The document discusses how to find the conjugate expression of radical expressions. It defines the conjugate as the expression that allows extracting the terms of a root. For a monomial radical expression, the conjugate has the same index and sub-radical factors, with exponents equal to the index minus the original exponents. For a binomial radical expression with index 2, the conjugate switches the sign between terms. For higher indices, specific product formulas are used to eliminate the radicals when multiplying the expression by its conjugate. Several examples are worked through to demonstrate finding conjugates of monomials, binomials, and expressions with multiple terms under the radical.

1. Expresiones Conjugadas

2. Expresiones Conjugadas.
› La conjugada de una expresión con presencia de radicales es
aquella que permite extraer los términos de una raíz, la misma va a
depender de si la expresión es un monomio o un binomio, veamos a
continuación cada uno de estos casos:
› Caso A. La conjugada de un monomio:
› La conjugada de una expresión radical monómica es un radical con
el mismo índice y los mismos factores de la expresión sub-radical,
de tal manera que los exponentes de estos factores son:
i. La diferencia entre el exponente del factor y el índice en caso de
ser este último mayor; o
ii. La diferencia entre el múltiplo del índice que sea inmediatamente
mayor al exponente del factor y este último, en caso de ser el
índice menor.
› Aclararemos esto con algunos ejemplos:
› Ejemplo 1: Hallar la conjugada de
4
𝑥3𝑦2

3. Expresiones Conjugadas.
› Observa que en la expresión 4 3 2 x y los exponentes de “x” y “y”
son 3 y 2 respectivamente (menores que el índice de la raíz) y en la
conjugada se eligen como exponentes de “x” y “y” a 1 y 2
respectivamente, es decir el exponente de “x” es igual a 4–3=1 y el
exponente de “y” es igual a 4–2=2.
› Luego la conjugada de
4
𝑥3𝑦2 es
4
𝑥𝑦2, ya que al multiplicar las dos
expresiones se elimina la raíz:
4
𝑥3𝑦2.
4
𝑥𝑦2 =
4
𝑥4𝑦4 = 𝑥𝑦
› Respuesta: La expresión conjugada de
4
𝑥3𝑦2 es
4
𝑥𝑦2
Expresión original
Expresión conjugada

4. Expresiones Conjugadas.
› Ejemplo 3: Hallar la expresión conjugada para
3
𝑥4𝑦13
› se presenta una alternativa para hallar la conjugada de un monomio,
cuando el exponente de uno de los factores es mayor que el índice
de la raíz, será extraer de la raíz los factores posibles y luego aplicar
el caso (i) para hallar la expresión conjugada del radical resultante.
› Primero extraemos los factores de la raíz
3
𝑥4𝑦13
3
𝑥4𝑦13 =
3
𝑥. 𝑥3𝑦. 𝑦12 = 𝑥𝑦4 3
𝑥𝑦
› Ahora hallamos la conjugada de 3
𝑥𝑦, que es
3
𝑥2𝑦2
› Respuesta: La conjugada del monomio
3
𝑥4𝑦13 es
3
𝑥2𝑦2

5. Expresiones Conjugadas.
› Ejemplo 4: Hallar la conjugada de la expresión
5
𝑥 − 5 2
› Observa que sólo la cantidad subradical es un binomio, la expresión
como tal
5
𝑥 − 5 2 es un monomio.
› Respuesta: La conjugada de la expresión
5
𝑥 − 5 2 =
5
𝑥 − 5 3
› Ejemplo 5: Hallar la conjugada de la expresión
4
𝑡 + 4
› Como estamos ante un monomio (aunque la cantidad sub-radical es
un binomio) para hallar la conjugada tomamos la cantidad sub-
radical como un solo elemento, que en este caso es t+4 con
exponente 1, por lo tanto su conjugada sería:
4
𝑡 + 4 3
› Respuesta: La conjugada de
4
𝑡 + 4 es
4
𝑡 + 4 3

6. Expresiones Conjugadas.
› NOTA: En general, cuando tenemos un solo radical, la conjugada de
dicha expresión se trata como un monomio, independiente de la
característica de la cantidad subradical.
› Ejemplo 6: Hallar la conjugada de la expresión 𝑥2 + ℎ
› Cuando el índice de la raíz es 2 y es la raíz cuadrada de una
expresión (monómica, binómica o polinómica), su conjugada es ella
misma.
› Respuesta: la conjugada de 𝑥2 + ℎ es 𝑥2 + ℎ
› Ejemplo 7: Hallar la conjugada de la expresión
5
𝑥 + 1 + ℎ 2
› Para hallar la conjugada de esta expresión observamos que tenemos
como cantidad sub-radical, un trinomio con exponente 2, por lo
tanto la conjugada será la raíz quinta del trinomio elevado al
exponente resultante de la resta del índice de la raíz y el exponente
del trinomio.

7. Expresiones Conjugadas.
› La conjugada será:
5
𝑥 + 1 + ℎ 2 =
5
𝑥 + 1 + ℎ 3
› Respuesta: La conjugada de
5
𝑥 + 1 + ℎ 2 𝑒𝑠
5
𝑥 + 1 + ℎ 3
› Ejemplo 8: Hallar la conjugada de la expresión
6
𝑥 − ℎ 2 − 𝑧
› Como sólo aparece un radical, atenderemos a la nota del Ejemplo 4.
Para hallar la conjugada de esta expresión observamos que tenemos
como cantidad sub-radical un binomio, dos términos (x–h)2 y z, y el
exponente del binomio es 1, es decir, ((x–h)2–z)1. Por lo tanto la
conjugada será la raíz sexta del binomio elevado al exponente
resultante de la resta del índice de la raíz y el exponente del binomio:
6
𝑥 − ℎ 2 − 𝑧
6−1
=
6
𝑥 − ℎ 2 − 𝑧
5
› Respuesta: La conjugada de
6
𝑥 − ℎ 2 − 𝑧 es
6
𝑥 − ℎ 2 − 𝑧
5

8. Expresiones Conjugadas.
Caso B. La conjugada de un binomio:
› En los siguientes casos, tendremos al menos un radical como parte
de un binomio en la expresión.
› Para expresiones binómicas con radicales de índice dos (2), tales
como 𝒂 + 𝒃 y 𝒂 − 𝒃:
› Para estos casos, aplicaremos el producto notable de la suma por la
diferencia para obtener la diferencia de los cuadrados de los
términos (x+y).(x-y) =(x)2.(y)2 y así eliminar las raíces.
i. La conjugada de 𝑎 + 𝑏 es 𝑎 − 𝑏 ya que al multiplicar las dos
expresiones, ( 𝑎 + 𝑏).( 𝑎 − 𝑏)=( 𝑎)2–( 𝑏)2 = a–b
ii. Así mismo la conjugada de 𝑎 − 𝑏 es 𝑎 + 𝑏, al multiplicarlos:
( 𝑎 − 𝑏).( 𝑎 + 𝑏)=(( 𝑎)2–( 𝑏)2 = a–b
› Ejemplo 9: Hallar la expresión conjugada de 2𝑥 + 3 y comprobar
su respuesta.

9. Expresiones Conjugadas.
› Nota: Observa que para las expresiones binómicas con radicales de índice 2, su
conjugada contiene los mismos términos pero, cambiando el signo de la
operación entre ellos.
› La expresión conjugada de 2𝑥 + 3 es 2𝑥 − 3
› Veamos ahora el producto entre ellas:
2𝑥 + 3 2𝑥 − 3 = 2𝑥 2𝑥 − 2𝑥 3 + 2𝑥 3 − 3 3
= 2𝑥
2
− 2𝑥 3 + 2𝑥 3 − 3
2
= 2𝑥
2
− 3
2
= 2𝑥 − 3
› Respuesta: La conjugada de 2𝑥 + 3 es 2𝑥 − 3 y el producto de ellas:
2𝑥 + 3 2𝑥 − 3 = 2𝑥 + 3
› Ejemplo 10: Hallar la expresión conjugada de 7 − 5 y comprobar su
respuesta.
› La expresión conjugada de 7 − 5 es 7 + 5 , veamos ahora el producto
entre ellas:
› 7 − 5 7 + 5 = 7
2
− 5
2
= 7 − 5 = 2

10. Expresiones Conjugadas.
› Ejemplo 11: Hallar la expresión conjugada de 𝑥𝑦 + 3𝑧 y multiplicarlas
entre sí.
› Observa que uno de los términos del binomio es un radical, mientras que
el otro término no tiene radical
› La conjugada de 𝑥𝑦 + 3𝑧 es 𝑥𝑦 − 3𝑧.
› Veamos ahora el producto entre ellas:
𝑥𝑦 + 3𝑧 . 𝑥𝑦 − 3𝑧 = 𝑥𝑦 2 − 3𝑧 2 = 𝑥𝑦 − 9𝑧2
› Respuesta: La conjugada de 𝑥𝑦 + 3𝑧 es 𝑥𝑦 − 3𝑧 y el producto de ellas:
𝑥𝑦 + 3𝑧 . 𝑥𝑦 − 3𝑧 = 𝑥𝑦 − 9𝑧2
› Para expresiones binómicas con radicales de índice tres (3), tales como
3
𝑎 −
3
𝑏 y 3
𝑎 +
3
𝑏
› Para estos casos, aplicamos los siguientes productos notables: ሺ𝑥 −

11. Expresiones Conjugadas.
i. La conjugada de 3
𝑎 −
3
𝑏 es
3
𝑎2 +
3
𝑎𝑏 +
3
𝑏2 , pues al multiplicar las
dos expresiones, se eliminan las raíces de la expresión es decir:
3
𝑎 −
3
𝑏
3
𝑎2 +
3
𝑎𝑏 +
3
𝑏2 = 3
𝑎 3 −
3
𝑏
3
= 𝑎 − 𝑏
ii.Así mismo la conjugada de 3
𝑎 +
3
𝑏 es
3
𝑎2 −
3
𝑎𝑏 +
3
𝑏2 y al
multiplicarlos: 3
𝑎 +
3
𝑏
3
𝑎2 −
3
𝑎𝑏 +
3
𝑏2 = 3
𝑎 3
+
3
𝑏
3
= 𝑎 + 𝑏
› Ejemplo 12: Hallar la expresión conjugada de
3
5𝑥 −
3
2𝑧 y multiplicarlas
entre sí.
› La conjugada de
3
5𝑥 −
3
2𝑧 es
3
5𝑥 2 +
3
5𝑥 2𝑧 +
3
2𝑧 2
› Veamos ahora el producto entre ellas:
3
5𝑥 −
3
2𝑧
3
5𝑥 2 +
3
5𝑥 2𝑧 +
3
2𝑧 2
› Aplicamos la propiedad distributiva del producto y nos queda:
3
5𝑥 3 +
3
5𝑥 2. 2𝑧 +
3
5𝑥 2. 2𝑧 −
3
5𝑥 2. 2𝑧 −
3
5𝑥 2. 2𝑧 −
3
2𝑧 2
=
3
5𝑥 3 −
3
2𝑧 2 = 5𝑥 − 2𝑧

12. Expresiones Conjugadas.
› Ejemplo 13: Hallar la expresión conjugada de 3
𝑥 + 𝑎 + 3
𝑥
› La conjugada de3
𝑥 + 𝑎 + 3
𝑥 es
3
𝑥 + 𝑎 2 +
3
𝑥 + 𝑎 𝑥 +
3
𝑥 2
› Y el producto de una expresión por su conjugada es igual a:
› 3
𝑥 + 𝑎 + 3
𝑥
3
𝑥 + 𝑎 2 +
3
𝑥 + 𝑎 𝑥 +
3
𝑥 2 = 𝑥 + 𝑎 − 𝑥 = 𝑎
› Para expresiones binómicas con radicales de índice cuatro (4), tales
como 𝟒
𝒂 −
𝟒
𝒃 y 𝟒
𝒂 +
𝟒
𝒃.
› Para estos casos, aplicamos los siguiente productos notables:
𝑥 − 𝑦 𝑥3
+ 𝑥2
𝑦 + 𝑥𝑦2
+ 𝑦3
= 𝑥4
− 𝑦4
𝒚 𝑥 + 𝑦 𝑥3
− 𝑥2
𝑦 + 𝑥𝑦2
− 𝑦2
= 𝑥4
− 𝑦4
i. La conjugada de 4
𝑎 −
4
𝑏 es
4
𝑎3 +
4
𝑎2𝑏 +
4
𝑎𝑏2 +
4
𝑏3 , pues al
multiplicar las dos expresiones, se eliminan las raíces de la expresión
es decir: 4
𝑎 −
4
𝑏 es
4
𝑎3 +
4
𝑎2𝑏 +
4
𝑎𝑏2 +
4
𝑏3 = 4
𝑎 4 −
4
𝑏
4
= 𝑎 − 𝑏
ii.Así mismo la conjugada de 4
𝑎 +
4
𝑏 es
4
𝑎3 −
4
𝑎2𝑏 +
4
𝑎𝑏2 −
4
𝑏3 , y
al multiplicarlos: 4
𝑎 +
4
𝑏
4
𝑎3 −
4
𝑎2𝑏 +
4
𝑎𝑏2 −
4
𝑏3, = 4
𝑎 4 +
4
𝑏
4
= 𝑎 + 𝑏

13. Expresiones Conjugadas.
› Ejemplo 14: Hallar la expresión conjugada de
4
3𝑥 + 1 −
4
3𝑥
› La conjugada de
4
3𝑥 + 1 −
4
3𝑥
› es
4
3𝑥 + 1 3 +
4
3𝑥 + 1 2 3𝑥 +
4
3𝑥 + 1 3𝑥 2 +
4
3𝑥 3
› Y el producto de una expresión por su conjugada es igual a:
4
3𝑥 + 1 −
4
3𝑥
4
3𝑥 + 1 3 +
4
3𝑥 + 1 2 3𝑥 +
4
3𝑥 + 1 3𝑥 2 +
4
3𝑥 3
= 3𝑥 + 1 − 3𝑥 = 1