.

Historia rozwoju geometrii fraktalnej
Gottfried Liebnitz, niemiecki matematyk i ﬁlozof, opisał
rekursywne samopodobieństwo (wiek XVII), używał
pojęcia “ułamkowych wykładników” do opisu obiektów
geometrycznych,
ok. 200 lat przerwy w zainteresowaniu takimi obiektami,
Karl Weierstrass, matematyk niemiecki,
przedstawił wykres funkcji, który jest
fraktalem (1872). 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Georg Cantor, matematyk niemiecki,
zbiory Cantora (1883),
Helge von Koch, matematyk szwedzki,
płatek śniegu Kocha (1904),
Wacław Sierpiński, matematyk polski,
trójkąt Sierpińskiego (1915), dywan
Sierpińskiego (1916),

Historia rozwoju geometrii fraktalnej, c.d.
Pierre Fatou, Gaston Julia, matematycy
francuscy, niezależnie opisali zachowania
fraktalne związane z iterowaniem
funkcji zmiennej zespolonej (1918),
Felix Hausdorff, matematyk niemiecki, rozszerzył definicję
“wymiaru” tak, aby zbiory mogły mieć wymiar ułamkowy,
wymiar Hausdorffa (1918),
Benoit Mandelbrot, urodzony w Polsce, matematyk
francuski i amerykański, prace nad samopodobieństwem
(lata 60.),
Benoit Mandelbrot ukuł określenie
“fraktal”, zilustrował je komputerowo
stworzonymi wizualizacjami, zbiór
Mandelbrota (1975).

Zbiór Cantora (trójkowy)
“Najprostszy” fraktal,
odkryty przez Henry Johna Stephena Smitha (1874),
opisany przez Georga Cantora (1883),
konstrukcja: odcinek [0, 1] dzielimy na trzy równe części i
usuwamy środkową (1/3, 2/3) (bez końców); to samo
robimy z dwoma odcinkami, które powstaną, itd.; po
nieskończonej ilości operacji otrzymujemy zbiór Cantora:
trójkowy zbiór Cantora zawiera liczby rzeczywiste z
przedziału [0, 1], które w rozwinięciu trójkowym nie
posiadają cyfry 1, C = {x = (0.c1c2, . . .)3, ci ∈ {0, 2}},
później poznamy niezwykłe własności zbioru Cantora.

Zbiór Cantora (wersja ogólna)
W każdym kroku usuwamy środkową część odcinka,
niekoniecznie w proporcji 1/3.
Przykład: usuwamy środkowe 8/10 przedziału
Otrzymany zbiór zawiera liczby rzeczywiste z przedziału
[0, 1], które w rozwinięciu dziesiątkowym zawierają
wyłącznie cyfry “0” i “9”.

Trójkąt Sierpińskiego
Konstrukcja: trójkąt równoboczny dzielimy na 4 trójkąty
równoboczne i usuwamy środkowy; tę procedurę
powtarzamy z każdym z trójkątów i tak w nieskończoność:
krok 1 krok 2 krok 3 krok 4
Przekonamy się, że trójkąt Sierpińskiego jest krzywą o
nieskończonej długości.

Dywan Sierpińskiego
Dwuwymiarowa wersja trójkowego zbioru Cantora.
Konstrukcja:
kwadrat dzielimy na 9 kwadratów o równym polu i
usuwamy środkowy,
tę procedurę powtarzamy z każdym z otrzymanych
kwadratów,
proces kontynuujemy w nieskończoność.

Pył Cantora
Pył Cantora — iloczyn kartezjański dwóch zbiorów
Cantora.
Konstrukcja rekurencyjna: kwadrat dzielimy na 9 równych
kwadratów i zostawiamy 4 narożne, to samo czynimy z
powstałymi kwadratami, proces kontynuujemy w
nieskończoność.

Czworościan i piramida Sierpińskiego
Czworościan Sierpińskiego: czworościan foremny
zmniejszamy dwukrotnie i umieszczamy cztery kopie w
rogach czworościanu tak, aby się stykały wierzchołkami,
proces kontynuujemy w nieskończoność:
żródło: wikipedia.org
Piramida Sierpińskiego: piramidę (ostrosłup o podstawie
kwadratu) zmniejszamy dwukrotnie i umieszczamy pięć
kopii w rogach piramidy tak, aby się stykały wierzchołkami:

Gąbka Mengera
Karl Menger (1926), trójwymiarowa wersja dywanu
Sierpińskiego,
Konstrukcja: sześcian dzielimy na 27 sześcianów i usuwamy
te, które nie mają części wspólnych z krawędziami
sześcianu, proces kontynuujemy w nieskończoność z
pozostawionymi sześcianami.

Płatek śniegu Kocha
Helge von Koch, 1904.
Konstrukcja:
Rozpoczynamy od trójkąta równobocznego,
w każdym kroku z każdego istniejącego odcinka usuwamy
środkową część i dodajemy dwa boki trójkąta
równobocznego opartego na usuwanej części skierowanego
na zewnątrz,
proces powtarzamy w nieskończoność.
Krzywa Kocha (brzeg płatka śniegu Kocha) ma
nieskończoną długość.

Własności (trójkowego) zbioru Cantora
Jakie liczby należą do zbioru Cantora?
rozważmy punkty z przedziału [0, 1] w postaci trójkowej
x = c1 · 3−1
+ c2 · 3−2
+ c3 · 3−3
+ · · · = (0.c1c2c3 . . .)3,
po pierwszym kroku zostają liczby postaci 0.0xxxx . . .3,
0.13 = 0.02222 . . .3, 0.122222 . . .3 = 0.23, 0.2xxxxx . . .3;
zostają liczby, które można przedstawić trójkowo w taki
sposób, że na pierwszej pozycji po przecinku nie ma cyfry 1,
po drugim kroku zostają liczby, które można przedstawić
trójkowo w taki sposób, że na dwóch pierwszych pozycjach
nie ma cyfry 1,
ogólnie, aby punkt należał do zbioru Cantora musi posiadać
reprezentację trójkową bez cyfry 1.

Własności zbioru Cantora, c.d.
Miara (długość) zbioru Cantora:
długość tego, co usuwamy:
1
3
+
2
9
+
4
27
+ · · · =
∞
n=0
2n
3n+1
=
1
3
·
1
1 − 2
3
= 1,
długość zbioru Cantora jest równa zero,
zbiór Cantora nie zawiera przedziału o niezerowej długości,
zbiór Cantora jest nigdziegęsty (nie jest gęsty w żadnym
przedziale).
Co zostaje?
zostają końce przedziałów (nie są nigdy usuwane), jest ich
przeliczalnie wiele (można je ustawić w ciąg),
zostaje wiele innych punktów, np. 0.75 = (0.202020202...)3
można wykazać, że punktów których zostaje jest nie mniej
niż wszystkich punktów z odcinka [0, 1].
zbiór Cantora jest nieprzeliczalny i ma miarę zero.

Porównanie zbioru Cantora ze zbiorem liczb
wymiernych z przedziału [0, 1]
Deﬁnicja:
zbiór liczb wymiernych z przedziału [0, 1]: zbiór liczb
{x = 0.c1c2, . . .}, o rozwinięciu okresowym,
zbiór Cantora C = {x = (0.c1c2, . . .)3, ci ∈ {0, 2}}.
Miara (długość):
oba zbiory mają miarę zero.
Przeliczalność:
zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny.
zbiór Cantora jest nieprzeliczalny,
Gęstość:
zbiór liczb wymiernych jest gęsty (dowolnie blisko każdego
punktu leży liczba wymierna).
zbiór Cantora jest nigdziegęsty (nie jest gęsty w żadnym
przedziale).

Zbiory Smith’a-Volterry-Cantora (tłuste fraktale)
Długość zbioru Cantora wynosi zero (chudy fraktal).
Zbiory Smith’a-Volterry-Cantora: usuwamy w każdym
kroku coraz mniejszą część, aby uzyskać zbiory, które mają
dodatnią długość i są nadal nigdzie gęste.
Jedna z możliwości to usuwanie w n-tym kroku przedziału
o długości 1/22n ze środka każdego z 2n−1 przedziałów:
w pierwszym kroku usuwamy przedział o długości 1/4 i
otrzymujemy dwa przedziały [0, 3/8] oraz [5/8, 1],
w drugim kroku usuwamy dwa przedziały o długości 1/16.
Sumaryczna długość usuwanych odcinków wynosi
1
4
+
2
16
+
4
64
+
8
256
+ · · · =
∞
n=1
2n−1
22n
=
∞
n=1
1
2n+1
=
1
2
.
Długość pozostałego zbioru wynosi 1/2.

Funkcja Cantora
Funkcja Cantora c: [0, 1] x → c(x) ∈ [0, 1]
Własności:
funkcja Cantora jest ciągła,
jest stała na zbiorach, które usuwamy podczas konstrukcji
zbioru Cantora
jest różniczkowalna w każdym punkcie poza zbiorem
Cantora, tzn. jest różniczkowalna prawie wszędzie (poza
zbiorem miary zero),
pochodna funkcji Cantora jest prawie wszędzie równa zero
(w każdym punkcie, w którym jest różniczkowalna),
c(0) = 0, c(1) = 1,
używana jest nazwa: “diabelskie schodki”.
Konstrukcja:
przedstawiamy x w postaci trójkowej,
jeśli liczba zawiera jedynkę zastępujemy wszystkie kolejne
cyfry przez 0
zamieniamy dwójki na jedynki,
wynik interpretujemy jako liczbę w postaci dwójkowej.

Funkcja Cantora, c.d.
Wykres funkcji Cantora
Przykład “z życia”: liczba obrotu w funkcji parametru
dla ﬁltru cyfrowego drugiego rzędu (praca magisterska,
1992, ZG)
a
−4 −2 0 2 4
0.5 b = −1.5
-
6

Funkcja Weierstrassa
Karl Weierstrass, 1872,
Jeden z pierwszych opisanych obiektów fraktalnych.
Funkcja ciągła, nigdzie nieróżniczkowalna.
Wykres funkcji Weierstrassa, a = 0.5, b = 3.
-1 -0.5 0 0.5 1
-2
-1
0
1
2
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Deﬁnicja w postaci szeregu: f(x) = ∞
n=0 an cos(bnπx).

Zbiór Mandelbrota (Benoit Mandelbrot, 1980)
Deﬁnicja: zbiór liczb c ∈ C, dla których ciąg zn+1 = z2
n + c
przy z0 = 0 pozostaje ograniczony, zn ∈ C,
własności: zbiór domknięty, ograniczony i spójny.
powierzchnia: 1.50659177 ± 0.00000008.
zbiór quasi-samopodobny (małe lekko zdeformowane wersje
całego zbioru można znaleźć przy powiększeniu).
Wersja dla liczb
rzeczywistych:
xn+1 = x2
n − y2
n + cx,
yn+1 = 2xnyn + cy,
x0 = y0 = 0
żródło:
Wikimedia Commons,
Wolfgang Beyer,
program Ultra Fractal 3.

Zbiór Mandelbrota, powiększenia
żródło: Wikimedia Commons, Wolfgang Beyer, program Ultra Fractal 3.

Zbiór Mandelbrota, powiększenia, c.d.
żródło: Wikimedia Commons, Wolfgang Beyer, program Ultra Fractal 3.

Zbiory Fatou i Julii
Pierre Fatou, Gaston Julia, 1918,
rozważamy iteracje zadanej funkcji f zmiennej zespolonej,
zn+1 = f(zn),
(z0, z1, z2 . . .) — trajektoria startująca z punktu z0,
dziedzina Fatou: zbiór punktów z0 o tym samym stanie
ustalonym,
zbiór Fatou jest sumą dziedzin Fatou, zbiór punktów z0,
dla których małe zaburzenie nie powoduje dużej zmiany
zachowania,
zbiór Julii to pozostałe punkty,
przykład: f(z) = z2 zbiór Julii jest okręgiem jednostkowym,
istnieją dwie dziedziny Fatou (wnętrze i zewnętrze kuli
jednostkowej).

Zbiory Fatou i Julii dla odwzorowania f(z) = 2z3
+1
3z2
Równanie z3 = 1 posiada trzy rozwiązania w liczbach
zespolonych.
f — iteracja Newtona rozwiązywania równania z3 = 1:
f(z) = z −
z3 − 1
(z3 − 1)
= z −
z3 − 1
3z2
=
3z3 − z3 + 1
3z2
=
2z3 + 1
3z2
.
żródło: en.wikipedia.org
zbiór Julii — kolor
biały,
trzy dziedziny
Fatou.

Dziwne atraktory — fraktale generowane przez układy
dynamiczne
atraktor H´enona,
h(x1, x2) = (1 + x2 − ax2
1, bx1), a = 1.4, b = 0.3,
atraktor Ikedy,
f(x1, x2) = (p+B(x1 cos t−x2 sin t), B(x1 sin t+x2 cos t)),
t = κ − α 1 + x2
1 + x2
2
−1
, p=1, B = 0.9, κ = 0.4, α = 6.
x1
x2
-1 0 1
-0.5
0
0.5
Ω
x1
x2
0 1 2
-2
-1
0
1

Dziwne atraktory, c.d.
obwód Chuy
x1
x2
-2 0 2
-0.5
0
0.5
x1
x2
-2 -1 0 1 2
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
układ Roesslera układ Lorenza
x1
x2
-10 -5 0 5 10
-10
-5
0
5
10
x2
x3
-20 -10 0 10 20
0
10
20
30
40
50

Wymiar topologiczny (pokryciowy)
Odcinek lub okrąg (obiekt wymiaru 1) można pokryć
dowolnie małymi kulami, tak aby każdy punkt odcinka
(okręgu) należał do co najwyżej dwóch kul,
Kwadrat (obiekt wymiaru 2) można pokryć dowolnie
małymi kulami, w taki sposób, że każdy punkt kwadratu
należy do co najwyżej trzech kul,
Ogólnie: wymiar pokryciowy zbioru to najmniejsza liczba
naturalna n, taka że zbiór da się pokryć dowolnie małymi
kulami, tak aby żaden punkt nie należał do więcej niż n + 1
kul i nie da się tego zrobić dla mniejszego n.
inne deﬁnicje wymiaru: mały wymiar indukcyjny
Mengera-Uryhsona oraz duży wymiar indukcyjny
Borela-ˇCecha (równoważne dla “porządnych” przestrzeni),
Wymiar topologiczny zbioru pustego jest równy −1, punktu
jest równy 0, odcinka 1, kwadratu 2.
Uwaga: wymiar topologiczny trójkąta Sierpińskiego
wynosi 1 (jak zobaczymy trójkąt Sierpińskiego jest krzywą).

Wymiar samopodobieństwa
Jeśli w procesie rekurencyjnym tworzenia fraktala
używanych jest k kopii zmniejszonych m-krotnie to wymiar
samopodobieństwa wyznaczamy ze wzoru: d = log k/log m,
zbiór Cantora: d = log 2/log 3 ≈ 0.6309297,
brzeg płatka śniegu Kocha: d = log 4/log 3 ≈ 1.2618595,
pył Cantora: d = log 4/log 3 ≈ 1.2618595,
trójkąt Sierpińskiego: d = log 3/log 2 ≈ 1.5849625,
dywan Sierpińskiego: d = log 8/log 3 ≈ 1.89278926,
czworościan Sierpińskiego: d = log 4/log 2 = 2,
przykład fraktala o wymiarze całkowitym.
piramida Sierpińskiego: d = log 5/log 2 = 2.321928,
gąbka Mengera: d = log 20/log 3 = 2.726833.

Wymiar pudełkowy
Wymiar samopodobieństwa jest zdeﬁniowany tylko dla
wąskiej klasy zbiorów.
Wymiar pudełkowy (“box counting dimension”, wymiar
pojemnościowy, wymiar Minkowskiego-Bouliganda) zbioru
A ⊂ Rn:
dimbox(A) = lim
ε→0
log N(ε)
log(1/ε)
, (1)
gdzie N(ε) oznacza najmniejszą możliwą liczbę kostek
n-wymiarowych o boku ε potrzebnych do pokrycia A.

Wymiar pudełkowy, przykłady
Odcinek [0, 1] ⊂ Rn: Przedział [0, 1] można pokryć za
pomocą n kostek o boku 1/n. Czyli N(1/n) = n. Zatem
dimbox([0, 1]) = lim
n→∞
log N(1/n)
log(n)
= lim
n→∞
log n
log n
= 1.
Zbiór Cantora można pokryć za pomocą jednego przedziału
o długości 1, dwóch przedziałów o długości 1/3, czterech
przedziałów o długości 1/9, i ogólnie 2n przedziałów o
długości 1/3n. Zatem
dimbox(C) = lim
n→∞
log N(1/3n)
log(3n)
= lim
n→∞
log 2n
log 3n
≈ 0.6309297.

Wymiar fraktalny — różne definicje
Wymiar podobieństwa
zdefiniowany dla wąskiej klasy obiektów.
Wymiar pudełkowy
granica używana w definicji nie zawsze istnieje,
definiuje się granicę górną (wymiar entropijny, wymiar
Kołmogorowa, górny wymiar Minkowskiego) i granicę dolną
(dolny wymiar Minkowskiego).
nie zawsze daje oczekiwane wyniki: np. zbiór liczb
wymiernych ma wymiar pudełkowy równy 1 (oczekujemy, że
wymiar zbioru przeliczalnego wynosi 0).
Wymiar Hausdorffa (1918):
najpierw definiuje się miarę Hausdorffa zbioru dla
wykładnika d,
wymiar jest wartością wykładnika, dla której następuje
przeskok miary z 0 do nieskończoności,
te same wyniki dla prostych fraktali samopodobnych,
brak wyżej wymienionych wad,
skomplikowane obliczenia.

Sposoby generowania fraktali
Deﬁnicje rekurencyjne.
Układy odwzorowań iterowanych.
L-systemy.
Dziwne atraktory generowane przez układy nieliniowe.

Układy odwzorowań iterowanych (IFS)
Układ odwzorowań iterowanych,
Iterated Function System (IFS) —
skończony zbiór odwzorowań zwężających fi : Rn → Rn,
i = 1, 2, . . . , N (odwzorowanie zwężające zmniejsza
odległość: d(f(x), f(y)) <= k · d(x, y), k < 1).
Operator Hutchinsona: H(A) = N
i=1 fi(A).
Fraktale otrzymuje się jako (jedyny) punkt stały
operatora H, tzn. S = H(S).
Przykłady:
zbiór Cantora: N = 2, f1(x) = x/3, f2(x) = (x + 2)/3,
trójkąt Sierpińskiego: N = 3, f1(x, y) = (0.5x, 0.5y),
f2(x, y) = (0.5x + 0.5, 0.5y),
f3(x, y) = (0.5x + 0.25, 0.5y + 0.25 ·
√
3).
dywan Sierpińskiego: N = 8,
fk(x, y) = ((x + ak)/3, (y + bk)/3), ak, bk ∈ {0, 1, 2}, oprócz
ak = bk = 1.

Układy odwzorowań iterowanych
Wyznaczanie punktu stałego operatora Hutchinsona.
Metoda 1:
punkt stały operatora H jest globalnym atraktorem, tzn.
można go otrzymać obliczając iteracje operatora H dla
dowolnego niepustego zbioru A0 ⊂ Rn
,
wybieramy niepusty zbiór A0, wyznaczamy iteracyjnie
An = H(An−1), ciąg An zmierza do S,
metoda niewygodna w implementacji.
Metoda 2: “gra w chaos”
wybieramy dowolny punkt x0, w kroku k losujemy jedno z
odwzorowań fi i obliczamy xk+1 = fi(xk),
ciąg (xk) po pominięciu pewnej liczby elementów
początkowych stanowi przybliżenie zbioru S.

Trójkąt Sierpińskiego jako atraktor IFS
(a) aproksymacja trójkąta Sierpińskiego uzyskana po 7
iteracjach procesu usuwania trójkątów,
(b) trójkąt Sierpińskiego jako atraktor układu odwzorowań
iterowanych, 50000 iteracji.

Dywan Sierpińskiego jako atraktor IFS
(a) aproksymacja dywanu Sierpińskiego po 5 iteracjach procesu
usuwania kwadratów,
(b) dywan Sierpińskiego jako atraktor układu odwzorowań
iterowanych, 100000 iteracji.

Paproć Barnsleya
Układ odwzorowań iterowanych (IFS)
zadany przez 4 odwzorowania aﬁniczne:
fk(x, y) = (akx+bky+ek, ckx+dky+fk),
k ak bk ck dk ek fk pk
1 0 0 0 0.16 0 0 0.01
2 0.85 0.04 −0.04 0.85 0 1.6 0.85
3 0.2 −0.26 0.23 0.22 0 1.6 0.07
4 −0.15 0.28 0.26 0.24 0 0.44 0.07
odwzorowania losowane zgodnie z
prawdopodobieństwami pk,
100000 iteracji punktu startowego
(x, y) = (0, 0) z losowo wybieranymi
odwzorowaniami fi.

L-systemy (systemy Lindenmayera)
Aristid Lindenmayer, węgierski biolog teoretyczny, 1968,
opis zachowania komórek roślinnych i modelowania procesu
wzrostu roślin.
zastosowanie w grafice komputerowej jako generatory
fraktali.
L-system: zestaw reguł gramatyki formalnej służący do
tworzenia graficznych tworów o fraktalnej budowie.
L-system zdefiniowany jest przez podanie:
alfabetu V: zbiór symboli (zmiennych i stałych),
wartości ω (początek, aksjomat): startowy ciąg symboli,
zbioru reguł P określającego w jaki sposób zmienne są
wymieniane na kombinacje stałych i zmiennych.
Wykorzystanie w grafice komputerowej:
interpretacja otrzymanego ciągu symboli (np. “ruchy
żółwia”),
każdy symbol odpowiada określonej sekwencji ruchów
”żółwia”, np. przesuń się o określoną odległość, rysuj
odcinek, skręć pod określonym kątem, itp.

Zbiór Cantora jako L-system
Deﬁnicja L-systemu:
Zmienne: A, B, stałe: brak,
start: A,
reguły: (A → ABA), (B → BBB),
interpretacja: “A” — rysuj odcinek, “B” — przesuń się o
odcinek.
Kolejne iteracje: A, ABA, ABABBBABA,
ABABBBABABBBBBBBBBABABBBABA, itd.
Kolejne iteracje w reprezentacji graﬁcznej:

L-system opisujący trójkąt Sierpińskiego
Zmienne: A, B, stałe: +, −, start: A,
(A → B − A − B), (B → A + B + A)
interpretacja: “A”,”B” (rysuj odcinek), “+”/”−” (skręć w
lewo/prawo o kąt 60◦
).
Kolejne iteracje: A, B − A − B,
A + B + A − B − A − B − A + B + A, itd.
Kolejne iteracje (od trzeciej) w reprezentacji graﬁcznej:

L-system “smok”
zmienne: X, Y, stałe: F, +, −, start: FX,
(X → X + YF), (Y → FX − Y)
interpretacja: “F” (rysuj odcinek), “+”/”− (skręć w
lewo/prawo o 90◦
).
graﬁczna reprezentacja iteracji (9, 11, 13, 15):

L-system “Roślina fraktalna”
zmienne: X, F, stałe: +, −, [, ], start: X
reguły: (X → F − [[X] + X] + F[+FX] − X), (F → FF),
interpretacja: “F” (rysuj odcinek), “−”/”+ “ (skręć w
lewo/prawo o 25◦
), “[”/”]” zapamiętaj/odtwórz pozycję i
kąt,
iteracje (5–8) w reprezentacji graﬁcznej:

L-systemy, krzywe wypełniające przestrzeń
Krzywa Hilberta
Wersja Moora krzywej Hilberta

L-systemy, krzywe wypełniające przestrzeń
Krzywa Peano typu “switch-back
Krzywa Peano typu “meander”

Przykładowe zastosowania fraktali
grafika komputerowa; np. komputerowe generowanie
krajobrazów, roślin, projektowanie gier komputerowych,
biologia: modelowanie rozwoju roślin, klasyfikacja roślin,
wymiary fraktalne roślin, liści, drzew,
fraktalna kompresja obrazów i sygnałów (szukanie
systemów IFS dla zadanego obrazu, zapamiętywanie IFS
zamiast obrazu),
powiększenie zdjęć,
klasyfikacja tekstur i obrazów, np. wyznaczanie wymiaru
fraktalnego do klasyfikacji obrazów histopatologicznych,
fraktalne anteny, wykorzystanie fraktalnej struktury w celu
maksymalizacji efektywnej długości,
automatyczne generowanie muzyki.

Fraktalne krajobrazy
Algorytmy stochastyczne do generowania obrazów
przypominających krajobrazy naturalne (en.wikipedia.org).
Pierwszy ﬁlm z krajobrazami fraktalnymi: Star Trek II:
The Wrath of Khan, 1982 (Loren C. Carpenter,
współzałożyciel Pixar Animation Studios).

Graﬁka komputerowa
Przykładowe programy do tworzenia fraktali: Ultra fractal,
Fractint, Fractal Explorer, XenoDream, Sterling, Tierazon:

Fraktale w naturze. Ile wynosi długość linii brzegowej?
“How Long Is the Coast of Britain? Statistical
Self-Similarity and Fractional Dimension” Benoit
Mandelbrot, Science, 1967.
paradoks (Lewis Fry Richardson, Benoit
Mandelbrot): wynik pomiaru zależy od skali
(długości linii pomiarowej),
wyniki pomiarów: L(G) = MG1−D, gdzie L jest
wynikiem pomiaru, G jest skalą pomiarową, zaś
D wymiarem (D > 1).
D ≈ 1.25 dla wybrzeża Wielkiej Brytanii, D ≈ 1.02
dla wybrzeża Afryki Południowej.
żródło:
wikipedia.org

Fraktale w naturze

Fraktale w naturze
żródło: www.wired.com/2010/09/fractal-patterns-in-nature/

Literatura
Benoit B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature.
New York: W. H. Freeman and Co., 1982.
Michael F. Barnsley, Rising Hawley, Fractals Everywhere.
Boston: Academic Press Professional, 1993.
Jacek Kudrewicz, Fraktale i chaos, WNT, wydanie 5, 2017.
H.-O. Peitgen, H. J¨urgens, and D. Saupe, Granice chaosu
Fraktale, część 1 i 2, wydanie III, Warszawa, PWN, 2002.
Ian Stewart, Czy bóg gra w kości, Nowa matematyka
chaosu, Warszawa, PWN, 2001.

W świecie fraktali

Recommended

Recommended

More Related Content

More from Uniwersytet Otwarty AGH

More from Uniwersytet Otwarty AGH (20)

W świecie fraktali