Řešení úoh z kvantitativního oddílu OSP Scio, sada NSZ 2007, test č. 1

1. Kvantitativní oddíl OSP
Sada NSZ 2007
Test NS–SP–01
Základní myšlenky řešení úloh č.:
69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78
Materiál pro Kurzy-Fido.cz
nejkratší cesta na vysokou školu

2. NS–SP–01, úloha č. 69
● ...i v NSZ se vyskytují jednoduché úlohy...
● Stačí si uvědomit, že každý násobek osmi je
zároveň i násobek čtyř, ale nikoliv naopak.
● Vlevo sčítáme 8 + 16 + 24 + … + 56.
● Vpravo: 4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + … + 56,
čili zde přičítáme i násobky čtyř, které nejsou
násobky osmi (4, 12, 20, ...).
● Správná odpověď je tedy B).

3. NS–SP–01, úloha č. 70
● Podstatné je klíčové slovíčko „libovolných“...
● Zadání připouští, abychom jednou zvolili
např. na levé straně 52 • 56 • 60 • 64
a na pravé 78 • 84 • 90 • 96, podruhé třeba
vlevo 84 • 88 • 92 • 96
a vpravo 54 • 60 • 66 • 74.
● Je vidět, že při různých volbách zmiňovaných
čísel může být mezi výrazy jiný vztah, tedy
nelze jej jednoznačně určit.
● Správná odpověď je tedy D).

4. NS–SP–01, úloha č. 71
● Relativně průzračné zadání.
● Nejprve spočítáme, za jak dlouho uběhne
5 kol Markéta: 5 • 69 = 345 s.
● Poté spočteme, za jak dlouho uběhne 5 kol
Jana a připočteme k tomuto času Markétin
náskok (v sekundách): 5 • 57 + 90 = 375 s.
● Rozdíl je přesně 30 s, výrazy na obou
stranách jsou si tedy rovny.
● Správná odpověď je tedy C).

5. NS–SP–01, úloha č. 72
● V této úloze se vyplatí „umět používat“
jednotkovou kružnici a vědět, „kde hledat
sinus“.
● Zvolíme-li alfa = 45°, pak výraz na levé
straně má hodnotu jedna, výraz v pravo je
menší než jedna. Naopak, blíží-li se alfa 90°,
blíží se výraz vlevo nule, kdežto pravý výraz
jedničce (nakreslete si na jednotkové
kružnici!).
● Vztah mezi výrazy tedy nelze jednoznačně
určit, správná odpověď je D).

6. NS–SP–01, úloha č. 73
● Na první pohled zapeklitá úloha založená na
převodech jednotek.
● Plán řešení: nejprve převedeme 10
pozemských minut na (pozemské) dny a 10
gamaminut na gamadny.
● Poté využijeme informace ze zadání, že
gamaden na planetě Gama je o šestinu
kratší než den na Zemi, což znamená, že
1 gamaden = 5/6 dne.
● Následně výraz v pravém sloupci vyjádřený
pomocí gamadnů převedeme na dny
(pozemské).

7. NS–SP–01, úloha č. 73 – pokrač.
● 10 pozemských minut je 1/6 hodiny...
...1 (pozemská) hodina je 1/24 dne, tedy 10
minut je 1/(6 • 24) dne, čili 1/144 dne.
● 10 gamaminut je 1/4 gamahodiny, neboť
jedna gamahodina má 40 gamaminut.
● Ze zadání dále víme, že 1 gamahodina je
1/18 gamadne, čili:
1/4 gamahodiny je /(4 • 18) = 1/72 gamadne.
● Porovnáváme tedy na levé straně 1/144 dne
a na pravé 1/72 gamadne.

8. NS–SP–01, úloha č. 73 – pokrač.
● Nyní vše převedeme na dny:
1/72 gamadne je 1/72 • 5/6 dne, protože
jeden gamaden je 5/6 dne.
● V tomto momentě už ale jde o porovnávání
dvou zlomků:
1/144 (vlevo) a 1/72 • 5/6 (vpravo)
● Je okamžitě vidět, že hodnota vpravo je větší
než vlevo.
● Správná odpověď je B).

9. NS–SP–01, úloha č. 74
● O x nevíme nic kromě toho, že jde o číslo
celé (...,-2, -1, 0, 1, 2, 3...)
● Uvědomíme si, že druhá mocnina jakéhokoliv
čísla je vždy nezáporná. Nejmenší hodnota,
které může nabývat výraz vlevo je tedy nula
(pro x rovné nule), ale tento výraz může
přesáhnout jakékoliv číslo při vhodné,
dostatenčně velké hodnotě x. Na pravé
straně máme ovšem konstantu (3 • Pi je
něco mezi 9 a 10).
● Vztah mezi výrazy v zadání nelze
jednoznačně určit, správná odpověď je D).

10. NS–SP–01, úloha č. 75
● Vskutku jednoduchá úloha na násobení
zlomků...
● Předložka „ze“ nahrazuje násobení, jde-li
nám o 4/5 z x, počítáme (4/5) • x.
● Vynásobíme-li tři sedminy čtyřmi pětinami,
získáme totéž jako při násobení tří pětin
čtyřmi sedminami, x tam vpodstatě žádnou
roli nehraje. Výrazy na obou stranách se tedy
rovnají, správná odpověď je C).

11. NS–SP–01, úloha č. 76
● Nejprve si prohlédněme oba nákupy: v
prvním máme o 1 kg jablek více než v
druhém, dále, druhý nákup je o 13 Kč
levnější (45 – 32).
● 1 kg jablek tedy stojí 13 Kč.
● Za nákup 4 kg jablek a 2 kg hrušek tedy
zaplatí Petr minimálně 4 • 13 = 52 Kč (kdyby
hrušky byly zdarma). Pokud mu v takovém
případě zbylo 32 Kč, znamená to, že X
muselo být alespoň 84 Kč.
● Výraz vlevo je tedy větší než vpravo,
správná odpověď je A).

12. NS–SP–01, úloha č. 77
● Úloha testující naše znalosti základních
pravidel pro práci s mocninami.
● Vzpomeneme si, že x na mínus n je rovno
jedna lomeno x na n.
● Dále využijeme vzorečku:
a^n • b^n = (a • b)^n
(stříška značí umocňování)
● Vlevo tedy máme (-2 • 1/2)^3,
vpravo (-1/2 • 2)^3, oba dva výrazy jsou
rovny číslu -1, správná odpověď je C).

13. NS–SP–01, úloha č. 78
● V úloze nám jde o zjištění, zda výraz c • d je
kladný, záporný či nulový (pokud to lze určit).
● Připomeňme si, že součin dvou kladných
čísel, stejně jako dvou záporných je kladný,
součin jednoho kladného a jednoho
záporného je záporný.
● Nejprve si určíme, jestli výraz a • b • c • d je
kladný či nikoliv:
a • b • c • d = (a • c) • (b • d),
obě závorky jsou záporné, výsledek je tedy
kladný.

14. NS–SP–01, úloha č. 78 – pokrač.
● Nyní už víme, že a • b • c • d > 0, náš zájem
ovšem směřuje k výrazu c • d: podle zadání
je a • b > 0, tím pádem ale musí být c • d také
kladné.
● Výraz v levém sloupci je tedy větší než v
pravém. Správná odpověď je A).