Tugas Matematika Buku Calculus (Integral Tentu)

1. POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 1
TUGAS MATEMATIKA
“Buku Calculus Hal. 61-66”
D
I
S
U
S
U
N
Oleh :
Kelompok 8
Nama : 1. Harlin Saputra
2. Kuntoro
3. M. Habiburrakhman
4. M. Wahyu Utama
Prodi : Teknik Elektronika
Kelas : 1E A
Semester : 2 (Dua)
POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Kawasan Industri Air Kantung Sungailiat, Bangka 33211
Telp. (0717) 93586, Fax. (0717) 93585
Email : polman@polman-babel.ac.id
Website : www.polman-babel.ac.id
TAHUN AJARAN 2014/2015

2. POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 2
INTEGRAL TENTU
Definisi integral tentu dan asas pertama teorema kalkulus.
Jika sebuah fungsi f didefinisikan pada sebuah interfal tertutp [a,b], maka integral
tentu dari f dari a ke b didefinisikan sebagai pembatas jumlah yang diberikan oleh :
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = lim
𝑚𝑎𝑥∆𝑥 𝑖→0
∑ 𝑓(𝑐𝑖)∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 , dimana [a,b] dibagi menjadi n subinterval (tidak
perlu sama dengan), ci adalah nilai di-i subinterval [𝑥 𝑖−1, 𝑥 𝑖], dan ∆𝑥 𝑖 = 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1, dengan
syarat limit ini ada.
Pembatas jumlah, ∑ 𝑓(𝑐𝑖)∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 , pada definisi integral tentu disebut penjumlahan
Riemann. Penjumlahan ini adalah hasil angka.
Untungnya, dalil berikutnya mengartikan bahwa fungsi yang terus menerus memiliki
sebuah metode yang jitu untuk memeriksa integral lebih baik dari metode Riemann.
Asas pertama theorem kalkulus : jika f terus menerus pada integral tertutup [a,b] dan
F adalah antiderivative dari f pada [a,b] maka evaluasi dari integral tentu ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
diberikan oleh ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝐹( 𝑏) − 𝐹(𝑎).
Teorema ini mengartikan bahwa kamu dapat mengevaluasi integral tentu,
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥, melalui empat langkah proses :
1. Tentukan F sebuah antiderivative dari f.
2. Cari F(b).
3. Cari F(a).
4. Hitung F(b)-F(a).
Catatan : Pengintegralan yang terus menerus dikurang ketika sebuah integral pasti
diperiksa. Untuk itu kamu bisa menghilangkannya dari perhitungan.
Notasi beriku ini digunakan ketika mengaplikasikan teorema dasar kalkulus. untuk
mengevaluasi integral tentu,
Catatan : Selanjutnya, symbol ≈ akan digunakan untuk mengartikan “kira-kira sama
dengan.”

3. POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 3
Latihan 9.1
Selesaikan integral tentu berikut ini.(Berikan jawaban kira-kira untuk hasil akhir.)
1. ∫ (3𝑥2
+ 4𝑥 − 5) 𝑑𝑥
10
−10
2. ∫ 8 𝑑𝑥
30
−50
3. ∫
𝑥5
𝑥2
7
2
𝑑𝑥
4. ∫
1
𝑡
36
6
𝑑𝑡
5. ∫ sec(
5
6
𝜃) tan (
5
6
𝜃)
𝜋
0,5𝜋
𝑑𝜃
6. ∫
𝑑𝑥
√4−𝑥2
√3
1
7. ∫ (3𝑥4
− 5𝑥3
− 21𝑥2
+ 36𝑥 − 10)
2
1
𝑑𝑥
8. ∫ ( 𝑥3
.ln 𝑥)
5
3
𝑑𝑥
9. ∫ cot−1( 𝑥)√3
1
𝑑𝑥
10. ∫
1
1+𝑒 𝑥
5
2
𝑑𝑥
Sifat yang berguna dari integral tentu.
Integral tentu memiliki sifat yang berguna berikut ini.
1. Jika f didefinisikan di x=a, maka ∫ 𝑓( 𝑥)
𝑎
𝑎
𝑑𝑥 = 0
2. Jika f diintegralkan pada [a,b], maka ∫ 𝑓( 𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = −∫ 𝑓( 𝑥)
𝑎
𝑏
𝑑𝑥
3. Jika f diintegralkan pada [a,b], [a,c], dan [c,b], maka ∫ 𝑓( 𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = ∫ 𝑓( 𝑥)
𝑐
𝑎
𝑑𝑥 +
∫ 𝑓( 𝑥)
𝑏
𝑐
𝑑𝑥
4. Jika f diintegralkan pada [a,b] dan k adalah sebuah konstanta, maka ∫ 𝑘𝑓( 𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 =
𝑘 ∫ 𝑓( 𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥

4. POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 4
5. Jika f dan g diintegralkan pada [a,b], maka ∫ [ 𝑓( 𝑥)± 𝑔( 𝑥)]
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = ∫ 𝑓( 𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 ±
∫ 𝑔( 𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
6. Jika f diintegralkan dan tidak negatif pada [a,b], maka ∫ 𝑓( 𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 ≥ 0
7. Jika f dan g diintegralkan pada [a,b] dan jika 𝑓( 𝑥) ≥ 𝑔( 𝑥) untuk setiap x di [a,b],
maka ∫ 𝑓( 𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 ≤ ∫ 𝑔( 𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
Latihan 9.2
Untuk soal 1-6, selesaikan integral tentu, diberikan ∫ 𝑓(𝑥)
0
−2
𝑑𝑥 = 12 dan ∫ 𝑓(𝑥)
2
0
𝑑𝑥 =
15. Benarkan jawabanmu.
1. ∫ 𝑓( 𝑥)
2
2
𝑑𝑥
2. ∫ 𝑓( 𝑥)
−2
0
𝑑𝑥
3. ∫ 𝑓( 𝑥)
1
1
𝑑𝑥
4. ∫ 𝑓( 𝑥)
2
−2
𝑑𝑥
5. ∫ 5𝑓( 𝑥)
0
−2
𝑑𝑥
6. ∫ 10𝑓( 𝑥)
−2
2
𝑑𝑥

5. POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 5
Untuk soal 7-10, selesaikan integral tentu, diberikan ∫ 𝑓(𝑥)
5
1
𝑑𝑥 = −8 dan ∫ 𝑔(𝑥)
5
1
𝑑𝑥 =
22. Benarkan jawabanmu.
7. ∫ [ 𝑓( 𝑥)+ 𝑔( 𝑥)]
5
1
𝑑𝑥
8. ∫ [ 𝑓( 𝑥)− 𝑔( 𝑥)]
5
1
𝑑𝑥
9. ∫
1
2
𝑓( 𝑥)
5
1
𝑑𝑥
10. ∫ 2𝑔( 𝑥)
5
1
𝑑𝑥 + ∫ 3𝑓( 𝑥)
5
1
𝑑𝑥
Asas kedua teorema kalkulus
Asas kedua teorema kalkulus berbunyi bahwa jika f terus menerus pada interval
tertutup [a,b], maka fungsi f didefinisikan oleh :
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)
𝑥
𝑎
𝑑𝑡, dimana x ada di [a,b]
Diturunkan pada [a,b] dan merupakan sebuah antiderivative dari f : itulah yang
dikatakan, untuk setiap x di [a,b],
𝐹′( 𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
[∫ 𝑓( 𝑡)
𝑥
𝑎
𝑑𝑡] = 𝑓( 𝑥)
Catatan : untuk menghindari kebingungan, sejak variabel x digunakan sebagai batas
atas pada integral, ∫ 𝑓(𝑡)
𝑥
𝑎
𝑑𝑡, variabel t digunakan sebagai variable dari integral.
Contoh berikut ini menjelaskan kegunaan teorema ini.
Contoh berikutnya menjelaskan penggunaan aturan rantai bersamaan dengan asas
kedua teorema kalkulus.
𝑑
𝑑𝑥
[∫ sin( 𝑡)
3𝑥2
0
𝑑𝑡] = sin(3𝑥2).
𝑑
𝑑𝑥
(3𝑥2) = sin(3𝑥2). 6𝑥 = 6𝑥 sin(3𝑥2)
Asas kedua teorema kalkulus menjamin bahwa jika sebuah fungsi terus menerus,
maka itu memiliki sebuah antiderivative. Meskipun, antiderivative mungkin tidak dengan
mudah diperoleh.

6. POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 6
Latihan 9.3
Untuk soal 1-5, gunakan asas kedua teorema kalkulus untuk mencari derivative.
1.
𝑑
𝑑𝑥
[∫ ( 𝑡2
+ 3)−5𝑥
0
𝑑𝑡]
2.
𝑑
𝑑𝑥
[∫ √3𝑡 + 5
𝑥
1
𝑑𝑡]
3.
𝑑
𝑑𝑥
[∫ 𝑡 sin 𝑡
𝑥4
𝜋
]
4.
𝑑
𝑑𝑥
[∫ √𝑡235𝑥2
−5
𝑑𝑡]
5.
𝑑
𝑑𝑥
[∫ ( 𝑡2
− 2𝑡 + 1)
𝑥+2
−10
𝑑𝑡
Untuk soal 6-10, gunakan asas kedua teorema kalkulus untuk mencari F’(x).
6. 𝐹( 𝑥) = ∫ sin(3𝑡)
𝑥
0
𝑑𝑡
7. 𝐹( 𝑥) = ∫
1
𝑡+1
4𝑥
5
𝑑𝑡
8. 𝐹( 𝑥) = ∫ 6𝑡2sin 𝑥
0
𝑑𝑡
9. 𝐹( 𝑥) = ∫ 2𝑡4√ 𝑥
−3
𝑑𝑡
10. 𝐹( 𝑥) = ∫ 3𝑡 − 7
2𝑥+1
−8
𝑑𝑡
Teorema nilai rata-rata untuk integral
Teorema nilai rata-rata untuk integral berbunyi bahwa jika f terus menerus pada
interval tertutup [a,b], maka terdapat sebuah bilangan c di [a,b] seperti berikut
∫ 𝑓( 𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝑓( 𝑐)( 𝑏 − 𝑎)
Teorema ini menjamin bahwa bilangan c ada di [a,b], tapi perhatikan bahwa teorema
ini tidak menentukan nilai dari c. Banyak persoalan yang berhubungan dengan konsep ini
melibatkan ditemukannya nilai c. Di sisi lain, dalam beberapa kasus, hal itu mungkin
cukup untuk mengetahui sedikitnya satu bilangan di [a,b] ada.
Soal Temukan nilai c yang dijamin oleh teorema nilai rata-rata untuk integral
untuk fungsi yang didefinisikan oleh 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
+ 2 dan interval [0,3].
Solusi Dengan teorema nilai rata-rata untuk integral, kamu memiliki

7. POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 7
Dari dua nilai c yang mungkin ini, hanya nilai √3 yang terletak di [0,3], jadi 𝑐 = √3
adalah nilai yang dijamin oleh teorema nilai rata-rata untuk integral.
Jika f diintegralkan pada integral tertutup [a,b], nilai rata-rata dari f adalah
1
𝑏 − 𝑎
∫ 𝑓( 𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
Di perkataan lain, nilai dari 𝑓(𝑐) diberikan di teorema nilai rata-rata untuk integral
adalah rata-rata nilai dari f pada interval [a,b].
Soal Temukan nilai rata-rata dari 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
+ 2 pada interval [0,3].
Solusi Nilai rata-rata diberikan oleh
Latihan 9.4
Untuk soal 1-5, temukan nilai c yang dijamin oleh teorema nilai rata-rata untuk integral
untuk fungsi yang diberikan diatas interval yang ditunjuk.
1. 𝑓( 𝑥) = 2𝑥 + 6 , dan interval [-1,1]
2. 𝑓( 𝑥) = 2 − 5√ 𝑥 , dan interval [0,4]
3. 𝑓( 𝑥) =
4
𝑥3 , dan interval [1,4]
4. 𝑓( 𝑥) = sin 𝑥 , dan interval [0, 𝜋]
5. 𝑓( 𝑥) =
1
𝑥
, dan interval [1,3]
Untuk soal 6-10, temukan nilai rata-rata dari fungsi yang diberikan diatas interval yang
ditunjuk.
6. 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
, dan interval [-2,2]
7. 𝑓( 𝑥) =
1
𝑥
, dan interval [1,3]
8. 𝑓( 𝑥) = cos 𝑥 , dan interval [
−𝜋
2
,
𝜋
2
]
9. 𝑓( 𝑥) =
9
2
√ 𝑥 , dan interval [1,4]
10. 𝑓( 𝑥) = 𝑒 𝑥
, dan interval [0,1]

8. POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 8
JAWABAN
Latihan 9.1
1. ∫ (3𝑥2
+ 4𝑥 − 5) 𝑑𝑥
10
−10
= 𝑥3
+ 2𝑥2
− 5𝑥
= (103
+ 2. 102
− 5.10) − (−103
+ 2. −102
− 5.−10)
= 1150 − (−750) = 1900
2. ∫ 8 𝑑𝑥
30
−50
= 8𝑥
= (8.30) − (8. −50)
= 240 + 400 = 640
3. ∫
𝑥5
𝑥2
7
2
𝑑𝑥
= ∫ 𝑥3
7
2
𝑑𝑥 =
1
4
𝑥4
= (
1
4
. 74
) − (
1
4
. 24
)
=
2401 − 16
4
= 596,25
4. ∫
1
𝑡
36
6
𝑑𝑡
= ln 𝑡 = ln 36 − ln 6
= 3,58 − 1,79 = 1,79
5. ∫ sec(
5
6
𝜃) tan (
5
6
𝜃)
𝜋
0,5𝜋
𝑑𝜃
=
6
5
sec(
5
6
𝜃)
= (
6
5
sec(
5
6
. 180°)) − (
6
5
sec (
5
6
. 90°))
= (
6
5
sec(150°)) − (
6
5
sec(75°))
=
6
5
(
1
cos150°
−
1
cos75°
)
=
6
5
(−1,15 − 3,86) =
6
5
(−5,01) = −6,012
6. ∫
𝑑𝑥
√4−𝑥2
√3
1
= ∫ (4 − 𝑥2)−
1
2
√3
1
𝑑𝑥

9. POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 9
=
1
−2𝑥
.
1
−
1
2
+ 1
. (4 − 𝑥2)−
1
2
+1
= −
1
2𝑥
. 2. (4 − 𝑥2)
1
2
= −
1
𝑥
√4 − 𝑥2
= (−
1
√3
. √4 − (√3)
2
) − (−
1
1
. √4 − (1)2)
= (−
1
√3
. √1) − (−1. √3)
= −
1
√3
+ √3 =
−1 + 3
√3
=
2
√3
.
√3
√3
=
2
3
√3
7. ∫ (3𝑥4
− 5𝑥3
− 21𝑥2
+ 36𝑥 − 10)2
1
𝑑𝑥
=
3
5
𝑥5
−
5
4
𝑥4
− 7𝑥3
+ 18𝑥2
− 10𝑥
= (
3
5
. 25
−
5
4
. 24
− 7.23
+ 18.22
− 10.2) − (
3
5
. 15
−
5
4
. 14
− 7.13
+ 18.12
− 10.1)
= (
96
5
− 20 − 56 + 72 − 20) − (
3
5
−
5
4
− 7 + 18 − 10)
= (
96
5
− 24) − (
3
5
−
5
4
+ 1)
=
96
5
−
3
5
+
5
4
− 24 − 1
=
93
5
− 25 +
5
4
=
372 − 500 + 25
20
= −
103
20
= −5,15
8. ∫ ( 𝑥3
.ln 𝑥)
5
3
𝑑𝑥
𝑢 = ln 𝑥 ,
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
𝑥
, 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑥3
𝑑𝑥, 𝑣 = ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑥3
𝑑𝑥 =
1
4
𝑥4
∫ 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 = ln 𝑥 .
1
4
𝑥4
− ∫
1
4
𝑥4
.
1
𝑥
𝑑𝑥
=
1
4
𝑥4
ln 𝑥 −
1
4
∫ 𝑥3
𝑑𝑥
=
1
4
𝑥4
ln 𝑥 −
1
4
(
1
4
𝑥4
)
=
1
4
𝑥4
ln 𝑥 −
1
16
𝑥4

10. POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 10
= (
1
4
. 54
ln 5 −
1
16
. 54
) − (
1
4
. 34
ln 3 −
1
16
. 34
)
= (
201
4
−
625
16
) − (
89
4
−
81
16
)
=
112
4
−
544
16
= 28 − 34 = −6
9. ∫ cot−1( 𝑥)√3
1
𝑑𝑥
= ∫
1
cot 𝑥
√3
1
𝑑𝑥 = ∫ tan 𝑥
√3
1
𝑑𝑥 = ∫
sin 𝑥
cos 𝑥
√3
1
𝑑𝑥 = ∫ sin 𝑥 . cos−1
𝑥
√3
1
𝑑𝑥
𝑢 = cos 𝑥 ,
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= − sin 𝑥 , 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
− sin 𝑥
∫ sin 𝑥 . cos−1
𝑥
√3
1
𝑑𝑥 = ∫ sin 𝑥 . 𝑢−1
√3
1
.
𝑑𝑢
− sin 𝑥
= −∫ 𝑢−1
√3
1
𝑑𝑢
= ln 𝑢 = ln(cos 𝑥) = [ln(cos√3)] − [ln(cos1)]
= (4,57. 10−4) − (1,52.10−4) = 3,05.10−4
10. ∫
1
1+𝑒 𝑥
5
2
𝑑𝑥
= ∫ (1 + 𝑒 𝑥)−1
5
2
𝑑𝑥
𝑢 = 1 + 𝑒 𝑥
,
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑒 𝑥
, 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
𝑒 𝑥
∫ (1 + 𝑒 𝑥)−1
5
2
𝑑𝑥 = ∫ 𝑢−1
5
2
.
𝑑𝑢
𝑒 𝑥
=
1
𝑒 𝑥
∫ 𝑢−1
5
2
𝑑𝑢
=
1
𝑒 𝑥
. ln 𝑢 =
1
𝑒 𝑥
. ln(1 + 𝑒 𝑥) =
ln(1 + 𝑒 𝑥)
𝑒 𝑥
= [
ln(1 + 𝑒5)
𝑒5
] − [
ln(1 + 𝑒2)
𝑒2
]
= 0,0337 − 0,2878 = −0,2541

11. POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 11
Latihan 9.2
1. ∫ 𝑓( 𝑥)
2
2
𝑑𝑥
= 0
2. ∫ 𝑓( 𝑥)
−2
0
𝑑𝑥
= − ∫ 𝑓( 𝑥)
0
−2
𝑑𝑥
= −12
3. ∫ 𝑓( 𝑥)
1
1
𝑑𝑥
= 0
4. ∫ 𝑓( 𝑥)
2
−2
𝑑𝑥
= ∫ 𝑓( 𝑥)
0
−2
𝑑𝑥 + ∫ 𝑓( 𝑥)
2
0
𝑑𝑥
= 12 + 15 = 27
5. ∫ 5𝑓( 𝑥)
0
−2
𝑑𝑥
= 5 ∫ 𝑓( 𝑥)
0
−2
𝑑𝑥
= 5(12) = 60
6. ∫ 10𝑓( 𝑥)
−2
2
𝑑𝑥
= 10 ∫ 𝑓( 𝑥)
−2
2
𝑑𝑥 = 10.− ∫ 𝑓( 𝑥)
2
−2
𝑑𝑥
= −10 (∫ 𝑓( 𝑥)
0
−2
𝑑𝑥 + ∫ 𝑓( 𝑥)
2
0
𝑑𝑥)
= −10(12 + 15) = −270
7. ∫ [ 𝑓( 𝑥)+ 𝑔( 𝑥)]
5
1
𝑑𝑥
= ∫ 𝑓( 𝑥)
5
1
𝑑𝑥 + ∫ 𝑔( 𝑥)
5
1
𝑑𝑥
= −8 + 22 = 14
8. ∫ [ 𝑓( 𝑥)− 𝑔( 𝑥)]
5
1
𝑑𝑥
= ∫ 𝑓( 𝑥)
5
1
𝑑𝑥 − ∫ 𝑔( 𝑥)
5
1
𝑑𝑥
= −8 − 22 = −30

12. POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 12
9. ∫
1
2
𝑓( 𝑥)
5
1
𝑑𝑥
=
1
2
∫ 𝑓( 𝑥)
5
1
𝑑𝑥
=
1
2
(−8) = −4
10. ∫ 2𝑔(𝑥)
5
1
𝑑𝑥 + ∫ 3𝑓(𝑥)
5
1
𝑑𝑥
= 2 ∫ 𝑔( 𝑥)
5
1
𝑑𝑥 + 3∫ 𝑓( 𝑥)
5
1
𝑑𝑥
= 2(22) + 3(−8)
= 44 − 24 = 20

13. POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 13
Latihan 9.3
1.
𝑑
𝑑𝑥
[∫ ( 𝑡2
+ 3)−5𝑥
0
𝑑𝑡]
= ( 𝑥2
+ 3)−5
=
1
( 𝑥2 + 3)5
2.
𝑑
𝑑𝑥
[∫ √3𝑡 + 5
𝑥
1
𝑑𝑡]
= √3𝑥 + 5
3.
𝑑
𝑑𝑥
[∫ 𝑡 sin 𝑡
𝑥4
𝜋
]
= 𝑥4
sin( 𝑥4).
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑥4)
= 𝑥4
sin( 𝑥4). 4𝑥3
= 4𝑥7
sin( 𝑥4)
4.
𝑑
𝑑𝑥
[∫ √𝑡235𝑥2
−5
𝑑𝑡]
= √(5𝑥2)23
.
𝑑
𝑑𝑥
(5𝑥2)
= √25𝑥43
.10𝑥
= 10𝑥 √25𝑥43
5.
𝑑
𝑑𝑥
[∫ ( 𝑡2
− 2𝑡 + 1)
𝑥+2
−10
𝑑𝑡
= ( 𝑥 + 2)2
− 2( 𝑥 + 2) + 1
= 𝑥2
+ 4𝑥 + 4 − 2𝑥 − 4 + 1
= 𝑥2
+ 2𝑥 + 1
6. 𝐹( 𝑥) = ∫ sin(3𝑡)
𝑥
0
𝑑𝑡
𝐹′( 𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
[∫ sin(3𝑡)
𝑥
0
𝑑𝑡]
𝐹′( 𝑥) = sin 3𝑥
7. 𝐹( 𝑥) = ∫
1
𝑡+1
4𝑥
5
𝑑𝑡
𝐹′( 𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
[∫
1
𝑡 + 1
4𝑥
5
𝑑𝑡]
𝐹′( 𝑥) =
1
4𝑥 + 1
8. 𝐹( 𝑥) = ∫ 6𝑡2sin 𝑥
0
𝑑𝑡

14. POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 14
𝐹′( 𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
[∫ 6𝑡2
sin 𝑥
0
𝑑𝑡]
𝐹′( 𝑥) = 6(sin 𝑥)2
𝐹′( 𝑥) = 6. 𝑠𝑖𝑛2
𝑥
9. 𝐹( 𝑥) = ∫ 2𝑡4√ 𝑥
−3
𝑑𝑡
𝐹′( 𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
[∫ 2𝑡4
√ 𝑥
−3
𝑑𝑡]
𝐹′( 𝑥) = 2(√ 𝑥)
4
𝐹′( 𝑥) = 2𝑥2
10. 𝐹( 𝑥) = ∫ 3𝑡 − 7
2𝑥+1
−8
𝑑𝑡
𝐹′( 𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
[∫ (3𝑡 − 7)
2𝑥+1
−8
𝑑𝑡]
𝐹′( 𝑥) = 3(2𝑥 + 1) − 7
𝐹′( 𝑥) = 6𝑥 + 3 − 7
𝐹′( 𝑥) = 6𝑥 − 4

15. POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 15
Latihan 9.4
1. 𝑓( 𝑥) = 2𝑥 + 6 , dan interval [-1,1]
∫ 𝑓( 𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝑓( 𝑐)( 𝑏 − 𝑎)
∫ (2𝑥 + 6)
1
−1
𝑑𝑥 = (2𝑐 + 6)(1 − (−1))
𝑥2
+ 6𝑥 = (2𝑐 + 6).2
(1 + 6) − (1 − 6) = 4𝑐 + 12
12 − 12 = 4𝑐
𝑐 = 0
2. 𝑓( 𝑥) = 2 − 5√ 𝑥 , dan interval [0,4]
∫ 𝑓( 𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝑓( 𝑐)( 𝑏 − 𝑎)
∫ (2 − 5√ 𝑥)
4
0
𝑑𝑥 = (2 − 5√ 𝑐)(4− 0)
∫ (2 − 5𝑥
1
2)
4
0
𝑑𝑥 = (2 − 5√ 𝑐).4
2𝑥 −
5
3
2
𝑥
3
2 = 8 − 20√ 𝑐
2𝑥 −
10
3
𝑥√ 𝑥 = 8 − 20√ 𝑐
(8 −
10
3
. 4√4) − (0 −
10
3
. 0√0) = 8 − 20√ 𝑐
8 −
80
3
= 8 − 20√ 𝑐
−
80
3
= −20√ 𝑐
√ 𝑐 =
4
3
𝑐 = √
4
3
3. 𝑓( 𝑥) =
4
𝑥3 , dan interval [1,4]
∫ 𝑓( 𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝑓( 𝑐)( 𝑏 − 𝑎)
∫
4
𝑥3
4
1
𝑑𝑥 =
4
𝑐3
(4 − 1)
∫ 4𝑥−3
4
1
𝑑𝑥 =
12
𝑐3

16. POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 16
−2𝑥−2
=
12
𝑐3
−2
𝑥2
=
12
𝑐3
(
−2
16
) − (
−2
1
) =
12
𝑐3
30
16
=
12
𝑐3
𝑐3
=
16.12
30
=
32
5
𝑐 = √
32
5
3
= 1,857
4. 𝑓( 𝑥) = sin 𝑥 , dan interval [0, 𝜋]
∫ 𝑓( 𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝑓( 𝑐)( 𝑏 − 𝑎)
∫ sin 𝑥
𝜋
0
𝑑𝑥 = sin 𝑐 . ( 𝜋 − 0)
−cos 𝑥 = sin 𝑐 . 𝜋
(−cos 𝜋) − (−cos0) = sin 𝑐 . 𝜋
1 − (−1) = sin 𝑐 . 𝜋
2
𝜋
= sin 𝑐
𝑐 = 𝑎𝑟𝑐 sin
2
𝜋
= 39,54° = 0,22𝜋
5. 𝑓( 𝑥) =
1
𝑥
, dan interval [1,3]
∫ 𝑓( 𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝑓( 𝑐)( 𝑏 − 𝑎)
∫
1
𝑥
3
1
𝑑𝑥 =
1
𝑐
. (3 − 1)
ln 𝑥 =
2
𝑐
ln 3 − ln 1 =
2
𝑐
1,0986 =
2
𝑐
𝑐 =
2
1,0986
= 1,8205
6. 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
, dan interval [-2,2]
=
1
𝑏 − 𝑎
∫ 𝑓( 𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥

17. POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 17
=
1
2 − (−2)
∫ 𝑥2
2
−2
𝑑𝑥 =
1
4
[
1
3
𝑥3
]
=
1
4
[(
8
3
) − (
−8
3
)]
=
1
4
.
16
3
=
16
12
=
4
3
7. 𝑓( 𝑥) =
1
𝑥
, dan interval [1,3]
=
1
𝑏 − 𝑎
∫ 𝑓( 𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
=
1
3 − 1
∫
1
𝑥
3
1
𝑑𝑥 =
1
2
[ln 𝑥]
=
1
2
[ln3 − ln 1] =
1
2
(1,9086) = 0,5493
8. 𝑓( 𝑥) = cos 𝑥 , dan interval [
−𝜋
2
,
𝜋
2
]
=
1
𝑏 − 𝑎
∫ 𝑓( 𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
=
1
𝜋
2
− (
−𝜋
2
)
∫ cos 𝑥
𝜋
2
−𝜋
2
𝑑𝑥 =
1
𝜋
[sin 𝑥]
=
1
𝜋
[sin(90°)− sin(−90°)] =
1
𝜋
(1 − (−1)) =
2
𝜋
9. 𝑓( 𝑥) =
9
2
√ 𝑥 , dan interval [1,4]
=
1
𝑏 − 𝑎
∫ 𝑓( 𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
=
1
4 − 1
∫
9
2
4
1
√ 𝑥𝑑𝑥 =
1
3
∫
9
2
𝑥
1
2
4
1
𝑑𝑥
=
1
3
[
9
2⁄
3
2⁄
𝑥
3
2] =
1
3
[3. 𝑥√ 𝑥] =
1
3
[3.4. √4 − 3.1. √1]
=
1
3
(24 − 3) =
1
3
(21) = 7
10. 𝑓( 𝑥) = 𝑒 𝑥
, dan interval [0,1]
=
1
𝑏 − 𝑎
∫ 𝑓( 𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
=
1
1 − 0
∫ 𝑒 𝑥
1
0
𝑑𝑥 = 1( 𝑒 𝑥)
= 𝑒1
− 𝑒0
= 2,718 − 1 = 1,718