1. 3.2.3
Teor em
a
W r st r ass
ei
Bol zano-
Kumpulan yang tak berhingga dan
terbatas di R1 selalu mempunyai
titik limit.

2. Bukti :
Misalkan S suatu kumpulan tak berhingga
dan terbatas. Karena S terbatas, maka ada
selang tertutup [a,b] yang mengandung S.
Bagilah [a,b] menjadi dua selang bagian
yang sama panjang, maka salah satu selang
bagian ini pastilah mengandung tak
berhingga banyaknya anggota S sebab jika
kedua selang bagian itu mengandung
berhingga banyaknya anggota S, maka S
adalah kumpulan berhingga.
Sebutlah [a1, b1]
selang bagian yang
mengandung tak berhingga banyaknya
anggota S. Jika kedua selang bagian itu
mengandung tak berhingga banyaknya

3. Selanjutnya, bagilah selang [a1, b1] menjadi
dua selang bagian yang sama panjang
seperti di atas, sebutlah [a2, b2] selang
bagian dari [a1, b1] yang mengandung tak
berhingga banyaknya anggota S.
Proses di atas dilanjutkan terus untuk
memperoleh koleksi terbilang selang bagian
yang bersifat :
1. [an+1 ; bn+1] C [an, bn] ;
2. bn + an =
;
3. S n [an, bn] suatu kumpulan berhingga
Jelaslah (an) adalah barisan monoton naik
dan terbatas di atas, jadi p = sup {an ; n N }
ada. Demikian pula (bn) adalah suatu
barisan monoton turun dan terbatas di

4. Selanjutnya, karena an – bn =
, maka
atau p = q
Sekarang akan dibuktikan bahwa p S’.
Misalkan r > 0 sebarang maka untuk n yang
cukup besar
an – bn <
. Untuk ini
berlaku [an ; bn] C N (p ; r) sehingga N (p ; r) n
S adalah suatu kumpulan tak berhingga.
Maka terbuktilah p S’.
Teorema
a. Kumpulan yang tak berhingga
b. Kumpulan yang terbatas R1
c. Selalu mempunyai titik limit

5. Bukti :
1. Misalkan S suatu kumpulan tak berhingga
2. dan terbatas
3. karena S terbatas
4. maka ada selang tertutup [a,b] yang
mengandung S
5. bagilah [a,b] menjadi dua selang bagian
yang sama panjang
6. maka salah satu selang bagian ini pastilah
mengandung tak berhingga banyaknya
anggota S
7. sebab jika kedua selang bagian itu
mengandung
berhingga
banyaknya

6. 9. Sebutlah [a1, b1]
selang bagian yang
mengandung
tak
berhingga
banyaknya
anggota S
10. Jika kedua selang bagian itu mengandung tak
berhingga banyaknya anggota S, ambillah
selang bagian kiri sebagai [a1, b1]
11. Selanjutnya, bagilah selang [a1, b1] menjadi
dua selang bagian yang sama panjang seperti
di atas
12. sebutlah [a2, b2] selang bagian dari [a1, b1] yang
mengandung
tak
berhingga
banyaknya
anggota S
13. Proses di atas dilanjutkan terus untuk
memperoleh koleksi terbilang selang bagian
yang bersifat :
1. [an+1 ; bn+1] C [an, bn] ;
2. bn + an =
;

7. 14.jelaslah (an) adalah barisan monoton naik
15.dan jelaslah (an) terbatas di atas
16.jadi p = sup {an ; n N }
17.p =
ada
18.demikian pula (bn) adalah suatu barisan
monoton turun
19.dan (bn) terbatas di bawah
20.jadi q =
21.q = inf {bn : n N } ada
22.selanjutnya karena an – bn =
,
23.maka
=

8. 24.atau q = p
25.sekarang akan dibuktikan bahwa p S’.
26.misalkan r > 0 sebarang
27.maka untuk n yang cukup besar bn – an <
28.untuk n ini berlaku [an ; bn] C N (p ; r)
29.sehingga N (p ; r) n S adalah suatu
kumpulan tak berhingga
30.maka terbuktilah p S’.

9. ANALISIS
TEOREMA
1. Premis 1
2. Premis 2
3. Kesimpulan
BUKTI
1. UKP dari premis 1
2. UKP dari premis 2
3. Dari poin 2

10. 4. Kesimpulan dari poin 3 dan konsep
himpunan terbatas
5. UKP dari poin 4
6. Kesimpulan dari poin 5 dan poin 1
7. Kontradiksi poin 6
8. Kesimpulan dari poin 7 dan konsep
himpunan berhingga
9. UKP dan dari poin 6
10.UKP dan dari poin 9
11.Dari poin 10 dan dari poin 5
12.UKP dari poin 11
13.Poin (12) dilanjutkan terus menerus

11. 13. (1) karena [an+1 ; bn+1] di dapatian dengan
membagi [an, bn]
(2) dari poin 4, 11, dimana selang [a , b] dibagi
dua secara
berkelanjutan
(3) dari poin (2) dan poin 12
14. Dari poin 13 (1) dan definisi barisan monoton
naik
15. Dari point 14 dan teorema 2.1.10 serta poin 13
(1)
16. Dari poin 15 dan teorema pendukung 2.1.10
17. Dari poin 16 dan definisi limit barisan
18. Dari poin 13 (1) dan definisi barisan monoton
turun
19. Dari poin 13 (1) dan 18

12. 22.Dari poin 13 dan 12
23.Dari poin 22 dan teorema pendukung 2.3.3
24.Dari poin 16, poin 20, dan poin 23
25.Pernyataan yang akan dibuktikan
26.UKP
27.UKP dan dari poin 26
28.Dari poin 26, 27, dan 28
29.Dari poin 29, poin 1 dan konsep himpunan
berhingga
30.Dari poin 30, 26 dan definisi kumpulan titik
limit