1. Примеры решения задач.
1. По двум параллельным путям в одном направлении идут товарный
поезд длиной L1 = 630 м со скоростью υ 1 = 48,6 км/ч и электропоезд длиной
L2=120 м со скоростью υ 2 = 102,6 км/ч. В течение какого времени электро-
поезд будет обгонять товарный?
Дано: L1 = 630 м,
υ 1 =48,6 км/ч=13,5 м/с,
L2 = 120 м,
υ 2 =102,6 км/ч=28,5 м/с.
Найти: t.
Обгон начинается, когда
координаты конца товарного
поезда и начала электропоезда
одинаковы, а заканчивается,
когда одинаковы координаты
конца электропоезда и начала
товарного (рис.1.4). Обозна-
Рис.1.4
чим путь, пройденный товарным поездом за время обгона, s1, а путь электро-
поезда - s2.
s2 = s1 + L1 +L2 (1)
Движение поездов равномерное, поэтому s1 = υ 1 t ; s2 = υ 2 t .
Подставив s1 и s2 в уравнение (1), получим
L+ L 630 м + 120 м
t= 1 2 = = 50 с .
υ 2 − υ 1 28,5 м/с − 13,5 м/с
Ответ: t = 50 c.
2. Из пункта А и В, расстояние между которыми 120 км, навстречу друг
другу выехали два автобуса. Первый автобус выехал в 9 ч, а второй - в
9 ч 30 мин утра. Первый автобус двигался со скоростью 40 км/ч, а второй - со
скоростью 60 км/ч. Найти, где и когда встретятся автобусы.
Дано: s = 120 км, υ 1 = 40 км/ч, υ 2 = 60 км/ч, t01 = 9 ч, t02 = 9 ч 30 мин.
Найти: t, s1, s2.
Рис.1.5
C - место встречи автобусов (см. рис.1.5).
5

2. Из рисунка 1.5 следует, s = s1 + s2. (1)
Автобусы движутся равномерно s1 = υ 1 t ; s2 = υ 2 t . (2)
Второй автобус выехал на Δ t = t 02 − t01 = 0,5 ч позднее первого. Поэтому
t 2 = t1 − Δ t . (3)
Подставим выражения (2) и (3) в (1):
s = υ 1 t1 + υ 2 (t1 − Δ t). (4)
Решая уравнение (4), найдем t1:
s = υ 1 t1 + υ 2 t1 − υ 2 Δ t, s + υ 2 Δ t = ( υ 1 + υ 2 )t1 ;
s+ υ 2Δ t 120 км + 60 км/ч ⋅ 0,5 ч
t1 = ; t1 = = 1,5 ч.
υ1+ υ 2 (40 + 60) км/ч
Время встречи t = 9 ч +1,5 ч = 10 ч 30 мин. Используя (2) и (1), найдем расстоя-
ния s1 и s2:
s1 = 40 км/ч⋅1,5 ч = 60 км; s2 = s − s1 = 120 км − 60 км = 60 км.
Ответ: t = 10 ч 30 мин, s1 = 60 км, s2 = 60 км.
3. С какой скоростью и по какому курсу должен лететь самолет, чтобы за
2 ч пролететь на север 300 км, если во время полета ветер дует на юго-восток
под углом 30° к меридиану со скоростью 27 км/ч?
Дано: s = 300 км = 3⋅105 м, t = 2 ч = 7200 с, α = 30°, υ 2 = 27 км/ч =7,5 м/с.
Найти: υ , ϕ.
Скорость движения самолета относительно земли равна
векторной сумме скорости
самолета относительно воз-
духа и скорости ветра
(рис.1.6):
  
υ 1 = υ + υ 2.
Модуль скорости υ находится по теореме косину-
сов:
2 2
υ = υ 1 + υ 2 − 2υ 1υ 2 cosα 1 .
s 3 ⋅ 105 м
υ1= = = 41,7 м/с .
t 7200 с
Вычислим скорость υ :
υ = 41,7 2 м 2 /с 2 + 7,52 м 2 /с 2 + 2 ⋅ 41,7 ⋅ 7,5 ⋅ 0,866 м 2 /с 2 =
=48,3 м/с.
Рис.1.6 Чтобы найти курс самолета, найдем сначала cosϕ .
υ + υ 2 cosα 41,7 м/с + 7,5 м/с ⋅ 0,866
cos ϕ = 1 = = 0,9978
υ 48,3 м/с
Тогда ϕ = 4°.
Ответ: 48,3 м/с, 4°.
6

3. 4. Автомобиль приближается к мосту со скоростью 60 км/ч. У моста ви-
сит дорожный знак, ограничивающий скорость до 10 км/ч. За 7,0 с до въезда на
мост водитель нажал на тормозную педаль, сообщив автомобилю ускорение
2,0 м/с2. С разрешенной ли скоростью автомобиль въехал на мост?
Дано: υ 0 = 60 км/ч, t = 7,0 c, a = 2,0 м/с2 , υ = 10 км/ч.
Найти: υ к.
Переведем скорости в м/с:
км 60 ⋅ 103 м м км м
υ 0 = 60 = = 16,7 ; υ = 10 = 2,8 .
ч 3600 с с ч с
Автомобиль тормозит - движение равнозамедленное
υ к = υ 0 − at ,
υ к = 16,7 м/с − 2,0 м/с 2 ⋅ 7,0 с = 2,7 м/с,
υ к = 2,7 м/с < 2,8 м/с = υ .
Ответ: скорость 60 км/ч допустима.
5. Космическая ракета разгоняется из состояния покоя и, пройдя путь
200 км, достигает скорости 11 км/с. С каким ускорением она двигалась? Каково
время разгона?
Дано: s = 200 км, υ = 11 км/с, υ 0 = 0.
Найти: a, t.
Движение прямолинейное равноускоренное
3 2
υ 2 =2as, a = υ , a = (11 ⋅ 10 м/с) ≈ 302,5 м/с 2 ≈ 3,0 ⋅ 10 2 м/с 2 ,
2
2s 2 ⋅ 200 ⋅ 103 м
υ 11 ⋅ 103 м/с
υ = at, t = , t= = 36,7 с ≈ 37 с .
a 3,0 ⋅ 10 2 м/с 2
Ответ: а = 3,0⋅102 м/с2, t ≈ 37 c.
6. Спустя 40 с после отхода теплохода с той же пристани вдогонку за ним
был послан глиссер, который двигался все время с ускорением 0,5 м/с2 . Через
сколько времени и на каком расстоянии от пристани глиссер догонит теплоход,
если теплоход движется равномерно со скоростью 18 км/с?
Дано: t01 = 0, υ 1= 18 км/ч =5 м/с, υ 02 = 0, t02 =40 c, a2 = 0,5 м/с2.
Найти: t2, s.
Обозначим путь, пройденный теплоходом и глиссером, s, скорость и вре-
мя движения теплохода υ 1 и t1, ускорение и время движения глиссера а2 и t2.
Теплоход движется равномерно:
s = υ 1 t1 . (1)
Глиссер движется ускоренно с начальной скоростью υ 02 = 0:
2
a2t 2
s= . (2)
2
Глиссер отошел от пристани на 40 с позже теплохода:
t2 = t1 − t02. (3)
Используя (1), (2) и (3), получим
7

4. 2 2
a2t 2 a2 t 2
υ 1(t 2 + t 02 ) = , − υ 1 t 2 − υ 1 t 02 = 0. (4)
2 2
Подставим в (4) значения а2, υ 1 и t02 и решим квадратное уравнение
0,5t 2 − 2⋅5t2−2⋅5⋅40=0; t 2 − 20t2 − 800 = 0;
2 2
t 2 = 10 ± 100 + 800 = (10 ± 30) c; t2 = 40 c; s = 5 м/с⋅80 c = 400 м.
Ответ: t2 = 40 c, s = 400 м.
7. Первый вагон поезда прошел мимо наблюдателя, стоящего на платфор-
ме, за t1= 1 с, а второй за t2 = 1,5 с. Длина вагона 12 м. Найти ускорение поезда и
его скорость в начале наблюдения. Движение поезда считать равноперемен-
ным.
Дано: t1= 1 с, t2 = 1,5 с, l = 12 м.
Найти: а, υ 0.
При равнопеременном движении поезда путь, равный длине первого ва-
гона, и путь, равный длине двух вагонов, определяется по формулам:
2
at1 a(t1 + t 2 )2
l = υ 0 t1 + , 2 l = υ 0 (t1 + t 2 ) + .
2 2
Найдем из первого уравнения υ 0, подставим это выражение во второе уравне-
ние:
l at1  l at1  a (t1 + t 2 ) 2
υ 0= − ; 2l =  −
t  ( t1 + t 2 ) + .
t1 2  1 2  2
После преобразований уравнения, получим
2 2
2l(t1 - t2) = a (t1 ⋅ t 2 + t1⋅ t 2 ) = at1t 2 (t1 + t 2 ).
Найдем ускорение
2 l(t1 − t 2 )
a= .
t1t 2 (t1 + t 2 )
Вычислим а:
2 ⋅ 12 м(1 с − 1,5 с)
a= = − 3,2 м/с 2 .
1с ⋅ 1,5 с(1 с + 1,5 с)
Вычислим υ 0:
2
υ 0 = 12 м + (3,2 м/с ) ⋅ 1с = 13,6 м/с.
1с 2
Ответ: а = − 3,2 м/с2, υ 0 = 13,6 м/с.
Можно привести упрощенное решение.
Из условия задачи видно, что движение поезда равнозамедленное. Следователь-
но,
2
at1 a(t1 + t 2 )2
l = υ 0 t1 − , 2 l = υ 0 (t1 + t 2 ) − .
2 2
Подставим числовые значения пути и времени в эти формулы:
12 = υ 0 − a/ 2 ; 24 = 2,5υ 0 − 6,25a/2.
Умножим оба уравнения на 2:
24 = 2υ 0 − a; 48 = 5υ 0 − 6,25a.
8

5. Найдем ускорение а из первого уравнения и подставим во второе:
a = 2υ 0 − 24; 48 = 5υ 0 − 6,25(2υ 0 − 24).
Вычислим скорость:
7,5υ 0 = 102; υ 0 = 102/7,5 = 13,6 м/с.
Вычислим ускорение: а = 2⋅13,6 − 24 = 3,2 м/с2.
Отрицательный знак ускорения учтен при составлении исходных уравнений.
8. Тело свободно падает с высоты 80 м. Каково его перемещение в по-
следнюю секунду падения?
Дано: h = 80 м; t1 = 1 c (последняя); υ 0 = 0.
Найти: h1
Из рисунка 1.7 следует: h1 = h − h2. Обозначим время
движения тела t, время прохождения им пути h2 через
gt 2 g(t − t1 )2
(t − t1). Тогда h = ; h2 = . Отсюда
2 2
gt 2 g(t − t1 )2 gt 2 gt 2 2 gtt1 gt1 2
gt 2
h1 = − = − + − = gtt1 − 1 .
2 2 2 2 2 2 2
2h gt 2
Найдем время t = . Тогда h1 = 2 hg t1 − 1 .
g 2
9,8 м/с ⋅ 1 с 2
Рис.1.7 h1 = 2 ⋅ 80 м ⋅ 9,8 м/с ⋅ 1 с − = 35 м
2
Ответ: h1= 35 м.
9. Из вертолета, равномерно поднимающегося вверх со скоростью 4 м/с,
на высоте 200 м вертикально вверх брошено тело со скоростью 10 м/с относи-
тельно вертолета. Определить, через сколько времени и на какой высоте от Зем-
ли встретятся вертолет и брошенное тело (см. рис. 1.8).
Дано: υ 1 = 4 м/с, Н = 200 м, υ 2 = 10 м/с.
Найти: t, H1
Тело, брошенное вертикально вверх, относительно Земли будет иметь
скорость υ 0 равную: υ 0 = υ 1 + υ 2.
Тело движется вверх, пока его скорость не станет равной нулю. Высоту, на ко-
торую поднимется тело, обозначим h1:
υ2 .
h1 = 0
2g
Время подъема тела найдем из формулы υ 0 = gt1:
υ
t1 = 0 .
g
После этого тело падает и до встречи с вертолетом
пройдет путь h2:
g(t − t 1)2
h2 = ,
2
9

6. Рис.1.8 t - время подъема вертолета после бросания тела до
встречи с ним. Вертолет за это время поднимется на
высоту h3 = υ 1t .
Из рисунка 1.8 видно, что h1 = h2 + h3.
Подставим выражение для h1, t1, h2 и h3 в это уравнение
( υ 1 + υ 2 )2 g(t − ( υ 1 + υ 2 ) /g)2
= + υ 1t .
2g 2
Подставим в полученное уравнение числовые значения известных величин и
найдем время:
14 2 10 14
= (t − ) 2 + 4 t;
2 ⋅ 10 2 10
9,8 = 5t − 14t + 9,8 + 4t;
2
5t2 − 10t = 0;t = 2 c.
Найдем высоту, на которой вертолет встретится с телом. Из рисунка 1.8 следу-
ет: H1 = H + h3 = H + υ 1t.
Вычислим H1 : H1 = 200 м + 4 м/с⋅2 с = 208 м.
Ответ: 2 с, 208 м.
10. С самолета, летящего горизонтально на высоте 500 м с постоянной
скоростью 300 м/с, сбрасывается бомба на неподвижную цель. На каком рассто-
янии по горизонтали до цели должна быть сброшена бомба, чтобы она попала в
цель?
Дано: Н = 500 м, υ = 300 м/с, g = 10 м/с2.
Найти: s.
В горизонтальном направлении движение бомбы
равномерное (рис.1.9):
s = υ t.
В вертикальном направлении дви-
жение бомбы равноускоренное:
gt 2
H= .
2
Рис. 1.9 Зная, что время движения в обоих направлениях одно
и то же, найдем время, а затем расстояние s:
2H 2H 2 ⋅ 500 м
t= ; s=υ ; s = 300 м/с = 3000 м = 3,0 км .
g g 10 м/с 2
Ответ: 3,0 км.
11. Камень, брошенный под углом 30° к горизонту, дважды был на одной
и той же высоте h, спустя 3 и 5 с после начала движения. Определить началь-
ную скорость камня и высоту h.
Дано: α0 = 30°, t1 = 3 c, t2 = 5 c.
Найти: υ 0, h.
На одной и той же высоте камень находится дважды: на подъеме и спуске
(рис.1.10), поэтому время подъема найдем по формуле:
10

7. t1 + t 2 3 c + 5 c
t= = = 4 c.
2 2
В верхней точке траектории вертикальная скорость равна нулю, поэтому на-
чальную вертикальную скорость найдем из соотношения: υ во =gt . Зная эту ско-
рость, найдем начальную скорость камня υ 0: υ во = υ 0sinα. Итак,
gt
υ 0= ;
sinα
10 м/с 2 ⋅ 4 с
υ 0= = 80 м/с.
0,5
Определим h: h=υ воt1− g t1 / 2 =
2
2 t
= gtt1 − gt1 /2 = gt1(t − 1 ).
2
Рис. 1.10 Вычислим h:
3c
h = 10 м/с2 ⋅ 3 c(4 c − ) = 75 м .
2
Ответ: 80 м/с, 75 м.
12. Вертолет летит горизонтально со скоростью 180 км/ч на высоте 500 м.
С вертолета нужно сбросить вымпел на теплоход, движущийся встречным кур-
сом со скоростью 24 км/ч. На каком расстоянии от теплохода летчик должен
сбросить вымпел?
Дано: υ 1 = 180 км/ч = 50м/с; Н = 500 м; υ 2 = 24 км/ч= 6,67 м/с.
Найти: s.
Рис.1.11
Траектория вымпела - парабола (рис.1.11). s1 - расстояние, пройденное
вымпелом в горизонтальном направлении, s2 - путь, пройденный теплоходом.
s = s1 + s2. (1)
Движение вымпела в горизонтальном направлении равномерное, в вертикаль-
ном направлении равноускоренное (на вымпел действует постоянная сила тяже-
сти)
gt 2
s1 = υ 1t; H = . (2)
2
Время движения вымпела в вертикальном и горизонтальном направле-
нии, а также время движения теплохода одно и то же.
11

8. s2 = υ 2t. (3)
Из (2) следует
2H 2 ⋅ 500м
t= = ≈ 10 с .
g 9,8 м/с 2
Используя (1), (2) и (3), найдем s:
s = υ 1t + υ 2t = (υ 1 + υ 2) t;
s = (50 + 6,7) м/с⋅10 с = 567 м ≈ 570 м.
Ответ: s ≈ 570 м.
13. При постоянной скорости 900 км/ч самолет описывает вертикальную
петлю. При каком радиусе петли (в км) центростремительное ускорение не пре-
высит 5 g?
Дано: υ = 900 км/ч; ац = 5g.
Найти: R.
υ2 υ2 υ2
ац = ; R= = ;
R aц 5g
(250 м/с) 2
R= = 1250 м = 1,25 км .
5 ⋅ 9,8 м/с 2
Ответ: R = 1,25 км.
14. Определить центростремительное ускорение точек земной поверхно-
сти на широте 45°, вызванное суточным вращением Земли.
Дано: R = 6,37⋅106 м; Т = 24 ч = 8,64⋅104 с; ϕ = 45°.
Найти: ац
Центростремительное ускорение определяется по
формуле
ац = ω2r,
где ω - угловая скорость
точек земной поверхности,
ω = 2π/T; r - радиус
окружности, по которой
движется точка (рис.1.12),
r = Rcosϕ ; ϕ - широта
местности; R - радиус Зем-
ли. Следовательно,
ац = 4π2 Rcosϕ /T 2;
4 ⋅ 3,14 2 ⋅ 6,37 ⋅ 10 6 м ⋅ 0,7
ац = 4 2 2
= 0,034 м/с 2 .
(8,64 ⋅ 10 ) с
Ответ: ац = 0,034 м/с .
2
Рис. 1.12
12

9. 15. Вал совершает 1440 об/мин. Определить период вращения шкива, на-
саженного на вал, угловую и линейную скорость точек на его ободе, если диа-
метр шкива 0,4 м.
Дано: ν = 1440 об/мин = 24 об/с, d = 0,4 м.
Найти: T, ω, υ .
Период вращения определяется по формуле
1 1
T= , T= = 0,042 с.
ν 24 c − 1
Угловая скорость равна
ω = 2πν, ω = 2⋅3,14⋅24 с-1 = 151 рад/с.
Определим линейную скорость точек на ободе
ω ⋅d 151 c − 1 ⋅ 0.4 м
υ = , υ = = 30,2 м/с ≈ 30 м/с.
2 2
Ответ: T = 0,042 с, ω = 151 рад/с, υ ≈ 30 м/с.
16. Какова частота, период и угловая скорость вращения колеса ветродви-
гателя, если за 2 мин колесо сделало 50 оборотов? На какой угол повернется
ветродвигатель?
Дано: t = 2 мин, N = 50 об.
Найти: ν, Т, ω, ϕ.
N 50
ν = = = 0,42 об/с .
t 2 ⋅ 60 c
t 2 ⋅ 60 c
T= = = 2,4 с.
N 50
1
ω = 2πν = 2⋅ 3,14⋅0,42 = 2,6 рад/с.
с
ϕ = ω t = ω TN = 2,6 рад/с⋅2,4с⋅50 = 312 рад
Ответ: ν = 0,42 об/с, Т = 2,4 с, ω = 2,6 рад/с, ϕ = 312 рад.
13