Đây là Chuyên đề Toán Tích phân của Megabook. Các em có thể tham khảo nhé!
------------------------------------------------------------------------------
Các em có thể tham khảo bộ sách hay của Megabook tại địa chỉ sau nhé ;)
http://megabook.vn/
Chúc các em học tốt! ^^
Đây là Chuyên đề Toán Tích phân của Megabook. Các em có thể tham khảo nhé!
------------------------------------------------------------------------------
Các em có thể tham khảo bộ sách hay của Megabook tại địa chỉ sau nhé ;)
http://megabook.vn/
Chúc các em học tốt! ^^
Tập 6 chuyên đề Toán học: Hệ mũ và logarit - Megabook.vnMegabook
Đây là Tập 6 chuyên đề Toán học: Hệ mũ và logarit của Megabook. Các em có thể tham khảo nhé!
------------------------------------------------------------------------------
Các em có thể tham khảo bộ sách hay của Megabook tại địa chỉ sau nhé ;)
http://megabook.vn/
Chúc các em học tốt! ^^
Tập 6 chuyên đề Toán học: Hệ mũ và logarit - Megabook.vnMegabook
Đây là Tập 6 chuyên đề Toán học: Hệ mũ và logarit của Megabook. Các em có thể tham khảo nhé!
------------------------------------------------------------------------------
Các em có thể tham khảo bộ sách hay của Megabook tại địa chỉ sau nhé ;)
http://megabook.vn/
Chúc các em học tốt! ^^
Công thức tích phân. Xem thêm luyện thi đại học môn toán 2015 dưới đây:
http://tuyensinh247.com/hoc-truc-tuyen-mon-toan-c47.html?gclid=CNG93O-NwMQCFUEDvAodIp8AZQ
Chuyên đề này cung cấp cho các em đầy đủ nội dung về Nguyên hàm và Tích phân. Giới thiệu về các phương pháp tính tích phân như: Phương pháp biến đổi số, Phương pháp tích vần từng phần... Ngoài ra, giới thiệu về các ứng dụng của tích phân để các em hiểu rõ hơn về việc sử dụng tích phân trong học tập và trong thực tế.
Tập 4 chuyên đề Toán học: Tích phân - Megabook.vnMegabook
Đây là Tập 3 chuyên đề Toán học: Tích phân của Megabook. Các em có thể tham khảo nhé!
------------------------------------------------------------------------------
Các em có thể tham khảo bộ sách hay của Megabook tại địa chỉ sau nhé ;)
http://megabook.vn/
Chúc các em học tốt! ^^
Đây chỉ là bản mình dùng để làm demo trên web. Để tải bản đầy đủ bạn vui lòng truy cập vào website tuituhoc.com nhé, chúc bạn tìm được nhiều tài liệu hay
Tuyen tap cac bai toan va phuong phap giai pt va bpt vo ty
Tích phân
1. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
I. CÔNG THỨC TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Giả sử cho u =u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó :
Công thức tính nguyên hàm:
udv uv
vdu
Công thức tính tích phân:
b
udv uv
a
b
a
b
vdu
a
Nhận dạng: hàm dưới dấu tích phân thường là tích của hai loại hàm số khác
nhau.
Chú ý:
Ta chọn u sao cho dễ tính du nhất và chọn v sao cho dễ tìm nguyên hàm dv
nhất
Làm thế nào để biết mình chọn hàm u, v chính xác rồi?
b
Thật dễ: nếu trọn đúng u,v thì
vdu phả dễ tính hơn
vdu và
udv và
a
b
udv , nếu thằng ku nào chọn u, v xong mà tích phân sau khó hơn tích phân
a
ban đầu là đã chọn sai rồi.
1 Người soạn : Trương Văn Trọng
2. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
II. CÁC DẠNG CƠ BẢN
1. Dạng 1:
du
u
e
ax b
1
cos(ax b)
a
P(x)
sin(ax b)
P (x) cos(ax+b) dx
P '(x)dx
sin(ax b)
dv
cos(ax+b) dx
e ax
v
b
1
sin(ax+b)
a
1 ax b
e
a
Minh họa:Tính tích phân :
x sin x cos2 xdx
I
Giai
Cach 1:
1
(3sinx sin 3 x)
4
sin x cos 2 x sin x(1 sin 2 x) sinx sin 3 x
sin 3 x 3sin x 4sin 3 x
Ta co :
sin 3 x
sin 3 x
1
(3sinx sin 3 x)
4
sin x cos 2 x sinx sin 3 x sin x
Suy ra, I
1
x sin x sin 3x dx
4
1
(3sinx sin 3 x)
4
1
1
x sin xdx
x sin 3xdx
4
4
Tính I1 :
I1
x sin xdx
u x
dv sin xdx
I1
x cos x
du
dx
v
sin xdx
coxdx
1
(sin x sin 3 x)
4
du
v
dx
cosx
x cos x sin x C1
Tính I2 :
2 Người soạn : Trương Văn Trọng
1
I1
4
1
I2
4
3. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
I2
x sin 3xdx
u x
dv sin 3xdx
du
du
dx
v
sin 3xdx
1
cos3x
3
1
1
x cos x
sin x C2
3
9
1
1
x cos 3x
co3xdx
3
3
I1
dx
v
Cach 2:
u
du
x
dv sin x cos 2 xdx
dx
du
v
sin x cos 2 xdx
v
du
dx
cos 2 xd cos x
dx
1 3
v
cos x
3
1
1
1
1
I
x cos3 x
cos3 xdx
x cos3 x
cos 2 x cos xdx
3
3
3
3
1
1
x cos3 x
(1 sin 2 x) cos xdx
3
3
1
1
x cos3 x
(1 sin 2 x)d sin x
3
3
1
1
1 3
x cos3 x
(sin x
sin x) c
3
3
3
Bài tập áp dụng:
1.1.
x sin xdx
1.2.
(2 x 3)sin 2 xdx
1.3.
xcosxdx
1.4.
(2 x 1)cos2 xdx
2
x sin 3 xdx
1.5.
0
1.6.
sin xdx
1.7.
x sin xdx
1.8.
x sin(2 x 1)dx
3 Người soạn : Trương Văn Trọng
4. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1.9.
x3 sin(2 x2 1)dx
1.10.
x5cos( x 2 1)dx
1.11.
x sin xcos2 xdx
2
x sin 2 x cosxdx
1.12.
0
2
2
esin x s inxcos3 xdx
1.13.
0
2
1.14.
a sin 2 x bcos 2 x
e
s in2xdx
0
1.15.
x(sin x cos x)dx
1.16.
(x
1.17.
x( 3 sin x cos x)dx
1.18.
xe x dx
1.19.
(2 x 1) e x dx
1.20.
(2 x 1) e3 x 2 dx
1.21.
(x 2 2 x) e x dx
1.22.
x 3e x dx
1.23.
x 1
dx
ex
1.24.
x 2e x
dx
(x 2) 2
4
)(sin x cos x)dx
2
ex
1.25.
x
2
1 x
x2 1
x
2
2
dx
1
2. Dạng 2:
P(x) ln f (x) dx
u
dv
ln f (x)
P(x) dx
Thường gặp nhất là dạng đặc biệt sau:
4 Người soạn : Trương Văn Trọng
du
f '(x)
f (x)
v
P(x) dx
5. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
P (x) ln(ax b)dx
u ln(ax b)
dv P (x) dx
du
a
ax b
v
P (x) dx
Bài tập mẫu :
( x3
I
x2
x) ln( x 2
x) d x
Giải:
Chọn
u
ln( x 2
dv
( x3
( x 2 x) '
du
dx
x2 x
x 4 x3 x 2
v
4 3 2
x)
x2
x)dx
du
v
2x 1
dx
x2 x
x 4 x3 x 2
4 3 2
2x 1
dx
x2 x
1
v
(3x 4 4 x3 6 x 2 )
12
du
suy ra,
1
1
2x 1
(3x 4 4 x3 6 x 2 ) ln( x 2 x)
(3x 4 4 x3 6 x 2 ) 2
dx
12
12
x x
1
1
2x 1
I
(3 x 4 4 x 3 6 x 2 ) ln( x 2 x)
(3 x 3 4 x 2 6 x)
dx
12
12
x 1
1
1
1
(3x 4 4 x 3 6 x 2 ) ln( x 2 x)
(3 x 3 4 x 2 6 x) 2
dx
12
12
x 1
1
1
(3x 4 4 x 3 6 x 2 ) ln( x 2 x)
K
12
12
I
K
(3 x 3 4 x 2 6 x) 2
1
x 1
dx
2(3 x 3 4 x 2 6 x)
3x3 4 x 2 6 x
dx
x 1
2(3 x 3 4 x 2 6 x)
3x 2 ( x 1) x( x 1) 5( x 1) 5
dx
x 1
6 x 3 5 x 2 11x 5
3 4
x
2
5
x 1
dx
5 3 11 2
x
x 5 x 5ln(x 1) C
3
2
Từ đó có kết quả như sau:
I
1
(3x 4
12
4 x 3 6 x 2 ) ln( x 2
x)
1 3 4
x
12 2
Bài tập minh họa:
5 Người soạn : Trương Văn Trọng
5 3 11 2
x
x 5 x 5ln(x 1)
3
2
C
6. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
2.1.
ln(x 3 x) dx
2.2.
(2 x 1)ln(x3 x)dx
2.3.
ln( x 2 1 x) dx
2.4.
ln( x 2 1 x) dx
2.5.
x 2 ln( x 2 a 2
x) dx
2.6.
x 2 ln( x 2 a 2
x) dx
e
x 2 (lnx)2 dx
2.7.
1
1
2
2.8.
x ln
0
1
1 x
dx
1 x
x 2 1)
x ln(x
2.9.
x2 1
0
1
x 2 1)
x ln(x
2.10.
x
0
x2 1
dx
dx
0
2.11.
x ln 1 xdx
8
0
2.12.
ln 1 x
dx
3 (1 x) 1 x
3
x lnx
2.13.
x2 1
1
2
dx
1
x ln(1 x 2 )dx (CDKTKT 2006)
2.14.
0
3
2.15.
ln(tan x)
dx (CDTCHhai quan 2006)
sin 2 x
4
2
2.16.
ln(1 x)
dx (CD co khi 2006)
x2
1
2
x 2 ln 1
2.17.
1
1
dx
x
6 Người soạn : Trương Văn Trọng
7. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1
x 2 ln 1 x 2 dx
2.18.
0
2
2.19.
sin x ln(1 cosx)dx
0
4
2.20.
ln(tan x)dx
0
4
(x 1)2 lnx dx
2.21.
1
4
2.22.
ln(1 tan x)dx
0
5
2.23.
ln(1
2 x 1
4
x 1)
dx
x 1
tan x ln(cos x)
dx
cos x
2.24.
0
e
2.25.
( x3 1) ln x 2 x 2 1
dx
2 x ln x
1
e
ln x
2.26.
x 1
1
2
dx
3. Dạng 3 :
I
cos(ln x)
x
dx
sin(ln x)
k
u
dv
cos(ln x)
sin(ln x)
du
x k dx
v
3.1.
x cos(ln x)dx
2
e
x3 sin(ln x)dx
3.2.
1
e
3.3.
cos(ln x) d x
1
7 Người soạn : Trương Văn Trọng
sin(ln x)
x
cos(ln x)
x
xk 1
x k dx
k 1
8. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
e
cos 2 (ln x) d x
3.4.
1
4. Dạng 4 :
u
dv
e
ax b
sin( x
cos( x
)
dx
)
u
dv
e ax
b
sin( x
)
cos( x
)
sin( x
)
cos( x
)
e ax b dx
e x cos 2 x d x
4.1.
0
e x sin 2 x d x
4.2.
0
4.3.
sin 2 x
dx
ex
0
4.4.
5.
8 Người soạn : Trương Văn Trọng
dx