The paper deals with the assessment during time of r.c. structures under damage due to diffusion of external agents inside the structure. The diffusion process is modelled by a cellular automata based approach, taking the interaction with the mechanical state of the structures, i.e. the cracking state of the structures, into account. A so-called staggered process then solves the coupled problem. An application shows the effectiveness of the proposed analysis strategy, together some design considerations about the structural robustness. Atti Congresso CTE, Pisa 2000

1. UNA FORMULAZIONE DEL
DEGRADO DELLA RISPOSTA DI
STRUTTURE INTELAIATE IN
C.A./C.A.P.
FRANCO BONTEMPI, Università di Roma
“La Sapienza”
PIER GIORGIO MALERBA, Università di Udine
FABIO BIONDINI, Politecnico di Milano
SUMMARY
The paper deals with the assessment during
time of r.c. structures under damage due to
diffusion of external agents inside the structure.
The diffusion process is modelled by a cellular
automata based approach, taking the interaction
with the mechanical state of the structures, i.e.
the cracking state of the structures, into account.
A so-called staggered process then solves the
coupled problem. An application shows the
effectiveness of the proposed analysis strategy,
together some design considerations about the
structural robustness.
1. INTRODUZIONE
Uno degli aspetti rilevanti dell’innovazione in
atto nell’industria delle costruzioni è l’attenzione
riservata al requisito della durabilità. Al suo
miglioramento sono stati dedicati ampi studi e
precise disposizioni normative, nelle quali è
evidenziato come la durabilità possa essere
ottenuta curando non solo le forme ed i dettagli
costruttivi, ma anche le procedure da seguire in
fase di realizzazione.
In strutture progettate e realizzate per essere
durevoli gli effetti degradanti dell’aggressività
dovuta all’ambiente o alle condizioni di esercizio,
si faranno sentire in misura minore o risulteranno
protratti a tempi che, per molti tipi di opere,
possono superare la vita utile prevista.
Negli altri casi, e, in particolare, per le
strutture esistenti, ci si deve attendere nella vita
della costruzione una fase critica, nella quale la
misura della sicurezza deve necessariamente
tener conto del danneggiamento subito.
Per danneggiamento si intendono
principalmente le perdite di continuità localizzate
o diffuse che riguardano la matrice di
calcestruzzo e la riduzione delle sezioni resistenti
delle barre di armatura in acciaio. Lo sviluppo del
danneggiamento va ad interessare,
progressivamente, tutto l’elemento strutturale,
nella pienezza del suo volume. Questo significa,
di solito, che quando il danno è percepito tramite
gli effetti visibili sulla superficie dell’elemento, la
sua effettiva penetrazione è già progredita molto
più di quanto si sia portati e pensare. Pertanto,
se negli interventi di ripristino non si procede ad
accurati esami preventivi sia sullo stato del
calcestruzzo, sia sullo stato delle armature e,
successivamente, ad un’accurata bonifica delle
zone ammalorate, si rischia di impegnare risorse
rilevanti in operazioni a carattere puramente
cosmetico, il cui esito finale risulta quello di
incapsulare cause ammaloranti destinate a
riattivarsi partendo, questa volta, dall’interno.
L’inquadramento del problema in termini di
formulazione ingegneristica deve tener conto
delle notevoli incertezze insite nella definizione
dei parametri significativi. In questo lavoro si
ritiene conveniente ricorrere ad un approccio
risolutivo che operi l’aggregazione dei diversi
fattori a livello macroscopico, in modo da trattare
il fenomeno nei suoi aspetti essenziali,
rinunciando ad una descrizione locale accurata,
ma forse anche illusoria, in assenza dati
sperimentali affidabili e diffusi.
In una prima parte del lavoro si introduce una
strategia di soluzione, sintetica ma realistica, che
mette in evidenza gli aspetti salienti del
problema, consistenti in: (a) determinazione
dell’evoluzione del danno, partendo da definite
cause ammaloranti e sua mappatura nel volume
del sistema meccanico; (b) definizione della
conseguente evoluzione del comportamento
meccanico; (c) interazione tra fenomeno diffusivo
e comportamento meccanico. Lo studio di una
struttura in c.a. in ambiente aggressivo consente
di seguire sia lo sviluppo del danno, sia
l’evoluzione delle capacità prestazionali nel
tempo.
2. IMPOSTAZIONE DEL PROBLEMA
La funzionalita’ delle strutture e’ un problema
di notevole rilevanza economica e sociale e che
presenta molteplici aspetti. Questa funzionalita’
puo’ essere intaccata dal venire meno della
capacita’ prestazionale di un’opera strutturale:
con questo termine si intende in modo del tutto
generale, la capacita’ di una struttura di
soddisfare una richiesta funzionale, definita
domanda prestazionale.
Si consideri idealmente in Fig.1 l’evolvere nel
tempo della capacita’ prestazionale di
un’ipotetica struttura. Alla base del procedimento
per la valutazione della capacita’ residua di una
struttura esistente, si sottolineano i seguenti

2. aspetti concettuali:
1. obsolescenza interna (Fig.1.a): si considera
costante la domanda prestazionale, ma,
degradandosi nel tempo la struttura a causa
di effetti ambientali o legati ai carichi
accidentali, tale domanda puo’ rischiare di
risultare non soddisfatta (caso a): il punto in
cui la capacita’ e’ appena uguale alla
domanda prestazionale segna teoricamente
la fine della vita di servizio tecnico (technical
service life). Tendenza delle moderne
concezioni progettuali e’ quella di porre
esplicitamente l’attenzione sull’andamento
temporale della capacita’ strutturale
(progettazione per la durabilita’), prevedendo
operazioni di controllo e monitoraggio ed,
eventualmente, adeguamento (caso b). Con
il termine durabilita’ si intende la capacita’ di
mantenere adeguato lo stato di servizio di un
prodotto, di un componente, di un assieme o
dell’intera costruzione per un tempo
assegnato. Altresi’ va presa in
considerazione la strategia di prevedere un
progetto esuberante (caso c), le cui qualita’
economiche sono pero’ da verificare caso per
caso.
2. obsolescenza esterna (Fig.1.b): la domanda
prestazionale cambia nel corso della vita
della struttura: se la domanda viene innalzata
(per la necessita’, ad esempio, di sopportare
categorie di carico piu’ gravose), cio’ puo’
portare ad un accorciamento della vita di
servizio tecnico; se viceversa la variazione
comporta un declassamento della struttura
ad una categoria di carico minore,
espediente frequentemente realizzato nella
pratica, la vita stessa puo’ risultarne
allungata.
3. aleatorieta’ del processo: le considerazioni
precedentemente svolte devono tenere conto
di aspetti stocastici immanenti nella realta’.
Ad esempio, nella Fig.1.c e’ illustrata la
situazione, ideale ma frequente nelle
applicazioni, in cui solo la domanda
prestazionale e’ ritenuta determinata. Il livello
piu’ alto di impostazione del problema e’
quello che porta alla determinazione della
evoluzione temporale della probabilita’ di
rovina (Fig.1.d).
(a) (b)
(c) (d)
Fig.1: Aspetti concettuali dell’andamento della capacita’ prestazionale di una struttura nel tempo.
R
R
t t
t t
R
R

3. Nelle Fig.1.c,d, e’ evidenziato il problema della
valutazione della capacita’ resistente di una
struttura in esercizio (remaining structural
capacity o structural assessment): in una breve
finestra temporale, nell’intorno di un istante della
vita strutturale, si tratta di quantificare la capacita’
prestazionale dell’opera, e stabilire se essa e’
dunque capace di rispondere alla domanda.
La determinazione con certezza assoluta di
tale capacita’, richiederebbe il collaudo della
struttura sottoposta ai relativi carichi: tale strada
non e’ pero’ sempre praticabile, e anche
consigliabile, sia dal punto di vista
dell’economicita’ che della sicurezza nel caso di
pericolo di collasso.
Ci si deve affidare dunque ad un approccio di
valutazione teorico, possibilmente (nel caso di
opere importanti, inderogabilmente) supportato
da attivita’ sperimentale. E’ chiaro il ruolo
primario che assume l’analisi strutturale: si ritiene
in particolare che la modellazione dovrebbe
essere:
•coerente nel rappresentare il sistema
strutturale, in particolare nelle sue condizioni al
contorno;
•realistica nel presentare le situazioni di degrado:
e’ piu’ importante la ragionevolezza dello
scenario in cui la capacita’ prestazionale evolve,
che il valore effettivo assunto dal degrado,
essendo lo stesso nella realta’ il frutto di
situazioni varie e complesse, sicuramente non
note ne determinabili dall’analista;
•efficiente per permettere piu’ valutazioni, da
inserire in un quadro complessivo.
3. LA SIMULAZIONE DEI PROCESSI
DIFFUSIVI MEDIANTE AUTOMI
CELLULARI
Lo studio di un sistema e dei fenomeni che lo
interessano attraverso automi cellulari, richiede
un numero di fasi successive che sono di seguito
illustrate.
La digitalizzazione del sistema.
Per la descrizione dell’evoluzione temporale
del fenomeno oggetto di studio, sia individuato il
passo temporale t: tale incremento e’ dunque
significativo per la scala dei tempi intrinseca ai
fenomeni in oggetto.
Sia poi la generica sezione inscrivibile in un
rettangolo di base ed altezza definite
rispettivamente dagli estremi xmin - xmax e ymin -
ymax . Tale area puo’ essere suddivisa, attraverso
una griglia di rette individuate dai passix e y, in
un numero di aree elementari y
x N
N
N 
= , con
( ) x
x
x
Nx 
−
= /
min
max ,
( ) y
y
y
N y 
−
= /
min
max .
Ciascuna area elementare, che puo’ essere
individuata univocamente da due indici
y
x N
j
N
i ,...
1
;
,...
1 =
= , in generale, apparterra’ o
meno alla sezione. In particolare, si potra’
introdurre una matrice rettangolare, contenente
numeri interi, indicata con 0
S, in cui il generico
termine 0
S(i,j) e’ per convenzione posto uguale a
–2 o a zero, a seconda che la corrispondente
area elementare non appartenga o appartenga
alla sezione. La sezione risulta cosi’, in altri
termini, digitalizzata, e la matrice 0
S puo’ essere
considerata rappresentativa dello stato di
ciascuna area elementare: inizialmente, al tempo
t=t0 , ciascuna area puo’ soltanto presentare due
stati differenti, appartenendo o no alla sezione.
Va sottolineato che i passi x - y sono legati
alla velocita’ con cui avvengono i fenomeni nel
singolo passo temporale t: questo vuol dire che,
nel singolo passo t, una perturbazione dello
stato del sistema originatasi in un punto
qualunque del sistema stesso, puo’ essere
sentita in una zona limitrofa di lati 2x e 2y.
Allo stesso modo, si potra’ considerare la
presenza di sostanze aggressive comunque
disposte attorno alla sezione all’istante t=t0,
imponendo ai corrispondenti termini 0
S(i,j) il
codice convenzionale uguale a –1.
L’evoluzione del sistema.
Sia considerato il generico istante t=tI e sia lo
stato del sistema individuato dalla matrice I
S: il
problema e’ di individuare l’operatore di
transizione T, che porta al nuovo stato I+1
S del
sistema all’istante t=tI+1:
I+1
S = T(I
S) (1)
Come gia’ considerato nell’introduzione, tale
operatore risulta essenzialmente un operatore di
mappatura tra uno stato ed il successivo:
l’equazione (1) costituisce, assieme
all’introduzione costruttiva e all’implementazione
algoritmica, la definizione di un automa cellulare.
Nel caso in esame dunque, diffusione di agenti
aggressivi all’interno di una sezione in c.a./c.a.p.,
l’evoluzione dell’automa cellulare coincide con
l’evoluzione nel tempo della diffusione di questi
agenti nella sezione e lo stato dell’automa ad un
istante caratterizza lo stato della sezione proprio
in quel momento.
Ora, in generale, esistono operatori di
avanzamento deterministici e operatori di

4. avanzamento stocastici, risultando in genere
questi ultimi piu’ realistici. In quest’ultimo caso, in
particolare,
1. si verifica la possibilita’ della transizione di
stato;
2. secondo regole stocastiche, si effettua
eventualmente la transizione.
Nel caso specifico, l’algoritmo che fa evolvere
lo stato della generica area elementare (i,j) puo’
essere individuato nel modo seguente:
• se I
S(i,j)< 0, l’area elementare corrispondente
non appartiene alla sezione: lo stato non
cambia: I+1
S(i,j)=I
S(i,j);
• se I
S(i,j)= 0, l’area elementare corrispondente
appartiene alla sezione, e lo stato puo’
cambiare: in particolare la diffusione puo’
evolvere:
❑ si considerano, a turno, le quattro aree
elementari adiacenti in uno schema di
croce di Sant’Andrea: I
S(i-1,j-1), I
S(i+1,j-
1), I
S(i+1,j+1), I
S(i-1,j+1);
❑ per ciascuna area caratterizzata da uno
stato >0, si estrae un numero casuale C
uniformemente distribuito fra zero e 1;
❑ si controlla che tale numero sia maggiore
di una certa soglia Clim: se si’, al termine
I+1
S(i,j) è assegnato il valore 1, ovvero e’
avvenuta la diffusione della sostanza
aggressiva nell’area elementare
individuata dalle coordinate intere (i,j);
• se I
S(i,j)> 0, nell’area elementare
corrispondente appartenente alla sezione si
era gia’ diffusa la sostanza aggressiva: per
evidenziare da quanti passi temporali cio’ e’
avvenuto, si pone I+1
S(i,j)=I
S(i,j)+1. In tal
modo, si puo’ valutare il tempo trascorso
dall’avvenuta diffusione in quell’area
elementare.
E’ istruttivo vedere come tale operatore di
evoluzione si traduca in un linguaggio di
programmazione. Nello schema riportato in Fig.1
ad esempio, sono riportate le istruzioni che
implementano l’automa cellulare in un linguaggio
elementare come il BASIC. In tale schema, non
vanno, per il momento, considerate le istruzioni in
corsivo.
È importante notare che l’operatore cosi’
costruito, dipende soltanto da:
• il valore di soglia Clim: nel codice riportato tale
valore e’ pari a 0.95; esso regola la velocita’
di diffusione, nel senso che valori piu’ bassi,
forniscono maggiori probabilita’ che la
diffusione avvenga nel passo temporale
considerato nella area elementare in esame;
• il numero e la disposizione delle aree
adiacenti da cui la diffusione puo’ avvenire.
Entrambi questi fattori possono essere
correlati al coefficiente di diffusione che appare
nelle equazioni che governano classicamente il
fenomeno. Ed e’ chiaro, che tale operatore puo’
in ogni caso essere reso piu’ aderente alla
realta’, senza peraltro complicare
eccessivamente la formulazione, e restando la
definizione dei parametri dell’automa cellulare
abbastanza semplice: tali parametri possono
essere infatti identificati dal comportamento
macroscopico della diffusione in sezioni di
interesse.
‘…………………………….automa cellulare
EPSCR=0.0002
FATCR=3
CLIM=0.95
FOR IX=1 TO NX-1
X= XMIN+IX*DISTX-DISTX / 2
FOR IY=1 TO NY-1
Y=YMIN+IY*DISTY-DISTY / 2
PP=ISTATO(IX, IY)
'* il punto appartiene alla sezione
ISTATONEW(IX, IY)=ISTATO(IX, IY)
IF (PP>0) THEN ISTATONEW(IX, IY)=ISTATO(IX, IY)+1
IF (PP=-1) THEN
'* croce di Sant’Andrea
P1=ISTATO(IX-1, IY-1)
C=RND
IF ((EPS-CHI*Y)>EPSCR) THEN C=C*FATCR
IF ((P1>=0) AND (C>CLIM)) THEN ISTATONEW(IX, IY)=1
P2=ISTATO(IX+1, IY+1)
C=RND
IF ((EPS-CHI*Y)>EPSCR) THEN C=C*FATCR
IF ((P2>=0) AND (C>CLIM)) THEN ISTATONEW(IX, IY)=1
P3=ISTATO(IX+1, IY-1)
C=RND
IF ((EPS-CHI*Y)>EPSCR) THEN C=C*FATCR
IF ((P3>=0) AND (C>CLIM)) THEN ISTATONEW(IX, IY)=1
P4=ISTATO(IX-1, IY+1)
C=RND
IF ((EPS-CHI*Y)>EPSCR) THEN C=C*FATCR
IF ((P4>=0) AND (C>CLIM)) THEN ISTATONEW(IX, IY)=1
‘
END IF
NEXT IY
NEXT IX
Figura 1. Implementazione in BASIC dell’automa
cellulare.
Va inoltre sottolineato che, finora, l’automa
cellulare cosi’ individuato modella il processo
diffusivo solo in base a caratteristiche spaziali,
quali la vicinanza alla sorgente diffusiva, il fatto
che ci siano aree della sezione gia’ contaminate,
ecc.: manca cioe’ qualsiasi riferimento agli aspetti
meccanici del problema.
Si consideri ora, comunque, a titolo
d’esempio, la sezione riportata in Figura2.a, di
forma tri-cellulare, geometricamente non
regolare, alta complessivamente 220cm e larga
700cm, con un area pari a 70537cm2
. Nella
Figura2.b, e’ mostrata la suddivisione della
sezione, adottando x=y=3.5cm, in un totale di
14528
64
227 =

=

= y
x N
N
N aree
elementari. E’ inoltre indicata sullo sfondo la
regione da dove si ritiene provenga la diffusione.
Nelle figure che seguono, e’ mostrata
l’evoluzione della diffusione dopo 1, 2, 3, 4, e 5,
anni inizialmente, e da 10 a 50 anni, con intervalli
di 5 anni, dopo.

5. .a
b
c d
e f
g h
Figura 2. a) Caratteristiche geometriche della sezione cellulare in esame; b) digitalizzazione iniziale, con
evidenziato sullo sfondo l’area da cui parte la diffusione; c), d), e), f), g) evoluzione della diffusione,
rispettivamente, dopo 1, 2, 3, 4, 5 anni; h) sezione dopo 10 anni.

6. i l
m n
o p
q r
Figura 2. (continua) i), l), m), n), o), p), q), r) evoluzione della diffusione, rispettivamente, dopo 15, 20, 25,
30, 35, 40, 45, 50 anni.
La conseguente evoluzione del comportamento
meccanico del sistema.
Alla descrizione puramente geometrica del
processo di diffusione vista precedentemente, si
puo’ legare l’evoluzione del comportamento
meccanico della struttura. A tal fine, nell’ottica
tipica della meccanica del danneggiamento, si
ipotizzano le due seguenti analoghe leggi di
degrado per l’acciaio e il conglomerato:
• per l’acciaio: ( ) ( ) ( )
D
f
f
f t
t
t
A
t
A ,
0 

= ;
• per il conglomerato:

7. ( ) ( ) ( )
D
c
c
c t
t
t
A
t
A ,
0 

= .
Attraverso queste leggi, in un determinato
punto della sezione di coordinate (x,y), le aree
iniziali dei due materiali ivi presenti, acciaio o
conglomerato, sono ridotte progressivamente, a
partire dall’istante di tempo tD al quale e’
avvenuta la diffusione degli agenti aggressivi in
quel punto.
In particolare, nelle applicazioni del presente
lavoro, si e’ considerato, per semplicità, l’unica
funzione ( ) ( ) ( )
D
D
c
D
f t
t
t
t
t
t ,
,
, 

 =
= , e’
rappresentata in Fig.3.
( )
D
t
t,

1
0 10 t-tD
Figura 3. Andamento nel tempo della funzione
che descrive il degrado del materiale.
Essa traduce, analiticamente, l’idea che
• fino all’arrivo della diffusione nel punto della
sezione in esame, il materiale e’ integro;
• dopo la diffusione, per un periodo qui
assunto di 10 anni, si ha un incremento
lineare del degrado nel tempo;
• dopo 10 anni, il materiale e’ completamente
degradato.
Si considerino a questo punto le
caratteristiche meccaniche della sezione in
esame. Il conglomerato e’ discretizzato per
mezzo di 68 nodi e 24 elementi isoparametrici
quadrilateri. L’armatura e’ rappresentata da 224
coppie di barre 20 mm (
2
1 mm
628
=
s
A ),
distribuite in due strati nelle ali superiore ed inferiore
della sezione. Le caratteristiche nominali (ovvero
medie) dei materiali che definiscono i legami
adottati sono:
• conglomerato: MPa
7
.
44
nom
, −
=
c
f ,
‰
4
.
3
−
=
cu
 , 1
2 ct
ctu 
 = ;
• acciaio: MPa
544
nom
, =
sy
f ,
GPa
205
=
s
E , %
1
=
su
 .
con un peso specifico del materiale composito
pari a 3
kN/m
25
=
 .
In questo modo, nelle Figg.4.a e .b, sono
rappresentati come variano nel tempo, in
funzione del degrado del materiale conseguente
ai fenomeni diffusivi rappresentato nella Fig.2, a)
diagramma momento flettente - curvatura; b)
dominio di rottura momento flettente - azione
assiale. In particolare, avendo assunte positive le
azioni assiali di trazione e le azioni flettenti che
sollecitano a trazione le fibre superiori della
sezione, si vede come l’attacco di degrado dal
basso della sezione, faccia decrescere la
capacita’ resistente a momenti negativi (momenti
che tendono le fibre inferiori).
Sempre osservando il diagramma
momento flettente – curvatura, appare evidente
che la duttilita’ della sezione in termini di
curvatura ultima, non e’ influenzata dal processo
di degrado. Ora questo, non e’ in generale vero:
per simulare tale fenomeno, ovvero la riduzione
della duttilita’, occorrerebbe eventualmente
intervenire modificando i legami costitutivi.
Figura 4. Andamento nel tempo in funzione del
degrado del materiale conseguente ai fenomeni
diffusivi di: a) diagramma momento flettente -
curvatura; b) dominio di rottura momento flettente
- azione assiale.
L’interazione fra comportamento meccanico e
fenomeno diffusivo.
Rispetto all’ultima osservazione fatta, appare
invece piu’ evidente il fatto che il fenomeno di
degrado non e’ collegato al comportamento
meccanico della sezione. E’ evidente
sperimentalmente che sezioni fessurate
promuovono fenomeni diffusivi piu’ veloci, anche
di ordini di grandezza.

8. 1
2-
3
4
Figura 5. Evoluzione del fenomeno diffusivo (1,..4
anni), in funzione dello stato deformativo
sezionale: sezione con asse neutro passante per
il baricentro, compressa superiormente e tesa
inferiormente.
Nell’ambito della schematizzazione attraverso
automi cellulari dei processi diffusivi, questa
importante considerazione porta alla modifica
dell’algoritmo di Fig.1, con l’introduzione delle
gia’ notate istruzioni in corsivo. In questo modo,
nel generico punto di coordinate (x,y) della
sezione, se qui e’ presente una deformazione di
trazione superiore ad un limite convenzionale, ad
esempio la deformazione in cui si verifica la
fessurazione del conglomerato, il numero C
estratto in maniera uniformemente distribuita tra
0 e 1, e’ moltiplicato per un fattore maggiore di 1,
fattore rappresentante la maggiore velocita’ di
diffusione di agenti in mezzi fratturati. In modo
analogo, si potrebbe ad esempio tenere conto del
fatto che eccessive compressioni comportano
fessurazioni trasversali che possono anche loro
accelerare i processi diffusivi.
Per comprendere come tale correzione vari
l’evoluzione del processo diffusivo, si consideri la
Fig.5. In essa e’ rappresentata l’evoluzione della
diffusione nella sezione in esame, supponendo
che l’asse neutro passi per il baricentro, posto a
meta’ altezza, essendo le fibre sopra l’asse
neutro compresse, quelle sotto tese: appaiono
evidenti le due differenti velocita’ di diffusione.
4. L’INTERAZIONE FENOMENI
DIFFUSIVI - COMPORTAMENTO
STRUTTURALE E LA VERIFICA DI
SICUREZZA
Quanto esposto finora fa riferimento alla
singola sezione. Per essa,
• si e’ impostato l’automa cellulare che fa
progredire il fenomeno diffusivo;
• si sono considerate semplici leggi che
tengono conto di come il materiale acciaio o
conglomerato si degrada nel tempo a causa
dei fenomeni associati alla diffusione;
• si e’ illustrato l’effetto accelerante del
degrado dovuto alla diffusione in materiale
fratturato.
E’ chiaro ora che tutto questo deve essere
inserito nel quadro piu’ generale di una struttura
soggetta a certi carichi, permanenti o semi-
permanenti e accidentali, le cui caratteristiche
evolvono nel tempo, e di cui occorre valutare la
sicurezza: tutto questo in campo non lineare, che
e’ l’unico a fornire un quadro di riferimento
coerente. In particolare, la sezione che si e’
considerata finora, sara’ la generica sezione di
Gauss della struttura intelaiata complessiva.

9. I
v
a
lu
ta
z
io
n
e
d
e
lla
ris
p
o
s
ta
s
tru
ttu
ra
le
I+
1
fe
n
o
m
e
n
o
d
iffu
s
iv
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c
o
m
p
o
rta
-
m
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n
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I
v
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lu
ta
z
io
n
e
d
e
lla
ris
p
o
s
ta
s
tru
ttu
ra
le
I+
1
fe
n
o
m
e
n
o
d
iffu
s
iv
o
c
o
m
p
o
rta
-
m
e
n
to
m
e
c
c
a
n
ic
o
Impostazione del problema di interazione fra
comportamento meccanico e fenomeno diffusivo.
Per sviluppare un algoritmo risolutivo che
tratti il problema dell’interazione fra
comportamento meccanico e fenomeni diffusivi,
si considerino gli schemi riportati in Fig.6. Nel
diagramma di flusso a), e’ richiamata la
formulazione completa del problema meccanico-
diffusivo: nel passaggio dall’istante tI all’istante
tI+1, entrambi gli aspetti sono risolti
contemporaneamente, influenzandosi cosi’
reciprocamente in maniera immediata. Nel
diagramma b) invece, i due sotto-problemi
meccanico e diffusivo, sono risolti in cascata e
quindi possono influenzarsi solo con un ritardo
temporale.
E’ chiaro il vantaggio computazionale che lo
schema approssimato b) comporta sulla
formulazione esatta a). In particolare, esso puo’
essere adattato ulteriormente considerando:
• la soluzione del problema meccanico al
tempo tI;
• l’evoluzione del problema diffusivo dal tempo
tI al tempo tI+I;
• aggiornamento I = I + I.
In tal modo, nota ad un certo tempo la situazione
diffusiva, è risolto il problema meccanico; poi si fa
evolvere la situazione diffusiva, influenzata dalla
soluzione meccanica precedente, per un certo
numero di anni, riprendendo quindi ciclicamente
da capo (staggered interaction approach).
Va notato che, pur restando chiara la natura
approssimata della formulazione scelta, essa
appare l’unica in grado di supportare
computazionalmente analisi di tipo parametrico,
probabilistico o fuzzy, in cui si devono ottenere
comunque insiemi di simulazioni di vite strutturali.
Scenario per la verifica della sicurezza
strutturale.
L’impostazione della verifica strutturale
richiede l’esplicitazione dello scenario in cui e’
posta la struttura oggetto della verifica. Con il
termine scenario, si intende quell’insieme
organizzato e coerente si situazioni plausibili e
significative, poste alla base del processo di
analisi.
Con riguardo al problema che si sta
considerando, quello del possibile degrado della
capacita’ prestazionale a causa di fenomeni
diffusivi, il piu’ semplice scenario che si puo’
considerare e’ il seguente:
• per la struttura in esame, si considera una
situazione di carico permanente o semi-
permanente, individuata dal vettore di carichi
equivalenti g, ed una situazione di carico
accidentale, indicata con q, rispetto alla
quale occorre verificare la sicurezza;
• il quadro meccanico che interagisce con il
processo diffusivo e’ fornito dalla soluzione
a) b)
Fig.6. Problema di interazione al generico istante tI fra comportamento meccanico e fenomeno
diffusivo: a) formulazione completa, con soluzione sincrona dei due aspetti, meccanico e diffusivo; b)
formulazione asincrona, con soluzione dei due sotto-problemi meccanico e diffusivo in cascata.

10. del problema strutturale con vettore dei
carichi g: per questo livello di carico, è risolto
il problema strutturale non lineare, e da tale
soluzione, si ricavano i parametri deformativi
(posizione dell’asse neutro, fibre tese e
compresse) che influenzano il processo
diffusivo;
• la verifica strutturale e’ invece condotta,
fissata ad un certo tempo la situazione
diffusiva e di degrado, facendo riferimento al
vettore dei carichi f = g +  q, in cui il
vettore dei carichi accidentali e’ amplificato
dal moltiplicatore  .
Analisi strutturale non lineare.
Per quanto riguarda l’analisi non lineare, si fa
riferimento ad un elemento di trave in C.A./C.A.P.
la cui formulazione, basata sull’ipotesi di
Bernoulli-Navier, tiene conto delle non linearità
meccaniche associate ai legami costitutivi dei
materiali e delle non linearità geometriche
associate agli effetti del secondo ordine
(Bontempi, Malerba & Romano 1995, Malerba
1998).
In particolare, i contributi meccanico M
K e
geometrico G
K alla matrice di rigidezza K
dell’elemento e il vettore delle forze nodali f,
equivalente ai carichi applicati 0
f ed alla
precompressione p
f , sono dedotti applicando il
Principio dei Lavori Virtuali e valutati mediante
integrazione numerica sulla lunghezza l
dell’elemento di trave:

=

l
T
M dx
0
HB
B
K 
=

l
T
G dx
N
0
G
G
K
G
M K
K
K 
+

=
  
+

=

l
p
T
dx
0
0 )
( f
f
N
f






=
b
a
N
0
0
N
N












=
2
2
x
x
b
a




N
0
0
N
B 







=
x
b
N
0
G
in cui N è la forza assiale e N è la matrice delle
funzioni di forma assiali a
N e flessionali b
N .
Vengono in particolare adottate le funzioni di
forma di un elemento di trave avente rigidezza
sezionale H uniforme lungo l’asse e caricato
soltanto ai nodi. A causa della non linearità
meccanica e dei fenomeni di degrado che
interagiscono con il regime tensionale, la
rigidezza sezionale è comunque non uniforme
anche per elementi prismatici con armatura
uniforme. Per questo motivo, anche la matrice H
e il vettore p
f vengono valutati mediante
integrazione numerica sezionale sulla base dei
legami costitutivi dei materiali.
Assemblando la matrice di rigidezza K ed il
vettore dei carichi nodali f rispetto ad un sistema
di riferimento globale, l’equilibrio della struttura
può essere formalmente espresso come segue:
f
Ks=
in cui i vettori s e f devono essere interpretati
come quantità globali o incrementali a seconda
della natura della matrice K=K(s), ovvero a
seconda se viene utilizzato un approccio
rispettivamente secante o tangente.
Per quanto riguarda i legami costitutivi, per il
calcestruzzo in compressione si adotta la legge
di Saenz, mentre in trazione si assume un
modello elastico perfettamente plastico. Per
l’acciaio normale si fa riferimento ad un modello
elastico perfettamente plastico, mentre per
l’acciaio da precompressione si adotta un legame
elasto-plastico incrudente in cui il ramo plastico è
descritto da una curva di quinto grado.
q
g
20m 32m
Figura 7. Travata a due campate.
5. APPLICAZIONE
Si considera la travata continua in c.a. il cui
schema e’ mostrato in Fig.7. La prima campata e’
di 20m, mentre la seconda e’ lunga di 32m:
entrambe sono state discretizzate con 4
elementi. Oltre ad essere appoggiata sul nodo fra
le campate, la struttura e’ vincolata con un
incastro all’estremo di sinistra e con una cerniera
all’estremo di destra. Accanto ad una travata con
la sezione considerata precedentemente, se ne
considera una identica ma con la sezione
modificata di Fig.8: tale sezione presenta le
stesse caratteristiche complessive, ma lo stesso
quantitativo di armatura e’ stato distribuito anche
sulle anime, oltre che in strati sulle ali.
Oltre al peso proprio, pari a 430kN/m, la
campata sinistra della trave si considera soggetta
all'azione di un carico accidentale distribuito di
intensità nominale pari qnom=1000 kN/m: questi
due carichi distribuiti contribuiscono a formare il
vettore g: tale livello di carico, e’ evidenziato nei
diagrammi motiplicatore - spostamento mezzeria
1^campata di Fig.9. In tale figura, e’ riassunto

11. l’andamento della risposta strutturale e l’evolvere
del degrado lungo la trave, dopo 5, 10,.50 anni,
per i casi:
a) travata con sezione originaria;
b) come sopra, ma escludendo l’interazione fra
processo diffusivo e comportamento
meccanico: non si ha quindi accelerazione
della diffusione nelle zone fessurate della
struttura;
c) travata con sezione alternativa: si considera
di nuovo l’interazione, ma la risposta, anche
se inizialmente minore di quella con sezione
originaria, presenta degrado relativo minore.
Infine, nella Fig.10., si puo’ valutare il complesso
della risposta strutturale, sotto il carico
permanente e sotto il carico di collasso, che
mostra come questo sia guidato dalla crisi della
campata dimostra come questo sia guidato dalla
crisi della campata di destra.
Fig.8. Sezione alternativa con uguale armatura,
ma diffusa anche sulle anime.
a
1
4
7
10
13
16
19
22
50 anni
15 anni
0
20
40
60
80
100
% di area
degradata
n. sezione di Gauss
degrado strutturale nel tempo
50 anni
45 anni
40 anni
35 anni
30 anni
25 anni
20 anni
15 anni
10 anni
5 anni
b
1
4
7
10
13
16
19
22
50 anni
15 anni
0
20
40
60
80
100
% di area
degradata
n. sezione di Gauss
degrado strutturale nel tempo
50 anni
45 anni
40 anni
35 anni
30 anni
25 anni
20 anni
15 anni
10 anni
5 anni
c
1
4
7
10
13
16
19
22
50 anni
15 anni
0
20
40
60
80
100
% di area
degradata
n. sezione di Gauss
degrado strutturale nel tempo
50 anni
45 anni
40 anni
35 anni
30 anni
25 anni
20 anni
15 anni
10 anni
5 anni
Fig.9. Curve moltiplicatore carichi accidentali – spostamento mezzeria prima campata (colonna sx) e rappresentazione convenzionale del degrado
lungo la trave (colonna dx) dopo 5, 10,.50 anni, per: a) travata con sezione originale ed interazione fra diffusione e comportamento strutturale; b) come
prima, ma trascurando l’interazione; c) travata con sezione alternativa.

12. Fig.10. Comportamento strutturale della travata con sezione originale (deformata, diagramma dei momenti
flettenti, parzializzazione e diagramma dei tagli), sotto carico permanente (a sinistra) e a collasso (a
destra), a 50 anni.
6. CONCLUSIONI
Il lavoro ha riguardato l’impostazione della
valutazione del declino nel tempo della capacità
prestazionale di strutture in c.a./c.a.p. a causa di
diffusione di agenti aggressivi al loro interno e
conseguente fenomeni di degrado dei materiali. Il
fenomeno diffusivo e’ stato modellato,
differentemente da quanto si fa classicamente
attraverso la risoluzione nel tempo di equazioni
differenziali a derivate parziali, attraverso i
procedimenti algoritmici che vanno sotto il nome
di automi cellulari. Chiaramente, si e’ dovuta
tenere in conto l’interazione con i fenomeni
meccanici, ed in particolare si e’ considerata
l’influenza che possono avere i fenomeni di
fratturazione nella velocita’ di diffusione degli
agenti estranei. Attraverso una applicazione, si e’
messa in luce come l’organizzazione sezionale (e
quindi strutturale), possa essere piu’ o meno
robusta nei confronti del degrado nel tempo.
7. BIBLIOGRAFIA
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stampa, Udine, CISM, 2000.
(08) C.A. WHITNEY: Random Process in
Physical Systems. An Introduction to
Probability-Based Computer Simulations.,
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