1. Mgr. Ivan Gavanda
SOŠ a SOU Šumperk
Gen. Krátkého 30

2.  Jak vzniká trojúhelník
› názvosloví stran
 Jak je to s velikostí úhlů
› otázka k diskusi: Proč (asi) má kruh 360 stupňů
ukázka konstrukce

3.  Vztah mezi délkou
stínu a výškou
předmětu
 Délka tětivy
Pro oba problémy byly zpracovány (v dané době) tabulky, oba
problémy se zabývají vztahy v pravoúhlém trojúhelníku

4. tangens
sinus
Animace převzata z wikipedie
a
a

5.  výška leží PROTI úhlu,
proto se odvěsna nazývá
protilehlá
 stín tvoří rameno úhlu, je
PŘI něm, odvěsna se
nazývá přilehlá
a
výška
stín
přilehlá
protilehlá

a
tan
často se místo označení
tan
používá tg

6.  polovina tětivy je
protilehlá odvěsna
 poloměr je přepona
daného trojúhelníku
poloměr
polovina
tětivy
přepona
protilehlá

a
sin
a

7. protože v pravoúhlém trojúhelníku je jeden
úhel 90o a velikost daného úhlu a vyplývá z
vybrané funkce, tvoří zbývající úhel doplněk
(complement) do 90
Proto kosinus a kotangens
zkratky cos a cotg (někdy jen cot)
ZKUSTE zformulovat vzorce!

8. přepona
přilehlá

a
cos
protilehlá
přilehlá

a
cot
Všimněte si ještě jedné zajímavosti: kotangens je převrácenou funkcí tangens
(platí cotg a  1/ tg a)
u dvojice sinus kosinus však toto neplatí!
I proto na kalkulačkách není zvláštní tlačítko na kotangens
přepona
protilehlá

a
sin
přilehlá
protilehlá

a
tan

9.  určení délky strany pravoúhlého trojúhelníku, když
známe jinou stranu a úhel – postup:
› načrtnout obrázek (DŮLEŽITÉ! Dodržet, aby i v náčrtku byl
trojúhelník pravoúhlý)
› identifikovat strany (známou a vypočítávanou) z hlediska
přepona, odvěsna (protilehlá či přilehlá) k zadanému úhlu
› vybrat příslušnou goniometrickou funkci a dosadit
› vyjádřit neznámou z takto vzniklé rovnice
› dopočítat s vyčíslením hodnoty funkce pro daný úhel
(kalkulačka – POZOR! Musí být v režimu DEG)
Vzorové příklady

10.  určení jednoho úhlu pravoúhlého trojúhelníku, když
známe dvě strany – postup:
› načrtnout obrázek (DŮLEŽITÉ! Dodržet, aby i v náčrtku byl
trojúhelník pravoúhlý)
› identifikovat známé strany z hlediska přepona, odvěsna
(protilehlá či přilehlá) k vypočítávanému úhlu
› vybrat příslušnou goniometrickou funkci a dosadit
› určit hodnotu goniometrické funkce
› vyčíslit úhel (kalkulačka – POZOR! užít inverzi funkce)
Vzorové příklady

12. Oči nám říkají, že ty tři trojúhelníky jsou podobné. Samozřejmě nejsou!
zkontrolujte pomocí funkce tangens velikost menšího úhlu
přepona velkého trojúhelníku NENÍ úsečka, ale zalomená čára, jednou pod
skutečnou spojnicí krajních bodů, podruhé nad ní
(na obr. trošku „přehnaně“)
celkový trojúh: 5/13 => úhel 21
červený: 3/8 => úhel 20,5
zelený: 2/5 => úhel 21,8

13. Jak je vysoký strom?
změříme délku stínu stromu
změříme délku stínu své postavy
známe výšku své postavy
úhel, pod kterým svítí slunce vyplývá z funkce tangens což je poměr
mezi výškou a stínem jak v případě postavy, tak stromu
rovnost poměrů – to je přece trojčlenka! =>
např. 180 cm výška postavy ……………….. 132 cm stín
x cm výška stromu ………………… 458 cm stín
---------------------------------------------------------------------
5
,
624
132
458
180



x Strom je vysoký 624,5 cm

14. sinová věta
podíl (poměr) délky strany a sinusu protilehlého úhlu je stálý.


a sin
sin
sin
c
b
a


Jiný způsob zápisu je pomocí rovnosti poměrů


a sin
:
sin
:
sin
:
: 
c
b
a
a jak známo, z trojice si můžeme vybrat dvojici např.

a sin
:
sin
: 
b
a což lze zapsat jako

a
sin
sin

b
a

15. kosinová věta
v podstatě Pythagorova věta „korigovaná“ na „nepravoúhlost“
trojúhelníku

cos
2
2
2
2
ab
b
a
c 


a
cos
2
2
2
2
bc
c
b
a 



cos
2
2
2
2
ac
c
a
b 


(vzorec je cyklický tzn. na levé straně vzorce jedna strana trojúhelníku, na
pravé straně zbylé dvě a kosinus úhlu těmito dvěma stranami sevřený-
protilehlý vůči té třetí straně)

16.  určení délky strany trojúhelníku, když známe jinou
stranu a dva úhly – postup:
› načrtnout obrázek a identifikovat strany (známou a
vypočítávanou) a zadané úhly
› pro sinovou větu potřebujeme úhly ležící PROTI stranám, se
kterými počítáme (ale uvědomte si, že známe-li v trojúhelníku
dva úhly snadno dopočítáme třetí!)
› vyjádřit neznámou z rovnice vzniklé aplikací sinové věty
› dopočítat s vyčíslením hodnoty funkce pro daný úhel
(kalkulačka – POZOR! Musí být v režimu DEG)
Vzorový příklad

17.  určení úhlu trojúhelníku, když známe dvě strany a
jeden úhel (NE ten, který strany svírají)– postup:
› načrtnout obrázek a identifikovat známé strany a zadaný úhel
› jedna ze zadaných stran je PROTI zadanému úhlu
› aplikací sinové věty vypočítáme úhel ležící proti druhé straně,
resp. určíme hodnotu sinusu tohoto úhlu a užitím inverzní
funkce pak jeho velikost (a následně můžeme dopočítat třetí
úhel)
Vzorový příklad

18.  určení třetí strany, když známe dvě strany a úhel jimi
sevřený – postup:
› načrtnout obrázek a identifikovat strany (známé a
vypočítávanou) a zadaný úhel
› dosadit do vzorce kosinové věty
› dopočítat s vyčíslením hodnoty funkce pro daný úhel,
poznámka: je-li úhel větší než 90o , je hodnota kosinu záporná!
Vzorový příklad

19.  určení úhlu v trojúhelníku, když známe všechny tři
strany– postup:
› načrtnout obrázek , identifikovat strany a počítaný úhel
› dosadit do vzorce kosinové věty
› vypočítat hodnotu kosinu daného úhlu a užitím inverzní funkce
pak samotný úhel
Vzorový příklad

20.  Jednotlivá zadání odpovídají základní způsobům
konstrukce trojúhelníku (sss, sus, usu)
 Existují i další goniometrické funkce
 Existuje např. i tangentová věta a mnoho vzorců pro
trojúhelník, které obsahují goniometr. funkci (některé
vychází z využití výšky čili vzniká pravoúhlý trojúhelník,
některé využívají funkce obecného)
 Platí také řada vztahů mezi goniom. funkcemi - při jejich
aplikaci se často nepracuje s vyjádřením úhlu ve
stupních, ale převádí se na číselnou hodnotu podle
vztahu 180o ……. 

21.  Pro získání rutiny není nezbytně nutné vymýšlet situace
z reálného života, stačí načrtnout zadání (kreslete
trojúhelníky v různých variantách otočení)
Kontrola vypočtených údajů může probíhat tak, že se
dopočítají další prvky trojúhelníku a hodnoty některých z
nich se spočítají jiným způsobem
 Také lze využít např:
http://maths.cz/nastroje/index.py?akce=obecny-trojuhelnik
nebo programu trojúhelník.exe (freeware z roku 2005, autor mi
není znám, funkční pro WinXP – Win7)

22. Připravené (vytištěné) pracovní listy
a jejich varianty pro promítání
Před výpočty ověřit, zda žáci mají potřebné
výpočetní pomůcky a dokážou s nimi správně
pracovat (viz poznámky u některých úloh)
Připomínka: tato prezentace je určena pro žáky
nastavbového studia, pro které by to mělo být v
podstatě opakování a i pro tyto žáky jde o učivo
dvou hodin (nejméně )
Děkuji za pozornost, dotazy?