SlideShare a Scribd company logo
TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ IX
CHUYÊN ĐỀ
PHƯƠNG TÍCH VÀ ỨNG DỤNG
Nguyễn Quỳnh, Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
Đào Văn Lương, Chuyên Lào Cai
Hoàng Thông, Chuyên Lê Quý Đôn, Điện Biên
HÒA BÌNH, THÁNG 8 NĂM 2013
Trang 1
MỤC LỤC
Trang
Phần A Cơ sở lý thuyết 2
1. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn 2
2. Trục đẳng phương của hai đường tròn 3
3. Tâm đẳng phương của ba đường tròn 5
Phần B Ứng dụng phương tích giải một số bài tập hình học phẳng 7
1. Các bài tập sử dụng tính chất của phương tích 7
2. Các bài tập sử dụng tính chất của trục đẳng phương 10
3. Các bài tập sử dụng tính chất của tâm đẳng phương 23
Phần C Bài tập đề nghị 28
1. Đề bài 28
2. Lời giải 30
Tài liệu tham khảo 40
Trang 2
PHẦN A: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn
1.1 Bài toán
Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định, OM = d. Một đường thẳng thay đổi qua M cắt
đường tròn tại hai điểm A và B. Khi đó 2 2 2 2
. .MA MB MO R d R= − = −
Chứng minh
B
C
M
O
A
Gọi C là điểm đối xứng của A qua O. Ta có CB AM⊥ hay B là hình chiếu của C trên AM.
Khi đó ta có ( )( ). . .MA MB MA MB MC MA MO OC MO OA= = = + +
( )( )
2 2
2 2 2 2
.
MO OA MO OA MO OA
OM OA d R
= − + = −
= − = −
1.2 Định nghĩa
Đại lượng không đổi 2 2
.MA MB d R= − trong Bài toán 1.1 được gọi là phương tích của
điểm M đối với đường tròn (O), kí hiệu PM/(O). Ta có:
( )
2 2
/
.M O
MA MB d R= = −P .
1.3 Tính chất
1.3.1 Tính chất 1
Điểm M nằm bên ngoài đường tròn ( )O khi và chỉ khi ( )/
0.M O
>P
Điểm M nằm trên đường tròn ( )O khi và chỉ khi ( )/
0.M O
=P
Điểm M nằm bên trong đường tròn ( )O khi và chỉ khi ( )/
0.M O
<P
Trang 3
1.3.2 Tính chất 2
Trong mặt phẳng, cho đường tròn ( );O R và một điểm M nằm bên ngoài ( ).O Qua M
kẻ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MT tới ( ).O Khi đó
2 2 2
. .MA MB MT OM R= = −
1.3.3 Tính chất 3
Cho hai đường thẳng ,AB CD phân biệt cắt nhau tại M ( M không trùng , ,A B ,C D). Khi
đó, nếu . .MA MB MC MD= thì bốn điểm , , ,A B C D cùng nằm trên một đường tròn.
1.3.4 Tính chất 4
Cho hai đường thẳng ,AB MT phân biệt cắt nhau tại M ( M không trùng , ,A B T ). Khi
đó, nếu 2
.MA MB MT= thì đường tròn ngoại tiếp tam giác ABT tiếp xúc với MT tại .T
1.4 Phương tích trong hệ tọa độ Descartes
Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Descartes, cho điểm ( )0 0;M x y và đường tròn
2 2
( ): 2 2 0.C x y ax by c+ + + + =
Đặt 2 2
( ; ) 2 2 ,F x y x y ax by c= + + + + khi đó
( )1/M O
P 2 2
0 0 0 0 0 0( ; ) 2 2 .F x y x y ax by c= = + + + +
2. Trục đẳng phương của hai đường tròn
2.1 Định lý và định nghĩa
Cho hai đường tròn không đồng tâm (O1; R1) và (O2; R2). Tập hợp các điểm M có phương
tích đối với hai đường tròn bằng nhau là một đường thẳng, đường thẳng này được gọi là
trục đẳng phương của hai đường tròn (O1) và (O2).
Chứng minh
Giả sử điểm M có cùng phương tích đối với hai đường tròn đã cho.
Gọi H là hình chiếu của M trên O1O2, I là trung điểm của O1O2. Ta có:
( ) ( )2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2 .
MH HO MH HO R R
HO HO R R
⇔ + − + = −
⇔ − = −
( )( ) 2 2
1 2 1 2 1 2HO HO HO HO R R⇔ − + = −
Trang 4
H
I O2O1
M
2 2
2 2 1 2
2 1 1 2
1 2
.2 .
2
R R
O O HI R R IH
O O
−
⇔ = − ⇔ =
Do H cố định, suy ra tập hợp các điểm M có cùng phương tích đối với hai đường tròn là
đường thẳng qua H và vuông góc với O1O2.
2.2 Tính chất
Cho hai đường tròn (O1) và (O2). Từ định lý 2.1 ta có các tính chất sau:
2.2.1 Tính chất 1
Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường thẳng nối tâm.
2.2.2 Tính chất 2
Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳng phương của chúng.
2.2.3 Tính chất 3
Nếu điểm M có cùng phương tích đối với (O1) và (O2) thì đường thẳng qua M vuông góc
với 1 2O O là trục đẳng phương của hai đường tròn.
2.2.4 Tính chất 4
Nếu hai điểm M, N có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì đường thẳng MN chính
là trục đẳng phương của hai đường tròn.
2.2.5 Tính chất 5
Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì 3 điểm đó thẳng hàng.
2.2.6 Tính chất 6
Trang 5
Nếu (O1) và (O2) tiếp xúc nhau tại A thì đường thẳng qua A và vuông góc với 1 2O O chính
là trục đẳng phương của hai đường tròn.
2.2 Cách xác định trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm
Trong mặt phẳng cho hai đường tròn không đồng tâm (O1) và (O2). Xét các trường hợp sau:
2.2.1 Trường hợp 1: Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó đường
thẳng AB chính là trục đẳng phương của hai đường tròn.
2.2.2 Trường hợp 2: Hai đường tròn tiếp xúc nhau tại T. Khi đó tiếp tuyến chung tại T
chính là trục đẳng phương của hai đường tròn.
2.2.3 Trường hợp 3: Hai đường tròn không có điểm chung. Dựng đường tròn 3( )O cắt
cả hai đường tròn. Trục đẳng phương của các cặp đường tròn 1 3( ) à ( );O v O 2 3( ) à ( )O v O
cắt nhau tại K. Đường thẳng qua K vuông góc với 1 2O O là trục đẳng phương của
1 2( ),( ).O O
2.3 Trục đẳng phương trong Hệ tọa độ Descartes
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các đường tròn không đồng tâm:
2 2
1 1 1 1( ) : 2 2 0C x y a x b y c+ + + + = , 2 2
2 2 2 2( ) : 2 2 0C x y a x b y c+ + + + =
Từ biểu thức phương tích của một điểm đối với một đường tròn trong hệ tọa độ suy ra
trục đẳng phương của 1( )C và 2( )C là đường thẳng có phương trình
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 22 2 0a a x b b y c c− + − + − = ∆
3. Tâm đẳng phương của ba đường tròn
3.1 Định lý và định nghĩa
Cho 3 đường tròn (C1), (C2) và (C3). Khi đó 3 trục đẳng phương của các cặp đường tròn
này hoặc trùng nhau hoặc song song hoặc cùng đi qua một điểm. Nếu các trục đẳng
phương cùng đi qua một điểm thì điểm đó được gọi là tâm đẳng phương của ba đường
tròn.
Chứng minh
Gọi dij là trục đẳng phương của hai đường tròn (Ci) và (Cj). Ta xét hai trường hợp sau.
a)Giả sử có một cặp đường thẳng song song, không mất tính tổng quát ta giả sử d12 // d23.
Ta có 12 1 2 23 2 3,d O O d O O⊥ ⊥ suy ra 1 2 3, ,O O O thẳng hàng. Mà 13 1 3d O O⊥ suy ra 13 23 12// //d d d
Trang 6
b)Giả sử d12 và d23 có điểm chung M. Khi đó ta có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 3
2 3
/ /
13/ /
/ /
M O M O
M O M O
M O M O
M d
=
⇒ = ⇒ ∈
=
P P
P P
P P
d12
d13
d23
M
O1
O2
O3
Từ đây suy ra nếu có hai đường thẳng trùng nhau thì đó cũng là trục đẳng phương của cặp
đường tròn còn lại.
Nếu hai trục đẳng phương chỉ cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cũng thuộc trục đẳng
phương còn lại
3.2 Tính chất
3.2.1 Tính chất 1:
Nếu 3 đường tròn đôi một cắt nhau thì các dây cung chung cùng đi qua một điểm
3.2.2 Tính chất 2:
Nếu 3 trục đẳng phương song song hoặc trùng nhau thì tâm của 3 đường tròn thẳng hàng.
3.2.3 Tính chất 3:
Nếu 3 đường tròn cùng đi qua một điểm và có các tâm thẳng hàng thì các trục đẳng
phương trùng nhau.
Trang 7
PHẦN B: ỨNG DỤNG PHƯƠNG TÍCH
GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG
1. CÁC BÀI TẬP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TÍCH
Bài tập 1.1 (S44 Mathematical Reflection MR2-2007)
Từ một điểm P nằm bên ngoài đường tròn tâm O, kẻ các tiếp tuyến PA, PB tới
đường tròn (O), (A, B là các tiếp điểm). Gọi M là trung điểm AP và N là giao điểm
của BM với (O), (N không trùng B). Chứng minh rằng 2 .PN MN=
Lời giải
Ta có
2
. .MN MB MA MA MP= = . Gọi 'N là điểm đối xứng với N qua ,M khi đó
. '. ,MN MB MN MB= suy ra . ' ,MA MP MN MB= hay tứ giác 'ABPN là tứ giác nội
tiếp một đường tròn.
Đặt , ,NAP NAB= α = β ta có ' ' ' ' .PAN PBN BAN NAN ANN= = = β ⇒ = = α + β
Mặt khác ' ,ANN NAB NBA= + = α + β hay tam giác NPN’ cân tại N suy ra
2 .PN MN=
Bài tập 1.2
N'
N
M
B
A
OP
Trang 8
C
M
N
O
I
A
B
Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định. Một đường thẳng quay quanh A, cắt (O) tại
M và N. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN thuộc một đường
thẳng cố định.
Lời giải
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB. AB cắt (I) tại điểm thứ hai C. Ta có
( ) ( )/ /
. .P PA I A O
AC AB AM AN= = = (không đổi vì A, (O) cố định).
Suy ra ( )/
PA O
AC
AB
=
Vì A, B cố định và C thuộc AB nên từ hệ thức trên ta có C cố định.
Suy ra I thuộc đường trung trực của BC cố định.
Suy ra
.AB AC
AK
AI
= là hằng số nên điểm K cố đinh. Bài tập được chứng minh
Bài tập 1.3
Cho đường tròn (O) và dây AB. Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O). Từ
điểm E chính giữa cung lớn AB kẻ đường kính EF cắt dây AB tại D. Tia CE cắt (O) tại
điểm I. Cho A, B, C cố định, chứng minh rằng khi đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi
qua A, B thì đường FI luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải
Trang 9
K
H
I
A CB
O
N
M
K
I
F
E
DA CB
Gọi K là giao điểm của FI và AB
Tứ giác DKIE nội tiếp đường tròn đường kính EK nên
[ ] ( )//
. . .C OC EK
P CK CD CI CE P CB CA= = = =
.CACB
CK
CD
⇒ = ⇒ điểm K cố định
Vậy đường thẳng FI luôn đi qua một điểm K cố định
Bài tập 1.4
Cho ba điểm cố định A, B, C thẳng hàng (theo thứ tự đó). Một đường tròn (O) thay đổi
nhưng luôn đi qua B, C. Từ điểm A kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến (O). Đường thẳng MN
cắt AO và AC lần lượt tại H và K. Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh rằng đường tròn
ngoại tiếp tam giác OHI luôn đi qua hai điểm cố định
Lời giải
Hiển nhiên điểm I cố định. Do HOIK nội tiếp nên ta có
[ ]
2
/
. .A KO
P AK AI AH AO AM= = =
(do tam giác AMO vuông tại M có MH là đường cao)
Ta lại có AM là tiếp tuyến của (O) nên ( )
2
/
. .A O
AM P AB AC= =
Trang 10
2. CÁC BÀI TẬP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG
Bài tập 2.1
(IMO 2013 Problem 4)
Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H. Cho W là một điểm tùy ý trên cạnh BC, khác với
các điểm B và C. Các điểm M và N tương ứng là chân các đường cao hạ từ B và C. Kí
hiệu 1ω là đường tròn ngoại tiếp tam giác BWN, và gọi X là điểm trên 1ω sao cho WX là
đường kính của 1ω . Tương tự, kí hiệu 2ω là đường tròn ngoại tiếp tam giác CWM, và gọi
Y là điểm trên 2ω sao cho WY là đường kính của 2ω . Chứng minh rằng các điểm X,Y và H
thẳng hàng.
Lời giải
w2
w1
Z
Y
O2
X
O1
P
M
N
H
A
B C
W
Gọi P là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC, 1 2,O O là tâm các đường tròn 1 2,ω ω ,
Z là giao điểm thứ hai của 1ω và 2.ω
Tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn đường kính BC nên . .AN AB AM AC= hay A thuộc
trục đẳng phương của 1ω và 2.ω Suy ra A, Z, W cùng nằm trên một đường thẳng vuông
góc với 1 2OO và XY (1)
Tứ giác BNHP nội tiếp nên . . . ,AH AP AN AB AZ AW= = từ đó PHZW là tứ giác nội tiếp
hay HZ vuông góc với ZW (2)
Trang 11
Từ (1) và (2) suy ra X, Y, H thẳng hàng, điều phải chứng minh.
Bài tập 2.2
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), .AB CD≠ Dựng hai hình thoi AEDF và
BMCN có cạnh bằng nhau. Chứng minh bốn điểm E, F, M, N cùng thuộc một đường tròn.
Lời giải
Dựng ( ),AFA và ( ),B BM .
Do OA = OB và AF = BM nên O nằm trên trục đẳng phương của (A) và (B).
M
N
E
O
A
D
C
B
F
Mặt khác, EF, MN lần lượt là trung trực của đoạn AD, BC nên { }EF MN O∩ =
.OF .ONOE OM⇒ =
Suy ra 4 điểm E, F, M, N cùng thuộc một đường tròn (đpcm).
Bài tập 2.3
Cho hai đường tròn ngoài nhau 1 2( ),( ).O O Kẻ tiếp tuyến chung ngoài 1 2A A của hai
đường tròn 1 1 2 2( ( ); ( )).A O A O∈ ∈ Gọi K là trung điểm của 1 2A A , từ K kẻ các tiếp tuyến
1 2,KB KB tới 1( )O và 2( ).O 1 1 2 2,A B A B cắt nhau tại L, KL cắt 1 2O O tại P . Chứng minh
rằng 1 2, , ,B B P L cùng nằm trên một đường tròn.
Lời giải
Do 1 2 1 2KA KA KB KB= = = nên tứ giác 1 1 2 2A B B A nội tiếp
Trang 12
1 1 2 2. .LB LA LB LA⇒ =
Suy ra KL là trục đẳng phương của ( )1O và ( )2O
1 2KL O O⇒ ⊥
3 điểm 1 1, ,A B P nhìn đoạn 1O K dưới góc 0
90 nên tứ giác 1 1A B PK nội tiếp, tương tự tứ
giác 2 2A B PK nội tiếp
Bài tập 2.4
(IMO 1995)
Trên đường thẳng d lấy bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự đó. Các đường tròn đường kính
AC và BD cắt nhau tại X và Y. Đường thẳng XY cắt BC tại Z. Trên đường thẳng XY lấy
một điểm P không trùng với Z, đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC tại điểm
thứ hai M, đường thẳng BP cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ hai N. Chứng
minh AM, DN, XY đồng quy.
Lời giải
Gọi , ,J J Z′ lần lượt là giao của AM, DN, AD với XY
Tứ giác JMCK nội tiếp nên . .PJ PK PM PC=
Tương tự . .PJ PK PN PB′ =
Do P nằm trên trục đẳng phương của đường tròn đường kính AC và đường tròn đường
kính BD nên . . . .PM PC PN PB PJ PK PJ PK′= ⇒ = hay P P′≡
Vậy AM, DN, XY đồng quy (đpcm).
Bài tập 2.5
Cho tam giác ABC, các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H, M là trung điểm BC, EF
cắt BC tại I, J là trung điểm của MH. Chứng minh IH vuông góc với OJ.
Lời giải
Gọi O, J lần lượt là trung điểm AH, MH.
Ta có EF 2 2D HFD EBM EMC∠ = ∠ = ∠ = ∠
Suy ra tứ giác FEMD nội tiếp.
.IF .IE IM ID⇒ =
Do đó I nằm trên trục đẳng phương của ( ),O OA và ( ),J JH
Trang 13
OJIH⇒ ⊥
Mà OJ là đường trung bình của tam giác AMH nên OJ//AM
IH AM⇒ ⊥ (đpcm)
Bài tập 2.6
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). AA’, BB’, CC’ là các đường cao của tam
giác. Kí hiệu ( )WA là đường tròn đi qua A, A’ và tiếp xúc với OA. ( ) ( )W , WB C được
định nghĩa tương tự. Chứng minh rằng ba đường tròn đó cắt nhau tại hai điểm thuộc
đường thẳng Euler của tam giác ABC.
Lời giải
Ta có ( ) ( )/ W . . / WH A H CP HA HA HC HC P′ ′= = = và do OA, OC lần lượt tiếp xúc với
W ,WA C nên ( ) ( )2 2
/ W / WO A O CP OA OC P= = =
Suy ra OH là trục đẳng phương của ( )WA và ( )WC
( ) ( ) { }W W ,A B E F HO⇒ ∩ = ∈
Vậy 3 đường tròn ( )WA , ( )WB , ( )WC cắt nhau tại 2 điểm thuộc đường thẳng Ơ-le của
tam giác ABC (đpcm).
Bài tập 2.7
Cho tam giác không cân ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Các
điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các đường thẳng BC, CA, AB sao cho
' ' ' 90 .o
AIA BIB CIC= = = Chứng minh A’, B’, C’ cùng thuộc một đường thẳng và đường
thẳng đó vuông góc với OI.
Lời giải
Kí hiệu (I, 0) là đường tròn tâm I, bán kính bằng 0.
Ta có 0
90
2
ABC
IBC AIC CIA′= = − =
2
.IA A B A C′ ′ ′⇒ = hay /( ;0) /( )A I A OP P ′=
Tương tự /( ;0) /( )B I B OP P ′= , /( ;0) '/( )C I C OP P=
Trang 14
Suy ra , ,A B C′ ′ ′ cùng thuộc trục đẳng phương của (O) và (I,0), đường thẳng này vuông
góc với OI (đpcm).
Bài tập 2.8
Cho đường tròn tâm O đường kính AB, và điểm H cố định thuộc AB. Từ điểm K thay đổi
trên tiếp tuyến tại B của O, vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) tại C và D. Chứng minh rằng
CD luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải
I
M
D
C
B
A O
K
H
Gọi I là điểm đối xứng của H qua B, suy ra I cố định và thuộc (K).
Gọi M là giao điểm của CD và AB.
Vì CD là trục đẳng phương của (O) và (K) nên ta có:
( )( ) ( )
( )( )
2
2 2 2
2
. . .
.
.
MH MI MC MD MA MB
MB BH MB BI MB MB BA
MB BH MB BH MB MB BA
MB BH MB MB BA
BH
BM
BA
= =
⇔ + + = +
⇔ + − = +
⇔ − = +
⇔ =
Vì A, B, H cố định suy ra M cố định.
Trang 15
I
P
H
D
K
M
N
A
B CA'
Bài tập 2.9
Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định và B, C thay đổi trên đường thẳng d cố định sao cho
nếu gọi A’ là hình chiếu của A lên d thì .A B A C′ ′ âm và không đổi. Gọi M là hình chiếu
của A’ lên AB; N là hình chiếu của A’ lên AC; K là giao điểm của các tiếp tuyến của
đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN tại M và N. Chứng minh rằng K thuộc một đường
thẳng cố định.
Lời giải
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN và I là giao điểm của OK và MN. Ta
thấy O chính là trung điểm của AA’.
Dễ thấy
2
. .AM AB AA AN AC′= =
Suy ra tứ giác BMNC nội tiếp.
Mà ADB ACB= Nên AMN ADB=
Suy ra MPDB nội tiếp.
Do đó ta có
2
. .AP AD AM AB AA′= = Mà A, A’ và D cố định suy ra P cố định.
Gọi H là hình chiếu của K trên AA’.Ta có 2 21
. .
4
AP AH AI AK IN AA′= = =
Mà A, P, A’ cố định suy ra H cố định.
Vậy K thuộc đường thẳng qua H và vuông góc với AA’.
Bài tập 2.10
Trên đường thẳng d lấy 4 điểm A, B, C, D (theo thứ tự đó). Đường tròn đường kính AC và
BD cắt nhau tại X, Y. Đường thẳng XY cắt BC tại Z. Lấy P là một điểm trên XY khác Z.
AMN ACB⇒ =
Trang 16
Q
Z
N
M
Y
X
A DCB
P
Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai là M, và BP cắt đường
tròn đường kính BD tại điểm thứ hai là N. Chứng minh rằng AM, DN và XY đồng qui.
Lời giải
Gọi Q, Q’ lần lượt là giao điểm của DN và AM với XY. Ta cần chứng minh Q Q′≡ .
Tứ giác QMCZ nội tiếp, suy ra . .PM PC PQ PZ=
Tứ giác NQ’ZB nội tiếp, suy ra . .PQ PZ PN PB′ =
Mà P thuộc XY là trục đẳng phương của đường tròn đường kính AC và đường tròn đường
kính BD nên . . .PN PB PX PY PM PC= =
Suy ra . .PQ PZ PQ PZ Q Q′ ′= ⇒ ≡
Vậy XY, AM và DN đồng quy.
Bài tập 2.11
Cho H là trực tâm tam giác ABC không cân góc A nhọn; Hình chiếu vuông góc của H trên
AB, AC theo thứ tự là E, F. Gọi D là trung điểm BC; P, Q là giao điểm của hai đường tròn
đường kính AD và BC. Chứng minh H, P, Q thẳng hàng và các đường thẳng BC, EF, PQ
đồng quy.
Lời giải
Gọi G là chân đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
Ta có [ ] [ ]/ /
. .H BC H AD
P HE HC HG HA P= = = suy ra H nằm trên trục đẳng phương của hai
đường tròn đường kính BC và AD. Suy ra H, P, Q thẳng hàng.
Trang 17
Gọi I là giao điểm của EF và BC. (DEF) là đường tròn Euler của tam giác ABC nên G
nằm trên (DEF). Do đó [ ] [ ]/ /
. . .I BC I AD
P IB IC IE IF IG ID P= = = = Suy ra I, P, G thẳng
hàng hay BC, EF, PQ đồng quy tại I.
Bài tập 2.12
Cho tam giác ABC có trực tâm H. Đường tròn đi qua B, C cắt AB, AC tại D, E. Gọi F là
trực tâm tam giác ADE và I là giao điểm của BE và CD. Chứng minh I, H, F thẳng hàng
Lời giải
Gọi F1, F2 là hình chiếu vuông góc của F lên AB, AC; H1,H2 là hình chiếu vuông góc của
H lên AB, AC
Ta có 1 2 1 2
. . ; . .FF FE FF FD HH HC HH HB= = (tính chất trực tâm)
Mặt khác ta lại có . .IE IB IC ID=
Suy ra F, H, I cùng thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn đường kính BD và CE nên
chúng thẳng hàng
Bài tập 2.13
Cho tứ giác ABCD có các cạnh AB và CD cắt nhau tại I, AD và BC cắt nhau tại K.
1) Chứng minh rằng trực tâm của các tam giác AID, ABK, BCI, CDK thẳng hàng
2) Chứng minh rằng trung điểm của các đoạn AC, BD, IK thẳng hàng.
Lời giải
1)Gọi O1; O2; O3 lần lượt là trung điểm các đoạn AC, BD, IK
Các đường cao của tam giác CDK lần lượt là CC', DD'; KK' và H là trực tâm tam giác
Trang 18
K'
C'
D'
H
O1
O2
O3
KA
I
D
B
C
Ta có ( ) ( )1 2/ /
. '; . 'H O H O
P HC HC P HD HD= = xét đường tròn đường kính CD ta lại có
. ' . 'HC HC HD HD= nên H thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn (O1),(O2)
Chứng minh tương tự cho trực tâm các tam giác AID, ABK, BCI cũng có cùng phương
tích với hai đường tròn (O1),(O2). Suy ra điều phải chứng minh
2)Tương tự ta chứng minh được H có cùng phương tích với hai đường tròn (O2) và (O3)
Gọi J là trực tâm của tam giác BCI. Khi đó ta cũng chứng minh được J có cùng phương
tích với ba đường tròn (O1),(O2), (O3). Suy ra ba đường tròn này đôi một nhận HJ làm
trục đẳng phương suy ra đpcm
Bài tập 2.14
Cho đường tròn tâm O và hai đường kính AB, CD. Tiếp tuyến với (O) tại B cắt AC tại P,
PD cắt (O) tại điểm thứ hai G. Chứng minh rằng AG, BC, PO đồng quy.
Lời giải
Gọi I, I' lần lượt là trung điểm PA, PC. Ta có bốn điểm O, B, C, I thuộc đường tròn (T)
đường kính BI
Ta chứng minh được ' ' 'GAI CDG COI GOI= = = suy ra bốn điểm O, A, G, I' cùng
thuộc đường tròn (T') khi đó ( ) ( )/ / '
0O T O T
P P= =
Hơn nữa ( ) ( )/ / '
. . 'P T P T
P PI PC PA PI P= = =
Trang 19
j
F
I
O
H
MN
E
D
A
B C
I'I
G
P
B
C
O
A
D
suy ra OP là trục đẳng phương của (T) và (T')
Nhưng AG là trục đẳng phương của (O) và (T'), BC là trục đẳng phương của (O) và (T)
Vậy AG, BC, PO đồng quy.
Bài tập 2.15
Cho tam giác ABC có đường cao BD và CE cắt nhau tai H. M là trung điểm của BC, N là
giao điểm của DE và BC. Chứng minh rằng NH vuông góc với AM.
Lời giải
Ta có
2. 2.
DEH DAH DBC FEH
FED FEH DBC DMC
= = =
⇒ = = =
Suy ra tứ giác EDMF nội tiếp.
Từ đó ta có . .NE ND NF NM= , suy ra
N nằm trên trục đẳng phương của đường
tròn đường kính MH và đường tròn
đường kính AH.
Mặt khác H là giao điểm của (O) và (I),
suy ra NH chính là trục đẳng phương của (O) và (I).
Suy ra NH OI⊥ , rõ ràng OI // AM, do đó NH AM⊥ .
Bài tập 2.16
Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại D và E. Gọi P là
một điểm bên trong tam giác ADE, F và G là giao của DE với BP và CP. Đường tròn tâm
Trang 20
M
N
F G
E
A
B C
P
D
(O) ngoại tiếp tam giác PDG, đường tròn tâm (I) ngoại tiếp tam giác PEF cắt nhau tại
điểm thứ hai là Q. Chứng minh rằng AQ OI⊥
Lời giải
Gọi M là giao điểm thứ hai của AB và (PDG), N là giao thứ hai của AC và (PFG)
Ta có AMP PGD= và PGD PCB= (đồng vị), suy ra AMP PCB= , suy ra BMPC nội tiếp.
Chứng minh tương tự PNCB nội tiếp. Suy ra BMNC nội tiếp, suy ra . .AM AB AN AC=
Mà
AD AE
AB AC
= (Định lý Thalet). Suy ra . .AM AD AN AE=
Do đó A thuộc trục đẳng phương PQ của (PDG) và (PEF) suy ra AQ OI⊥ .
Bài tập 2.17
Cho tam giác ABC không cân nội tiếp (O) và ngoại tiếp (I). Các đường thẳng qua I vuông
góc với AI, BI, CI cắt BC, CA, AB tại M, N, P theo thứ tự. Chứng minh M, N, P cùng nằm
trên một đường thẳng vuông góc với OI.
Lời giải
Trang 21
Giả sử AB < AC khi đó M nằm trên tia đối của tia BC. Ta có
0
90
2 2
C C
AIB MIB MCI= + ⇒ = =
Suy ra 2
.MIB MCI MI MB MC∆ ∆ ⇒ =∼
Suy ra M nằm trên trục đẳng phương của (O) và đường tròn tâm I. Tương tự với N, P ta
suy ra M, N, P thẳng hàng và đường thẳng đi qua ba điểm đó vuông góc với OI.
Bài tập 2.18
Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Trên các tia FB, EC lấy
các điểm P, Q theo thứ tự sao cho FP = FC, EQ = EB. PQ cắt CP tại K, I, J theo thứ tự tà
trung điểm BQ, CP. Chứng minh HK vuông góc với IJ.
Lời giải
Từ giả thiết ta có 0
45BPC BQC= =
suy ra tứ giác BCQP nội tiếp [ ] [ ]/ /
. .K BQ K CP
P KB KQ KC KP P⇒ = = =
Theo tính chất trực tâm tam giác tac có
[ ] [ ]/ /
. .H BQ H CP
P HB HE HC HF P= = =
vậy HK là trục đẳng phương của hai đường tròn đường kính
BQ và CP và IJ là đường nối tâm của hai đường nối tâm của hai đường tròn nên IJHK ⊥
Trang 22
Bài tập 2.19
Cho hai đường tròn ngoài nhau 1 2( ),( ).O O Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài 1 2A A và chung
trong 1 2B B của hai đường tròn 1 1 1 2 2 2( , ( ); , ( )).A B O A B O∈ ∈ Chứng minh 1 1 2 2, ,A B A B
1 2O O đồng quy.
Lời giải
Gọi M là giao điểm của 1 1A B với 2 2A B . Dễ dàng có 1 1 2 2A B A B⊥
Gọi ( ) ( )1 2,C C lần lượt là các đường tròn đường kính 1 2A A , 1 2B B
Do 0
1 2 1 2 90A MA B MB∠ = ∠ = nên M nằm trên trục đẳng phương của ( )1C và ( )2C .
Mặt khác 2 2
1 1 1 1O A O B= và 1 1 1 1,O A O B lần lượt là tiếp tuyến của ( ) ( )1 2,C C nên 1O nằm
trên trục đẳng phương của ( )1C và ( )2C .
Tương tự 2O cũng nằm trên trục đẳng phương của ( )1C và ( )2C
Suy ra 1 2, ,O M O thẳng hàng.
Trang 23
3. CÁC BÀI TẬP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TÂM ĐẲNG PHƯƠNG
Bài tập 3.1
Cho đường tròn (O) đường kính AB và CD. Tiếp tuyến tại B của (O) cắt AC tại E, DE cắt
(O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng AF, BC, OE đồng quy.
Lời giải
F
E
B
D
O
A
C
Kí hiệu ( ) ( )1 2,C C lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF, BCE.
Ta có AF, BC là trục đẳng phương của ( )O và ( )1C , ( )O và ( )2C .
Mặt khác ,OAF FDB FEA OBC CEB= = =
Suy ra OA, OB lần lượt là tiếp tuyến của ( ) ( )1 2,C C và lại có 2 2
OA OB=
Do đó OE là trục đẳng phương của ( )1C và ( )2C . Suy ra AF, BC, OE đồng quy tại tâm
đẳng phương của ba đường tròn.
Bài tập 3.2
(Iran MO 1996)
Trên hai cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt lấy các điểm D, E sao cho DE song song
với BC. Gọi P là điểm tùy ý bên trong tam giác ABC, các đường thẳng PB, PC cắt DE tại
F và G. Gọi 1 2,O O lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác PDG, PEF.
Chứng minh rằng AP vuông góc với 1 2.O O
Trang 24
Lời giải
N
M
O2
O1
GF
E
A
B
C
P
D
Gọi M là giao điểm thứ hai của AB với ( )1O , N là giao điểm thứ hai của AC với ( )2O
Suy ra tứ giác B, P, C, M nằm trên một đường tròn, tương tự B, P, C, N nằm trên một
đường tròn do đó tứ giác BMNC nội tiếp. Mà DE//BC ta thu được tứ giác MDEN nội tiếp.
Áp dụng định lý về tâm đẳng phương cho các đường tròn ngoại tiếp DGP, PEF và DENM
ta có { }DM EN A∩ = nằm trên trục đẳng phương của ( )1O và ( )2O
Suy ra 1 2AP O O⊥ (đpcm).
Bài tập 3.3
Cho nửa đường tròn đường kính AB và một diểm C nằm trên nửa đường tròn đó. Gọi H là
hình chiếu của C trên AB. Đường tròn đường kính CH cắt CA tại E, CB Tại F và đường
tròn đường kính AB tại D. Chứng minh rằng CD, EF, AB đồng quy.
Lời giải
Do 0
90ACB = nên EF là đường kính của đường tròn đường kính CH
EFC ACH CBA⇒ = =
Suy ra tứ giác AEFB nội tiếp.
Trang 25
Áp dụng định lý về tâm đẳng phương cho đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, đường
tròn đường kính AB và đường kính EF ta có CD, EF, AB đồng quy (đpcm).
Bài tập 3.4
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ) ( ) ( ); , aO I I lần lượt là đường tròn nội tiếp và
bàng tiếp góc A của tam giác ABC. Giả sử aII cắt BC và ( )O lần lượt tại A′, M . Gọi N là
trung điểm cung MBA. , aNI NI cắt ( )O lần lượt tại S,T. Chứng minh rằng , ,S T A′ thẳng
hàng.
Lời giải
Ta có:
( ) ( )1 1
2 2
NST sd NA sd AS sd NM sd AS NIM= + = + =
Suy ra a aI TS I IS=
Suy ra tứ giác aI TI nội tiếp đường tròn ( )1w
Mặt khác 0
90a aIBI ICI= = nên tứ giác aIBI C nội tiếp đường tròn ( )2w .
Ta thấy aII là trục đẳng phương của ( )1w và ( )2w , BC là trục đẳng phương của ( )O và
( )2w , TS là trục đẳng phương của ( )O và ( )1w .
Theo định lý về tâm đẳng phương thì , ,aII TS BC đồng quy tại A′.
Vậy , ,T A S′ thẳng hàng (đpcm).
Bài tập 3.5
Bên ngoài tam giác ABC vẽ các tam giác cân BCD, CAE, ABF có các cạnh đáy tương ứng
là BC, CA, AB. Chứng minh rằng các đường thẳng lần lượt đi qua A, B, C và vuông góc
với EF, FD, DE tương ứng đồng quy.
Lời giải
Gọi 1 2 3, ,C C C lần lượt là đường tròn tâm D, bán kính DB, đường tròn tâm E, bán kính
EA, đường tròn tâm F bán kính FA.
Trang 26
P
Q
M
E
D
C
OA BH
Đường thẳng qua C vuông góc với DE là trục đẳng phương của ( )1C và ( )2C , đường
thẳng qua A vuông góc với EF là trục đẳng phương của ( )2C và ( )3C , đường thẳng qua
B vuông góc với DF là trục đẳng phương của ( )1C và ( )3C .
Do đó 3 đường thẳng này đồng quy tại tâm đẳng phương của 3 đường tròn (đpcm).
Bài tập 3.6
Cho tam giác ABC, các điểm A’, B’ lần lượt nằm trên hai cạnh BC và CA. Chứng minh
rằng trục đẳng phương của hai đường tròn đường kính AA’ và BB’ đi qua trực tâm H của
tam giác ABC.
Lời giải
Kí hiệu ( ) ( )1 2,O O lần lượt là đường tròn đường kính AA′ và BB′. Gọi M là trung điểm
AB.
Dễ thấy ( ) ( ) { } ( ) ( ) { }1 2, , , , ,M MA O A E M MA O B F∩ = ∩ = (E, F lần lượt là chân đường
cao hạ từ A, B của tam giác ABC).
Do AE, BF giao nhau tại trực tâm H và áp dụng định lý về tâm đẳng phương ta suy ra trục
đẳng phương của ( )1O và ( )2O đi qua H (đpcm).
Bài tập 3.7
Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Một điểm H thuộc đoạn AB. Đường thẳng qua H
vuông góc với AB cắt đường tròn tại C. Đường tròn đường kính CH cắt AC, BC và (O) lần
lượt tại D, E và F.
a) Chứng minh rằng AB, DE và CF đồng quy.
b) Đường tròn tâm C bán kính CH cắt (O) tại P và Q. Chứng minh rằng P, D, E, Q thẳng
hàng.
Lời giải
a) Ta có
2
. .CACD CH CB CE= = , suy ra ADEB nội tiếp.
Xét các đường tròn (ADEB), (O) và đường tròn đường
kính CH, thì DE, AB và CF lần lượt là các trục đẳng
phương của các cặp đường tròn trên nên chúng đồng quy.
b) Ta có PQ là trục đẳng phương của
Trang 27
(C) và (O) nên OC PQ⊥ . Ta cũng dễ thấy OD DE⊥ .
Hơn nữa M chính là tâm đẳng phương của ba đường tròn (O), ( C) và đường tròn đường
kính CH. Suy ra PQ đi qua M.
Vậy DE, PQ cùng đi qua M và cùng vuông góc với OC nên trùng nhau. Hay D, E, P, Q
thẳng hàng.
Trang 28
PHẦN C: BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1. ĐỀ BÀI
Bài tập 1
Cho tam giác ABC, trực tâm H. M1, M2, M3 lần lượt là trung điểm BC, CA, AB.
(M1, M1H) ∩ BC={A1, A2}, (M2, M2H) ∩ AC={B1, B2}, (M3, M3H) ∩ AB={C1, C2},
CMR: A1, A2 B1, B2, C1, C2 cùng thuộc một đường tròn.
Bài tập 2
Cho hình thang ABCD (AB>CD). K, L là hai điểm trên AB, CD sao cho
AK
BK
=
DL
CL
. Giả
sử P, Q nằm trên đoạn thẳng KL sao cho ∠APB =∠BCD và ∠CQD=∠ABC. CMR bốn
điểm P, Q, B, C cùng thuộc một đường tròn.
Bài tập 3
Cho tứ giác ABCD có cạnh AB và CD cắt nhau tại I, AD và BC cắt nhau tại K.
a) CMR trực tâm của các tam giác AID, ABK, BCI, CDK thẳng hàng.
b) CMR trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD, IK thẳng hàng.
Bài tập 4
Cho tam giác ABC có các đường phân giác (trong và ngoài) tại các đỉnh A, B, C theo thứ
tự cắt các cạnh đối tại D và D’, E và E’, K và K’. Chứng minh rằng trung điểm của các
đoạn thẳng DD’, EE’, KK’ thẳng hàng.
Bài tập 5
Cho tứ giác lồi ABCD. Qua đỉnh D của tứ giác kẻ các đường thẳng a, b, c sao cho a ⊥
DA, b⊥ DB, c⊥ DC. Các đường thẳng a, b, c này theo thứ tự cắt các đường thẳng BC,
CA, AB tại A’, B’, C’. CMR ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng.
Bài tập 6
Cho tam giác ABC. Các phân giác ngoài góc A, B, C lần lượt cắt cạnh đối diện tại
A1, B1, C1. CMR A1, B1, C1 thẳng hàng và nằm trên đường vuông góc với đường thẳng
nối tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài tập 7
Trang 29
Cho tam giác ABC nội tiếp (O). (I), (Ia) lần lượt là đường tròn nội tiếp và bàng tiếp góc
A. Giả sử I Ia giao BC và (O) lần lượt tại A’, M. Gọi N là trung điểm cung MBA. NI, NIa
giao (O) lần lượt tại S,T. CMR S, T, A’ thẳng hàng.
Bài tập 8 (Định lý Brianchon)
Cho lục giác ABCDEF ngoại tiếp (O). CMR AD, BE, CF đồng quy.
Bài tập 9
Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C
trên d. Gọi d1, d2, d3 theo thứ tự là các đường thẳng đi qua A’, B’, C’ và vuông góc với
BC, CA, AB. Chứng minh rằng các đường thẳng d1, d2, d3 đồng quy.
Bài tập 10
Cho (O,R) và hai điểm P,Q cố định (P nằm ngoài (O), Q nằm trong (O)). Dây cung AB
của (O) luôn đi qua Q. PA, PB lần lượt giao (O) lần thứ hai tại D,C. Chứng minh rằng CD
luôn đi qua một điểm cố định.
Bài tập 11
Cho (O1,R1) tiếp xúc ngoài với (O2,R2) tại M (R2>R1). Xét điểm A di động trên đường
tròn sao cho A,O1,O2 không thẳng hàng. Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC tới (O1). Các đường
thẳng MB, MC cắt tại (O2) tại E, F. D là giao điểm của EF với tiếp tuyến tại A của (O2).
Chứng minh rằng D di động trên một đường thẳng cố định.
Bài tập 12
Cho tam giác ABC có D là trung điểm của cạnh BC. Gọi d là đường thẳng qua D và
vuông góc với đường thẳng AD. Trên đường thẳng d lấy một điểm M bất kì. Gọi E, F lần
lượt là trung điểm của các đoạn thẳng MB, MC. Đường thẳng qua E vuông góc với d cắt
đường thẳng AB tại P, đường thẳng qua F vuông góc với d cắt đường thẳng AC tại Q.
Chứng minh rằng đường thẳng qua M, vuông góc với đường thẳng PQ luôn đi qua một
điểm cố định khi M di động trên đường thẳng d.
Trang 30
2. LỜI GIẢI
Bài tập 1
Cho tam giác ABC, trực tâm H. M1, M2, M3 lần lượt là trung điểm BC, CA, AB.
(M1, M1H) ∩ BC={A1, A2}, (M2, M2H) ∩ AC={B1, B2}, (M3, M3H) ∩ AB={C1, C2}.
CMR: A1, A2, B1, B2, C1, C2 cùng thuộc một đường tròn.
Lời giải
Do M1M2 // AB và AB⊥HC nên M1M2⊥HC
Suy ra HC là trục đẳng phương của (M1) và (M2).
⇒ CA1 . CA2 = CB1 . CB2
Suy ra A1, A2, B1, B2 thuộc đường tròn (W1).
Tương tự A1, A2,C1, C2 thuộc đường tròn (W2), C1, C2, B1, B2 thuộc đường tròn (W3).
Nếu 6 điểm A1, A2, B1, B2, C1, C2 không cùng thuộc một đường tròn thì các trục đẳng
phương của 3 đường tròn (W1), (W2), (W3) phải đồng quy tại một điểm, nhưng chúng lại
cắt nhau tại A, B, C nên vô lý. Vậy ta có đpcm.
Bài tập 2
Cho hình thang ABCD (AB>CD). K, L là hai điểm trên AB, CD sao cho
AK
BK
=
DL
CL
. Giả
sử P, Q nằm trên đoạn thẳng KL sao cho ∠APB =∠BCD và ∠CQD=∠ABC. CMR bốn
điểm P, Q, B, C cùng thuộc một đường tròn.
Lời giải
Từ giả thiết,
AK
BK
=
DL
CL
suy ra AD, BC, KL đồng quy tại E.
Dựng đường tròn (O1) đi qua hai điểm C, D và tiếp xúc với BC, (O2) đi qua hai điểm A;
B và tiếp xúc với BC. Khi đó ∠DQC = ∠ABC=∠DCE nên Q∈(O1), tương tự P∈(O2).
Trang 31
Gọi F là giao điểm thứ hai của EQ với (O1). Ta có:
EF . EQ = EC 2
(1)
Mặt khác, dễ dàng có ∠O1CD=∠O2BA do đó △ AO2B ~ △ DO1C
⇒
O1C
O2B
=
DC
AB
=
EC
EB
=k ⇒ E, O1, O2 thẳng hàng và
EO1
EO2
=k ⇒
→
EO1 = k
→
EO2
Suy ra phép vị tự H(E,k): (O1)→ (O2). Mà E, F, P thẳng hàng, F∈ (O1), P∈ (O2) nên
→
EF =k
→
EP ⇒
EF
EP
=k=
EC
EB
(2)
Từ (1), (2) suy ra EP . EQ = EC . EB
Vậy 4 điểm P, Q, B, C cùng thuộc một đường tròn (đpcm).
Bài tập 3
Cho tứ giác ABCD có cạnh AB và CD cắt nhau tại I, AD và BC cắt nhau tại K.
a) CMR trực tâm của các tam giác AID, ABK, BCI, CDK thẳng hàng.
b) CMR trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD, IK thẳng hàng.
Lời giải
a) Gọi O1, O2, O3 theo thứ tự là trung điểm của AC, BD, IK. Các đường cao của tam giác
CDK lần lượt là CC’, DD’, KK’ và H là trực tâm.
Kí hiệu Γ1, Γ2, Γ3 theo thứ tự là các đường tròn tâm O1 bán kính O1A, tâm O2 bán kính
O2B, tâm O3 bán kính O3K.
Ta có phương tích của điểm H đối với đường tròn Γ1 và Γ2 là P
(H/Γ1)
= HC . HC’
P
(H/Γ2)
= HD . HD’ . Xét đường tròn đường kính CD có HC . HC’ = HD . HD’
Do đó H thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn Γ1 và Γ2.
Trang 32
Chứng minh tương tự, trực tâm các tam giác AID, ABK, BCI cũng có cùng phương tích
đối với hai đường tròn Γ1 và Γ2. Vậy trực tâm của các tam giác AID, ABK, BCI, CDK
thẳng hàng ( điều cần chứng minh)
b) O3 là trung điểm IK, ta cũng chứng minh được P
(H/Γ2)
= P
(H/Γ3)
.
Xét trực tâm J của tam giác BCI, khi đó P
(J/Γ1)
= P
(J/Γ2)
= P
(J/Γ3)
suy ra ba đường tròn
này đôi một nhận đường thẳng HJ làm trục đẳng phương, vì vậy O1, O2 và O3 thẳng hàng
(đpcm) .
Lưu ý: HJ⊥ O1O3.
Bài tập 4
Cho tam giác ABC có các đường phân giác (trong và ngoài) tại các đỉnh A, B, C theo thứ
tự cắt các cạnh đối tại D và D’, E và E’, K và K’. Chứng minh rằng trung điểm của các
đoạn thẳng DD’, EE’, KK’ thẳng hàng.
Trang 33
Lời giải
Gọi O1, O2, O3 theo thứ tự là trung điểm DD’, EE’, KK’ ; gọi Γ1, Γ2, Γ3 theo thứ tự là các
đường tròn tâm O1 bán kính O1D, tâm O2 bán kính O2E, tâm O3 bán kính O3K. Giả sử Γ là
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O bán kính R. Vì ΔO1BA ∽ ΔO1AC nên
O1B.O1C = O1A2
= O1D2
, từ đó:
P
(O1/Γ)
= O1O2
- R2
= O1B . O1C = O1D2
Nhưng P
(O/Γ1)
= OO1
2
- O1D2
, suy ra: P
(O/Γ1)
= R2
Chứng minh tương tự ta có: P
(O/Γ2)
= P
(O/Γ3)
= R2
Mặt khác nếu gọi H là trực tâm tam giác DEK, tương tự như ví dụ 3 ta chứng minh được:
P
(H/Γ1)
= P
(H/Γ2)
= P
(H/Γ3)
Vậy ba đường tròn Γ1, Γ2, Γ3 đôi một nhận đường thẳng OH làm trục đẳng phương do đó
O1, O2, O3 thẳng hàng.
Bài tập 5
Cho tứ giác lồi ABCD. Qua đỉnh D của tứ giác kẻ các đường thẳng a, b, c sao cho a ⊥
DA, b⊥ DB, c⊥ DC. Các đường thẳng a, b, c này theo thứ tự cắt các đường thẳng BC,
CA, AB tại A’, B’, C’. CMR ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng.
Lời giải
Gọi trung điểm của AA’, BB’, CC’ theo thứ tự là O1, O2, O3 ; gọi Γ1, Γ2, Γ3 theo thứ tự là
các đường tròn tâm O1 bán kính O1A, tâm O2 bán kính O2B, tâm O3 bán kính O3C, thế thì
P
(D/Γ1)
= P
(D/Γ2)
= P
(D/Γ3)
= 0.
Trang 34
Mặt khác, nếu gọi H là trực tâm tam giác ABC thì tương tự ví du 3 ta có
P
(H/Γ1)
= P
(H/Γ2)
= P
(H/Γ3)
. Từ đó ba điểm O1, O2, O3 thẳng hàng.
Gọi P, Q, R theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB. Sử dụng định lí Menelaus cho tam
giác PQR và ba điểm thẳng hàng O1, O2, O3, ta có:
O1Q
O1R
.
O2R
O2P
.
O3P
O3Q
= 1.
Nhưng
O1Q
O1R
=
A’C
A’B
;
O2R
O2P
=
B’A
B’C
;
O3P
O3Q
=
C’B
C’A
.
Áp dụng định lí Menelaus đảo cho tam giác ABC, ta có A’, B’, C’ thẳng hàng.
Bài tập 6
Cho tam giác ABC. Các phân giác ngoài góc A, B, C lần lượt cắt cạnh đối diện tại
A1, B1, C1. CMR A1, B1, C1 thẳng hàng và nằm trên đường vuông góc với đường thẳng
nối tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lời giải
Gọi A2B2C2 là tam giác tạo bởi 3 phân giác ngoài góc A, B, C. Dễ dàng có
AA2⊥ B2C2 , BB2⊥ A2C2 , CC2⊥ A2B2 .
Tứ giác BC2B2C nội tiếp nên A1C2 . A1B2 = A1B . A1C
Tương tự B1C2 . B1A2 = B1A . B1C , C1B2 . C1A2 = C1A . C1B
Suy ra A1,B1,C1 cùng nằm trên trục đẳng phương của đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác
ABC và đường tròn (J) ngoại tiếp tam giác A2B2C2. Mà (O) là đường tròn Ơ-le của tam
Trang 35
giác A2B2C2, AA2, BB2 ,CC2 giao nhau tại trực tâm I của tam giác A2B2C2 (cũng đồng
thời là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC) suy ra I, O, J thẳng hàng.
Vậy đường thẳng qua A1, B1, C1 vuông góc với OI (đpcm)
Bài tập 7
Cho tam giác ABC nội tiếp (O). (I), (Ia) lần lượt là đường tròn nội tiếp và bàng tiếp góc
A. Giả sử I Ia giao BC và (O) lần lượt tại A’, M. Gọi N là trung điểm cung MBA. NI, NIa
giao (O) lần lượt tại S,T. CMR S, T, A’ thẳng hàng.
Lời giải
Ta có ∠NTS=
1
2
(sđ ΝΑ+ sđ SΑ )=
1
2
(sđ ΝΜ +sđ AS )=∠NIM
⇒∠IaTS=∠IaIS
Suy ra tứ giác IaTIS nội tiếp (w1)
Mặt khác,∠ IBIa=∠ ICIa=90° nên tứ giác IBIaC nội tiếp (w2)
Ta thấy I Ia là trục đẳng phương của (w1) và (w2), BC là trục đẳng phương của (O) và
(w2), TS là trục đẳng phương của (O) và (w1)
Theo định lý về tâm đẳng phương thì I Ia, TS, BC đồng quy tại A’.
Vậy T, A’, S thẳng hàng (đpcm)
Bài tập 8 (Định lý Brianchon)
Cho lục giác ABCDEF ngoại tiếp (O). CMR AD, BE, CF đồng quy.
Lời giải
Gọi G, H, I, J, K, L lần lượt là tiếp điểm của AB, BC, CD, DE, EF, FA với (O).
Trên tia KF,HB, GB, JD, ID, LF lần lượt lấy các điểm P, S, Q, R, N, M sao cho
KP = SH = GQ = JR = IN = LM.
Trang 36
Dựng (O1) tiếp xúc với EF,CB tại P, S, (O2) tiếp xúc AF, CD tại M, N, (O3) tiếp xúc AB,
ED tại Q, R.
Ta có FP=PK-FK=LM-LF=FM, CS=SH+HC=IN+IC=CN
Suy ra FC là trục đẳng phương của (O1) và (O2).
Tương tự AD là trục đẳng phương của (O2) và (O3), BE là trục đẳng phương của (O3) và
(O1). Áp dụng định lý về tâm đẳng phương ta có AD, BE, CF đồng quy (đpcm).
Ta chứng minh ba đường thẳng đó là các trục đẳng phương của từng cặp hai đường tròn
có tâm không thẳng hàng.
Bài tập 9
Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C
trên d. Gọi d1, d2, d3 theo thứ tự là các đường thẳng đi qua A’, B’, C’ và vuông góc với
BC, CA, AB. Chứng minh rằng các đường thẳng d1, d2, d3 đồng quy.
Lời giải
Trang 37
Gọi O1, O2, O3 theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB, ta có O1B’= O1C’; O2C’= O2
A’; O3A’= O3B’. Gọi Γ1, Γ2, Γ3 theo thứ tự là các đường tròn tâm O1 bán kính O1C’, tâm
O2 bán kính O2A’, tâm O3 bán kính O3B’. Ta có d3 là trục đẳng phương của Γ1 và Γ2.
Tương tự d2 là trục đẳng phương của Γ3 và Γ1; d1 là trục đẳng phương của Γ2 và Γ3. Vậy,
d1, d2, d3 đồng quy.
Bài tập 10
Cho (O,R) và hai điểm P,Q cố định (P nằm ngoài (O), Q nằm trong (O)). Dây cung AB
của (O) luôn đi qua Q. PA, PB lần lượt giao (O) lần thứ hai tại D,C. Chứng minh rằng CD
luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải
Gọi E là giao điểm thứ hai khác P của PQ với đường tròn ngoại tiếp tam giác PAB. CD
giao PQ tại F.
Ta có OQ2
- R2
= QA . QB = QP . QE , mà P,Q cố định nên QP = const, suy ra QE =
const, do đó E cố định.
Mặt khác∠PDC=∠PBA=∠PEA nên tứ giác DAEF nội tiếp.
Suy ra PO2
- R2
= PD . PA = PE . PF . Do P,E cố định nên PE =const, suy ra PF
=const. Do đó F cố định.
Vậy CD luôn đi qua điểm F cố định (đpcm)
Bài tập 11
Cho (O1,R1) tiếp xúc ngoài với (O2,R2) tại M (R2>R1). Xét điểm A di động trên đường
tròn sao cho A,O1,O2 không thẳng hàng. Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC tới (O1). Các đường
thẳng MB, MC cắt tại (O2) tại E, F. D là giao điểm của EF với tiếp tuyến tại A của (O2).
Chứng minh rằng D di động trên một đường thẳng cố định.
Lời giải
Trang 38
Qua M kẻ tiếp tuyến chungcủa (O1) và (O2).
Ta có ∠MCA= ∠CMy=∠FMD=∠FAM
Do đó, △FAM~△FCA (g.g) ⇒ FA2
= FM . FC = FO1
2
- R1
2
(1)
Tương tự, EA2
= EO1
2
- R1
2
(2)
Coi (A,0) là đường tròn tâm A, bán kính 0 thì từ (1),(2), ta được EF là trục đẳng phương
của (A,0) với (O1).
Mà D nằm tren EF nên DA2
= DO1
2
- R1
2
⇒ PD/(O1)=PD/(O2)
Vậy D nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn cố định (O1) và (O2).
Bài tập 12
Cho tam giác ABC có D là trung điểm của cạnh BC. Gọi d là đường thẳng qua D và
vuông góc với đường thẳng AD. Trên đường thẳng d lấy một điểm M bất kì. Gọi E, F lần
lượt là trung điểm của các đoạn thẳng MB, MC. Đường thẳng qua E vuông góc với d cắt
đường thẳng AB tại P, đường thẳng qua F vuông góc với d cắt đường thẳng AC tại Q.
Chứng minh rằng đường thẳng qua M, vuông góc với đường thẳng PQ luôn đi qua một
điểm cố định khi M di động trên đường thẳng d.
Lời giải
d
d'
QI
P
H'
K'
K
H
FE
D
A
B
C
M
Trang 39
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C lên đường thẳng d.
Do D là trung điểm của BC nên DH = DK, suy ra AD là trung trực của HK⇒AH =AK.
Gọi ( )ω là đường tròn tâm A đi qua H và K.
Gọi H’, K’ lần lượt là các điểm đối xứng với H, K qua các đường thẳng AB, AC
⇒H’, K’ thuộc ( )ω .
Giả sử các đường thẳng HH’, KK’ cắt nhau tại I thì I là điểm cố định (*)
Ta có : PE // BH (cùng vuông góc với d) mà PE đi qua trung điểm của MB nên cũng qua
trung điểm của MH⇒PE là trung trực của MH ⇒ PH = PM.
Gọi 1( )ω là đường tròn tâm P đi qua H và M, do tính đối xứng nên H’ cũng thuộc 1( )ω .
Hoàn toàn tương tự, ta cũng có: QF là trung trực của MK; nếu gọi 2( )ω là đường tròn tâm
Q đi qua K và M thì K’thuộc 2( )ω . Ta lại có:
+( )ω , 1( )ω cắt nhau tai H, H’ nên HH’ là trục đẳng phương của( )ω , 1( )ω .
+( )ω , 2( )ω cắt nhau tai K, K’ nên KK’ là trục đẳng phương của ( )ω , 2( )ω .
Mặt khác : M cùng thuộc 1( )ω , 2( )ω và P, Q lần lượt là tâm của 1( )ω , 2( )ω nên đường
thẳng d’ qua M, vuông góc với PQ chính là trục đẳng phương của 1( )ω , 2( )ω .
Từ đó suy ra: HH’, KK’, d’ đồng quy tại tâm đẳng phương của ba đường tròn
( )ω , 1( )ω , 2( )ω (**)
Từ (*) và (**) suy ra d’ đi qua I là điểm cố định.
Vậy đường thẳng qua M, vuông góc với đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định
khi M di động trên đường thẳng d.
Trang 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, ĐỗThanh Sơn,
Lê Bá Khánh Trình: Tài liệu giáo khoa chuyên Toán – Hình học 10.
2. Một số tài liệu trên Internet.
3. Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem.
4. Dusan Djukic, Vladimir Jankovic, Ivan Matic, Nikola Petrovic: The IMO
Compedium. A collection of Problems Suggested for the International
Mathematical Olympiads 1959-2004.
5. Mathematical Reflection.
6. Website: http://www.imo-official.org/
7. Website: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/portal.php?ml=1

More Related Content

What's hot

13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)
13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)
13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)
ljmonking
 
Scp mod p
Scp mod pScp mod p
Scp mod p
Đình Huy
 
Một số dạng toán về đa thức qua các kỳ thi Olympic 6732069.pdf
Một số dạng toán về đa thức qua các kỳ thi Olympic 6732069.pdfMột số dạng toán về đa thức qua các kỳ thi Olympic 6732069.pdf
Một số dạng toán về đa thức qua các kỳ thi Olympic 6732069.pdf
TieuNgocLy
 
Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9
Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9
Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9
youngunoistalented1995
 
Chuyen de luong giac
Chuyen de luong giacChuyen de luong giac
Chuyen de luong giac
phongmathbmt
 
Bài toán số học liên quan tới lũy thữa
Bài toán số học liên quan tới lũy thữaBài toán số học liên quan tới lũy thữa
Bài toán số học liên quan tới lũy thữa
Thế Giới Tinh Hoa
 
Cac dinh-ly-dong-quy copy
Cac dinh-ly-dong-quy copyCac dinh-ly-dong-quy copy
Cac dinh-ly-dong-quy copy
Thai An Nguyen
 
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
Thế Giới Tinh Hoa
 
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊNCHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
BOIDUONGTOAN.COM
 
Tuyen tap-400-bai-bat-dang-thuc-co-giai-chi-tiet
Tuyen tap-400-bai-bat-dang-thuc-co-giai-chi-tietTuyen tap-400-bai-bat-dang-thuc-co-giai-chi-tiet
Tuyen tap-400-bai-bat-dang-thuc-co-giai-chi-tiet
Toán THCS
 
Giải một số phương trình nghiệm nguyên trong đề thi toán 9
Giải một số phương trình nghiệm nguyên trong đề thi toán 9Giải một số phương trình nghiệm nguyên trong đề thi toán 9
Giải một số phương trình nghiệm nguyên trong đề thi toán 9
Nhập Vân Long
 
kỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàmkỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàm
ljmonking
 
BĐT Côsi ngược dấu
BĐT Côsi ngược dấuBĐT Côsi ngược dấu
BĐT Côsi ngược dấu
nhankhangvt
 
TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN TP HÀ NỘI (Ams-NguyenHue-ChuVanAn)
TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN TP HÀ NỘI (Ams-NguyenHue-ChuVanAn)TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN TP HÀ NỘI (Ams-NguyenHue-ChuVanAn)
TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN TP HÀ NỘI (Ams-NguyenHue-ChuVanAn)
Nhật Hiếu
 
Bộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩn
Bộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩnBộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩn
Bộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩn
Thế Giới Tinh Hoa
 
Trac nghiem chuong 1 giai tich 12- tổng hợp trắc nghiệm khảo sát hàm số mới n...
Trac nghiem chuong 1 giai tich 12- tổng hợp trắc nghiệm khảo sát hàm số mới n...Trac nghiem chuong 1 giai tich 12- tổng hợp trắc nghiệm khảo sát hàm số mới n...
Trac nghiem chuong 1 giai tich 12- tổng hợp trắc nghiệm khảo sát hàm số mới n...
Hoàng Thái Việt
 
TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ ĐẠT GIẢI MỘT SỐ VẤN ĐỀ SỐ HỌC TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁ...
TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ ĐẠT GIẢI MỘT SỐ VẤN ĐỀ SỐ HỌC TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁ...TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ ĐẠT GIẢI MỘT SỐ VẤN ĐỀ SỐ HỌC TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁ...
TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ ĐẠT GIẢI MỘT SỐ VẤN ĐỀ SỐ HỌC TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁ...
Nguyen Thanh Tu Collection
 
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊNCHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
BOIDUONGTOAN.COM
 

What's hot (20)

13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)
13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)
13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)
 
Scp mod p
Scp mod pScp mod p
Scp mod p
 
Một số dạng toán về đa thức qua các kỳ thi Olympic 6732069.pdf
Một số dạng toán về đa thức qua các kỳ thi Olympic 6732069.pdfMột số dạng toán về đa thức qua các kỳ thi Olympic 6732069.pdf
Một số dạng toán về đa thức qua các kỳ thi Olympic 6732069.pdf
 
Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9
Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9
Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9
 
Chuyen de luong giac
Chuyen de luong giacChuyen de luong giac
Chuyen de luong giac
 
Bdt võ quốc bá cẩn
Bdt  võ quốc bá cẩnBdt  võ quốc bá cẩn
Bdt võ quốc bá cẩn
 
Bài toán số học liên quan tới lũy thữa
Bài toán số học liên quan tới lũy thữaBài toán số học liên quan tới lũy thữa
Bài toán số học liên quan tới lũy thữa
 
Cac dinh-ly-dong-quy copy
Cac dinh-ly-dong-quy copyCac dinh-ly-dong-quy copy
Cac dinh-ly-dong-quy copy
 
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
 
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊNCHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
 
Tuyen tap-400-bai-bat-dang-thuc-co-giai-chi-tiet
Tuyen tap-400-bai-bat-dang-thuc-co-giai-chi-tietTuyen tap-400-bai-bat-dang-thuc-co-giai-chi-tiet
Tuyen tap-400-bai-bat-dang-thuc-co-giai-chi-tiet
 
Giải một số phương trình nghiệm nguyên trong đề thi toán 9
Giải một số phương trình nghiệm nguyên trong đề thi toán 9Giải một số phương trình nghiệm nguyên trong đề thi toán 9
Giải một số phương trình nghiệm nguyên trong đề thi toán 9
 
kỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàmkỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàm
 
BĐT Côsi ngược dấu
BĐT Côsi ngược dấuBĐT Côsi ngược dấu
BĐT Côsi ngược dấu
 
TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN TP HÀ NỘI (Ams-NguyenHue-ChuVanAn)
TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN TP HÀ NỘI (Ams-NguyenHue-ChuVanAn)TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN TP HÀ NỘI (Ams-NguyenHue-ChuVanAn)
TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN TP HÀ NỘI (Ams-NguyenHue-ChuVanAn)
 
Bộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩn
Bộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩnBộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩn
Bộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩn
 
Tu dien-vuong-tinh-chat
Tu dien-vuong-tinh-chatTu dien-vuong-tinh-chat
Tu dien-vuong-tinh-chat
 
Trac nghiem chuong 1 giai tich 12- tổng hợp trắc nghiệm khảo sát hàm số mới n...
Trac nghiem chuong 1 giai tich 12- tổng hợp trắc nghiệm khảo sát hàm số mới n...Trac nghiem chuong 1 giai tich 12- tổng hợp trắc nghiệm khảo sát hàm số mới n...
Trac nghiem chuong 1 giai tich 12- tổng hợp trắc nghiệm khảo sát hàm số mới n...
 
TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ ĐẠT GIẢI MỘT SỐ VẤN ĐỀ SỐ HỌC TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁ...
TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ ĐẠT GIẢI MỘT SỐ VẤN ĐỀ SỐ HỌC TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁ...TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ ĐẠT GIẢI MỘT SỐ VẤN ĐỀ SỐ HỌC TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁ...
TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ ĐẠT GIẢI MỘT SỐ VẤN ĐỀ SỐ HỌC TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁ...
 
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊNCHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
 

Similar to Chuyên đề phương tích và ứng dụng

Chuyên đề phương tích và ứng dụng
Chuyên đề phương tích và ứng dụngChuyên đề phương tích và ứng dụng
Chuyên đề phương tích và ứng dụng
Vui Lên Bạn Nhé
 
Vi tri tuong doi cua hai duong tron
Vi tri tuong doi cua hai duong tronVi tri tuong doi cua hai duong tron
Vi tri tuong doi cua hai duong tron
hoaadc2016
 
Thay khanh iwaz
Thay khanh iwazThay khanh iwaz
Thay khanh iwaz
ChnhTrung3
 
Bo de hinh hoc thcs
Bo de hinh hoc thcsBo de hinh hoc thcs
Bo de hinh hoc thcs
khanh271295
 
840693 474666 thay buu_tong hop hinh hoc
840693 474666 thay buu_tong hop hinh hoc840693 474666 thay buu_tong hop hinh hoc
840693 474666 thay buu_tong hop hinh hoc
hoang ngoc quang
 
Chuyen de hinh hoc 9
Chuyen de hinh hoc 9Chuyen de hinh hoc 9
Chuyen de hinh hoc 9
Nguyễn Hoàng Phước
 
9 tu giac noi tiep
9 tu giac noi tiep9 tu giac noi tiep
9 tu giac noi tiep
Hồng Quang
 
692 bai hinh toa do trong mp toa do khong gian
692 bai hinh  toa do trong mp  toa do khong gian 692 bai hinh  toa do trong mp  toa do khong gian
692 bai hinh toa do trong mp toa do khong gian
Nguyễn Đình Tân
 
Chuyên đề về đường tròn
Chuyên đề về đường trònChuyên đề về đường tròn
Chuyên đề về đường tròn
Ngo Quang Viet
 
[Vietmaths]duong thang duongtron-oxy vietmaths
[Vietmaths]duong thang duongtron-oxy vietmaths[Vietmaths]duong thang duongtron-oxy vietmaths
[Vietmaths]duong thang duongtron-oxy vietmaths
anhyeuem2509
 
Đường thẳng đường tròn Oxy Mathvn
Đường thẳng đường tròn Oxy MathvnĐường thẳng đường tròn Oxy Mathvn
Đường thẳng đường tròn Oxy Mathvn
Minh Thắng Trần
 
tổng hợp đề kiểm tra có đáp án hay chương 1 phép dời hình đồng dạng hình học 11
tổng hợp đề kiểm tra có đáp án hay chương 1 phép dời hình đồng dạng hình học 11 tổng hợp đề kiểm tra có đáp án hay chương 1 phép dời hình đồng dạng hình học 11
tổng hợp đề kiểm tra có đáp án hay chương 1 phép dời hình đồng dạng hình học 11
Hoàng Thái Việt
 
[Duong] chung minh dang thuc tich
[Duong] chung minh dang thuc tich[Duong] chung minh dang thuc tich
[Duong] chung minh dang thuc tich
Zooey Inn
 
36 de-luyen-thi-vao-lop 10
36 de-luyen-thi-vao-lop 1036 de-luyen-thi-vao-lop 10
36 de-luyen-thi-vao-lop 10
mcbooksjsc
 
Bai 5,6 hai hinh bang nhau và phep vi tu
Bai 5,6 hai hinh bang nhau và phep vi tuBai 5,6 hai hinh bang nhau và phep vi tu
Bai 5,6 hai hinh bang nhau và phep vi tu
Le Hanh
 
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠCHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
DANAMATH
 
các bài toán hình học lớp 9 có lời giải
các bài toán hình học lớp 9 có lời giảicác bài toán hình học lớp 9 có lời giải
các bài toán hình học lớp 9 có lời giải
Khoảnh Khắc Bình Yên
 
Chuyen de-9-hinh-hoc-phang
Chuyen de-9-hinh-hoc-phangChuyen de-9-hinh-hoc-phang
Chuyen de-9-hinh-hoc-phang
gadaubac2003
 
9 tu giac noi tiep htq
9 tu giac noi tiep htq9 tu giac noi tiep htq
9 tu giac noi tiep htq
Hồng Quang
 
9 tu giac noi tiep htq
9 tu giac noi tiep htq9 tu giac noi tiep htq
9 tu giac noi tiep htq
Hồng Quang
 

Similar to Chuyên đề phương tích và ứng dụng (20)

Chuyên đề phương tích và ứng dụng
Chuyên đề phương tích và ứng dụngChuyên đề phương tích và ứng dụng
Chuyên đề phương tích và ứng dụng
 
Vi tri tuong doi cua hai duong tron
Vi tri tuong doi cua hai duong tronVi tri tuong doi cua hai duong tron
Vi tri tuong doi cua hai duong tron
 
Thay khanh iwaz
Thay khanh iwazThay khanh iwaz
Thay khanh iwaz
 
Bo de hinh hoc thcs
Bo de hinh hoc thcsBo de hinh hoc thcs
Bo de hinh hoc thcs
 
840693 474666 thay buu_tong hop hinh hoc
840693 474666 thay buu_tong hop hinh hoc840693 474666 thay buu_tong hop hinh hoc
840693 474666 thay buu_tong hop hinh hoc
 
Chuyen de hinh hoc 9
Chuyen de hinh hoc 9Chuyen de hinh hoc 9
Chuyen de hinh hoc 9
 
9 tu giac noi tiep
9 tu giac noi tiep9 tu giac noi tiep
9 tu giac noi tiep
 
692 bai hinh toa do trong mp toa do khong gian
692 bai hinh  toa do trong mp  toa do khong gian 692 bai hinh  toa do trong mp  toa do khong gian
692 bai hinh toa do trong mp toa do khong gian
 
Chuyên đề về đường tròn
Chuyên đề về đường trònChuyên đề về đường tròn
Chuyên đề về đường tròn
 
[Vietmaths]duong thang duongtron-oxy vietmaths
[Vietmaths]duong thang duongtron-oxy vietmaths[Vietmaths]duong thang duongtron-oxy vietmaths
[Vietmaths]duong thang duongtron-oxy vietmaths
 
Đường thẳng đường tròn Oxy Mathvn
Đường thẳng đường tròn Oxy MathvnĐường thẳng đường tròn Oxy Mathvn
Đường thẳng đường tròn Oxy Mathvn
 
tổng hợp đề kiểm tra có đáp án hay chương 1 phép dời hình đồng dạng hình học 11
tổng hợp đề kiểm tra có đáp án hay chương 1 phép dời hình đồng dạng hình học 11 tổng hợp đề kiểm tra có đáp án hay chương 1 phép dời hình đồng dạng hình học 11
tổng hợp đề kiểm tra có đáp án hay chương 1 phép dời hình đồng dạng hình học 11
 
[Duong] chung minh dang thuc tich
[Duong] chung minh dang thuc tich[Duong] chung minh dang thuc tich
[Duong] chung minh dang thuc tich
 
36 de-luyen-thi-vao-lop 10
36 de-luyen-thi-vao-lop 1036 de-luyen-thi-vao-lop 10
36 de-luyen-thi-vao-lop 10
 
Bai 5,6 hai hinh bang nhau và phep vi tu
Bai 5,6 hai hinh bang nhau và phep vi tuBai 5,6 hai hinh bang nhau và phep vi tu
Bai 5,6 hai hinh bang nhau và phep vi tu
 
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠCHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
 
các bài toán hình học lớp 9 có lời giải
các bài toán hình học lớp 9 có lời giảicác bài toán hình học lớp 9 có lời giải
các bài toán hình học lớp 9 có lời giải
 
Chuyen de-9-hinh-hoc-phang
Chuyen de-9-hinh-hoc-phangChuyen de-9-hinh-hoc-phang
Chuyen de-9-hinh-hoc-phang
 
9 tu giac noi tiep htq
9 tu giac noi tiep htq9 tu giac noi tiep htq
9 tu giac noi tiep htq
 
9 tu giac noi tiep htq
9 tu giac noi tiep htq9 tu giac noi tiep htq
9 tu giac noi tiep htq
 

More from Ngo Quang Viet

Vẽ hình phụ
Vẽ hình phụ Vẽ hình phụ
Vẽ hình phụ
Ngo Quang Viet
 
Một số bài hình 9 chọn lọc
Một số bài hình 9 chọn lọcMột số bài hình 9 chọn lọc
Một số bài hình 9 chọn lọc
Ngo Quang Viet
 
Chuyên đề tam giác đồng dạng
Chuyên đề tam giác đồng dạngChuyên đề tam giác đồng dạng
Chuyên đề tam giác đồng dạng
Ngo Quang Viet
 
Chuyên đề bồi dưỡng hsg hình học
Chuyên đề bồi dưỡng hsg hình họcChuyên đề bồi dưỡng hsg hình học
Chuyên đề bồi dưỡng hsg hình học
Ngo Quang Viet
 

More from Ngo Quang Viet (7)

Vẽ hình phụ
Vẽ hình phụ Vẽ hình phụ
Vẽ hình phụ
 
Một số bài hình 9 chọn lọc
Một số bài hình 9 chọn lọcMột số bài hình 9 chọn lọc
Một số bài hình 9 chọn lọc
 
Hh 3
Hh 3Hh 3
Hh 3
 
Hh 2
Hh 2Hh 2
Hh 2
 
Hh 1
Hh 1Hh 1
Hh 1
 
Chuyên đề tam giác đồng dạng
Chuyên đề tam giác đồng dạngChuyên đề tam giác đồng dạng
Chuyên đề tam giác đồng dạng
 
Chuyên đề bồi dưỡng hsg hình học
Chuyên đề bồi dưỡng hsg hình họcChuyên đề bồi dưỡng hsg hình học
Chuyên đề bồi dưỡng hsg hình học
 

Recently uploaded

BÀI GIẢNG module sản BA THÁNG ĐẦU THAI KỲ NTTU
BÀI GIẢNG module sản BA THÁNG ĐẦU THAI KỲ NTTUBÀI GIẢNG module sản BA THÁNG ĐẦU THAI KỲ NTTU
BÀI GIẢNG module sản BA THÁNG ĐẦU THAI KỲ NTTU
PhongNguyn363945
 
Thông báo nhập học lớp 1- 10 24-25.docx
Thông báo nhập học lớp 1-  10 24-25.docxThông báo nhập học lớp 1-  10 24-25.docx
Thông báo nhập học lớp 1- 10 24-25.docx
QucHHunhnh
 
Chương 4 Kinh tế chính trị-đã gộp (1).pdf
Chương 4 Kinh tế chính trị-đã gộp (1).pdfChương 4 Kinh tế chính trị-đã gộp (1).pdf
Chương 4 Kinh tế chính trị-đã gộp (1).pdf
TuytNguyn954624
 
Thông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdf
Thông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdfThông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdf
Thông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdf
QucHHunhnh
 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6, 7 THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI NĂM 2023 CÓ LỜI ...
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6, 7 THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI NĂM 2023 CÓ LỜI ...ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6, 7 THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI NĂM 2023 CÓ LỜI ...
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6, 7 THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI NĂM 2023 CÓ LỜI ...
Nguyen Thanh Tu Collection
 
Vận dụng quan điểm giáo dục kỷ luật tích cực trong công tác giáo dục trẻ mầm ...
Vận dụng quan điểm giáo dục kỷ luật tích cực trong công tác giáo dục trẻ mầm ...Vận dụng quan điểm giáo dục kỷ luật tích cực trong công tác giáo dục trẻ mầm ...
Vận dụng quan điểm giáo dục kỷ luật tích cực trong công tác giáo dục trẻ mầm ...
lamluanvan.net Viết thuê luận văn
 
DIEM NANG KHIEU MAM NON nam 2024 truong đại học phú yên
DIEM NANG KHIEU MAM NON nam 2024 truong đại học phú yênDIEM NANG KHIEU MAM NON nam 2024 truong đại học phú yên
DIEM NANG KHIEU MAM NON nam 2024 truong đại học phú yên
thanhluan21
 
Phòng chống bắt cóc trẻ em bản quyề.pptx
Phòng chống bắt cóc trẻ em bản quyề.pptxPhòng chống bắt cóc trẻ em bản quyề.pptx
Phòng chống bắt cóc trẻ em bản quyề.pptx
liunisau24
 
bài giảng module KHÁM SẢN PHỤ CHUYỂN DẠ.pptx
bài giảng module KHÁM SẢN PHỤ CHUYỂN DẠ.pptxbài giảng module KHÁM SẢN PHỤ CHUYỂN DẠ.pptx
bài giảng module KHÁM SẢN PHỤ CHUYỂN DẠ.pptx
PhongNguyn363945
 
HÁN NGỮ 1 (BÀI 15).pptxxxxxxxxxxxxxxxxxx
HÁN NGỮ 1 (BÀI 15).pptxxxxxxxxxxxxxxxxxxHÁN NGỮ 1 (BÀI 15).pptxxxxxxxxxxxxxxxxxx
HÁN NGỮ 1 (BÀI 15).pptxxxxxxxxxxxxxxxxxx
loncaocao
 
Ôn thi tiếng Anh lớp 5 Family and Friend Special Edition - Tài liệu, giáo án ...
Ôn thi tiếng Anh lớp 5 Family and Friend Special Edition - Tài liệu, giáo án ...Ôn thi tiếng Anh lớp 5 Family and Friend Special Edition - Tài liệu, giáo án ...
Ôn thi tiếng Anh lớp 5 Family and Friend Special Edition - Tài liệu, giáo án ...
huynhthingocthao2309
 
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM VẬT LÝ LỚP 12 THEO FORM THI MỚI BGD 2025 DÙNG CHUNG 3 SÁCH...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM VẬT LÝ LỚP 12 THEO FORM THI MỚI BGD 2025 DÙNG CHUNG 3 SÁCH...CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM VẬT LÝ LỚP 12 THEO FORM THI MỚI BGD 2025 DÙNG CHUNG 3 SÁCH...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM VẬT LÝ LỚP 12 THEO FORM THI MỚI BGD 2025 DÙNG CHUNG 3 SÁCH...
Nguyen Thanh Tu Collection
 
Thông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdf
Thông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdfThông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdf
Thông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdf
QucHHunhnh
 
[Hebemart.vn] Dạy Con Kiểu Nhật-Giai đoạn 1 tuổi.pdf
[Hebemart.vn] Dạy Con Kiểu Nhật-Giai đoạn 1 tuổi.pdf[Hebemart.vn] Dạy Con Kiểu Nhật-Giai đoạn 1 tuổi.pdf
[Hebemart.vn] Dạy Con Kiểu Nhật-Giai đoạn 1 tuổi.pdf
Hebemart Official
 
KL_Phân Tích Mức Độ Hài Lòng Của Khách Hàng Cá Nhân Đối Với Dịch Vụ Thẻ Thanh...
KL_Phân Tích Mức Độ Hài Lòng Của Khách Hàng Cá Nhân Đối Với Dịch Vụ Thẻ Thanh...KL_Phân Tích Mức Độ Hài Lòng Của Khách Hàng Cá Nhân Đối Với Dịch Vụ Thẻ Thanh...
KL_Phân Tích Mức Độ Hài Lòng Của Khách Hàng Cá Nhân Đối Với Dịch Vụ Thẻ Thanh...
Luận Văn Uy Tín
 
Bai giang DAI LY TAU BIEN GIAO NHAN HANG HOA-PHAN 2-CHUONG 4 GIAO NHAN HANG ...
Bai giang DAI LY TAU BIEN  GIAO NHAN HANG HOA-PHAN 2-CHUONG 4 GIAO NHAN HANG ...Bai giang DAI LY TAU BIEN  GIAO NHAN HANG HOA-PHAN 2-CHUONG 4 GIAO NHAN HANG ...
Bai giang DAI LY TAU BIEN GIAO NHAN HANG HOA-PHAN 2-CHUONG 4 GIAO NHAN HANG ...
QuangTrn963971
 
Điểm chuẩn xét tuyển sớm đại học chính quy năm 2024.pdf
Điểm chuẩn xét tuyển sớm đại học chính quy năm 2024.pdfĐiểm chuẩn xét tuyển sớm đại học chính quy năm 2024.pdf
Điểm chuẩn xét tuyển sớm đại học chính quy năm 2024.pdf
thanhluan21
 
TÀI LIỆU DẠY THÊM HÓA HỌC 12 - SÁCH MỚI (BẢN HS) (FORM BÀI TẬP 2025 CHUNG 3 B...
TÀI LIỆU DẠY THÊM HÓA HỌC 12 - SÁCH MỚI (BẢN HS) (FORM BÀI TẬP 2025 CHUNG 3 B...TÀI LIỆU DẠY THÊM HÓA HỌC 12 - SÁCH MỚI (BẢN HS) (FORM BÀI TẬP 2025 CHUNG 3 B...
TÀI LIỆU DẠY THÊM HÓA HỌC 12 - SÁCH MỚI (BẢN HS) (FORM BÀI TẬP 2025 CHUNG 3 B...
Nguyen Thanh Tu Collection
 

Recently uploaded (18)

BÀI GIẢNG module sản BA THÁNG ĐẦU THAI KỲ NTTU
BÀI GIẢNG module sản BA THÁNG ĐẦU THAI KỲ NTTUBÀI GIẢNG module sản BA THÁNG ĐẦU THAI KỲ NTTU
BÀI GIẢNG module sản BA THÁNG ĐẦU THAI KỲ NTTU
 
Thông báo nhập học lớp 1- 10 24-25.docx
Thông báo nhập học lớp 1-  10 24-25.docxThông báo nhập học lớp 1-  10 24-25.docx
Thông báo nhập học lớp 1- 10 24-25.docx
 
Chương 4 Kinh tế chính trị-đã gộp (1).pdf
Chương 4 Kinh tế chính trị-đã gộp (1).pdfChương 4 Kinh tế chính trị-đã gộp (1).pdf
Chương 4 Kinh tế chính trị-đã gộp (1).pdf
 
Thông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdf
Thông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdfThông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdf
Thông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdf
 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6, 7 THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI NĂM 2023 CÓ LỜI ...
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6, 7 THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI NĂM 2023 CÓ LỜI ...ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6, 7 THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI NĂM 2023 CÓ LỜI ...
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6, 7 THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI NĂM 2023 CÓ LỜI ...
 
Vận dụng quan điểm giáo dục kỷ luật tích cực trong công tác giáo dục trẻ mầm ...
Vận dụng quan điểm giáo dục kỷ luật tích cực trong công tác giáo dục trẻ mầm ...Vận dụng quan điểm giáo dục kỷ luật tích cực trong công tác giáo dục trẻ mầm ...
Vận dụng quan điểm giáo dục kỷ luật tích cực trong công tác giáo dục trẻ mầm ...
 
DIEM NANG KHIEU MAM NON nam 2024 truong đại học phú yên
DIEM NANG KHIEU MAM NON nam 2024 truong đại học phú yênDIEM NANG KHIEU MAM NON nam 2024 truong đại học phú yên
DIEM NANG KHIEU MAM NON nam 2024 truong đại học phú yên
 
Phòng chống bắt cóc trẻ em bản quyề.pptx
Phòng chống bắt cóc trẻ em bản quyề.pptxPhòng chống bắt cóc trẻ em bản quyề.pptx
Phòng chống bắt cóc trẻ em bản quyề.pptx
 
bài giảng module KHÁM SẢN PHỤ CHUYỂN DẠ.pptx
bài giảng module KHÁM SẢN PHỤ CHUYỂN DẠ.pptxbài giảng module KHÁM SẢN PHỤ CHUYỂN DẠ.pptx
bài giảng module KHÁM SẢN PHỤ CHUYỂN DẠ.pptx
 
HÁN NGỮ 1 (BÀI 15).pptxxxxxxxxxxxxxxxxxx
HÁN NGỮ 1 (BÀI 15).pptxxxxxxxxxxxxxxxxxxHÁN NGỮ 1 (BÀI 15).pptxxxxxxxxxxxxxxxxxx
HÁN NGỮ 1 (BÀI 15).pptxxxxxxxxxxxxxxxxxx
 
Ôn thi tiếng Anh lớp 5 Family and Friend Special Edition - Tài liệu, giáo án ...
Ôn thi tiếng Anh lớp 5 Family and Friend Special Edition - Tài liệu, giáo án ...Ôn thi tiếng Anh lớp 5 Family and Friend Special Edition - Tài liệu, giáo án ...
Ôn thi tiếng Anh lớp 5 Family and Friend Special Edition - Tài liệu, giáo án ...
 
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM VẬT LÝ LỚP 12 THEO FORM THI MỚI BGD 2025 DÙNG CHUNG 3 SÁCH...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM VẬT LÝ LỚP 12 THEO FORM THI MỚI BGD 2025 DÙNG CHUNG 3 SÁCH...CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM VẬT LÝ LỚP 12 THEO FORM THI MỚI BGD 2025 DÙNG CHUNG 3 SÁCH...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM VẬT LÝ LỚP 12 THEO FORM THI MỚI BGD 2025 DÙNG CHUNG 3 SÁCH...
 
Thông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdf
Thông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdfThông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdf
Thông báo cung cấp đồng phục năm học 2024 - 2025.pdf
 
[Hebemart.vn] Dạy Con Kiểu Nhật-Giai đoạn 1 tuổi.pdf
[Hebemart.vn] Dạy Con Kiểu Nhật-Giai đoạn 1 tuổi.pdf[Hebemart.vn] Dạy Con Kiểu Nhật-Giai đoạn 1 tuổi.pdf
[Hebemart.vn] Dạy Con Kiểu Nhật-Giai đoạn 1 tuổi.pdf
 
KL_Phân Tích Mức Độ Hài Lòng Của Khách Hàng Cá Nhân Đối Với Dịch Vụ Thẻ Thanh...
KL_Phân Tích Mức Độ Hài Lòng Của Khách Hàng Cá Nhân Đối Với Dịch Vụ Thẻ Thanh...KL_Phân Tích Mức Độ Hài Lòng Của Khách Hàng Cá Nhân Đối Với Dịch Vụ Thẻ Thanh...
KL_Phân Tích Mức Độ Hài Lòng Của Khách Hàng Cá Nhân Đối Với Dịch Vụ Thẻ Thanh...
 
Bai giang DAI LY TAU BIEN GIAO NHAN HANG HOA-PHAN 2-CHUONG 4 GIAO NHAN HANG ...
Bai giang DAI LY TAU BIEN  GIAO NHAN HANG HOA-PHAN 2-CHUONG 4 GIAO NHAN HANG ...Bai giang DAI LY TAU BIEN  GIAO NHAN HANG HOA-PHAN 2-CHUONG 4 GIAO NHAN HANG ...
Bai giang DAI LY TAU BIEN GIAO NHAN HANG HOA-PHAN 2-CHUONG 4 GIAO NHAN HANG ...
 
Điểm chuẩn xét tuyển sớm đại học chính quy năm 2024.pdf
Điểm chuẩn xét tuyển sớm đại học chính quy năm 2024.pdfĐiểm chuẩn xét tuyển sớm đại học chính quy năm 2024.pdf
Điểm chuẩn xét tuyển sớm đại học chính quy năm 2024.pdf
 
TÀI LIỆU DẠY THÊM HÓA HỌC 12 - SÁCH MỚI (BẢN HS) (FORM BÀI TẬP 2025 CHUNG 3 B...
TÀI LIỆU DẠY THÊM HÓA HỌC 12 - SÁCH MỚI (BẢN HS) (FORM BÀI TẬP 2025 CHUNG 3 B...TÀI LIỆU DẠY THÊM HÓA HỌC 12 - SÁCH MỚI (BẢN HS) (FORM BÀI TẬP 2025 CHUNG 3 B...
TÀI LIỆU DẠY THÊM HÓA HỌC 12 - SÁCH MỚI (BẢN HS) (FORM BÀI TẬP 2025 CHUNG 3 B...
 

Chuyên đề phương tích và ứng dụng

  • 1. TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ IX CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TÍCH VÀ ỨNG DỤNG Nguyễn Quỳnh, Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ Đào Văn Lương, Chuyên Lào Cai Hoàng Thông, Chuyên Lê Quý Đôn, Điện Biên HÒA BÌNH, THÁNG 8 NĂM 2013
  • 2. Trang 1 MỤC LỤC Trang Phần A Cơ sở lý thuyết 2 1. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn 2 2. Trục đẳng phương của hai đường tròn 3 3. Tâm đẳng phương của ba đường tròn 5 Phần B Ứng dụng phương tích giải một số bài tập hình học phẳng 7 1. Các bài tập sử dụng tính chất của phương tích 7 2. Các bài tập sử dụng tính chất của trục đẳng phương 10 3. Các bài tập sử dụng tính chất của tâm đẳng phương 23 Phần C Bài tập đề nghị 28 1. Đề bài 28 2. Lời giải 30 Tài liệu tham khảo 40
  • 3. Trang 2 PHẦN A: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn 1.1 Bài toán Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định, OM = d. Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Khi đó 2 2 2 2 . .MA MB MO R d R= − = − Chứng minh B C M O A Gọi C là điểm đối xứng của A qua O. Ta có CB AM⊥ hay B là hình chiếu của C trên AM. Khi đó ta có ( )( ). . .MA MB MA MB MC MA MO OC MO OA= = = + + ( )( ) 2 2 2 2 2 2 . MO OA MO OA MO OA OM OA d R = − + = − = − = − 1.2 Định nghĩa Đại lượng không đổi 2 2 .MA MB d R= − trong Bài toán 1.1 được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O), kí hiệu PM/(O). Ta có: ( ) 2 2 / .M O MA MB d R= = −P . 1.3 Tính chất 1.3.1 Tính chất 1 Điểm M nằm bên ngoài đường tròn ( )O khi và chỉ khi ( )/ 0.M O >P Điểm M nằm trên đường tròn ( )O khi và chỉ khi ( )/ 0.M O =P Điểm M nằm bên trong đường tròn ( )O khi và chỉ khi ( )/ 0.M O <P
  • 4. Trang 3 1.3.2 Tính chất 2 Trong mặt phẳng, cho đường tròn ( );O R và một điểm M nằm bên ngoài ( ).O Qua M kẻ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MT tới ( ).O Khi đó 2 2 2 . .MA MB MT OM R= = − 1.3.3 Tính chất 3 Cho hai đường thẳng ,AB CD phân biệt cắt nhau tại M ( M không trùng , ,A B ,C D). Khi đó, nếu . .MA MB MC MD= thì bốn điểm , , ,A B C D cùng nằm trên một đường tròn. 1.3.4 Tính chất 4 Cho hai đường thẳng ,AB MT phân biệt cắt nhau tại M ( M không trùng , ,A B T ). Khi đó, nếu 2 .MA MB MT= thì đường tròn ngoại tiếp tam giác ABT tiếp xúc với MT tại .T 1.4 Phương tích trong hệ tọa độ Descartes Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Descartes, cho điểm ( )0 0;M x y và đường tròn 2 2 ( ): 2 2 0.C x y ax by c+ + + + = Đặt 2 2 ( ; ) 2 2 ,F x y x y ax by c= + + + + khi đó ( )1/M O P 2 2 0 0 0 0 0 0( ; ) 2 2 .F x y x y ax by c= = + + + + 2. Trục đẳng phương của hai đường tròn 2.1 Định lý và định nghĩa Cho hai đường tròn không đồng tâm (O1; R1) và (O2; R2). Tập hợp các điểm M có phương tích đối với hai đường tròn bằng nhau là một đường thẳng, đường thẳng này được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn (O1) và (O2). Chứng minh Giả sử điểm M có cùng phương tích đối với hai đường tròn đã cho. Gọi H là hình chiếu của M trên O1O2, I là trung điểm của O1O2. Ta có: ( ) ( )2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . MH HO MH HO R R HO HO R R ⇔ + − + = − ⇔ − = − ( )( ) 2 2 1 2 1 2 1 2HO HO HO HO R R⇔ − + = −
  • 5. Trang 4 H I O2O1 M 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 .2 . 2 R R O O HI R R IH O O − ⇔ = − ⇔ = Do H cố định, suy ra tập hợp các điểm M có cùng phương tích đối với hai đường tròn là đường thẳng qua H và vuông góc với O1O2. 2.2 Tính chất Cho hai đường tròn (O1) và (O2). Từ định lý 2.1 ta có các tính chất sau: 2.2.1 Tính chất 1 Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường thẳng nối tâm. 2.2.2 Tính chất 2 Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳng phương của chúng. 2.2.3 Tính chất 3 Nếu điểm M có cùng phương tích đối với (O1) và (O2) thì đường thẳng qua M vuông góc với 1 2O O là trục đẳng phương của hai đường tròn. 2.2.4 Tính chất 4 Nếu hai điểm M, N có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì đường thẳng MN chính là trục đẳng phương của hai đường tròn. 2.2.5 Tính chất 5 Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì 3 điểm đó thẳng hàng. 2.2.6 Tính chất 6
  • 6. Trang 5 Nếu (O1) và (O2) tiếp xúc nhau tại A thì đường thẳng qua A và vuông góc với 1 2O O chính là trục đẳng phương của hai đường tròn. 2.2 Cách xác định trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm Trong mặt phẳng cho hai đường tròn không đồng tâm (O1) và (O2). Xét các trường hợp sau: 2.2.1 Trường hợp 1: Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó đường thẳng AB chính là trục đẳng phương của hai đường tròn. 2.2.2 Trường hợp 2: Hai đường tròn tiếp xúc nhau tại T. Khi đó tiếp tuyến chung tại T chính là trục đẳng phương của hai đường tròn. 2.2.3 Trường hợp 3: Hai đường tròn không có điểm chung. Dựng đường tròn 3( )O cắt cả hai đường tròn. Trục đẳng phương của các cặp đường tròn 1 3( ) à ( );O v O 2 3( ) à ( )O v O cắt nhau tại K. Đường thẳng qua K vuông góc với 1 2O O là trục đẳng phương của 1 2( ),( ).O O 2.3 Trục đẳng phương trong Hệ tọa độ Descartes Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các đường tròn không đồng tâm: 2 2 1 1 1 1( ) : 2 2 0C x y a x b y c+ + + + = , 2 2 2 2 2 2( ) : 2 2 0C x y a x b y c+ + + + = Từ biểu thức phương tích của một điểm đối với một đường tròn trong hệ tọa độ suy ra trục đẳng phương của 1( )C và 2( )C là đường thẳng có phương trình ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 22 2 0a a x b b y c c− + − + − = ∆ 3. Tâm đẳng phương của ba đường tròn 3.1 Định lý và định nghĩa Cho 3 đường tròn (C1), (C2) và (C3). Khi đó 3 trục đẳng phương của các cặp đường tròn này hoặc trùng nhau hoặc song song hoặc cùng đi qua một điểm. Nếu các trục đẳng phương cùng đi qua một điểm thì điểm đó được gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn. Chứng minh Gọi dij là trục đẳng phương của hai đường tròn (Ci) và (Cj). Ta xét hai trường hợp sau. a)Giả sử có một cặp đường thẳng song song, không mất tính tổng quát ta giả sử d12 // d23. Ta có 12 1 2 23 2 3,d O O d O O⊥ ⊥ suy ra 1 2 3, ,O O O thẳng hàng. Mà 13 1 3d O O⊥ suy ra 13 23 12// //d d d
  • 7. Trang 6 b)Giả sử d12 và d23 có điểm chung M. Khi đó ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 2 3 / / 13/ / / / M O M O M O M O M O M O M d = ⇒ = ⇒ ∈ = P P P P P P d12 d13 d23 M O1 O2 O3 Từ đây suy ra nếu có hai đường thẳng trùng nhau thì đó cũng là trục đẳng phương của cặp đường tròn còn lại. Nếu hai trục đẳng phương chỉ cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cũng thuộc trục đẳng phương còn lại 3.2 Tính chất 3.2.1 Tính chất 1: Nếu 3 đường tròn đôi một cắt nhau thì các dây cung chung cùng đi qua một điểm 3.2.2 Tính chất 2: Nếu 3 trục đẳng phương song song hoặc trùng nhau thì tâm của 3 đường tròn thẳng hàng. 3.2.3 Tính chất 3: Nếu 3 đường tròn cùng đi qua một điểm và có các tâm thẳng hàng thì các trục đẳng phương trùng nhau.
  • 8. Trang 7 PHẦN B: ỨNG DỤNG PHƯƠNG TÍCH GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG 1. CÁC BÀI TẬP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TÍCH Bài tập 1.1 (S44 Mathematical Reflection MR2-2007) Từ một điểm P nằm bên ngoài đường tròn tâm O, kẻ các tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn (O), (A, B là các tiếp điểm). Gọi M là trung điểm AP và N là giao điểm của BM với (O), (N không trùng B). Chứng minh rằng 2 .PN MN= Lời giải Ta có 2 . .MN MB MA MA MP= = . Gọi 'N là điểm đối xứng với N qua ,M khi đó . '. ,MN MB MN MB= suy ra . ' ,MA MP MN MB= hay tứ giác 'ABPN là tứ giác nội tiếp một đường tròn. Đặt , ,NAP NAB= α = β ta có ' ' ' ' .PAN PBN BAN NAN ANN= = = β ⇒ = = α + β Mặt khác ' ,ANN NAB NBA= + = α + β hay tam giác NPN’ cân tại N suy ra 2 .PN MN= Bài tập 1.2 N' N M B A OP
  • 9. Trang 8 C M N O I A B Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định. Một đường thẳng quay quanh A, cắt (O) tại M và N. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN thuộc một đường thẳng cố định. Lời giải Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB. AB cắt (I) tại điểm thứ hai C. Ta có ( ) ( )/ / . .P PA I A O AC AB AM AN= = = (không đổi vì A, (O) cố định). Suy ra ( )/ PA O AC AB = Vì A, B cố định và C thuộc AB nên từ hệ thức trên ta có C cố định. Suy ra I thuộc đường trung trực của BC cố định. Suy ra .AB AC AK AI = là hằng số nên điểm K cố đinh. Bài tập được chứng minh Bài tập 1.3 Cho đường tròn (O) và dây AB. Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O). Từ điểm E chính giữa cung lớn AB kẻ đường kính EF cắt dây AB tại D. Tia CE cắt (O) tại điểm I. Cho A, B, C cố định, chứng minh rằng khi đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A, B thì đường FI luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải
  • 10. Trang 9 K H I A CB O N M K I F E DA CB Gọi K là giao điểm của FI và AB Tứ giác DKIE nội tiếp đường tròn đường kính EK nên [ ] ( )// . . .C OC EK P CK CD CI CE P CB CA= = = = .CACB CK CD ⇒ = ⇒ điểm K cố định Vậy đường thẳng FI luôn đi qua một điểm K cố định Bài tập 1.4 Cho ba điểm cố định A, B, C thẳng hàng (theo thứ tự đó). Một đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn đi qua B, C. Từ điểm A kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến (O). Đường thẳng MN cắt AO và AC lần lượt tại H và K. Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OHI luôn đi qua hai điểm cố định Lời giải Hiển nhiên điểm I cố định. Do HOIK nội tiếp nên ta có [ ] 2 / . .A KO P AK AI AH AO AM= = = (do tam giác AMO vuông tại M có MH là đường cao) Ta lại có AM là tiếp tuyến của (O) nên ( ) 2 / . .A O AM P AB AC= =
  • 11. Trang 10 2. CÁC BÀI TẬP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG Bài tập 2.1 (IMO 2013 Problem 4) Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H. Cho W là một điểm tùy ý trên cạnh BC, khác với các điểm B và C. Các điểm M và N tương ứng là chân các đường cao hạ từ B và C. Kí hiệu 1ω là đường tròn ngoại tiếp tam giác BWN, và gọi X là điểm trên 1ω sao cho WX là đường kính của 1ω . Tương tự, kí hiệu 2ω là đường tròn ngoại tiếp tam giác CWM, và gọi Y là điểm trên 2ω sao cho WY là đường kính của 2ω . Chứng minh rằng các điểm X,Y và H thẳng hàng. Lời giải w2 w1 Z Y O2 X O1 P M N H A B C W Gọi P là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC, 1 2,O O là tâm các đường tròn 1 2,ω ω , Z là giao điểm thứ hai của 1ω và 2.ω Tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn đường kính BC nên . .AN AB AM AC= hay A thuộc trục đẳng phương của 1ω và 2.ω Suy ra A, Z, W cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với 1 2OO và XY (1) Tứ giác BNHP nội tiếp nên . . . ,AH AP AN AB AZ AW= = từ đó PHZW là tứ giác nội tiếp hay HZ vuông góc với ZW (2)
  • 12. Trang 11 Từ (1) và (2) suy ra X, Y, H thẳng hàng, điều phải chứng minh. Bài tập 2.2 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), .AB CD≠ Dựng hai hình thoi AEDF và BMCN có cạnh bằng nhau. Chứng minh bốn điểm E, F, M, N cùng thuộc một đường tròn. Lời giải Dựng ( ),AFA và ( ),B BM . Do OA = OB và AF = BM nên O nằm trên trục đẳng phương của (A) và (B). M N E O A D C B F Mặt khác, EF, MN lần lượt là trung trực của đoạn AD, BC nên { }EF MN O∩ = .OF .ONOE OM⇒ = Suy ra 4 điểm E, F, M, N cùng thuộc một đường tròn (đpcm). Bài tập 2.3 Cho hai đường tròn ngoài nhau 1 2( ),( ).O O Kẻ tiếp tuyến chung ngoài 1 2A A của hai đường tròn 1 1 2 2( ( ); ( )).A O A O∈ ∈ Gọi K là trung điểm của 1 2A A , từ K kẻ các tiếp tuyến 1 2,KB KB tới 1( )O và 2( ).O 1 1 2 2,A B A B cắt nhau tại L, KL cắt 1 2O O tại P . Chứng minh rằng 1 2, , ,B B P L cùng nằm trên một đường tròn. Lời giải Do 1 2 1 2KA KA KB KB= = = nên tứ giác 1 1 2 2A B B A nội tiếp
  • 13. Trang 12 1 1 2 2. .LB LA LB LA⇒ = Suy ra KL là trục đẳng phương của ( )1O và ( )2O 1 2KL O O⇒ ⊥ 3 điểm 1 1, ,A B P nhìn đoạn 1O K dưới góc 0 90 nên tứ giác 1 1A B PK nội tiếp, tương tự tứ giác 2 2A B PK nội tiếp Bài tập 2.4 (IMO 1995) Trên đường thẳng d lấy bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự đó. Các đường tròn đường kính AC và BD cắt nhau tại X và Y. Đường thẳng XY cắt BC tại Z. Trên đường thẳng XY lấy một điểm P không trùng với Z, đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai M, đường thẳng BP cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ hai N. Chứng minh AM, DN, XY đồng quy. Lời giải Gọi , ,J J Z′ lần lượt là giao của AM, DN, AD với XY Tứ giác JMCK nội tiếp nên . .PJ PK PM PC= Tương tự . .PJ PK PN PB′ = Do P nằm trên trục đẳng phương của đường tròn đường kính AC và đường tròn đường kính BD nên . . . .PM PC PN PB PJ PK PJ PK′= ⇒ = hay P P′≡ Vậy AM, DN, XY đồng quy (đpcm). Bài tập 2.5 Cho tam giác ABC, các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H, M là trung điểm BC, EF cắt BC tại I, J là trung điểm của MH. Chứng minh IH vuông góc với OJ. Lời giải Gọi O, J lần lượt là trung điểm AH, MH. Ta có EF 2 2D HFD EBM EMC∠ = ∠ = ∠ = ∠ Suy ra tứ giác FEMD nội tiếp. .IF .IE IM ID⇒ = Do đó I nằm trên trục đẳng phương của ( ),O OA và ( ),J JH
  • 14. Trang 13 OJIH⇒ ⊥ Mà OJ là đường trung bình của tam giác AMH nên OJ//AM IH AM⇒ ⊥ (đpcm) Bài tập 2.6 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). AA’, BB’, CC’ là các đường cao của tam giác. Kí hiệu ( )WA là đường tròn đi qua A, A’ và tiếp xúc với OA. ( ) ( )W , WB C được định nghĩa tương tự. Chứng minh rằng ba đường tròn đó cắt nhau tại hai điểm thuộc đường thẳng Euler của tam giác ABC. Lời giải Ta có ( ) ( )/ W . . / WH A H CP HA HA HC HC P′ ′= = = và do OA, OC lần lượt tiếp xúc với W ,WA C nên ( ) ( )2 2 / W / WO A O CP OA OC P= = = Suy ra OH là trục đẳng phương của ( )WA và ( )WC ( ) ( ) { }W W ,A B E F HO⇒ ∩ = ∈ Vậy 3 đường tròn ( )WA , ( )WB , ( )WC cắt nhau tại 2 điểm thuộc đường thẳng Ơ-le của tam giác ABC (đpcm). Bài tập 2.7 Cho tam giác không cân ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các đường thẳng BC, CA, AB sao cho ' ' ' 90 .o AIA BIB CIC= = = Chứng minh A’, B’, C’ cùng thuộc một đường thẳng và đường thẳng đó vuông góc với OI. Lời giải Kí hiệu (I, 0) là đường tròn tâm I, bán kính bằng 0. Ta có 0 90 2 ABC IBC AIC CIA′= = − = 2 .IA A B A C′ ′ ′⇒ = hay /( ;0) /( )A I A OP P ′= Tương tự /( ;0) /( )B I B OP P ′= , /( ;0) '/( )C I C OP P=
  • 15. Trang 14 Suy ra , ,A B C′ ′ ′ cùng thuộc trục đẳng phương của (O) và (I,0), đường thẳng này vuông góc với OI (đpcm). Bài tập 2.8 Cho đường tròn tâm O đường kính AB, và điểm H cố định thuộc AB. Từ điểm K thay đổi trên tiếp tuyến tại B của O, vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) tại C và D. Chứng minh rằng CD luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải I M D C B A O K H Gọi I là điểm đối xứng của H qua B, suy ra I cố định và thuộc (K). Gọi M là giao điểm của CD và AB. Vì CD là trục đẳng phương của (O) và (K) nên ta có: ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 . . . . . MH MI MC MD MA MB MB BH MB BI MB MB BA MB BH MB BH MB MB BA MB BH MB MB BA BH BM BA = = ⇔ + + = + ⇔ + − = + ⇔ − = + ⇔ = Vì A, B, H cố định suy ra M cố định.
  • 16. Trang 15 I P H D K M N A B CA' Bài tập 2.9 Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định và B, C thay đổi trên đường thẳng d cố định sao cho nếu gọi A’ là hình chiếu của A lên d thì .A B A C′ ′ âm và không đổi. Gọi M là hình chiếu của A’ lên AB; N là hình chiếu của A’ lên AC; K là giao điểm của các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN tại M và N. Chứng minh rằng K thuộc một đường thẳng cố định. Lời giải Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN và I là giao điểm của OK và MN. Ta thấy O chính là trung điểm của AA’. Dễ thấy 2 . .AM AB AA AN AC′= = Suy ra tứ giác BMNC nội tiếp. Mà ADB ACB= Nên AMN ADB= Suy ra MPDB nội tiếp. Do đó ta có 2 . .AP AD AM AB AA′= = Mà A, A’ và D cố định suy ra P cố định. Gọi H là hình chiếu của K trên AA’.Ta có 2 21 . . 4 AP AH AI AK IN AA′= = = Mà A, P, A’ cố định suy ra H cố định. Vậy K thuộc đường thẳng qua H và vuông góc với AA’. Bài tập 2.10 Trên đường thẳng d lấy 4 điểm A, B, C, D (theo thứ tự đó). Đường tròn đường kính AC và BD cắt nhau tại X, Y. Đường thẳng XY cắt BC tại Z. Lấy P là một điểm trên XY khác Z. AMN ACB⇒ =
  • 17. Trang 16 Q Z N M Y X A DCB P Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai là M, và BP cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ hai là N. Chứng minh rằng AM, DN và XY đồng qui. Lời giải Gọi Q, Q’ lần lượt là giao điểm của DN và AM với XY. Ta cần chứng minh Q Q′≡ . Tứ giác QMCZ nội tiếp, suy ra . .PM PC PQ PZ= Tứ giác NQ’ZB nội tiếp, suy ra . .PQ PZ PN PB′ = Mà P thuộc XY là trục đẳng phương của đường tròn đường kính AC và đường tròn đường kính BD nên . . .PN PB PX PY PM PC= = Suy ra . .PQ PZ PQ PZ Q Q′ ′= ⇒ ≡ Vậy XY, AM và DN đồng quy. Bài tập 2.11 Cho H là trực tâm tam giác ABC không cân góc A nhọn; Hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC theo thứ tự là E, F. Gọi D là trung điểm BC; P, Q là giao điểm của hai đường tròn đường kính AD và BC. Chứng minh H, P, Q thẳng hàng và các đường thẳng BC, EF, PQ đồng quy. Lời giải Gọi G là chân đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC. Ta có [ ] [ ]/ / . .H BC H AD P HE HC HG HA P= = = suy ra H nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn đường kính BC và AD. Suy ra H, P, Q thẳng hàng.
  • 18. Trang 17 Gọi I là giao điểm của EF và BC. (DEF) là đường tròn Euler của tam giác ABC nên G nằm trên (DEF). Do đó [ ] [ ]/ / . . .I BC I AD P IB IC IE IF IG ID P= = = = Suy ra I, P, G thẳng hàng hay BC, EF, PQ đồng quy tại I. Bài tập 2.12 Cho tam giác ABC có trực tâm H. Đường tròn đi qua B, C cắt AB, AC tại D, E. Gọi F là trực tâm tam giác ADE và I là giao điểm của BE và CD. Chứng minh I, H, F thẳng hàng Lời giải Gọi F1, F2 là hình chiếu vuông góc của F lên AB, AC; H1,H2 là hình chiếu vuông góc của H lên AB, AC Ta có 1 2 1 2 . . ; . .FF FE FF FD HH HC HH HB= = (tính chất trực tâm) Mặt khác ta lại có . .IE IB IC ID= Suy ra F, H, I cùng thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn đường kính BD và CE nên chúng thẳng hàng Bài tập 2.13 Cho tứ giác ABCD có các cạnh AB và CD cắt nhau tại I, AD và BC cắt nhau tại K. 1) Chứng minh rằng trực tâm của các tam giác AID, ABK, BCI, CDK thẳng hàng 2) Chứng minh rằng trung điểm của các đoạn AC, BD, IK thẳng hàng. Lời giải 1)Gọi O1; O2; O3 lần lượt là trung điểm các đoạn AC, BD, IK Các đường cao của tam giác CDK lần lượt là CC', DD'; KK' và H là trực tâm tam giác
  • 19. Trang 18 K' C' D' H O1 O2 O3 KA I D B C Ta có ( ) ( )1 2/ / . '; . 'H O H O P HC HC P HD HD= = xét đường tròn đường kính CD ta lại có . ' . 'HC HC HD HD= nên H thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn (O1),(O2) Chứng minh tương tự cho trực tâm các tam giác AID, ABK, BCI cũng có cùng phương tích với hai đường tròn (O1),(O2). Suy ra điều phải chứng minh 2)Tương tự ta chứng minh được H có cùng phương tích với hai đường tròn (O2) và (O3) Gọi J là trực tâm của tam giác BCI. Khi đó ta cũng chứng minh được J có cùng phương tích với ba đường tròn (O1),(O2), (O3). Suy ra ba đường tròn này đôi một nhận HJ làm trục đẳng phương suy ra đpcm Bài tập 2.14 Cho đường tròn tâm O và hai đường kính AB, CD. Tiếp tuyến với (O) tại B cắt AC tại P, PD cắt (O) tại điểm thứ hai G. Chứng minh rằng AG, BC, PO đồng quy. Lời giải Gọi I, I' lần lượt là trung điểm PA, PC. Ta có bốn điểm O, B, C, I thuộc đường tròn (T) đường kính BI Ta chứng minh được ' ' 'GAI CDG COI GOI= = = suy ra bốn điểm O, A, G, I' cùng thuộc đường tròn (T') khi đó ( ) ( )/ / ' 0O T O T P P= = Hơn nữa ( ) ( )/ / ' . . 'P T P T P PI PC PA PI P= = =
  • 20. Trang 19 j F I O H MN E D A B C I'I G P B C O A D suy ra OP là trục đẳng phương của (T) và (T') Nhưng AG là trục đẳng phương của (O) và (T'), BC là trục đẳng phương của (O) và (T) Vậy AG, BC, PO đồng quy. Bài tập 2.15 Cho tam giác ABC có đường cao BD và CE cắt nhau tai H. M là trung điểm của BC, N là giao điểm của DE và BC. Chứng minh rằng NH vuông góc với AM. Lời giải Ta có 2. 2. DEH DAH DBC FEH FED FEH DBC DMC = = = ⇒ = = = Suy ra tứ giác EDMF nội tiếp. Từ đó ta có . .NE ND NF NM= , suy ra N nằm trên trục đẳng phương của đường tròn đường kính MH và đường tròn đường kính AH. Mặt khác H là giao điểm của (O) và (I), suy ra NH chính là trục đẳng phương của (O) và (I). Suy ra NH OI⊥ , rõ ràng OI // AM, do đó NH AM⊥ . Bài tập 2.16 Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại D và E. Gọi P là một điểm bên trong tam giác ADE, F và G là giao của DE với BP và CP. Đường tròn tâm
  • 21. Trang 20 M N F G E A B C P D (O) ngoại tiếp tam giác PDG, đường tròn tâm (I) ngoại tiếp tam giác PEF cắt nhau tại điểm thứ hai là Q. Chứng minh rằng AQ OI⊥ Lời giải Gọi M là giao điểm thứ hai của AB và (PDG), N là giao thứ hai của AC và (PFG) Ta có AMP PGD= và PGD PCB= (đồng vị), suy ra AMP PCB= , suy ra BMPC nội tiếp. Chứng minh tương tự PNCB nội tiếp. Suy ra BMNC nội tiếp, suy ra . .AM AB AN AC= Mà AD AE AB AC = (Định lý Thalet). Suy ra . .AM AD AN AE= Do đó A thuộc trục đẳng phương PQ của (PDG) và (PEF) suy ra AQ OI⊥ . Bài tập 2.17 Cho tam giác ABC không cân nội tiếp (O) và ngoại tiếp (I). Các đường thẳng qua I vuông góc với AI, BI, CI cắt BC, CA, AB tại M, N, P theo thứ tự. Chứng minh M, N, P cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với OI. Lời giải
  • 22. Trang 21 Giả sử AB < AC khi đó M nằm trên tia đối của tia BC. Ta có 0 90 2 2 C C AIB MIB MCI= + ⇒ = = Suy ra 2 .MIB MCI MI MB MC∆ ∆ ⇒ =∼ Suy ra M nằm trên trục đẳng phương của (O) và đường tròn tâm I. Tương tự với N, P ta suy ra M, N, P thẳng hàng và đường thẳng đi qua ba điểm đó vuông góc với OI. Bài tập 2.18 Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Trên các tia FB, EC lấy các điểm P, Q theo thứ tự sao cho FP = FC, EQ = EB. PQ cắt CP tại K, I, J theo thứ tự tà trung điểm BQ, CP. Chứng minh HK vuông góc với IJ. Lời giải Từ giả thiết ta có 0 45BPC BQC= = suy ra tứ giác BCQP nội tiếp [ ] [ ]/ / . .K BQ K CP P KB KQ KC KP P⇒ = = = Theo tính chất trực tâm tam giác tac có [ ] [ ]/ / . .H BQ H CP P HB HE HC HF P= = = vậy HK là trục đẳng phương của hai đường tròn đường kính BQ và CP và IJ là đường nối tâm của hai đường nối tâm của hai đường tròn nên IJHK ⊥
  • 23. Trang 22 Bài tập 2.19 Cho hai đường tròn ngoài nhau 1 2( ),( ).O O Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài 1 2A A và chung trong 1 2B B của hai đường tròn 1 1 1 2 2 2( , ( ); , ( )).A B O A B O∈ ∈ Chứng minh 1 1 2 2, ,A B A B 1 2O O đồng quy. Lời giải Gọi M là giao điểm của 1 1A B với 2 2A B . Dễ dàng có 1 1 2 2A B A B⊥ Gọi ( ) ( )1 2,C C lần lượt là các đường tròn đường kính 1 2A A , 1 2B B Do 0 1 2 1 2 90A MA B MB∠ = ∠ = nên M nằm trên trục đẳng phương của ( )1C và ( )2C . Mặt khác 2 2 1 1 1 1O A O B= và 1 1 1 1,O A O B lần lượt là tiếp tuyến của ( ) ( )1 2,C C nên 1O nằm trên trục đẳng phương của ( )1C và ( )2C . Tương tự 2O cũng nằm trên trục đẳng phương của ( )1C và ( )2C Suy ra 1 2, ,O M O thẳng hàng.
  • 24. Trang 23 3. CÁC BÀI TẬP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TÂM ĐẲNG PHƯƠNG Bài tập 3.1 Cho đường tròn (O) đường kính AB và CD. Tiếp tuyến tại B của (O) cắt AC tại E, DE cắt (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng AF, BC, OE đồng quy. Lời giải F E B D O A C Kí hiệu ( ) ( )1 2,C C lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF, BCE. Ta có AF, BC là trục đẳng phương của ( )O và ( )1C , ( )O và ( )2C . Mặt khác ,OAF FDB FEA OBC CEB= = = Suy ra OA, OB lần lượt là tiếp tuyến của ( ) ( )1 2,C C và lại có 2 2 OA OB= Do đó OE là trục đẳng phương của ( )1C và ( )2C . Suy ra AF, BC, OE đồng quy tại tâm đẳng phương của ba đường tròn. Bài tập 3.2 (Iran MO 1996) Trên hai cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt lấy các điểm D, E sao cho DE song song với BC. Gọi P là điểm tùy ý bên trong tam giác ABC, các đường thẳng PB, PC cắt DE tại F và G. Gọi 1 2,O O lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác PDG, PEF. Chứng minh rằng AP vuông góc với 1 2.O O
  • 25. Trang 24 Lời giải N M O2 O1 GF E A B C P D Gọi M là giao điểm thứ hai của AB với ( )1O , N là giao điểm thứ hai của AC với ( )2O Suy ra tứ giác B, P, C, M nằm trên một đường tròn, tương tự B, P, C, N nằm trên một đường tròn do đó tứ giác BMNC nội tiếp. Mà DE//BC ta thu được tứ giác MDEN nội tiếp. Áp dụng định lý về tâm đẳng phương cho các đường tròn ngoại tiếp DGP, PEF và DENM ta có { }DM EN A∩ = nằm trên trục đẳng phương của ( )1O và ( )2O Suy ra 1 2AP O O⊥ (đpcm). Bài tập 3.3 Cho nửa đường tròn đường kính AB và một diểm C nằm trên nửa đường tròn đó. Gọi H là hình chiếu của C trên AB. Đường tròn đường kính CH cắt CA tại E, CB Tại F và đường tròn đường kính AB tại D. Chứng minh rằng CD, EF, AB đồng quy. Lời giải Do 0 90ACB = nên EF là đường kính của đường tròn đường kính CH EFC ACH CBA⇒ = = Suy ra tứ giác AEFB nội tiếp.
  • 26. Trang 25 Áp dụng định lý về tâm đẳng phương cho đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, đường tròn đường kính AB và đường kính EF ta có CD, EF, AB đồng quy (đpcm). Bài tập 3.4 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ) ( ) ( ); , aO I I lần lượt là đường tròn nội tiếp và bàng tiếp góc A của tam giác ABC. Giả sử aII cắt BC và ( )O lần lượt tại A′, M . Gọi N là trung điểm cung MBA. , aNI NI cắt ( )O lần lượt tại S,T. Chứng minh rằng , ,S T A′ thẳng hàng. Lời giải Ta có: ( ) ( )1 1 2 2 NST sd NA sd AS sd NM sd AS NIM= + = + = Suy ra a aI TS I IS= Suy ra tứ giác aI TI nội tiếp đường tròn ( )1w Mặt khác 0 90a aIBI ICI= = nên tứ giác aIBI C nội tiếp đường tròn ( )2w . Ta thấy aII là trục đẳng phương của ( )1w và ( )2w , BC là trục đẳng phương của ( )O và ( )2w , TS là trục đẳng phương của ( )O và ( )1w . Theo định lý về tâm đẳng phương thì , ,aII TS BC đồng quy tại A′. Vậy , ,T A S′ thẳng hàng (đpcm). Bài tập 3.5 Bên ngoài tam giác ABC vẽ các tam giác cân BCD, CAE, ABF có các cạnh đáy tương ứng là BC, CA, AB. Chứng minh rằng các đường thẳng lần lượt đi qua A, B, C và vuông góc với EF, FD, DE tương ứng đồng quy. Lời giải Gọi 1 2 3, ,C C C lần lượt là đường tròn tâm D, bán kính DB, đường tròn tâm E, bán kính EA, đường tròn tâm F bán kính FA.
  • 27. Trang 26 P Q M E D C OA BH Đường thẳng qua C vuông góc với DE là trục đẳng phương của ( )1C và ( )2C , đường thẳng qua A vuông góc với EF là trục đẳng phương của ( )2C và ( )3C , đường thẳng qua B vuông góc với DF là trục đẳng phương của ( )1C và ( )3C . Do đó 3 đường thẳng này đồng quy tại tâm đẳng phương của 3 đường tròn (đpcm). Bài tập 3.6 Cho tam giác ABC, các điểm A’, B’ lần lượt nằm trên hai cạnh BC và CA. Chứng minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn đường kính AA’ và BB’ đi qua trực tâm H của tam giác ABC. Lời giải Kí hiệu ( ) ( )1 2,O O lần lượt là đường tròn đường kính AA′ và BB′. Gọi M là trung điểm AB. Dễ thấy ( ) ( ) { } ( ) ( ) { }1 2, , , , ,M MA O A E M MA O B F∩ = ∩ = (E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ A, B của tam giác ABC). Do AE, BF giao nhau tại trực tâm H và áp dụng định lý về tâm đẳng phương ta suy ra trục đẳng phương của ( )1O và ( )2O đi qua H (đpcm). Bài tập 3.7 Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Một điểm H thuộc đoạn AB. Đường thẳng qua H vuông góc với AB cắt đường tròn tại C. Đường tròn đường kính CH cắt AC, BC và (O) lần lượt tại D, E và F. a) Chứng minh rằng AB, DE và CF đồng quy. b) Đường tròn tâm C bán kính CH cắt (O) tại P và Q. Chứng minh rằng P, D, E, Q thẳng hàng. Lời giải a) Ta có 2 . .CACD CH CB CE= = , suy ra ADEB nội tiếp. Xét các đường tròn (ADEB), (O) và đường tròn đường kính CH, thì DE, AB và CF lần lượt là các trục đẳng phương của các cặp đường tròn trên nên chúng đồng quy. b) Ta có PQ là trục đẳng phương của
  • 28. Trang 27 (C) và (O) nên OC PQ⊥ . Ta cũng dễ thấy OD DE⊥ . Hơn nữa M chính là tâm đẳng phương của ba đường tròn (O), ( C) và đường tròn đường kính CH. Suy ra PQ đi qua M. Vậy DE, PQ cùng đi qua M và cùng vuông góc với OC nên trùng nhau. Hay D, E, P, Q thẳng hàng.
  • 29. Trang 28 PHẦN C: BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1. ĐỀ BÀI Bài tập 1 Cho tam giác ABC, trực tâm H. M1, M2, M3 lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. (M1, M1H) ∩ BC={A1, A2}, (M2, M2H) ∩ AC={B1, B2}, (M3, M3H) ∩ AB={C1, C2}, CMR: A1, A2 B1, B2, C1, C2 cùng thuộc một đường tròn. Bài tập 2 Cho hình thang ABCD (AB>CD). K, L là hai điểm trên AB, CD sao cho AK BK = DL CL . Giả sử P, Q nằm trên đoạn thẳng KL sao cho ∠APB =∠BCD và ∠CQD=∠ABC. CMR bốn điểm P, Q, B, C cùng thuộc một đường tròn. Bài tập 3 Cho tứ giác ABCD có cạnh AB và CD cắt nhau tại I, AD và BC cắt nhau tại K. a) CMR trực tâm của các tam giác AID, ABK, BCI, CDK thẳng hàng. b) CMR trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD, IK thẳng hàng. Bài tập 4 Cho tam giác ABC có các đường phân giác (trong và ngoài) tại các đỉnh A, B, C theo thứ tự cắt các cạnh đối tại D và D’, E và E’, K và K’. Chứng minh rằng trung điểm của các đoạn thẳng DD’, EE’, KK’ thẳng hàng. Bài tập 5 Cho tứ giác lồi ABCD. Qua đỉnh D của tứ giác kẻ các đường thẳng a, b, c sao cho a ⊥ DA, b⊥ DB, c⊥ DC. Các đường thẳng a, b, c này theo thứ tự cắt các đường thẳng BC, CA, AB tại A’, B’, C’. CMR ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng. Bài tập 6 Cho tam giác ABC. Các phân giác ngoài góc A, B, C lần lượt cắt cạnh đối diện tại A1, B1, C1. CMR A1, B1, C1 thẳng hàng và nằm trên đường vuông góc với đường thẳng nối tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài tập 7
  • 30. Trang 29 Cho tam giác ABC nội tiếp (O). (I), (Ia) lần lượt là đường tròn nội tiếp và bàng tiếp góc A. Giả sử I Ia giao BC và (O) lần lượt tại A’, M. Gọi N là trung điểm cung MBA. NI, NIa giao (O) lần lượt tại S,T. CMR S, T, A’ thẳng hàng. Bài tập 8 (Định lý Brianchon) Cho lục giác ABCDEF ngoại tiếp (O). CMR AD, BE, CF đồng quy. Bài tập 9 Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C trên d. Gọi d1, d2, d3 theo thứ tự là các đường thẳng đi qua A’, B’, C’ và vuông góc với BC, CA, AB. Chứng minh rằng các đường thẳng d1, d2, d3 đồng quy. Bài tập 10 Cho (O,R) và hai điểm P,Q cố định (P nằm ngoài (O), Q nằm trong (O)). Dây cung AB của (O) luôn đi qua Q. PA, PB lần lượt giao (O) lần thứ hai tại D,C. Chứng minh rằng CD luôn đi qua một điểm cố định. Bài tập 11 Cho (O1,R1) tiếp xúc ngoài với (O2,R2) tại M (R2>R1). Xét điểm A di động trên đường tròn sao cho A,O1,O2 không thẳng hàng. Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC tới (O1). Các đường thẳng MB, MC cắt tại (O2) tại E, F. D là giao điểm của EF với tiếp tuyến tại A của (O2). Chứng minh rằng D di động trên một đường thẳng cố định. Bài tập 12 Cho tam giác ABC có D là trung điểm của cạnh BC. Gọi d là đường thẳng qua D và vuông góc với đường thẳng AD. Trên đường thẳng d lấy một điểm M bất kì. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng MB, MC. Đường thẳng qua E vuông góc với d cắt đường thẳng AB tại P, đường thẳng qua F vuông góc với d cắt đường thẳng AC tại Q. Chứng minh rằng đường thẳng qua M, vuông góc với đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đường thẳng d.
  • 31. Trang 30 2. LỜI GIẢI Bài tập 1 Cho tam giác ABC, trực tâm H. M1, M2, M3 lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. (M1, M1H) ∩ BC={A1, A2}, (M2, M2H) ∩ AC={B1, B2}, (M3, M3H) ∩ AB={C1, C2}. CMR: A1, A2, B1, B2, C1, C2 cùng thuộc một đường tròn. Lời giải Do M1M2 // AB và AB⊥HC nên M1M2⊥HC Suy ra HC là trục đẳng phương của (M1) và (M2). ⇒ CA1 . CA2 = CB1 . CB2 Suy ra A1, A2, B1, B2 thuộc đường tròn (W1). Tương tự A1, A2,C1, C2 thuộc đường tròn (W2), C1, C2, B1, B2 thuộc đường tròn (W3). Nếu 6 điểm A1, A2, B1, B2, C1, C2 không cùng thuộc một đường tròn thì các trục đẳng phương của 3 đường tròn (W1), (W2), (W3) phải đồng quy tại một điểm, nhưng chúng lại cắt nhau tại A, B, C nên vô lý. Vậy ta có đpcm. Bài tập 2 Cho hình thang ABCD (AB>CD). K, L là hai điểm trên AB, CD sao cho AK BK = DL CL . Giả sử P, Q nằm trên đoạn thẳng KL sao cho ∠APB =∠BCD và ∠CQD=∠ABC. CMR bốn điểm P, Q, B, C cùng thuộc một đường tròn. Lời giải Từ giả thiết, AK BK = DL CL suy ra AD, BC, KL đồng quy tại E. Dựng đường tròn (O1) đi qua hai điểm C, D và tiếp xúc với BC, (O2) đi qua hai điểm A; B và tiếp xúc với BC. Khi đó ∠DQC = ∠ABC=∠DCE nên Q∈(O1), tương tự P∈(O2).
  • 32. Trang 31 Gọi F là giao điểm thứ hai của EQ với (O1). Ta có: EF . EQ = EC 2 (1) Mặt khác, dễ dàng có ∠O1CD=∠O2BA do đó △ AO2B ~ △ DO1C ⇒ O1C O2B = DC AB = EC EB =k ⇒ E, O1, O2 thẳng hàng và EO1 EO2 =k ⇒ → EO1 = k → EO2 Suy ra phép vị tự H(E,k): (O1)→ (O2). Mà E, F, P thẳng hàng, F∈ (O1), P∈ (O2) nên → EF =k → EP ⇒ EF EP =k= EC EB (2) Từ (1), (2) suy ra EP . EQ = EC . EB Vậy 4 điểm P, Q, B, C cùng thuộc một đường tròn (đpcm). Bài tập 3 Cho tứ giác ABCD có cạnh AB và CD cắt nhau tại I, AD và BC cắt nhau tại K. a) CMR trực tâm của các tam giác AID, ABK, BCI, CDK thẳng hàng. b) CMR trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD, IK thẳng hàng. Lời giải a) Gọi O1, O2, O3 theo thứ tự là trung điểm của AC, BD, IK. Các đường cao của tam giác CDK lần lượt là CC’, DD’, KK’ và H là trực tâm. Kí hiệu Γ1, Γ2, Γ3 theo thứ tự là các đường tròn tâm O1 bán kính O1A, tâm O2 bán kính O2B, tâm O3 bán kính O3K. Ta có phương tích của điểm H đối với đường tròn Γ1 và Γ2 là P (H/Γ1) = HC . HC’ P (H/Γ2) = HD . HD’ . Xét đường tròn đường kính CD có HC . HC’ = HD . HD’ Do đó H thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn Γ1 và Γ2.
  • 33. Trang 32 Chứng minh tương tự, trực tâm các tam giác AID, ABK, BCI cũng có cùng phương tích đối với hai đường tròn Γ1 và Γ2. Vậy trực tâm của các tam giác AID, ABK, BCI, CDK thẳng hàng ( điều cần chứng minh) b) O3 là trung điểm IK, ta cũng chứng minh được P (H/Γ2) = P (H/Γ3) . Xét trực tâm J của tam giác BCI, khi đó P (J/Γ1) = P (J/Γ2) = P (J/Γ3) suy ra ba đường tròn này đôi một nhận đường thẳng HJ làm trục đẳng phương, vì vậy O1, O2 và O3 thẳng hàng (đpcm) . Lưu ý: HJ⊥ O1O3. Bài tập 4 Cho tam giác ABC có các đường phân giác (trong và ngoài) tại các đỉnh A, B, C theo thứ tự cắt các cạnh đối tại D và D’, E và E’, K và K’. Chứng minh rằng trung điểm của các đoạn thẳng DD’, EE’, KK’ thẳng hàng.
  • 34. Trang 33 Lời giải Gọi O1, O2, O3 theo thứ tự là trung điểm DD’, EE’, KK’ ; gọi Γ1, Γ2, Γ3 theo thứ tự là các đường tròn tâm O1 bán kính O1D, tâm O2 bán kính O2E, tâm O3 bán kính O3K. Giả sử Γ là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O bán kính R. Vì ΔO1BA ∽ ΔO1AC nên O1B.O1C = O1A2 = O1D2 , từ đó: P (O1/Γ) = O1O2 - R2 = O1B . O1C = O1D2 Nhưng P (O/Γ1) = OO1 2 - O1D2 , suy ra: P (O/Γ1) = R2 Chứng minh tương tự ta có: P (O/Γ2) = P (O/Γ3) = R2 Mặt khác nếu gọi H là trực tâm tam giác DEK, tương tự như ví dụ 3 ta chứng minh được: P (H/Γ1) = P (H/Γ2) = P (H/Γ3) Vậy ba đường tròn Γ1, Γ2, Γ3 đôi một nhận đường thẳng OH làm trục đẳng phương do đó O1, O2, O3 thẳng hàng. Bài tập 5 Cho tứ giác lồi ABCD. Qua đỉnh D của tứ giác kẻ các đường thẳng a, b, c sao cho a ⊥ DA, b⊥ DB, c⊥ DC. Các đường thẳng a, b, c này theo thứ tự cắt các đường thẳng BC, CA, AB tại A’, B’, C’. CMR ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng. Lời giải Gọi trung điểm của AA’, BB’, CC’ theo thứ tự là O1, O2, O3 ; gọi Γ1, Γ2, Γ3 theo thứ tự là các đường tròn tâm O1 bán kính O1A, tâm O2 bán kính O2B, tâm O3 bán kính O3C, thế thì P (D/Γ1) = P (D/Γ2) = P (D/Γ3) = 0.
  • 35. Trang 34 Mặt khác, nếu gọi H là trực tâm tam giác ABC thì tương tự ví du 3 ta có P (H/Γ1) = P (H/Γ2) = P (H/Γ3) . Từ đó ba điểm O1, O2, O3 thẳng hàng. Gọi P, Q, R theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB. Sử dụng định lí Menelaus cho tam giác PQR và ba điểm thẳng hàng O1, O2, O3, ta có: O1Q O1R . O2R O2P . O3P O3Q = 1. Nhưng O1Q O1R = A’C A’B ; O2R O2P = B’A B’C ; O3P O3Q = C’B C’A . Áp dụng định lí Menelaus đảo cho tam giác ABC, ta có A’, B’, C’ thẳng hàng. Bài tập 6 Cho tam giác ABC. Các phân giác ngoài góc A, B, C lần lượt cắt cạnh đối diện tại A1, B1, C1. CMR A1, B1, C1 thẳng hàng và nằm trên đường vuông góc với đường thẳng nối tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Lời giải Gọi A2B2C2 là tam giác tạo bởi 3 phân giác ngoài góc A, B, C. Dễ dàng có AA2⊥ B2C2 , BB2⊥ A2C2 , CC2⊥ A2B2 . Tứ giác BC2B2C nội tiếp nên A1C2 . A1B2 = A1B . A1C Tương tự B1C2 . B1A2 = B1A . B1C , C1B2 . C1A2 = C1A . C1B Suy ra A1,B1,C1 cùng nằm trên trục đẳng phương của đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC và đường tròn (J) ngoại tiếp tam giác A2B2C2. Mà (O) là đường tròn Ơ-le của tam
  • 36. Trang 35 giác A2B2C2, AA2, BB2 ,CC2 giao nhau tại trực tâm I của tam giác A2B2C2 (cũng đồng thời là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC) suy ra I, O, J thẳng hàng. Vậy đường thẳng qua A1, B1, C1 vuông góc với OI (đpcm) Bài tập 7 Cho tam giác ABC nội tiếp (O). (I), (Ia) lần lượt là đường tròn nội tiếp và bàng tiếp góc A. Giả sử I Ia giao BC và (O) lần lượt tại A’, M. Gọi N là trung điểm cung MBA. NI, NIa giao (O) lần lượt tại S,T. CMR S, T, A’ thẳng hàng. Lời giải Ta có ∠NTS= 1 2 (sđ ΝΑ+ sđ SΑ )= 1 2 (sđ ΝΜ +sđ AS )=∠NIM ⇒∠IaTS=∠IaIS Suy ra tứ giác IaTIS nội tiếp (w1) Mặt khác,∠ IBIa=∠ ICIa=90° nên tứ giác IBIaC nội tiếp (w2) Ta thấy I Ia là trục đẳng phương của (w1) và (w2), BC là trục đẳng phương của (O) và (w2), TS là trục đẳng phương của (O) và (w1) Theo định lý về tâm đẳng phương thì I Ia, TS, BC đồng quy tại A’. Vậy T, A’, S thẳng hàng (đpcm) Bài tập 8 (Định lý Brianchon) Cho lục giác ABCDEF ngoại tiếp (O). CMR AD, BE, CF đồng quy. Lời giải Gọi G, H, I, J, K, L lần lượt là tiếp điểm của AB, BC, CD, DE, EF, FA với (O). Trên tia KF,HB, GB, JD, ID, LF lần lượt lấy các điểm P, S, Q, R, N, M sao cho KP = SH = GQ = JR = IN = LM.
  • 37. Trang 36 Dựng (O1) tiếp xúc với EF,CB tại P, S, (O2) tiếp xúc AF, CD tại M, N, (O3) tiếp xúc AB, ED tại Q, R. Ta có FP=PK-FK=LM-LF=FM, CS=SH+HC=IN+IC=CN Suy ra FC là trục đẳng phương của (O1) và (O2). Tương tự AD là trục đẳng phương của (O2) và (O3), BE là trục đẳng phương của (O3) và (O1). Áp dụng định lý về tâm đẳng phương ta có AD, BE, CF đồng quy (đpcm). Ta chứng minh ba đường thẳng đó là các trục đẳng phương của từng cặp hai đường tròn có tâm không thẳng hàng. Bài tập 9 Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C trên d. Gọi d1, d2, d3 theo thứ tự là các đường thẳng đi qua A’, B’, C’ và vuông góc với BC, CA, AB. Chứng minh rằng các đường thẳng d1, d2, d3 đồng quy. Lời giải
  • 38. Trang 37 Gọi O1, O2, O3 theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB, ta có O1B’= O1C’; O2C’= O2 A’; O3A’= O3B’. Gọi Γ1, Γ2, Γ3 theo thứ tự là các đường tròn tâm O1 bán kính O1C’, tâm O2 bán kính O2A’, tâm O3 bán kính O3B’. Ta có d3 là trục đẳng phương của Γ1 và Γ2. Tương tự d2 là trục đẳng phương của Γ3 và Γ1; d1 là trục đẳng phương của Γ2 và Γ3. Vậy, d1, d2, d3 đồng quy. Bài tập 10 Cho (O,R) và hai điểm P,Q cố định (P nằm ngoài (O), Q nằm trong (O)). Dây cung AB của (O) luôn đi qua Q. PA, PB lần lượt giao (O) lần thứ hai tại D,C. Chứng minh rằng CD luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải Gọi E là giao điểm thứ hai khác P của PQ với đường tròn ngoại tiếp tam giác PAB. CD giao PQ tại F. Ta có OQ2 - R2 = QA . QB = QP . QE , mà P,Q cố định nên QP = const, suy ra QE = const, do đó E cố định. Mặt khác∠PDC=∠PBA=∠PEA nên tứ giác DAEF nội tiếp. Suy ra PO2 - R2 = PD . PA = PE . PF . Do P,E cố định nên PE =const, suy ra PF =const. Do đó F cố định. Vậy CD luôn đi qua điểm F cố định (đpcm) Bài tập 11 Cho (O1,R1) tiếp xúc ngoài với (O2,R2) tại M (R2>R1). Xét điểm A di động trên đường tròn sao cho A,O1,O2 không thẳng hàng. Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC tới (O1). Các đường thẳng MB, MC cắt tại (O2) tại E, F. D là giao điểm của EF với tiếp tuyến tại A của (O2). Chứng minh rằng D di động trên một đường thẳng cố định. Lời giải
  • 39. Trang 38 Qua M kẻ tiếp tuyến chungcủa (O1) và (O2). Ta có ∠MCA= ∠CMy=∠FMD=∠FAM Do đó, △FAM~△FCA (g.g) ⇒ FA2 = FM . FC = FO1 2 - R1 2 (1) Tương tự, EA2 = EO1 2 - R1 2 (2) Coi (A,0) là đường tròn tâm A, bán kính 0 thì từ (1),(2), ta được EF là trục đẳng phương của (A,0) với (O1). Mà D nằm tren EF nên DA2 = DO1 2 - R1 2 ⇒ PD/(O1)=PD/(O2) Vậy D nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn cố định (O1) và (O2). Bài tập 12 Cho tam giác ABC có D là trung điểm của cạnh BC. Gọi d là đường thẳng qua D và vuông góc với đường thẳng AD. Trên đường thẳng d lấy một điểm M bất kì. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng MB, MC. Đường thẳng qua E vuông góc với d cắt đường thẳng AB tại P, đường thẳng qua F vuông góc với d cắt đường thẳng AC tại Q. Chứng minh rằng đường thẳng qua M, vuông góc với đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đường thẳng d. Lời giải d d' QI P H' K' K H FE D A B C M
  • 40. Trang 39 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C lên đường thẳng d. Do D là trung điểm của BC nên DH = DK, suy ra AD là trung trực của HK⇒AH =AK. Gọi ( )ω là đường tròn tâm A đi qua H và K. Gọi H’, K’ lần lượt là các điểm đối xứng với H, K qua các đường thẳng AB, AC ⇒H’, K’ thuộc ( )ω . Giả sử các đường thẳng HH’, KK’ cắt nhau tại I thì I là điểm cố định (*) Ta có : PE // BH (cùng vuông góc với d) mà PE đi qua trung điểm của MB nên cũng qua trung điểm của MH⇒PE là trung trực của MH ⇒ PH = PM. Gọi 1( )ω là đường tròn tâm P đi qua H và M, do tính đối xứng nên H’ cũng thuộc 1( )ω . Hoàn toàn tương tự, ta cũng có: QF là trung trực của MK; nếu gọi 2( )ω là đường tròn tâm Q đi qua K và M thì K’thuộc 2( )ω . Ta lại có: +( )ω , 1( )ω cắt nhau tai H, H’ nên HH’ là trục đẳng phương của( )ω , 1( )ω . +( )ω , 2( )ω cắt nhau tai K, K’ nên KK’ là trục đẳng phương của ( )ω , 2( )ω . Mặt khác : M cùng thuộc 1( )ω , 2( )ω và P, Q lần lượt là tâm của 1( )ω , 2( )ω nên đường thẳng d’ qua M, vuông góc với PQ chính là trục đẳng phương của 1( )ω , 2( )ω . Từ đó suy ra: HH’, KK’, d’ đồng quy tại tâm đẳng phương của ba đường tròn ( )ω , 1( )ω , 2( )ω (**) Từ (*) và (**) suy ra d’ đi qua I là điểm cố định. Vậy đường thẳng qua M, vuông góc với đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đường thẳng d.
  • 41. Trang 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, ĐỗThanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình: Tài liệu giáo khoa chuyên Toán – Hình học 10. 2. Một số tài liệu trên Internet. 3. Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem. 4. Dusan Djukic, Vladimir Jankovic, Ivan Matic, Nikola Petrovic: The IMO Compedium. A collection of Problems Suggested for the International Mathematical Olympiads 1959-2004. 5. Mathematical Reflection. 6. Website: http://www.imo-official.org/ 7. Website: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/portal.php?ml=1