un treball sobre geometria, traslacions, transformacions, formes.... d'una escola pública

1. Canvis en l’espai:
transformacions geomètriques
CEIP El Roure Gros
Santa Eulàlia de Riuprimer
Curs 2003/2004

2. Any Dalí 2004

3. Amb el conte “El petit Dalí”
introduïm el tema

4. Que treballem des de diferents àrees

5. I a matemàtiques, com ho
treballem?

6. Moltes imatges de
Dalí
són figures
diferents a la
realitat

9. Nosaltres també hem
transformat figures.
Us explicarem com hem
descobert algunes d’aquestes
transformacions i les seves
propietats

10. Maneres de transformar les
figures

11. Com canvien les figures?
• Es deformen
• Es projecten
• Giren
• Es fan
simètriques
• Es traslladen

12. Investiguem amb el cos

14. Investiguem amb objectes

19. Podem deformar figures planes
de plastilina

20. Ara
juguem
amb el
mirall
cilíndric

23. Ja sabem com fer sortir una línia
recte en el mirall cilíndric.

24. Deformem imatges

32. Què els passa a les figures
quan els fem una
deformació elàstica?

33. De vegades s’allarguen les
figures.

34. Algunes
línies
s’escurcen.
Algunes línies
rectes es fan
corbes.

35. La copa de l’arbre és
quasi rodona i quan
l’hem deformat s’ha
tornat quasi
rectangular.
Després de
deformar el dibuix
s’ha fet més ample i
s’ha allargat cap el
cantó dret.

37. 1
2
9
8 3 7
4
6 5

38. 1
2
9
8 3 7
4
6 5

39. Amb les deformacions no podem aconseguir que
dues línies que no es toquen ho arribin a fer.

40. També deformem figures
fetes amb plastilina

41. I canvia la forma, però es
conserven les seves propietats

42. Aquestes dues figures tan diferents
tenen el mateix nombre de regions,
interseccions i segments.

43. Amb el mirall cilíndric les
formes canvien molt

44. Si et poses dret davant del mirall et veus molt
llarg i si et poses estirat et veus molt curt.

45. Les rodones semblen ous i les
el·lipses semblen cercles

46. Les meves
cames s’han
corbat i
escurçat però
els peus s’han
fet llargs...

47. M’han
crescut les
cames...

48. Nosaltres provem d’enganyar el
mirall...

49. I ho aconseguim!

50. Investiguem davant el mirall
cilíndric

51. Fem la deformació inversa i en el mirall
ens surt la imatge inicial, la línia corba es
torna recta.

52. Si davant del
mirall hi fem línies
rectes, verticals i
paral·leles...
en el mirall no es
veuen ni rectes ni
paral·leles.

53. Hem anat provant com teníem de fer les línies
davant del mirall perquè en el mirall sortissin
verticals, rectes i paral·leles.

54. Ja ho sabem!!

55. Hem trobat com fer una quadrícula que
surti recte en el mirall.

56. Dibuixem en el paper la quadrícula deformada,
perquè es vegi bé en el mirall.

57. Fem un dibuix seguint les línies.

60. Hem
aconseguit
dibuixar una
casa.
Hem fet un
anamorfisme

61. Tots hem dibuixat anamorfismes

66. L L
A A
S S
I I
M M
E E
T T
R R
I I
A A

67. Amb el
calidoscopi:
Si hi posem
una cosa,
es veuen
estrelles,
triangles,
hexàgons...

68. Si enfoquem una cara, se’n veuen moltes, si
enfoquem un dibuix se’n veuen molts de
diferents

69. Amb el
prisma
de
miralls:
Quan
entrem a
dins ens
veiem...
100 cops

70. Quan la Laura es posa dreta al costat dels
miralls, des de dins veiem una estrella

71. Quan acostem una paraula escrita a un dels
miralls del prisma ho veiem al revés.

72. Però, què els passa a les figures quan
els fem una simetria?

73. Surten figures iguals però girades.
Ho podem fer amb un mirall...

74. Podem escriure al revés
i llegir-ho del dret en el mirall

75. Hi ha formes que tenen eix de
simetria

76. Podem fer dibuixos amb eix de
simetria

77. Podem fer simetries amb dos miralls
formant angle recte...llavors surt el dibuix
quatre vegades però girat.

79. Hi ha figures que tenen més d’un eix de
simetria

80. N’hi ha que en tenen molts.

81. Les figures regulars tenen tants eixos
com costats o com vèrtex.

82. Aquest polígon és regular perquè té 9
vèrtex, 9 costats i 9 eixos de simetria

83. Aquest, en canvi , és isòsceles perquè
només té un sol eix de simetria.

84. Si volem fer un quadrat amb dos miralls
units en forma de llibre i un pal, hem
d’obrir els miralls 90º, un angle recte.

85. Si volem fer un hexàgon, els hem
d’obrir 60º

86. Si volem fer un dodecàgon, els hem d’obrir
30º, perquè l’angle central del dodecàgon
regular és de 30º

88. Si hi posem
el pal
vertical i
tanquem molt
els miralls
pot sortir un
cilindre

89. Si hi posem el pal inclinat, sortirà
una estrella

90. Hem descobert les propietats de la
simetria de les figures planes
• Dues figures simètriques tenen la mateixa
forma però estan orientades de forma
diferent.
• Les rectes que uneixen dos punts simètrics
són perpendiculars a l’eix de simetria.
• Tots els punts de la figura inicial estan a la
mateixa distància de l’eix que els seus
simètrics.

91. • Un eix de simetria és una recta que parteix una figura
plana en dues parts que tenen igual forma i superfícies
iguals.
• La figura simètrica està col·locada al revés de la
figura inicial, els únics punts que estan al mateix lloc
són els de l’eix de simetria.
• Una figura regular té tants eixos com costats i com
vèrtex. Una figura isòsceles té un sol eix de simetria.
• El cercle és la figura amb més eixos de simetria.
• Si fem girar la figura inicial, la figura simètrica també
gira però en sentit contrari.

92. Investiguem els girs

93. Girar sobre un mateix
• Si fas un quart de volta
es veu la porta de
l’entrada.
• Si fas un quart més
veus el pati petit.
• Si fas un quart més es
veu l’església i si fas un
altre quart es veu el
contenidor.
• Si fas tota una volta
tornes a veure el
mateix que abans de
girar.

94. Girar al voltant d’una cosa
• En donar una volta
no sempre es veu
el mateix.
• Quan girem al
voltant d’una cosa
la coneixem des de
tots els cantons.

95. Les baldufes giren

96. Investiguem les baldufes
• Les baldufes tenen formes diferents però
quan giren totes es veuen circulars.

97. • La forma i el material de què estan fetes les baldufes
condicionen força el temps que triguen girant.
• Aquesta baldufa és la que gira més estona, amb molta
diferència de les altres. És de metall i molt baixa i
ampla

98. • Quan la baldufa gira
els colors formen
rodones
concèntriques.
• Quan la baldufa gira
surten colors nous
perquè es barregen:
vermell i groc fan
taronja.

99. • Totes les baldufes
tenen un centre.
• Totes les baldufes
giren sobre si
mateixes.
• Cada volta recorre
360º

100. • Algunes baldufes
roden sobre si
mateixes i a la
vegada es mouen
fent cercles.
• Quan gira la baldufa
totes les formes i
dibuixos de dins es
tornen circulars

101. Podem fer girar les figures:
Al voltant d’un punt exterior a elles

102. Al voltant d’un punt interior

103. Hem descobert les propietats dels
girs de les figures planes
• En fer un gir, tots els punts del pla canvien de
posició menys el punt del centre de gir. El
centre de gir pot estar dins o fora de la
figura.
• Per fer el gir invers i tornar a la posició
inicial, cal girar, en sentit contrari, el mateix
angle que s’havia girat abans o el que falta per
360º.
• Qualsevol figura quan gira 360º torna a la
figura inicial.

104. • Si repetim un gir diverses vegades, podem
tornar a la figura inicial quan la suma dels girs
dona 360º o un múltiple de 360.
• Quan fem un gir les mides de la figura no
canvien, només canvia la seva posició.
• La figura que resulta quan fem girar un punt al
voltant d’un altre punt, una volta sencera, és
una circumferència.

105. • Quan fem girar un segment recte al voltant d’un dels
seus extrems, una volta sencera, la figura que en
resulta és un cercle.
• Les figures que tenen centre són aquelles que en
fer-les girar sobre un punt concret del seu interior
els seus costats i els seus vèrtex coincideixen dues
o més vegades.
• Les figures regulars són aquelles que en girar sobre
el seu centre una volta sencera, coincideixen tantes
vegades com costats o vèrtex tenen.

106. INVESTIGUEM LES TRANSLACIONS

107. Per poder traslladar una figura, cal un
vector que marqui la direcció, el sentit i la
distància.

108. Hem descobert les
propietats de les translacions
• En fer una translació no hi ha cap punt del
pla que no canviï de posició.
• En haver fet una translació, el vector que
necessitaríem per tornar a la posició inicial
seria el mateix del principi però en sentit
contrari.

109. • En fer una translació, les mides de la
figura no canvien, tampoc canvia la
seva forma, però sí la seva posició.
• Repetint diverses vegades una
mateixa translació, no tornaríem mai a
la posició inicial, a no ser que la féssim
sobre una esfera.

110. • Aquest treball l’hem realitzat tota l’escola.
• Queda molt més per investigar sobre les
transformacions i la seva aplicació al
coneixement de les figures planes,
sobretot les projeccions