Il documento esplora il legame profondo tra matematica e musica, citando vari compositori storici come Bach e Bartók che hanno integrato principi matematici nelle loro opere. Esamina anche la vita di questi musicisti e le loro scoperte, sottolineando come figure come Pitagora avessero già intuito la connessione tra armonia musicale e leggi matematiche. Infine, menziona la creazione della Società per le Scienze Musicali a Lipsia, fondata per riaffermare le origini scientifiche della musica.

1. MATEMATICA E MUSICA di Boschetti Jessica 4^B Tur

2. Tra i tanti autori che hanno composto le loro musiche seguendo formule e principi matematici ci sono: ASCOLTARE LA MATEMATICA Johann Sebastian Bach Bèla Bartòk Alban Berg Luigi Dallapiccola Claude Debussy Guillame Dufay Gian Francesco Malipiero Edgar Varèse Anton Webern LA SCOPERTA & LA SPIEGAZIONE DI PITAGORA I FRATTALI LA SOCIETA’ PER LE SCIENZE MUSICALI

3. JOHANN SEBASTIAN BACH Sommo musicista tedesco, nato ed Eisenach il 21 marzo 1685, morto a Lipsia il 28 luglio 1750. Quella di Giovanni Sebastiano fu una vita semplice; ciò che conobbe fu la modesta esistenza familiare e la fama per la grande maestria d’organista. Da Luneburg si recava ad Amburgo per udirvi un organista celebre. Egli, finito il liceo, dovette procurarsi da vivere e accettare le modeste funzioni di violinista nella piccola orchestra tenuta da Giovanni Ernesto di Wiemar, finchè ottenne la nomina di organista. Nel 1717, avrebbe dovuto misurarsi con l’organista e cembalista Marchand, che poco desideroso del confronto era partito; ma Bach suonò ugualmente e meravigliò tutta l’assemblea. Da uno dei viaggi a Lipsia, ad Amburgo, a Halte, ebbe un triste ritorno: trovò morta la moglie Maria Barbara. A causa della vita domestica e delle cure necessarie ai figli, Bach si risposò presto con Anna Magdalena Wulken. Bach mentre occupava il posto di cantore nella scuola di S. Tommaso a Lipsia, lavorava incessantemente. Le riunioni musicali più care erano quelle che teneva in casa, con intorno le voci e gli strumenti, i buoni allievi, la moglie, i figli; tutti musicisti nati. La salute sempre perfetta, gli si era improvvisamente scossa. Già miope, un grave indebolimento della vista lo costrinse a sottoporsi all’operazione di un chirurgo inglese che passava per Lipsia, e peggiorò; una seconda operazione lo rese cieco. Qualche tempo dopo, ricominciando a vedere, ebbe speranza di guarigione. Morì all’improvviso per un attacco di apoplessia. Fu seppellito il 31 luglio, presso la Chiesa di S.Giovanni. Nessuna pietra, nessuna epigrafe fu posta a certificare il sepolcro. Ritorna a Pagina 2 Vai al successivo

4. BÉLA BARTÓK Nacque a Nagyszentmiklós, in Transilvania, nel 1881. Venne sin da piccolo educato alla musica, dapprima dalla madre che gli insegnò i rudimenti del pianoforte, in seguito (a soli dodici anni) dal M° L. Erkel che lo iniziò alla composizione: terminò gli studi all'Accademia musicale di Budapest nel 1903. Insieme all'intensa attività di pianista, cominciò a coltivare un interesse appassionato per la musica ed il canto popolare ungherese, interesse che si trasformò in studio profondo di ogni manifestazione della musica etnica e del folclore. Nel 1940 lasciò l‘Europa per trasferirsi negli Stati Uniti ove morì nel 1945. Ritorna a Pagina 2 Vai al successivo

5. ALBAN MARIA JOHANNES BERG ( Vienna, 9 febbraio 1885 - Vienna, 24 dicembre 1935) è un compositore austriaco. È stato tra i principali protagonisti della vita musicale del primo Novecento. Fece parte della cosiddetta seconda scuola di Vienna assieme al suo maestro Arnold Sch önberg e ad Anton Webern. Ritorna a Pagina 2 Vai al successivo

6. LUIGI DALLAPICCOLA Luigi Dallapiccola (Pisino d'Istria, 3 febbraio 1904 - Firenze, 19 febbraio 1975), è stato un importante compositore e pianista italiano. Fu tra i primi in Italia ad approdare, sul finire degli anni 1930, alla dodecafonia. Trascorse l'infanzia nella sua città natale, mentre più tardi si spostò a Graz, dove la sua famiglia venne confinata durante la prima guerra mondiale. Alla fine del conflitto iniziò gli studi musicali a Trieste sotto la guida di Alice Andrich Florio e Antonio Illersberg. Dopo aver conseguito la licenza liceale, nel 1922 si trasferisce a Firenze dove completa gli studi pianistici. Nel 1938 sposa Laura Coen Luzzatto, che diventerà ben presto una figura indispensabile per lo sviluppo del linguaggio dallapiccoliano. Nel 1940 gli verrà offerta, per chiara fama, la cattedra di composizione al conservatorio di Firenze; Dallapiccola stesso rinuncerà a questa carica nell'immediato dopoguerra, ritornando al su impiego iniziale (insegnante di pianoforte complementare). Reagisce fermamente alle leggi razziali del 1938. Nel dopoguerra la sua fama internazionale crescerà di continuo, in tutta Europa e in America. Dallapiccola si spegne a Firenze il 19 febbraio 1975. Ritorna a Pagina 2 Vai al successivo

7. CLAUDE DEBUSSY Nasce a Saint Germain en Laye il 22 agosto 1862. Nel 1869 inizia lo studio del pianoforte con l'italiano Cerutti e nel 1872 entra al Conservatorio di Parigi sotto la giuda del pianista Marmontel. Nel 1877 inizia lo studio della Composizione con Emile Durand. Il 19 ottobre 1899 sposa Rosalie Texier, che abbandona nel 1904,per andare a vivere con Emma Bardac. Nel 1911 avviene la rappresentazione del mistero "Le Martyre de Saint Sebastien" il cui testo è opera del poeta Gabriele D'Annunzio. Il 7 dicembre 1915 viene operato di un tumore intestinale. Il 25 marzo 1918 muore a Parigi. Claude Debussy è considerato l'iniziatore della musica moderna Ritorna a Pagina 2 Vai al successivo

8. GUILLAME DUFAY Vi rimaneva fino al 1433, passando quindi alla corte del duca Ludovico di Savoia fino al 1440. Dal 1435 al '37 fu però attivo ancora presso la cappella papale allora a Bologna e a Firenze. Morì il 27 novembre 1474 dopo una lunga malattia durata sei o sette settimane. Il testamento conteneva la richiesta che nell'ora della sua morte fosse cantata la sua messa Ave Regina Coelorum . Ritorna a Pagina 2 Vai al successivo

9. GIAN FRANCESCO MALIPIERO Il compositore Gian Francesco Malipiero (Venezia 1882 - Treviso 1973) dopo aver rotto con lo stile romantico dell'Ottocento, cercò di far rivivere nella musica italiana le sue più antiche tradizioni. Studiò in Italia ed all'estero, assimilando le influenze di Debussy, Ravel, Stravinskij. Compositore prolifico, scrisse più di ventiquattro opere, quattro balletti, circa cinquanta lavori orchestrali (comprese undici sinfonie e undici concerti) e moltissime composizioni per gruppi cameristici e coro. Curò l'edizione completa dell'opera di Monteverdi e scrisse su vari argomenti musicali (vanno ricordati gli studi dedicati a Monteverdi e Stravinskij). Conobbe Asolo attorno al 1910 attratto dalla bellezza del luogo e alla ricerca di un rifugio per sfuggire al più grande nemico della musica: il rumore, vi rimase fino alla sua morte. Ricoprì la carica di Ispettore Onorario della Soprintendenza ai Monumenti dal 1925 fino alla morte e in quella veste combatté per la salvaguardia dell'ambiente e del patrimonio culturale di Asolo. Per natura, e per esperienza di vita, portato alla malinconia, più sicuro dell'affetto degli animali che di quello degli uomini, volle essere sepolto in fondo al giardino della sua casa di Via Foresto Vecchio, lontano dai luoghi affollati e dal chiasso. La sua casa, ed il relativo parco, è ora sede della "Fondazione Malipiero". Ritorna a Pagina 2 Vai al successivo

10. EDGARD VAR ÈSE Varèse, dopo aver studiato scienze e matematica, si dedicò completamente alla musica, e fu allievo di Widor al Conservatorio di Parigi e di Roussel e di d'Indy alla Schola cantorum di Parigi. A Parigi e Berlino fondò scuole musicali e cori specializzati nell'esecuzione di musiche antiche. Nel 1914 fu a capo dell'Orchestra Filarmonica di Praga, e dal 1916 si stabilì definitivamente negli USA. Nel 1919 fondò la New Symphony Orchestra, e fu tra i fondatori della Pan-American Association of Composers. Ritorna a Pagina 2 Vai al successivo

11. ANTON WEBERN Dopo aver ricevuto, già a 5 anni, le prime lezioni di pianoforte dalla madre, continuò a Graz e Klagenfurt negli anni del liceo. Nel 1902 si iscrisse all'Università di Vienna e dal 1904 al 1908 fu allievo di Schoenberg. Laureatosi in musicologia nel 1906 con Guido Adler, 2 anni più tardi intraprese la carriera di direttore d'orchestra, proseguendo l'attività compositiva. Tra il 1915 e il 1916 fu costretto ad arruolarsi. Riaccostatosi alla musica nel'17, fu direttore all'Opera tedesca di Praga e quindi, di nuovo a Vienna, collaborò con Schoenberg nell'"Associazione di esecuzioni musicali private". Inoltre diresse diverse corali e l'orchestra sinfonica dei lavoratori viennesi. Nominato nel '27 direttore della Radio austriaca ed insignito nel '24 e nel '31 del premio "Città di Vienna", ottenne un riconoscimento sempre più vasto, sancito anche dalle pubblicazioni delle sue opere a cura della "Universal Edition". Dal 1933, tuttavia, con l'annessione dell'Austria al Terzo Reich, la diffusione della sua musica incontrò molte difficoltà. Nel '45, dopo la perdita del figlio in seguito a un bombardamento, riparò a Mittersill dove, per un tragico errore, fu ucciso da un soldato americano. Compose vari lavori per orchestra, pezzi corali, vocali, liederistici, pianistici. Ritorna a Pagina 2

12. Pitagora sosteneva che ogni cosa è numero razionale. Si racconta infatti che un giorno il matematico passando davanti alla bottega di un fabbro udì il suono dei martelli che battevano ed incuriosito entrò nell'officina, se li fece mostrare e scoprì che quelli che risuonavano in consonanza avevano preciso rapporto di peso: se uno dei martelli pesava il doppio dell'altro, essi producevano suoni distanti un'ottava. Se invece uno dei martelli pesava una volta e mezza l'altro,essi producevano suoni distanti una quinta (l'intervallo fra il do e il sol). Tornato a casa, Pitagora fece alcuni esperimenti con nervi di bue in tensione, fissati su una cassa risonante rettangolare munita di un ponticello mobile posto tra le estremità della corda (monocordo), per vedere se qualche regola analoga valesse per i suoni generati da strumenti a corda. Infatti la regola era la stessa. Era appena nata la scienza acustica. LA SCOPERTA PITAGORA … DI Descartes, Keplero, Newton e Galileo furono attratti dalla misteriosa simbiosi esistente tra le equazioni matematiche e la creazione musicale tanto da dedicare interi studi alla comprensione del suono come oggetto matematico. Con il termine harmonia gli antichi greci volevano intendere il concetto di “ben proporzionato”. Ma i rapporti matematico-musicali non si limitano solo ai concetti dell’armonia, ma si estendono in particolar modo alla fisica del suono e alle forme compositive. Pitagora stesso aveva scoperto che la sua teoria musicale aveva qualche problema: infatti i rapporti numerici corrispondenti, rispettivamente, a un tono e due semitoni non coincidevano, e differivano di una quantità piccola ma percettibile all’orecchio, che fu chiamata comma pitagorico. Ritorna a Pagina 2 … e la sua spiegazione

13. … E LA SUA SPIEGAZIONE La relazione tra matematica e musica non è un’intuizione recente: Pitagora, oltre a studiare i rapporti tra i numeri, era anche attratto dal nesso tra i numeri e la natura. Egli capì che i fenomeni naturali sono governati da leggi e che possono essere descritte con equazioni matematiche. Uno dei primi nessi da lui scoperti fu la relazione fondamentale tra l’armonia musicale e l’armonia dei numeri. La spiegazione di questa sua scoperta è che il semplice pizzicare una corda genera una nota o tono fondamentale che è prodotto da l’intera lunghezza della corda vibrante. Fissando la corda in punti particolari lungo la sua lunghezza è possibile generare altre vibrazioni e toni. Toni armonici significativi si producono solo in punti specifici. Per esempio, se si fissa la corda in un punto esattamente alla metà della sua lunghezza si genera un tono che è di un’ottava più alto e in armonia con la nota originaria. Invece, fissando la corda in un punto che non è una semplice frazione della lunghezza di un’intera corda, si genera un tono che non è in armonia con gli altri toni. Ritorna a Pagina 2 La Società per le Scienze Musicali

14. LA SOCIETA' PER LE SCIENZE MUSICALI MIZLER AFFERMAVA CHE “LA MUSICA E’ IL SUONO DELLA MATEMATICA” E’ molto frequente vedere avvicinate la matematica e la musica, sia per il tipo di piacere che arrecano a chi le fa, sia per le caratteristiche dell’impegno intellettuale che richiedono. Andando al di là delle analogie più o meno emotive, quando si sviluppa un discorso più tecnico sui legami tra le due discipline (o arti) è naturale che l’accento cada SULL’ASPETTO FISICO-ARITMETICO della musica: su tutto il COMPLESSO DI GIOCHI DI RAPPORTI DI FREQUENZE E DI TEMPI che si descrive in termini matematici e che ha un legame stretto con la fisiologia dell’orecchio e verosimilmente anche con i processi cognitivi legati all’ascolto della musica. Non a caso, nel sistema del sapere medievale la musica apparteneva, insieme ad aritmetica, geometria ed astronomia, al Quadrivium, ovvero al versante scientifico dello scibile. Nel 1738 a Lipsia venne fondata una SOCIETA’ SEMISEGRETA DA LORENZ MIZLER , allievo di Bach, per le Scienze Musicali, con l’intento di mostrare i legami della matematica con la musica. Diversi prestigiosi musicisti vennero invitati a diventare membri della Società, e lo scopo era quello di riportare la musica alla sua origine pitagorica, al suo fundamentum scientifico. Il blasone di questa società era costituito da due forme geometriche: un cerchio, simbolo di perfezione e un triangolo, simbolo di Trinità. Queste due forme erano circondate da api, simbolo del lavoro. Lo Statuto prescriveva che i membri della Società lavorassero come le api allo scopo di riportare la musica alle sue origini matematiche. Per l’ammissione bisognava produrre una composizione musicale di natura matematica, e presentare un ritratto. Nel 1747 Johann Sebastian Bach, entrò nell’Associazione in qualità di 14° membro. Ritorna a Pagina 2 I Frattali

15. I legami tra Musica e Matematica sono innumerevoli. Importante è uno degli aspetti più recenti, quello tra oggetti frattali, suoni e composizioni musicali. Un insieme frattale, come dalla definizione del matematico Mandelbrot, è un "oggetto di forma estremamente irregolare, o estremamente interrotta e frammentata, e che rimane tale qualunque sia la scala a cui la si esamina". Più precisamente si considera "frattale" un insieme che abbia proprietà simili alle seguenti: I FRATTALI Autosimilarità : l'insieme è ottenuto dall'unione di un certo numero di parti, ognuna delle quali, ingrandita, riproduce tutto l'insieme stesso. In altre parole, è un oggetto che è composto da più copie di se stesso, ognuna con una scala diversa. Irregolarità : l'insieme non può essere descritto nella maniera usuale per altri oggetti geometrici "comuni" (triangoli, circonferenze, sfere etc.) come "luogo di punti" che soddisfino ad una certa richiesta. Riscalabilità : l'insieme mostra dettagli nascosti per ingrandimenti successivi. E' una struttura ricca di "angoli nascosti" che si rivelano via via che l'osservatore cambia la scala di lettura. Molto utile, a questo proposito, si rivela essere il Microscopio Frattale Ritorna a Pagina 2 …continua

16. Dalla teoria alla pratica... qualche semplice esempio L'esempio più semplice ed alla portata di tutti, è la cosiddetta Curva di Koch ottenuta per iterazioni successive come mostrato in figura. In pratica, su ogni segmento "cresce" un triangolo di lato pari ad 1/3 di ogni segmento e così via sino all'infinito. È chiaro dalla costruzione che la lunghezza della Curva di Koch aumenta di 4/3 ad ogni "iterazione". Conseguentemente si può pensare che, iterando il procedimento all'infinito, la distanza tra due punti qualsiasi sulla curva sia comunque INFINITA. Da solo, questo fatto, fornisce un'idea di quanto ricca e complessa possa essere la struttura di un insieme frattale. Lo stesso identico procedimento può essere applicato ad un triangolo, facendo "germogliare" in ogni suo lato altri triangoli simili. Il risultato finale che si può vedere in figura, prende il nome di Fiocco di neve di Koch

17. OGGETTO DELL’ESERCITAZIONE : Matematica e Musica ARGOMENTI : - I Compositori -La Scoperta e la Spiegazione di Pitagora -I Frattali STRUMENTI E APPARECCHIATURE USATE : Computer scuola (Internet) Power Point DATA INIZIO : Dicembre 2005 DATA CONSEGNA : Aprile 2006 TESINA DI MATEMATICA