Tài liệu trình bày về tích phân từng phần với công thức và phương pháp cụ thể. Nó bao gồm các dạng cơ bản, ứng dụng, bài tập minh họa và chú ý khi chọn hàm u, v. Tài liệu được biên soạn bởi Trương Văn Trọng.

1. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
I. CÔNG THỨC TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Giả sử cho u =u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó :
 Công thức tính nguyên hàm:
udv uv
vdu
 Công thức tính tích phân:
b
udv uv
a
b
a
b
vdu
a
 Nhận dạng: hàm dưới dấu tích phân thường là tích của hai loại hàm số khác
nhau.
 Chú ý:
Ta chọn u sao cho dễ tính du nhất và chọn v sao cho dễ tìm nguyên hàm dv
nhất
Làm thế nào để biết mình chọn hàm u, v chính xác rồi? 
b
Thật dễ: nếu trọn đúng u,v thì
vdu phả dễ tính hơn
vdu và
udv và
a
b
udv , nếu thằng ku nào chọn u, v xong mà tích phân sau khó hơn tích phân
a
ban đầu là đã chọn sai rồi.
1 Người soạn : Trương Văn Trọng

2. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
II. CÁC DẠNG CƠ BẢN
1. Dạng 1:
du
u
e
ax b
1
cos(ax b)
a
P(x)
sin(ax b)
P (x) cos(ax+b) dx
P '(x)dx
sin(ax b)
dv
cos(ax+b) dx
e ax
v
b
1
sin(ax+b)
a
1 ax b
e
a
Minh họa:Tính tích phân :
x sin x cos2 xdx
I
Giai
Cach 1:
1
(3sinx sin 3 x)
4
sin x cos 2 x sin x(1 sin 2 x) sinx sin 3 x
sin 3 x 3sin x 4sin 3 x
Ta co :
sin 3 x
sin 3 x
1
(3sinx sin 3 x)
4
sin x cos 2 x sinx sin 3 x sin x
Suy ra, I
1
x sin x sin 3x dx
4
1
(3sinx sin 3 x)
4
1
1
x sin xdx
x sin 3xdx
4
4
Tính I1 :
I1
x sin xdx
u x
dv sin xdx
I1
x cos x
du
dx
v
sin xdx
coxdx
1
(sin x sin 3 x)
4
du
v
dx
cosx
x cos x sin x C1
Tính I2 :
2 Người soạn : Trương Văn Trọng
1
I1
4
1
I2
4

3. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
I2
x sin 3xdx
u x
dv sin 3xdx
du
du
dx
v
sin 3xdx
1
cos3x
3
1
1
x cos x
sin x C2
3
9
1
1
x cos 3x
co3xdx
3
3
I1
dx
v
Cach 2:
u
du
x
dv sin x cos 2 xdx
dx
du
v
sin x cos 2 xdx
v
du
dx
cos 2 xd cos x
dx
1 3
v
cos x
3
1
1
1
1
I
x cos3 x
cos3 xdx
x cos3 x
cos 2 x cos xdx
3
3
3
3
1
1
x cos3 x
(1 sin 2 x) cos xdx
3
3
1
1
x cos3 x
(1 sin 2 x)d sin x
3
3
1
1
1 3
x cos3 x
(sin x
sin x) c
3
3
3
Bài tập áp dụng:
1.1.
x sin xdx
1.2.
(2 x 3)sin 2 xdx
1.3.
xcosxdx
1.4.
(2 x 1)cos2 xdx
2
x sin 3 xdx
1.5.
0
1.6.
sin xdx
1.7.
x sin xdx
1.8.
x sin(2 x 1)dx
3 Người soạn : Trương Văn Trọng

4. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1.9.
x3 sin(2 x2 1)dx
1.10.
x5cos( x 2 1)dx
1.11.
x sin xcos2 xdx
2
x sin 2 x cosxdx
1.12.
0
2
2
esin x s inxcos3 xdx
1.13.
0
2
1.14.
a sin 2 x bcos 2 x
e
s in2xdx
0
1.15.
x(sin x cos x)dx
1.16.
(x
1.17.
x( 3 sin x cos x)dx
1.18.
xe x dx
1.19.
(2 x 1) e x dx
1.20.
(2 x 1) e3 x 2 dx
1.21.
(x 2 2 x) e x dx
1.22.
x 3e x dx
1.23.
x 1
dx
ex
1.24.
x 2e x
dx
(x 2) 2
4
)(sin x cos x)dx
2
ex
1.25.
x
2
1 x
x2 1
x
2
2
dx
1
2. Dạng 2:
P(x) ln f (x) dx
u
dv
ln f (x)
P(x) dx
Thường gặp nhất là dạng đặc biệt sau:
4 Người soạn : Trương Văn Trọng
du
f '(x)
f (x)
v
P(x) dx

5. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
P (x) ln(ax b)dx
u ln(ax b)
dv P (x) dx
du
a
ax b
v
P (x) dx
Bài tập mẫu :
( x3
I
x2
x) ln( x 2
x) d x
Giải:
Chọn
u
ln( x 2
dv
( x3
( x 2 x) '
du
dx
x2 x
x 4 x3 x 2
v
4 3 2
x)
x2
x)dx
du
v
2x 1
dx
x2 x
x 4 x3 x 2
4 3 2
2x 1
dx
x2 x
1
v
(3x 4 4 x3 6 x 2 )
12
du
suy ra,
1
1
2x 1
(3x 4 4 x3 6 x 2 ) ln( x 2 x)
(3x 4 4 x3 6 x 2 ) 2
dx
12
12
x x
1
1
2x 1
I
(3 x 4 4 x 3 6 x 2 ) ln( x 2 x)
(3 x 3 4 x 2 6 x)
dx
12
12
x 1
1
1
1
(3x 4 4 x 3 6 x 2 ) ln( x 2 x)
(3 x 3 4 x 2 6 x) 2
dx
12
12
x 1
1
1
(3x 4 4 x 3 6 x 2 ) ln( x 2 x)
K
12
12
I
K
(3 x 3 4 x 2 6 x) 2
1
x 1
dx
2(3 x 3 4 x 2 6 x)
3x3 4 x 2 6 x
dx
x 1
2(3 x 3 4 x 2 6 x)
3x 2 ( x 1) x( x 1) 5( x 1) 5
dx
x 1
6 x 3 5 x 2 11x 5
3 4
x
2
5
x 1
dx
5 3 11 2
x
x 5 x 5ln(x 1) C
3
2
Từ đó có kết quả như sau:
I
1
(3x 4
12
4 x 3 6 x 2 ) ln( x 2
x)
1 3 4
x
12 2
Bài tập minh họa:
5 Người soạn : Trương Văn Trọng
5 3 11 2
x
x 5 x 5ln(x 1)
3
2
C

6. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
2.1.
ln(x 3 x) dx
2.2.
(2 x 1)ln(x3 x)dx
2.3.
ln( x 2 1 x) dx
2.4.
ln( x 2 1 x) dx
2.5.
x 2 ln( x 2 a 2
x) dx
2.6.
x 2 ln( x 2 a 2
x) dx
e
x 2 (lnx)2 dx
2.7.
1
1
2
2.8.
x ln
0
1
1 x
dx
1 x
x 2 1)
x ln(x
2.9.
x2 1
0
1
x 2 1)
x ln(x
2.10.
x
0
x2 1
dx
dx
0
2.11.
x ln 1 xdx
8
0
2.12.
ln 1 x
dx
3 (1 x) 1 x
3
x lnx
2.13.
x2 1
1
2
dx
1
x ln(1 x 2 )dx (CDKTKT 2006)
2.14.
0
3
2.15.
ln(tan x)
dx (CDTCHhai quan 2006)
sin 2 x
4
2
2.16.
ln(1 x)
dx (CD co khi 2006)
x2
1
2
x 2 ln 1
2.17.
1
1
dx
x
6 Người soạn : Trương Văn Trọng

7. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1
x 2 ln 1 x 2 dx
2.18.
0
2
2.19.
sin x ln(1 cosx)dx
0
4
2.20.
ln(tan x)dx
0
4
(x 1)2 lnx dx
2.21.
1
4
2.22.
ln(1 tan x)dx
0
5
2.23.
ln(1
2 x 1
4
x 1)
dx
x 1
tan x ln(cos x)
dx
cos x
2.24.
0
e
2.25.
( x3 1) ln x 2 x 2 1
dx
2 x ln x
1
e
ln x
2.26.
x 1
1
2
dx
3. Dạng 3 :
I
cos(ln x)
x
dx
sin(ln x)
k
u
dv
cos(ln x)
sin(ln x)
du
x k dx
v
3.1.
x cos(ln x)dx
2
e
x3 sin(ln x)dx
3.2.
1
e
3.3.
cos(ln x) d x
1
7 Người soạn : Trương Văn Trọng
sin(ln x)
x
cos(ln x)
x
xk 1
x k dx
k 1

8. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
e
cos 2 (ln x) d x
3.4.
1
4. Dạng 4 :
u
dv
e
ax b
sin( x
cos( x
)
dx
)
u
dv
e ax
b
sin( x
)
cos( x
)
sin( x
)
cos( x
)
e ax b dx
e x cos 2 x d x
4.1.
0
e x sin 2 x d x
4.2.
0
4.3.
sin 2 x
dx
ex
0
4.4.
5.
8 Người soạn : Trương Văn Trọng
dx