This document provides an overview of the topics covered in Unit 3 on geometric and analytical thinking, including hyperbolas, ellipses, circles, parabolas, graphs of conic sections, equations of conic sections, and analytical geometry. It discusses the key elements and properties of each conic section. It also presents 4 example problems applying these concepts, such as finding the standard form of an ellipse given its vertices.

1. Unidad 3: Pensamiento geométrico
y analítico
ESTUDIANTE: SIMÓN GAITÁN GINAVA
CURSO: ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
DICIEMBRE DE 2021

2. Unidad 3:
Pensamiento geométrico
y analítico.
En esta unidad se abordarán los siguientes
contenidos:
1. Hipérbola
2. Elipse
3. Circunferencia
4. Parábola
5. Gráficas de las cónicas
6. Ecuaciones de las cónicas
7. Geometría Analítica.

3. Hipérbola
La hipérbola es el lugar
geométrico de los puntos del
plano cuya diferencia de distancias
a los puntos fijos llamados focos
es constante en valor absoluto.
Sus elementos son:

4. Elipse
La elipse es el lugar geométrico
de los puntos del plano cuya suma
de distancias a dos puntos fijos
llamados focos es constante. Sus
elementos son:

5. Circunferencia
La circunferencia es una figura
geométrica cerrada cuyos puntos
están a una distancia constante r,
llamada radio, del centro (C),
siendo también, el perímetro del
círculo.
Sus elementos principales son:
Centro: el centro C es el punto
interior que está a una distancia r
de todos los puntos de la
circunferencia
Radio: es el segmento r que une el
centro (C) de la circunferencia con
cualquiera de sus puntos.

6. Parábola
La parábola es el lugar geométrico
de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado
foco y de una recta fija llamada
directriz.
Sus elementos son:

7. Gráficas de las cónicas
Una superficie cónica esta engendrada por el giro de una recta g, que llamamos generatriz, alrededor de otra recta e, eje, con el cual
se corta en un punto V, vértice. Sus elementos son

8. Hipérbola
La hipérbola es la sección producida en una
superficie cónica de revolución por un plano
oblicuo al eje, formando con él un ángulo
menor al que forman eje y generatriz, por lo
que incide en las dos hojas de la superficie
cónica.
∝> 𝛽
La hipérbola es una curva abierta que se
prolonga indefinidamente y consta de dos
ramas separadas.

9. Elipse
La elipse es la sección producida en una
superficie cónica de revolución por un plano
oblicuo al eje, que no sea paralelo a la
generatriz y que forme con el mismo un
ángulo mayor que el que forman eje y
generatriz.
∝< 𝛽 < 90°
La elipse es una curva cerrada.

10. Circunferencia
La circunferencia es la sección producida por
un plano perpendicular al eje.
β = 90°
La circunferencia es un caso particular de
elipse.

11. Parábola
La parábola es la sección producida en una
superficie cónica de revolución por un plano
oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.
∝= 𝛽
La parábola es una curva abierta que se
prolonga hasta el infinito.

12. Ecuaciones
de las cónicas
La ecuación general para cualquier sección cónica es:
𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
donde A, B, C, D, E y F son constantes.
Al cambiar los valores de alguna de las constantes, la forma de la
cónica correspondiente también cambiará:
• Si 𝐵2
− 4𝐴𝐶 es menor que cero, si una cónica existe, está puede
ser un círculo o una elipse.
• Si 𝐵2 − 4𝐴𝐶 es igual a cero, si una cónica existe, será una
parábola.
• Si 𝐵2
− 4𝐴𝐶 es mayor que cero, si una cónica existe, será una
hipérbola.

13. Formas estándar de las ecuaciones de secciones
cónicas:

15. Geometría
Analítica.
La geometría analítica es una rama
de la geometría que estudia los
cuerpos geométricos a través de un
sistema de coordenadas. De ese
modo, se pueden expresar las
figuras como ecuaciones
algebraicas.
Los ejes X e Y son perpendiculares.
Es decir, forman cuatro ángulos de
90º (grados) en su intersección. De
ese modo, se trabaja en un sistema
de coordenadas que se conoce
como plano cartesiano.
Ejemplo: Cada punto del plano posee una coordenada del
siguiente tipo (X,Y). Así, el punto (3,8) es aquel que nace de
unir el punto 3 en el eje horizontal y el punto 8 en el eje
vertical.

16. Ejercicios
resueltos
En esta unidad se aplicaron los
anteriores contenidos en tareas así:
1. tarea 1
2. tarea 2
3. tarea 3
4. tarea 4

17. 𝑥−6 2
25
−
𝑦+2 2
4
= 1
Forma canónica
𝑥−ℎ 2
𝑎2 −
𝑦−𝑘 2
𝑏2 = 1
Centro
𝐶 ℎ, 𝑘 = 6, −2 Vértices
𝑉 1, −2 𝑦 𝑉 11, −2
Focos
𝐹 = ℎ ± 𝑐, 𝑘
𝐹 11.38; −2 𝑦 𝐹 0,61; −2
Excentricidad
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑐 = 29
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
29
5
= 1.077
Tarea 1. Dadas las siguientes
hipérbolas y elipses dar, en cada
caso, las coordenadas del centro,
de los vértices, los focos, la
excentricidad y la gráfica.
(Comprobar con GeoGebra)

18. 𝑥2
+ 𝑦2
+ 6𝑦 + 2𝑦 − 15 = 0
𝑥2
+ 𝑦2
+ 8𝑦 − 15 = 0
𝑥2
− 𝑦 + 4 2
− 15 − 16 = 0
𝑥2 − 𝑦 + 4 2 − 31 = 0
𝑥2
− 𝑦 + 4 2
= 31
Tarea 2. En el siguiente problema
debe completar cuadrados para
obtener la cónica en la forma
canónica (comprobar con
GeoGebra):

19. 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜: 𝑐 = ℎ, 𝑘 = 0, −2
Ecuación general
(𝑥−ℎ)2
𝑎2 +
(𝑦−𝑘)2
𝑏2
Hallamos a y b
ℎ + 𝑎 = 1
0 + 𝑎 = 1
𝑎 = 1
𝑘 + 𝑏 = −2 + 2
−2 + 𝑏 = −2 + 2
𝑏 = −2 + 2 + 2
𝑏 = 2
Remplazamos
(𝑥−0)2
12 +
(𝑦−(−2))2
( 2)2
(𝑥−0)2
12 +
(𝑦+2)2
( 2)2
𝑋2
1
+
𝑌+2 2
2
= 1
Tarea 3. Encontrar la ecuación
canónica de una elipse cuyos
vértices son respectivamente:
𝑣1 = 1; −2 , 𝑣2 = −1; −2 , 𝑣3 = 0; −2 + 2 , 𝑣4 = 0; −2 − 2

20. Tarea 4. Realicelos siguientes
ejerciciosde GeometríaAnalítica:
Hallamos la pendiente:
𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
𝑚 =
6+2
4−1
=
8
3
Resolvemos la ecuación:
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 𝑥 − 𝑥0
𝑦 + 2 =
8
3
𝑥 − 1
3𝑦 + 6 = 8𝑥 − 8
3𝑦 − 8𝑥 + 6 − 8 = 0
3𝑦 − 8𝑥 − 2 = 0
Halle la ecuación de la recta que
pasa por los puntos (1,-2) y (4,6).

21. Referencias Bibliográficas
Ortiz Ceredo, F. J. Ortiz Ceredo, F. J. y Ortiz Ceredo, F. J. (2018). Matemáticas 3 (2a. ed.). Grupo
Editorial Patria. https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/40539?page=51
Real, M. (2010). Secciones Cónicas. Recuperado de https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7690
Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional
Abierta y a Distancia. Páginas 237 – 265. Recuperado
de https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583